梁的內(nèi)力計(jì)算知識教學(xué)

.梁的內(nèi)力第一節(jié)工程實(shí)際中的受彎桿受彎桿件是工程實(shí)際中最常見的一種變形桿，通常把以彎曲為主的桿件稱為梁。圖4－1中列舉了例子并畫出了它們的計(jì)算簡圖。如圖（a）表示的是房屋建筑中的板、梁、柱結(jié)構(gòu)，其中支撐樓板的大梁AB受到由樓板傳遞來的均布荷載q；圖（b）表示的是一種簡易擋水結(jié)構(gòu)，其支持面板的斜梁AC受到由面板傳遞來的不均勻分布水壓力；圖（c）表示的是一小型公路橋，橋面荷載通過橫梁以集中荷載的形式作用到縱梁上；圖（d）表示的是機(jī)械中的一種蝸輪桿傳動裝置，蝸桿受到蝸輪傳遞來的集中力偶矩m的作用。1.1梁的受力與變形特點(diǎn)綜合上述桿件受力可以看出：當(dāng)桿件受到垂直于其軸線的外力即橫向力或受到位于軸線平面內(nèi)的外力偶作用時(shí)，桿的軸線將由直線變?yōu)榍€，這種變形形式稱為彎曲。在工程實(shí)際中受彎桿件的彎曲變形較為復(fù)雜，其中最簡單的彎曲為平面彎曲。1.2平面彎曲的概念工程中常見梁的橫截面往往至少有一根縱向?qū)ΨQ軸，該對稱軸與梁軸線組成一全梁的縱向?qū)ΨQ面（如圖4－2），當(dāng)梁上所有外力（包括荷載和反力）均作用在此縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁軸線變形后的曲線也在此縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，這種彎曲稱為平面彎曲。它是工程中最常見也最基本的彎曲問題。1.3梁的簡化——計(jì)算簡圖的選取工程實(shí)際中梁的截面、支座與荷載形式多種多樣，較為復(fù)雜。為計(jì)算方便，必須對實(shí)際梁進(jìn)行簡化，抽象出代表梁幾何與受力特征的力學(xué)模型，即梁的計(jì)算簡圖。選取梁的計(jì)算簡圖時(shí)，應(yīng)注意遵循下列兩個(gè)原則：（1）盡可能地反映梁的真實(shí)受力情況；（2）盡可能使力學(xué)計(jì)算簡便。一般從梁本身、支座及荷載等三方面進(jìn)行簡化：（1）梁本身簡化——以軸線代替梁，梁的長度稱為跨度；（2）荷載簡化——將荷載簡化為集中力、線分布力或力偶等；（3）支座簡化——主要簡化為以下三種典型支座：（a）活動鉸支座（或輥軸支座），其構(gòu)造圖及支座簡圖如圖4－3（a）所示。這種支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移，其支座反力過鉸心且垂直于支承面，用YA表示。（b）固定鉸支座，其構(gòu)造與支座簡圖如圖4－3（b）所示。這種支座限制梁在支承處沿任何方向的線位移，但不限制角位移，其支座反力過鉸心兩互相垂直分力，用XA、YA表示。（c）固定端支座，其構(gòu)造與支座簡圖如圖4－3（c）所示。這種支座限制梁端的線位移（移動）及角位移（轉(zhuǎn)動），其反力可用三個(gè)分量XA、YA及mA來表示。圖4－1中所示幾種工程實(shí)際中梁的計(jì)算簡圖就是采用上述簡化方法得出來的。1.4梁的基本形式根椐梁的支座形式和支承位置不同，簡單形式的梁有如下三種形式：（1）簡支梁。梁的支座為一端固定鉸，一端活動鉸（如圖4－4（a））；（2）外伸梁。簡支梁兩端或一端伸出支座之外（如圖4－4（b），（c））；（3）懸臂梁。梁的支座為一端固定，一端自由（如圖4－4（d））。這三種梁的共同特點(diǎn)是支座反力僅有三個(gè)，可由靜力平衡條件全部求得，故也稱為靜定梁。第二節(jié)梁的內(nèi)力——剪力和彎矩截面法求梁的內(nèi)力為進(jìn)行梁的設(shè)計(jì)，需求梁的內(nèi)力，求梁任一截面內(nèi)力仍采用截面法，以圖4－5（a）為例，梁在外力（荷載P和反力YA、YB）作用下處于平衡狀態(tài)。