不動點(diǎn)與蛛網(wǎng)圖（解析版）

不動點(diǎn)與蛛網(wǎng)圖

不動點(diǎn)與蛛網(wǎng)圖

第一講實(shí)數(shù)數(shù)列的“不動點(diǎn)”

—>相關(guān)的概念

1、數(shù)列的“生成函數(shù)”：也叫數(shù)列的“特征函數(shù)”-x得到的函數(shù)如:

“"+1=”,；，N*,把a(bǔ)“+i當(dāng)作y,把當(dāng)做xny=/；

2、數(shù)列的迭代：根據(jù)初始值及遞推關(guān)系逐一計算數(shù)列各項的過程.

前一次計算時的y,

是后一次計算的X.

3、數(shù)列的不動點(diǎn)：滿足%“=4，的處的數(shù)值.

例1.己知q=4，若｛4｝是常數(shù)數(shù)列，求q的值.

解：,?""+1=。：=°或4,=1，,4=°或1

(1)數(shù)列的“不動點(diǎn)”其實(shí)不是點(diǎn)，而是數(shù)值；

(2)若4=不動點(diǎn)，則數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，”“=不動點(diǎn).

二、進(jìn)一步分析：

滿足“"+i=a"，的冊的數(shù)值，叫數(shù)列的“不動點(diǎn)”；

任何實(shí)數(shù)數(shù)列都有不動點(diǎn)嗎？??+|=a：+8=a“oa；-4+8=()na“無實(shí)數(shù)解

例2.已知數(shù)列｛為｝滿足q=4，4M="；+〃.若數(shù)列｛%｝有不動點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍

是.

aa+b=a2

(1)數(shù)列角度["2,^nn<^??-a?+^=0^>A=l-4/>>0^>/?<i

[a?+l=a?+b4

Iy=x?

(2)函數(shù)角度：s^*^<=>X2+/?=A:<=>X2-X+/?=0=>A=1-4/?>0=>/?<—

[y=x9+b4

(3)函數(shù)圖象的角度：

①數(shù)列｛%｝有不動點(diǎn)=生成函數(shù)的圖象與直線y=x有交點(diǎn);

②生成函數(shù)圖象與直線y=x的交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)=不動點(diǎn).

例3、己知數(shù)列｛%｝滿足q=a，??+,=a,^+b,neN,,則（）

A.當(dāng)6時，YawR,即＞＞10恒成立

B.當(dāng)6=，時，YaeR,40＞10恒成立

4

C.當(dāng)6=—2時，VaeR,。?）＞10恒成立

D.當(dāng)。=7時，Vae/?,4（）＞10恒成立

解：⑴當(dāng)方?時，數(shù)列｛a,,｝有不動點(diǎn)，即"川有實(shí)數(shù)解;

41%=%[y=x

（2）圖象角度：當(dāng)時，拋物線y=f+b與直線y=x有交點(diǎn)；

4

（3）不動點(diǎn)/的數(shù)值：①B中6=：,由/+；=X得：Xo=L

②C中方=一2,由f-2=x得：x0=T或2

③D中人=-4,由x?—4=x得：X。=1±

選項B中，取4=g,則q=g，q（）＞10不成立；

C,D同理可排除.

實(shí)際不用算，看圖判斷出：不動點(diǎn)＜10即可.

問題：當(dāng)b=；,即時，無論q取何值，4。＞1。為什么恒成立？

試卷第2頁，共19頁

1、觀察拋物線和直線的位置關(guān)系：

（1）函數(shù)角度：y=/+3>%=》恒成立；

（2）數(shù)列角度：。向=〃；+3>%恒成立；

=｛《,｝嚴(yán)格單調(diào)遞增

2、如何保證%>10呢?

3

>—

2

/.a7>4,/.a8>16

aI()>>16>10

三、不動點(diǎn)的分類

例4.已知4=〃，?！?1=2〃〃-1,〃wN+.討論｛%｝的單調(diào)性.

解：（1）當(dāng)4=1時，4,=1，｛4｝為常數(shù)數(shù)列;

（2）當(dāng)時，用歸納法或同號法，可證明：an>\

包｝遞增

如4=2時，=>23,5,9,17…

?！芭c不動點(diǎn)4=1的差，隨n增大而增大.

(3)當(dāng)4<1時，同理可證/<1,且｛為｝遞減

如q=0時，=>0,-1,-3,-7,%與不動點(diǎn)1=1的差,也隨n增大而增大.

