曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)-《實(shí)變函數(shù)》復(fù)習(xí)資料

《實(shí)變函數(shù)》復(fù)習(xí)資料1一單選題1.設(shè)是[a,b]上絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，則下面不成立的是（）A.在[a,b]上的一致連續(xù)函數(shù)B.在[a,b]上處處可導(dǎo)C.在[a,b]上L可積D.是有界變差函數(shù)2.設(shè)是E上的a.e.有限的可測(cè)函數(shù)列,則下面不成立的是（）A.若,則B.是可測(cè)函數(shù)C.是可測(cè)函數(shù)D.若,則可測(cè)．3.若是可測(cè)函數(shù)，則下列斷言（）是正確的（）A.B.C.D.4.下列斷言中()是錯(cuò)誤的（）A.零測(cè)集是可測(cè)集B.可數(shù)個(gè)零測(cè)集的并是零測(cè)集C.任意個(gè)零測(cè)集的并是零測(cè)集D.零測(cè)集的任意子集是可測(cè)集5.設(shè)是[a,b]上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是（）A.在[a,b]上有界B.在[a,b]上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)；C.在[a,b]上L可積；D.二填空題6.設(shè)，則________________________（）7.設(shè)若________________________,則稱是E的聚點(diǎn).（）8.設(shè)P為Cantor集，則mP=_________________（）9.設(shè)是E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列,是E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù),若,有________________________,則稱在E上依測(cè)度收斂于.（）10.設(shè)E使閉區(qū)間[a,b]中的全體無(wú)理數(shù)集,則________________________（）三、名詞解釋1.Jordan分解定理2.伯恩斯坦定理3.Levi定理4.Fatou引理四、計(jì)算題1.2.答案一、單選題1-5BAACD5-10二、填空題123045b-a三、名詞解釋1.Jordan分解定理:在上的任一有界變差函數(shù)都可表示為兩個(gè)增函數(shù)之差.2.伯恩斯坦定理：設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合.如果A對(duì)等于B的一個(gè)子集，又B對(duì)等于A的一個(gè)子集，那么A對(duì)等于B.3.Levi定理：設(shè)是可測(cè)集E上的一列非負(fù)可測(cè)函數(shù)，且對(duì)任意,,令則4.Fatou引理：設(shè)是可測(cè)集E上一列非負(fù)可測(cè)函數(shù),則四、計(jì)算題1.2.《實(shí)變函數(shù)》復(fù)習(xí)資料2一、計(jì)算題1、設(shè)，其中為Cantor集，計(jì)算．2、求極限．二、證明題1、設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù)是閉集．2、設(shè)在上,而成立,,則有．3、設(shè)是上有限的函數(shù)，若對(duì)任意，存在閉子集，使在上連續(xù)，且，證明：是上的可測(cè)函數(shù)．(魯津定理的逆定理)4、在有限閉區(qū)間上的單調(diào)有限函數(shù)是有界變差函數(shù)．

答案一、計(jì)算題1、設(shè)，其中為Cantor集，計(jì)算。解.設(shè)，因，則在上，2、求極限解：設(shè)，則易知當(dāng)時(shí)，又因，()，所以當(dāng)時(shí)，從而使得但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的，故有二、證明題1、設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù)是閉集。證明：..2、設(shè)在上,而成立,,則有證明:記,由題意知由知對(duì)任意,由于，從而有:又因?yàn)樵谏?故所以于是:故在上有3、設(shè)是上有限的函數(shù)，若對(duì)任意，存在閉子集，使在上連續(xù)，且，證明：是上的可測(cè)函數(shù)。(魯津定理的逆定理)證明：存在閉集在連續(xù)令，則在連續(xù)又對(duì)任意,.故在連續(xù).又所以是上的可測(cè)函數(shù)，從而是上的可測(cè)函數(shù).4、在有限閉區(qū)間上的單調(diào)有限函數(shù)是有界變差函數(shù)．證明.在上任取一組分點(diǎn)，從而對(duì)任何，有所以故有界變差.

《實(shí)變函數(shù)》復(fù)習(xí)資料3一、填空題設(shè),,則.,因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)集合之間的一一映射為.設(shè)是中函數(shù)的圖形上的點(diǎn)所組成的集合，則，.若集合滿足,則為集.若是直線上開(kāi)集的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間,則滿足:,.設(shè)使閉區(qū)間中的全體無(wú)理數(shù)集,則.若,則說(shuō)在上.設(shè),,若,則稱是的聚點(diǎn).設(shè)是上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列,是上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù),若,有,則稱在上依測(cè)度收斂于.設(shè),,則的子列,使得.二、證明題1.證明：。2.設(shè)是空間中以有理點(diǎn)(即坐標(biāo)都是有理數(shù))為中心,有理數(shù)為半徑的球的全體,證明為可數(shù)集.3.設(shè),且為可測(cè)集,.根據(jù)題意,若有,證明是可測(cè)集.三、計(jì)算題1.設(shè)是集，.求.2.設(shè)函數(shù)在集中點(diǎn)上取值為,而在的余集中長(zhǎng)為的構(gòu)成區(qū)間上取值為,,求.

答案一、填空題.;.閉集..幾乎處處收斂于或收斂于.對(duì)有.于.二、證明題1.證明如下:中任何一個(gè)元素可以由球心,半徑為唯一確定,,,跑遍所有的正有理數(shù),跑遍所有的有理數(shù).因?yàn)橛欣頂?shù)集于正有理數(shù)集為可數(shù)集都是可數(shù)集,故為可數(shù)集.令,則且為可測(cè)集,于是對(duì)于,都有，故,令,得到,故可測(cè).從