在需求梁的內(nèi)力x處用一假想截面m-n將梁截開分為兩段。取任意一段，如左段為脫離體。由于梁原來處于平衡狀態(tài)，取出的任一部分也應(yīng)保持平衡。從圖4－5（b）可知，左脫離體A端原作用有一向上的支座反力YA，要使它保持平衡，由和，在切開的截面m-n上必然存在兩個(gè)內(nèi)力分量：內(nèi)力Q和內(nèi)力偶矩M。內(nèi)力分量Q位于橫截面上，稱為剪力；內(nèi)力偶矩M位于縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，稱為彎矩。對左脫離體列平衡方程：由,有YA－Q＝0則得由，有則得注意此處是對截面形心c取矩，因剪力Q通過截面形心c點(diǎn)，故在力矩方程中為零。同樣可取右脫離體，由平衡方程求出梁截面m-n上的內(nèi)力Q和M，其結(jié)果與左脫離體求得的Q、M大小相等，方向（或轉(zhuǎn)向）相反，互為作用力與反作用力關(guān)系。為使梁同一截面內(nèi)力符號一致，必須聯(lián)系到變形狀態(tài)規(guī)定它們的正負(fù)號。若從梁m-n處取一微段梁dx，由于剪力Q作用會使微段發(fā)生下錯(cuò)動的剪切變形。我們規(guī)定：使微段梁發(fā)生左端向上而右端向下相對錯(cuò)動的剪力Q為正（如圖4－6（a）），反之為負(fù)（如圖4－6（b））；使微段梁彎曲為向下凸時(shí)的彎矩M為正，反之為負(fù)（如圖4－6（c）、(d)）。根據(jù)如上符號規(guī)定，圖4－5中m-n截面內(nèi)力符號均為正。下面舉例說明怎樣用截面法求梁任一截面的內(nèi)力。例4－1外伸梁如圖4－7（a），已知均布荷載q和集中力偶,求指定1-1、2-2、3-3截面內(nèi)力。解（1）求支座反力設(shè)支座反力YA、YB如圖所示。由平衡方程得由得由校核支座反力所求反力無誤。（2）求1-1截面內(nèi)力由1-1截面將梁分為兩段，取左段梁為脫離體，并假設(shè)截面剪力Q1和彎矩M1均為正，如圖4-7（b）所示。由得由得求得的Q1結(jié)果為負(fù)值，說明剪力實(shí)際方向與假設(shè)相反，且為負(fù)剪力；M1結(jié)果為正值，說明彎矩實(shí)際轉(zhuǎn)向與假設(shè)相同，且為正彎矩。（3）求2-2截面（B截面右側(cè)一點(diǎn)）內(nèi)力由2-2截面將梁分為兩段，取右段梁為脫離體，截面上剪力Q2和彎矩M2均設(shè)為正，如圖4-7（c）。由得由得（4）求3-3截面（D截面左側(cè)邊一點(diǎn)）內(nèi)力取右端為脫離體，3-3截面無限靠近D點(diǎn)，線分布力q的分布長度趨于0，則3-3截面上Q3＝0，M3＝0。2.2截面法直接由外力求截面內(nèi)力的法則上例說明了運(yùn)用截面法求任一截面內(nèi)力的方法。因脫離體的平衡條件的含義為：脫離體上所有外力和內(nèi)力在Y軸方向投影的代數(shù)和為零。其中只有剪力Q為未知量，移到方程式右邊即得直接由外力求任一截面剪力的法則：（1）某截面的剪力等于該截面一側(cè)所有外力在截面上投影的代數(shù)和，即（4-2-1）代數(shù)和中的符號為截面左側(cè)向上的外力（或右側(cè)向下的外力）使截面產(chǎn)生正的剪力，反之產(chǎn)生負(fù)剪力，如圖4-8（a）所示，截面上的剪力為正。同樣，脫離體平衡條件的含義為：脫離體上所有外力和內(nèi)力對截面形心取力矩的代數(shù)和為零。