總之，當(dāng)。尸1時，隨著n增大，?！爸饾u“遠(yuǎn)離”不動點(diǎn).

這種不動點(diǎn)，叫“排斥不動點(diǎn)

例5.己知q=a,?,,+|=ne.討論｛a,,｝的單調(diào)性.

解：(1)當(dāng)4=1時，4=1，｛q｝為常數(shù)數(shù)歹小

(2)當(dāng)4>1時，如4=2時,

,35917

=2,一，—，一，—

24816

數(shù)列遞減，隨n增大，4,向不動點(diǎn)與=1逐漸"靠攏”；

(3)當(dāng)q<1時，如q=0時，

/、13715

=0,一,一，一，一

24816

數(shù)列遞增，隨n增大，?！跋虿粍狱c(diǎn)與=1逐漸“靠攏”：

這種不動點(diǎn)，叫“吸引不動點(diǎn)”，

總之，不動點(diǎn)可分為“排斥不動點(diǎn)”、”吸引不動點(diǎn)”等，具體的判定方法和應(yīng)用，我們下

節(jié)課會結(jié)合“蛛網(wǎng)圖”討論.

本講小結(jié)

試卷第4頁，共19頁

1、數(shù)列的迭代運(yùn)算：逐個代入，計算各項的過程.如：4=1，??+1=2??+1

4=1=%=3=%=7前一次計算時的y,是后一次計算的x.n蛛網(wǎng)圖的原理！

2、數(shù)列的“生成函數(shù)”：。向-g%->x得到的函數(shù)=%=2q+1的生成函數(shù)是:

3、數(shù)列的不動點(diǎn)：滿足〃eN的”“的數(shù)值，叫數(shù)列的“不動點(diǎn)”；

（1）數(shù)列本身的角度：

①當(dāng)4=不動點(diǎn)時，｛4｝為常數(shù)數(shù)列.

②不動點(diǎn)分成：吸引不動點(diǎn)，排斥不等點(diǎn)等.

（2）生成函數(shù)圖象的角度：

①數(shù)列｛4｝有不動點(diǎn)=生成函數(shù)的圖象與直線>有交點(diǎn)；

②不動點(diǎn)=生成函數(shù)圖象與直線y=x的交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo).

第二講“蛛網(wǎng)圖”的來歷和本質(zhì)

一、“蛛網(wǎng)圖”的來歷和本質(zhì)

上節(jié)課例4.已知q=a,4M=2勺-1,討論｛4｝的單調(diào)性.

當(dāng)q=2時，a2=2a]—1=3

%=2a2-]=5

a4=2%-1=9

前一步的y,是后一步的x

迭代計算是一個代數(shù)運(yùn)算的過程；

“蛛網(wǎng)圖”是把迭代過程一幾何（圖象）化處理.

已知q=a,a?+l=2a?-l,"eN*.討論｛4｝的單調(diào)性.

q=2時，=2,3,5,9,17…

4=0時,=>0?—1>—3,—7,...

剛才是在x軸、y軸上轉(zhuǎn)換的.我們也可以通過輔助線/：y=x進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

蛛網(wǎng)圖：利用數(shù)列的生成函數(shù)圖象，以及輔助線

/：y=x,對迭代過程進(jìn)行圖象化處理.

（1）畫出生成函數(shù)圖象和直線y=x；

（2）4當(dāng)X,%當(dāng)y,在生成函數(shù)圖象上畫出（4,%）點(diǎn)；

（3）向直線y=x作水平線，得交點(diǎn)（%，%）；

（4）向生成函數(shù)圖象作鉛垂線線，得交點(diǎn)（4，陽），…

DaddyMummy

前一個y

代數(shù)迭代過程T輔助線/：

蛛島圖

Baby

二、不動點(diǎn)的類型和性質(zhì)

上一課中，我們提到有“排斥不動點(diǎn)”和“吸引不動點(diǎn)”等.現(xiàn)在用“蛛網(wǎng)圖'’來驗證不動點(diǎn)的

以下性質(zhì)：

對于4用=/（%）型的數(shù)列，若該數(shù)列有不動點(diǎn)，記某個不動點(diǎn)為飛,

試卷第6頁，共19頁

(1)若尸(不)<1,則該不動點(diǎn)為“吸引不動點(diǎn)”；(其中尸(x)不恒等于0)

(2)若尸(%)>1,則該不動點(diǎn)為“排斥不動點(diǎn)”；

(3)若/伍)=1,則該不動點(diǎn)對一側(cè)吸引，對另一側(cè)排斥.

1、/'(%)<1，吸引不動點(diǎn)

定理：當(dāng)/(x)>0時，

若%>4,則數(shù)列遞增;

若。2<4,則數(shù)列遞減.

定理：當(dāng)/(x)<0時，

他i｝與｛⑥｝單調(diào)性相反.

每次都“吸引過頭

2、/'(%)>1,排斥不動點(diǎn)

r=Av)

定理：當(dāng)/（x）>0時，

若%>4,則數(shù)列遞增;

若出<4,則數(shù)列遞減.

3、尸（%）=1時

左惻排斥,左側(cè)吸用

數(shù)列單調(diào)遞增：an+l>a?,〃wN+；數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增：an+l>an,nwN*.

數(shù)列是否嚴(yán)格單調(diào)遞增或嚴(yán)格單調(diào)遞減，與生成函數(shù)單調(diào)性以及初始值有關(guān)!

本講小結(jié)

1.不動點(diǎn)的分類

相交型不動占」/'（/）>「排不不動點(diǎn)

相交型不動點(diǎn)：吸引不動點(diǎn)

相切型不動點(diǎn)：/'（/）=1時，上增下減

2.蛛網(wǎng)圖的原理

借助于直線y=x,把遞推數(shù)列的迭代過程，用圖象表示出來.

優(yōu)點(diǎn)：代數(shù)問題兒何化，形象、直觀；

缺點(diǎn)：不能替代大題目的代數(shù)證明.

第三講“不動點(diǎn)”和“蛛網(wǎng)圖”的應(yīng)用（一）

應(yīng)用1、判定數(shù)列的單調(diào)性和極限

試卷第8頁，共19頁

例1.已知數(shù)列｛q,｝滿足。向=也-1，〃cN+.分別判斷4=2和q=：時數(shù)列的單調(diào)性;

例2已知“e|Jj,4,”=sin等,neN+.

（1）判定數(shù)列單調(diào)性；

2019

（2）判斷可〈蠡，〃eN+是否恒成立.

選項（1）：數(shù)列遞增；

選項（2）：極限為1=（4）不恒成立，

存在%eM,使得時，費(fèi)2019.

應(yīng)用2、己知數(shù)列的生成函數(shù)和單調(diào)性，求為的取值范圍

由例1,例2可知：生成函數(shù)確定的情況下，數(shù)列的單調(diào)性有時還與迭代初始值有關(guān).

例4首項為正數(shù)的數(shù)列｛/｝滿足“向+3），〃e.若對一切〃eAT,都有。向士，

求為的取值范圍.

解：/（力=；卜2+3）=》=玉=1,9=3

4e（0,1]或46[3,+oo）

例5已知數(shù)列｛《,｝滿足”,,+1=3_；j，且對任意HGN：有4用>冊,則可的取值范圍

是.

解：由x得:2x?-3x+l=0，不動點(diǎn)%=1

3-2x2

畫出函數(shù)），=丁=及直線y=苫的圖象

3-2x

（1）時，:是吸引不動點(diǎn)，數(shù)列遞增；

22

（2）!<4<1時，g吸引、1排斥口數(shù)列遞減；

22

3

（3）1<%<5時，1排斥=遞增至「高臺跳水”；

3

（4）時，4<0

**?q<-

12

試卷第10頁，共19頁

例6已知常數(shù)0>0,數(shù)列｛q｝滿足4m=加一%|+2勺+"（〃€”）,首項為q,前n項

和為50.若\>S、對任意〃w曠成立，則-的取值范圍為.