其中只有彎矩M為未知量，移到方程右邊即得直接由外力求任一截面彎矩的法則：（2）某截面的彎矩等于該截面一側(cè)所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和，即（4-4-2）代數(shù)和中的符號為截面的左邊繞截面順時(shí)針轉(zhuǎn)的力矩或力偶矩（或右邊繞截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)的力矩或力偶矩）使截面產(chǎn)生正的彎矩，反之產(chǎn)生負(fù)彎矩。如圖4-8（b）所示，截面上的彎矩為正。這樣，運(yùn)用上述兩法則就不必取脫離體，可用式（4-2-1）和（4-2-2）直接由截面左側(cè)（或右側(cè)）外力計(jì)算任一截面剪力和彎矩。此兩法則是由截面法推出的，但比截面法用起來更方便快捷，對于求梁的內(nèi)力極為有用，必須熟練掌握。讀者可用此方法驗(yàn)證例4-1的結(jié)果是否正確。第三節(jié)剪力圖與彎矩圖在一般情況下，梁截面上的內(nèi)力（剪力和彎矩）隨截面位置x的不同而變化，故橫截面的剪力和彎矩都可表示為截面位置x的函數(shù)，即通常把它們分別叫做剪力方程和彎矩方程。在寫這些方程時(shí)，一般是以梁左端為x坐標(biāo)原點(diǎn)，但為計(jì)算方便，有時(shí)也可將原點(diǎn)取在梁右端或梁上任意點(diǎn)。由剪力方程和彎矩方程，我們可以了解剪力和彎矩沿全梁各截面上的變化情況，從而找出最大內(nèi)力截面即危險(xiǎn)截面作為將來設(shè)計(jì)的依據(jù)。為了形象地表示剪力、彎矩沿梁長的變化情況，可根據(jù)剪力方程和彎矩方程分別繪制剪力圖和彎矩圖。根據(jù)剪力方程和彎矩方程作剪力圖和彎矩圖的方法與前面軸力圖及扭矩圖作法類似，即以梁橫截面沿軸線的位置為橫坐標(biāo)x，以橫截面上的剪力或彎矩為縱坐標(biāo)，按照適當(dāng)?shù)谋壤L出Q＝Q（x）或M＝M（x）的曲線。繪制剪力圖時(shí)，一般規(guī)定正號剪力畫在x軸上側(cè)，負(fù)號剪力畫在x軸下側(cè)，并注上正負(fù)號；繪制彎矩圖時(shí)則規(guī)定正彎矩畫在x軸的下側(cè)，負(fù)彎矩畫在x軸的上側(cè)，這也就是把彎矩圖畫在梁受拉的一側(cè)，以便鋼筋混凝土梁根據(jù)彎矩圖配置鋼筋。彎矩圖可以不注正負(fù)號。由剪力圖和彎矩圖可直觀確定梁剪力、彎矩的最大值及其所在截面位置。例4-2作圖4-9（a）所示簡支梁受均布荷載的剪力圖和彎矩圖。解（1）求支座反力由和對稱條件知（2）列出剪力方程和彎矩方程：以左端A為原點(diǎn)，并將x表示在圖上。（a）（b）注意，由于反力的指向是朝上的，它將使梁的任一截面上產(chǎn)生正號的剪力和彎矩，因此在式（a）和式（b）中它們的符號均為正；由于均布荷載q的指向是朝下的，它將使左段梁的任一截面上產(chǎn)生負(fù)號的剪力和彎矩，分布力q的合力為分布力圖的面積qx,且作用在分布力圖的形心處，而分布力對截面形心的力矩的大小為其合力乘以合力到截面形心的距離即，因此在式（a）中的qx項(xiàng)和式（b）中的項(xiàng)都帶負(fù)號。（3）作剪力圖和彎矩圖從式（a）中可知，Q(x)是x的一次函數(shù)，說明剪力圖是一條直線。故以x＝0和分別代人，就可得到梁的左端和右端截面上的剪力分別為由這兩個(gè)控制數(shù)值可畫出一條直線，即為梁的剪力圖，如圖4-9（b）所示。從式（b）可知彎矩方程是x的二次式，說明彎矩圖是一條二次拋物線，至少需由三個(gè)控制點(diǎn)確定。故以x＝0，x＝l/2，x=l分別代入式（b）得，有了這三個(gè)控制數(shù)值，就可畫出式（b）表示的拋物線，即彎矩圖，如圖4-9（c）所示。對于初學(xué)者，為便于作圖，可先將上面求得的各控制點(diǎn)的Q、M值排列如下表的示，然后根據(jù)表中數(shù)據(jù)及剪力方程和彎矩方程所示曲線的性質(zhì)作出剪力圖和彎矩圖。