P

（3第？x之〃

解：（1）生成函數(shù)為丫=加一乂+2x+0=<"-=>在/：y=x上方，數(shù)列遞增

[x+2p,x<p

S>S,\a>0

（2）S〃NS3恒成立是什么意思？n；43=4

qv%v%K0?%

，%=4+2p<。，。3=4+4〃40,a4=a]+6p>0

P

法2：4+|=\p-an\+2a?+p^an+l-an=\p-a,\+an+p

=j2p,a?<p

12鳳，an>p

：p>0,a,：-q,>0,，｛a,｝遞增

a--,伉+2,b<1

法3：設(shè)或f==,則以=|1-切+》“+1,.?.%=：n"作圖或者作差n數(shù)列

pI2>1

也｝遞增，

s

記數(shù)列也｝的前n項和為7；,則7；=/■*[,.?.仇40且42。

后面同理

本講小結(jié)

1、不動點(diǎn)和蛛網(wǎng)圖的應(yīng)用

應(yīng)用1、判定數(shù)列的單調(diào)性和極限；

應(yīng)用2、已知數(shù)列的生成函數(shù)及單調(diào)性，求4的取值范圍

2、注意事項

(1)靈活選用不動點(diǎn)的性質(zhì)、蛛網(wǎng)圖法或代數(shù)方法；

(2)生成函數(shù)不連續(xù)時，要注意間斷點(diǎn)兩側(cè)的不同情況.

(3)碰到復(fù)雜而陌生的問題，要注意“退”的思想和“換元法”的應(yīng)用.

第四講“不動點(diǎn)”和“蛛網(wǎng)圖”的應(yīng)用

應(yīng)用3、己知數(shù)列單調(diào)性，求生成函數(shù)中的參數(shù)范圍

例1.數(shù)列｛%?｝滿足玉=0,x向=-x?2+怎+c,"eN+.若｛盡｝單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)c的取值

范圍是.

分析：生成函數(shù)y=-/+x+c,拋物線隨著c的變化而上下平移.

(1)當(dāng)c=0時，從不動點(diǎn)角度：令x=-x2+x,=x2=on相切

從數(shù)列角度：c=0時，%+i=-xj+x“，X|=0=x“=0

(2)當(dāng)c<0時，拋物線在直線>=x的下方n｛x“｝遞減

(3)當(dāng)c>0時，假如c=0.5,蛛網(wǎng)圖判斷：

(4)怎樣才能避免后面遞減？迭代過程落在遞增區(qū)域內(nèi)！

前一個y,是后一個X.=4m4對稱軸，

即：頂點(diǎn)不得高于直線y=

例2若數(shù)列｛%｝滿足%+產(chǎn);。：-?！?加，若對任意正整數(shù)n都有?！?lt;2,則實(shí)數(shù)

m的最大值為()

A.0.5B.lC.2D.4

解：生成函數(shù)y=g/-x+〃?，圖象是拋物線，開口向上

(1)若y=則數(shù)列遞增，???4,<2的必要條件是：方程x=X+,”

有解

1

一廠9―2x+m=0有解=△=4—2/w>0,/.m<2

2

(2)當(dāng)機(jī)=2時，拋物線與直線y=x相切

...在直線y=x上方迭代，數(shù)列遞增，不動點(diǎn)為2,

試卷第12頁，共19頁

...答案：c

例3數(shù)列｛4｝滿足4=1，4川=U1,若對一切〃eN*,??<2,則m的取值范圍

是()

A.m>2B.1<z??<2C.m>3D.2<m<3

解：生成函數(shù)為y=ei'+l

=左加右減：y=e"+l,向右平移m個單位

(1)當(dāng)加<2時，圖象在直線y=x上方，

沒有不動點(diǎn)，無限遞增，不合題意；

(2)當(dāng)機(jī)=2時，相切型不動點(diǎn)2

生成函數(shù)遞增，4叩，2),符合題意;

(3)當(dāng)加>3時,吸引不動點(diǎn)X]e(l,2)

?.?4=1,\<an<xt<2,符合題意.

答案：A

例4.已知數(shù)列｛叫滿足a,用=火(同-片).若q=；,k=\,則如的最小值是；

若4=2,且存在常數(shù)〃>0,使得任意則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

解：⑴。"+1=|4卜。：=>二=國一/，

例4-2.己知數(shù)列｛4｝滿足=%（㈤-端）.若4=2,且存在常數(shù)M>0,

使得任意同,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

分析：生成函數(shù)丫=人（卜|-丁）含參=考慮參數(shù)對圖象的影響n坐標(biāo)變換

y=|x|-/通過怎樣的坐標(biāo)變換，才會得到丫=%（國-彳2）?x不變，y變k倍

（1）Z=0時，4=2,a?+l=0,符合題意;

（2）%工0時，k的取值對圖象的影響：動圖

丁=%（一%-工2）1

法一、.=%=一_?一

y=xK

n-2/2-g-ln（2Z+l）（Z：-l）40

試卷第14頁，共19頁

=0<E

法二、算臨界狀態(tài)

點(diǎn)(-2,-29在直線y=x上，此時％=1

法三、(-2,-2外不低于點(diǎn)(2,-2)

：.-2k>-2,.-.O<A:<1

：.-2k<2,：.0>k>-1

綜合以上分析可知：(1)%=0時，2,0,0,0...,成立;

(2)%>0時，％2左側(cè)的排斥不動點(diǎn)

即(―2,—2Z)不低于點(diǎn)(―2,-2)

（3）%<0時，％4右側(cè)的排斥不動點(diǎn)

即（2,-2%）不高于點(diǎn)（2,2）

-2k<2,

AO>）t>-1

綜上所述，—14Z41

第五講"不動點(diǎn)''和“蛛網(wǎng)圖”的應(yīng)用

應(yīng)用4、判定%”與㈣+8的大小關(guān)系

判定單調(diào)性是比較。用與“，的大小，實(shí)際上可以推廣到與&%+人或其它形式.

例1已知，a“+i=sin怨。“eN*.（2）判斷%+12是否恒成

立；

解：初始值qw（罟開始迭代，=6—1

31

直線y=_工+一

44

n迭代區(qū)域在直線上方

例2己知qj；，；，qM=sin等，neN+.（4）判斷2%42q+S”是否恒成立.

ID/」乙

33

a

解：（1）當(dāng)〃=1時，叼勺］"是否成立？=^a?+l--n

（2）當(dāng)〃22時，2az42al+5“是否恒成立？

2q=2q

2。243%

2%43%

2a4<3%

試卷第16頁，共19頁

2a“43%

2a“”43%

?,*2s“+2a“+[<3sli+2al

:.2azWS,,+2q成立

例3已知數(shù)列｛可｝滿足①=1,a?+l=ln(l+a?),〃wN..下列說法錯誤的是()

A.??>?n+IB.??<2a?+1c.a.2擊D.3"，>4%

解：y=ln(l+x)圖象與直線y=x對照：切線不等式ln(l+x)Vx=O<a,用<%V1

13

A.正確：B.=>y>-x,正確；=C正確；D.=>y>-x,錯誤.

%與kan+b比大小ny=/("與y=履+隱象比高低(迭代范圍內(nèi))

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

1.數(shù)列｛叫滿足：4=0,。向=-吊+〃“+。.若數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，則c的取值范圍是

;若數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增，則c的取值范圍是.

2.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足：0<q<g,凡x=4+ln(2—4).則下列說法正確的是()

八11

A.。<。2019<5B.5<。2019<1

33

C.1<。2019<5D.5<〃2019<2

3.數(shù)列｛〃“｝滿足：0<4<1,>0,4；〃+1-1,貝U()

A.6<%019<1B.%<%，4019〉1C.。3>“4'%019<1

D.%>%，々2019>1

4.已知數(shù)列｛4｝滿足：4=1,%“=Ja；+m(〃eN*),若對任意的正整數(shù)”均有4<4,

O

則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值是.

5.已知數(shù)列｛%｝,滿足%=k(|a“|-a;).若4=；，k=1則|中｝的最小值是

,若4=2,且存在常數(shù)M>0,使得任意同則％的取值范圍是

6,設(shè)數(shù)列｛為｝滿足4,+I=Y-2,“€2.若存在常數(shù)拉>0,對于任意〃eN*，恒有

|a?|<M,則a,的取值范圍是.

7.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足4川=2(何|-1),〃eN*,若存在常數(shù)M>0,使得對于任意的〃eN*,

恒有⑷4M,則4的取值范圍是.

8.已知數(shù)列也｝若白=2,且"22,feR),若腐區(qū)2對任意〃eN*

恒成立，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是.

9.設(shè)a,6eR,數(shù)列｛%｝中,q=a,a“+i=R+b,“wN*,則

A.當(dāng)6=；,qo>lOB.當(dāng)￡>=：,%>10

C.當(dāng)人=-2,%o>1OD.當(dāng)b=-4,q°>10

10.數(shù)列｛4｝滿足：8<q<9,lna“=瘋7--J=,則()