由作出的剪力圖和彎矩圖可以看出，最大剪力發(fā)生在梁的兩端，并且其絕對值相等，數(shù)值為；最大彎矩發(fā)生在跨中點(diǎn)處（Q＝0），。x0lQ(x)0M(x)00將已知的和l=6.24m分別代入可得例4-3作圖4-10（a）所示簡支梁受集中力P作用的剪力圖及彎矩圖。解（1）求支座反力由求得由求得（2）分段列剪力方程和彎矩方程由于C處作用有集中力P，AC和CB兩段梁的剪力方程和彎矩方程并不相同。因此，必須分別列出各段的剪力方程和彎矩方程：AC段：（0<x<a）(a)()(b)CB段：（a<x<l）(a′)()(b′)(3)根據(jù)Q、M方程作Q、M圖由式（a）、（a′）知，兩段梁的剪力均為常數(shù)，故剪力圖為平等于x軸的水平線，由（b）、(b′)知，兩段梁彎矩為x的一次函數(shù)，故彎矩圖圖形為斜直線。計(jì)算各控制點(diǎn)處的剪力和彎矩見下頁表。并作出剪力圖和彎矩圖，如4-10（b）、(c)所示。由圖可知，若a>b，則最大剪力發(fā)生在BC段，即。而最大彎矩發(fā)生在力P作用截面處，；若a=b,即當(dāng)梁中點(diǎn)受集中力時(shí)，最大彎矩發(fā)生在梁中點(diǎn)截面上，。由圖還可看出，在集中力P作用的截面C處，彎矩圖的斜率x0alQ(x)左側(cè)右側(cè)M（x）00發(fā)生突變，形成尖角；同時(shí)剪力圖上的數(shù)值也突然由變?yōu)?。這種突變現(xiàn)象的發(fā)生是由于我們假設(shè)集中力P是作用在梁的一“點(diǎn)”上。實(shí)際上，集中荷載不可能只作用在梁的一“點(diǎn)”上，而是作用在梁的一段微小的長度上，而剪力、彎矩在這段微小的梁段上還是逐漸地連續(xù)變化的。圖4-11表示出梁在這種荷載作用下的剪力圖和彎矩圖的實(shí)際情況：剪力圖是連續(xù)變化（如圖4-11（b））的，而彎矩圖是一段光滑曲線（如圖4-11（c））。由于設(shè)計(jì)時(shí)需求的是最大剪力和彎矩，將這種微小長度上實(shí)際分布荷載簡化為作用于一點(diǎn)的集中力會給內(nèi)力計(jì)算帶來方便，并且引起的誤差很小。同時(shí)可知，由于集中力處剪力突變，故剪力方程式（a）中x的變化為開區(qū)間（即0<x<a）。而彎矩在該處不變，故彎矩方程式（b）中的x變化為閉區(qū)間（）。例4-4圖4-12（a）所示簡支梁在C截面上受集中力偶m作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解（1）求支座反力假設(shè)反力YA、YB方向如圖所示。由得。由，得。求得的支座反力YB帶有負(fù)號，說明它的實(shí)際方向與圖中假設(shè)方向相反，由此可知YA與YB組成一個(gè)力偶與外力偶m平衡。（2）分別列Q、M方程以梁左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)。由于全梁只有集中力偶m作用，故只有一個(gè)剪力方程（0<x<l）(a)彎矩方程則應(yīng)分為兩段：AC段（）(b)CB段（）(b′)（3）根據(jù)Q、M方程作Q、M圖計(jì)算各控制點(diǎn)處Q（x）和M(x)的值（見附表），并作剪力圖和彎矩圖，如圖4-12（b）、（c）所示。x0alQ(x)M(x)0左側(cè)右側(cè)0由圖可見，當(dāng)b>a時(shí)，在集中力偶m作用處的右側(cè)橫截面上的彎矩為最大。當(dāng)集中力偶作用在梁的一端，例如左端（如圖4-13（a））時(shí)，其剪力圖無變化（圖4-13（b）），但彎矩圖將變?yōu)橐粌A斜直線（如圖4-13（c））。由此例可看出，在集中力偶作用處剪力圖不變，而彎矩圖發(fā)生突變。