\Jan+\

A.6<%，“2019<1B.色(〃4，%019〉1

C.。3>“4，。2019<1D.%>°4，°2019〉1

x+sinx,x<x_.、

11.已知數(shù)列｛X,,｝滿足0<巧<々<兀，且x向=(M>,N1M"M~'z(n>2),則

+COSxn,xn>Xn_|

A.X3<%,*2019<4B.X3<X45尤2019》冗

C.X3>工4，/019<4D.X3>/4,“2019》冗

12.已知數(shù)列｛%｝滿足卬=；,『=(；)",則下列結(jié)論成立的是()

A.^2018<。2019<“2020B.02020<々2019<“2018

試卷第18頁，共19頁

C.。2019<。2018<02O2OD.。2019V。2020<。2018

13.已知數(shù)列｛““｝滿足：“1=；，%+1=/(4)，〃eN*，S“>0是數(shù)列｛”“｝的前100項和，

且滿足品勵<100,則f(x)不可能是

A.f(x)=x2B.f(x)=x+--2

x

C.f(x)=ex-x-\D./(x)=lnx+x+l

14.已知數(shù)列｛q｝滿足4=a>0,aN=-d+S,,(〃eN*),若存在實(shí)數(shù)f,使｛可｝單調(diào)遞

增，則。的取值范圍是

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

參考答案：

I.c<0##(-8,0)0<c4；##(0,；

【分析】若數(shù)列｛q｝單調(diào)遞減，則。用<。.恒成立，可得。<片恒成立，由此可得c的范圍.

若數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，則生>4,HPoO,且母函數(shù)〃X)=-X2+X+G,C+；.數(shù)列｛風(fēng)｝有極

限，其值為其不動點(diǎn)五.又“X)在(0,五)上單調(diào)增加，故在，，所ce(。,；.于是只需要

證明時滿足條件，ce(；,+8卜寸不滿足條件即可.

【詳解】①若數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，

q=°,：?%,q=°,?，?a：20,

??"”+i<。“恒成立，

即可+1一。“<0恒成立，

即-a；+““+c-a“<0恒成立，

即恒成立，，cV0.

②數(shù)列｛q｝單調(diào)遞增，則當(dāng)"=1時，%=c>q=0.

當(dāng)ce(0,。時，a,=c<n,1,

I4」-2

而/(力=一/+犬+。在(o,g上單調(diào)遞增，

/(67l)</(a2)</(Vc),即0<外<為4；，

假設(shè)當(dāng)”=k,ZEN*時，0<<aM<4c<^,

則/(%)<〃/)</(6),即/<ak+2<8，

故由數(shù)學(xué)歸納法可得?。向，即數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增；

當(dāng)ceg,+8)時,

a

'''?n+i=~n+a?+c>a?,：.a；<c,即0”

4c-an>0,Vc-an+l>0,

2

Vc-a?+I=^+a?-a?-c=(Vc-a?)(l->/c-??),

??0<1--a,0,1->/c<1,

-五)，

答案第20頁，共11頁

??正(五一4_I)(1—五)〈(五一a“_2)(l一五)-〈(正一q)(l一五)=8(1-8尸.

n

?'?Cln，,,>Jc—^/c(l—yjc),,

]Ir~i

令五-五(1_&y=3=&_/=&(1-&)"T=C2=(]石yl=

y/c

五」

〃=l+bgf十’

故當(dāng)〃>1+1峭「二7Z--2時，《，>萬i，

M4c

此時a“*i>“，，>；，而/(X)=T2+X+C在(；,+8)上單調(diào)遞減，

)</(??)>即可+2<。向，與題意矛盾.

綜上，C的取值范圍是(0，；.

2.B

【解析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+ln(2-x)(0<x<2),求導(dǎo)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，判斷數(shù)列｛”,,｝

的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性判斷的“9的取值范圍.

【詳解】設(shè)f(x)=x+ln(2-x)(0<x<2),

因為尸(xXl-J-ntlOvxvZ),

當(dāng)T(x)>0時，得0<x<l；則〃x)在(0,1)和單調(diào)遞增，

當(dāng)/'(x)<0時，l<x<2,則函數(shù)〃x)在(1,2)上單調(diào)遞減,

且/(幻4/(1)=1,可得。“<1,

所以-4,=皿(2—q)>0,即數(shù)列｛??｝為單調(diào)遞增數(shù)列，

又/'(0)=ln2=ln">ln&=g,%=f(%)>/(0)>g,

根據(jù)數(shù)列伍,J單調(diào)性可得：0<q,<??<?<1,

所以萬<“2019<L

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性及判斷，考查數(shù)列的函數(shù)特性，難度一般，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)

判斷數(shù)列的單調(diào)性是關(guān)鍵.