第四節(jié)荷載、剪力和彎矩間的關(guān)系如圖4-14（a）所示的梁、受向上分布荷載q（x）作用，若用垂直于梁軸線且相距為dx的兩個(gè)假想截面m-m和n-n由梁x處切出一微梁段。因dx非常微小，在微段上作用的分布荷載q(x)可看做是均布的，設(shè)截面左邊內(nèi)力分別為Q（x）、M(x)，則右邊內(nèi)力相對左邊有一增量，故為、，且都假設(shè)為正值，如圖5-14（b）所示，根據(jù)微段平衡條件，由，有整理可得（4-4-1）由，有忽略高階微量一項(xiàng)，整理可得（4-4-2）對式（4-4-2）再求一次導(dǎo)數(shù)并由式（4-4-1）可得（4-4-3）此三式就是荷載集度q（x），剪力Q（x）和彎矩M（x）間的微分關(guān)系。由以上分析可知，它們的力學(xué)意義是平衡方程。一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義是圖形的斜率。因此式（4-4-1）和（4-4-2）說明：剪力圖上一點(diǎn)處的斜率等于梁上該點(diǎn)處的荷載集度；彎矩圖上一點(diǎn)處的斜率等于梁上該點(diǎn)處的剪力。二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義是圖形斜率的變化率即圖形的凸凹向。因此式（4-4-3）說明：彎矩圖上一點(diǎn)處的凸凹方向可由梁上該點(diǎn)處荷載集度q(x)符號來決定。注意，這里荷載的符號和坐標(biāo)指向的規(guī)定為：分布荷載向上為正，x軸向右為正，剪力圖的Q軸向上為正，彎矩圖的M軸則以向下為正。即M互在梁受控一側(cè)，這是與其它內(nèi)力圖不同之處根據(jù)以上微分關(guān)系可將剪力圖和彎矩圖的規(guī)律歸納如表4-1所示。利用表4-1可以校核剪力圖和彎矩圖。例題4-5梁的荷載及剪力圖、彎矩圖如圖4-15所示，試用微分關(guān)系校核其正確性。解（1）由平衡方程求反力得，。（2）列表校核如下：（看右脫離體）各梁段或截面的內(nèi)力變化均與表4-1相符，所作Q、M圖正確。由式（4-4-1）可得在x=a和x=b處兩截面間的積分為，也可寫成（4-4-4）同理，由式（4-4-2）可得（4-4-5）式（4-4-4）和（4-4-5）表示荷載集度q(x)、剪力Q（x）和彎矩例題4-5的附表梁段或截面ACCCDDDFFFB荷載q=0（kN）q=0反時(shí)針轉(zhuǎn)q=30kNq=20kN/mQ圖水平線向下突變120kNQ＝－45kN無變化 斜直線Q＝0處E點(diǎn)向下突變＝15kN斜直線Q＝0處G點(diǎn)M圖 斜直線斜率有改變有尖點(diǎn) 斜直線有突變突變值＝80kNEEE點(diǎn)有極值83.8kN·m斜率有改變有尖點(diǎn)GG G處有極值15.6kN·mM（x）間的積分關(guān)系。式（4-4-4）和式（4-4-5）分別說明：（1）剪力圖上任意二截面的剪力差值（或改變）等于此二截面間的分布荷載圖的面積。（2）彎矩上任意二截面的彎矩差值（或改變）等于此二截面間剪力圖的面積。運(yùn)用上述積分關(guān)系時(shí)需注意：a、b之間不能有集中力或集中力偶，此外圖中面積有正負(fù)之分。綜合運(yùn)用上面介紹的微分關(guān)系和積分關(guān)系，除了可校核剪力圖和彎矩圖的正確性之外，還可更簡捷地繪制剪力圖和彎矩圖，并可從荷載圖、剪力圖、彎矩圖中的任一個(gè)圖直接畫出其它的兩個(gè)圖。必須指出，作梁的剪力圖、彎矩圖方法有多種，如：分段列出內(nèi)力方程，根據(jù)方程作圖；直接用微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖等。后一種方法是作梁的內(nèi)力圖的簡捷快速的方法。