3.A

答案第21頁，共11頁

【分析】由變形為4:+4“+；=必+:開方求解判斷.

【詳解】因為

所以4；+4用+；="『+；,

因為4,20,

故％<4，

因為4<1，

故選：A

4.2

【分析】根據(jù)遞推公式可考慮分析一%,再累加求出關(guān)于。“關(guān)于參數(shù)〃?，〃的關(guān)系,根據(jù)表

達(dá)式的取值分析出機(jī)42,再用數(shù)學(xué)歸納法證明機(jī)=2滿足條件即可.

112

【詳解】因為。,用-4=oan~an+m=o（an~4）+%一22〃?一2,

OO

?一!

累加可得%=4+2（%-4）*1+（"，-2）（〃-1）.

太=1

若機(jī)>2,注意到當(dāng)“一”吐（加一2）（〃一1）一”,不滿足對任意的正整數(shù)”均有%<4.

所以〃?42.

當(dāng)機(jī)=2時,證明：對任意的正整數(shù)”都有0<4<4.

當(dāng)〃=1時，q=1<4成立.

假設(shè)當(dāng)”=%,（"1）時結(jié)論成立，即。<見<4,

貝=2+,《<2+1乂42=4,即結(jié)論對n=左+1也成立.

88

由數(shù)學(xué)歸納法可知，對任意的正整數(shù)〃都有0<““<4.

綜上可知，所求實(shí)數(shù)〃7的最大值是2.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題，需要根據(jù)遞推公式累加

求解，同時注意結(jié)合參數(shù)的范圍問題進(jìn)行分析.屬于難題.

答案第22頁，共11頁

5-2卜川

【分析】第一空：令x=a"，y=a向,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，則4T表示點(diǎn)（為，。田）與原點(diǎn)

%

連線的斜率，觀察圖象即可求解.第二空：將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)則僅,結(jié)合二次函數(shù)

的最值以及翻折后圖象列式即可求解.

【詳解】（1）令x=a“，y=a“+i,曠=國一x2,等表示點(diǎn)（%,%+J與原點(diǎn)連線的斜率，因

為％=；,所以由于（《，出）為y=x-x\xe（O,[最高點(diǎn)，所以&■最小，等于

222q

（2）當(dāng)4=0時，顯然存在；當(dāng)％*0時，由4=2,則M22，由y=Mx|—x2）圖象可知,

.悶44憶

使得任意同4M成立，則需，,,,1又4例>^^（加22）,所以

\k（M11M-1

網(wǎng)4上41,故k的取值范圍是TMIMI.

M-I

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，所以在求解數(shù)列最值問題可以

借助函數(shù)的思想解決.

6.[—2,2]

【分析】首先根據(jù)題意得到-2,當(dāng)-24qV2時，設(shè)q=2cos。，進(jìn)而求出。“，然后判

斷是否滿足題意，當(dāng)4>2時，得出數(shù)列｛%｝和函數(shù)y=/-2的單調(diào)性，進(jìn)而判斷是否滿足

題意.

【詳解】由題意，an+l=a^-2>-2,所以《2-2.

若-24442,令q=2cos。，貝ij%=（2cos。）?一2=2cos2。，

43=（2cos29）2—2=2cos（2?〃），，q=2cos（2""）,此時，存在M=2,使得區(qū)2；

若q>2,an+l-a?=a；,-a?-2=（??+1）（??-2）>0,即數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，而函數(shù)

曠=/-2在（2,+8）上單調(diào)遞增，且值域為（2,+8）,故此時數(shù)列｛q｝不滿足題意.

綜上：％的取值范圍是[-2,2].

故答案為：[-2,2].

7.[-2,2]

【分析】由已知條件可得2|（⑷得普24⑷4絲/，結(jié)合已知可得河=2,

答案第23頁，共11頁

從而可求出生的取值范圍

【詳解】因為⑷4M,所以|%14用，

Ep2|(|d?|-1)|<M,EP-M<2(|a?|-1)<M,

等價于卡4㈤4片，

故只需LA〃，解得Af=2,

I2

所以同42,故同42,即-24442,

所以4的取值范圍為12,2]

故答案為：[-2,2]

8.-42

_2.

【分析】方法一，根據(jù)必要條件求出f的取值范圍，再證明范圍內(nèi)的r滿足|〃區(qū)2,即可確

定r的取值范圍；

方法二，利用蛛網(wǎng)法，分此0和f<0兩種情況，結(jié)合圖象列式即可求出r的取值范圍.

【詳解】法1：必要先行

訃"+22

n22-4<r<-

52

訃1勺四<2-4</<-

2

,t,3,3If,3）八2r-5（tV''3

'4i4"r-44「f-4j"r-4⑷t-4

i,?5-2/I/1"-13,5-21,3c行丁

\b\=---------+——<-------1+——=2,得證.

114-t\4\4-r4-t4-t

法2：蛛網(wǎng)法

記函數(shù)f（x）=；x+1,過定點(diǎn)（0，；卜=〃仇1）.

當(dāng)時，4（2,仇）迭代收斂于點(diǎn)A，只需位于直線>=x下方，即:?2+142n04d|；

當(dāng)，<0時，用（2,a）迭代收斂于點(diǎn)A,由蛛網(wǎng)圖：｛4"7｝單調(diào)遞減，故只需打44

g[J^f^+|V1<2=>-4</<0

綜上-4Wf?|.

答案第24頁，共11頁

9.A

【解析】若數(shù)列｛4｝為常數(shù)列，即,=4=。，則只需使。410,選項的結(jié)論就會不成立.將每

個選項的〃的取值代入方程丁-》+。=0,看其是否有小于等于10的解?選項B、C、D均有

小于10的解，故選項B、C、D錯誤.而選項A對應(yīng)的方程沒有解，又根據(jù)不等式性質(zhì)，以

及基本不等式，可證得A選項正確.

【詳解】若數(shù)列｛4｝為常數(shù)列,則4=4=",由

可設(shè)方程fr+AH

111”1

a=a+9xx+=0,

選項A：b=］時，n+\n2-2

A=l-2=—1<0>

故此時｛a,J不為常數(shù)列，

%>（揚(yáng)7々>4亞,則aw>16>10,

故選項A正確；

選項B：/?=!時，〃:=q；+,，x2-x+-=0,

444

則該方程的解為X=；,

即當(dāng)a=g時，數(shù)列｛%｝為常數(shù)列，4,=g,

則《。=；<10,故選項B錯誤；

選項C：b=-2時，a“+i=a；-2,Y-x-2=0

該方程的解為x=-l或2,

即當(dāng)。=一1或2時，數(shù)列｛/｝為常數(shù)列，q=-1或2,

同樣不滿足%>10,則選項C也錯誤；

答案第25頁，共11頁

選項D：人="4時，〃〃+x2-x-4=0

該方程的解為》=生叵，

2

同理可知，此時的常數(shù)列｛%｝也不能使4。>10,

則選項D錯誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點(diǎn),

進(jìn)一步討論”的可能取值，利用“排除法”求解.

10.D

【分析】根據(jù)題意設(shè)〃幻=五一2-lnx（x>0）,利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出

Tl-9Wlnx在口,+8）上恒成立，作出圖象，結(jié)合圖象即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意知，

設(shè)/。）=五-十一111》（>>0）,

則：（?=；+—號1=（4_2240,

2yJX2x-yjxx2X,A/尤2x7x

所以函數(shù)/（X）在（。，+8）上單調(diào)遞增，

又/⑴=0,所以/（X）=4--%—InxN0在［1,+8）上恒成立,

yjx

即五-Inx在［1,+8）上恒成立,

由圖象可得，?（>tz,>a3>--->a2O19>??->）,

故選：D.

11.A

【分析】先取特殊值進(jìn)行排除，再利用遞推關(guān)系計算前6項，進(jìn)行猜測結(jié)論并證明.

答案第26頁，共11頁

【詳解】由0＜%＜工2＜左,取特殊值：X,=y,X2=y,得：XJ=XJ+COSX,,匕=

JI

xy+sinx3=—+1>Xj,排除C、D；

x5=x4+cosx4=—+l-sinl<x4,x6=

冗

x5+cosx5=y+l-sinl+sinl—+1-sml=y+l-sinl+cos(l-sinl)>x5；且%),x2,x3,x4

2

X5,X’,均小于乃，猜測》刈9〈萬，下面由圖說明:

當(dāng)0＜々＜］時，由迭代蛛網(wǎng)圖:

可得，上｝單調(diào)遞增，此時不動點(diǎn)為當(dāng)n—時，x“W，則有X3C4,x2019＜