用微分關(guān)系作內(nèi)力圖的步驟是：第一步，求反力；第二步，分段求各段控制截面的內(nèi)力值；第三步，按微分關(guān)系分析各段在荷載作用下內(nèi)力圖的形狀，并將控制截面內(nèi)力繪成曲線。例4-6圖4-16（a）為梁剪力圖，試求此梁的荷載圖與彎矩圖（已知梁上無集中力偶）。解（1）求荷載圖由QA=－50kN知梁在A處有一向下集中力為50kN，B截面兩側(cè)剪力由－50kN突變到50kN，故梁在B截面必有一向上荷載100kN。AB段、BC段Q圖為水平線，故兩段無分布荷載作用，q=0。CE段為右下斜直線，斜率為常量，故梁上必有向下的均布荷載，荷載集度大小等于剪力圖的斜率，即E截面的剪力由－50kN變到0，故梁上必有向上的集中力50kN。根據(jù)以上分析結(jié)果，可畫出梁的荷載圖如圖4-16（b）。（2）求彎矩圖AB段：Q為負(fù)值，且為水平線，故M為一向上斜直線。MA＝0，MB的大小等于AB間剪力圖面積，即MB＝－50×1＝－50kN·mBC：Q為正值，且為水平線，故M為一向下的斜直線。。CE段：q<0，M為一下凸曲線。q=－25kN／m，D點(diǎn)QD＝0，M有極值，。E端鉸處無集中力偶，MA＝0。根據(jù)上述分析，畫出梁的彎矩圖，如圖4-16（c）所示。第五節(jié)按疊加原理作剪力圖和彎矩圖從前面所列舉的例題中，我們看到，截面上的剪力或彎矩都與荷載（如q、P、m等）保持線性關(guān)系。當(dāng)梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形很小時(shí)，即小變形條件下，梁上有多個(gè)荷載作用時(shí)，每個(gè)荷載引起的剪力、彎矩將不受其它荷載的影響。所以要計(jì)算當(dāng)梁上某一截面處的內(nèi)力，只要分別算出每項(xiàng)荷載單獨(dú)作用時(shí)該截面上的內(nèi)力，然后求其代數(shù)和，就得到該截面上的總內(nèi)力值。這樣由幾個(gè)荷載引起的某一參量，（內(nèi)力、反力、應(yīng)力或位移等）等于每個(gè)荷載單獨(dú)作用時(shí)所引起的該參量的代數(shù)和。這個(gè)結(jié)論稱為疊加原理。只要所求參量與荷載是線性關(guān)系，這個(gè)原理就能成立。用疊加原理作幾個(gè)荷載作用下梁的剪力、彎矩圖時(shí)，先分別作出梁在每個(gè)荷載單獨(dú)作用下的剪力圖和彎矩圖，然后將各圖的相應(yīng)縱坐標(biāo)疊加起來，就得到梁在幾個(gè)荷載共同作用下的剪力圖和彎矩圖。當(dāng)對梁在簡單荷載作用下的剪力彎矩圖較熟悉時(shí)，使用疊加原理就特別方便（如圖4-17所示）。例4-7用疊加法作圖4-17（a）所示簡支梁在集中力P和均布荷載q共同作用下的剪力圖和彎矩圖。解先分別作出簡支梁僅受集中力P和僅受均布荷載q作用時(shí)的剪力圖和彎矩圖，如圖4-17（b）、（c）所示。然后分別將兩個(gè)剪力圖和彎矩圖的相應(yīng)縱坐標(biāo)疊加起來，如圖4-17（a）所示，也就得到簡支梁在集中力P和均布荷載q共同作用下的剪力圖和彎矩圖。在進(jìn)行圖形疊加時(shí)，若各個(gè)圖形有不同的正負(fù)號，如圖4-18（注意q的方向是向上，與P方向相反，故內(nèi)力正負(fù)號相反）中的f和h，，g和i可將它們畫在底線的同一邊，分別如圖4-18（b）（d）所示，這樣便可使兩圖的重疊部分相互抵消，而余下部分即為我們所要求的剪力圖和彎矩圖。但這時(shí)圖中劃分正負(fù)號部分的底線（如圖4-18（b）中的斜線ab和圖4-18（d）中的曲線ac′de′b），已不一定是與軸線平行的直線了，若將其改成以水平線為底線的圖，即得我們所需要的剪力圖和彎矩圖，如圖4-18（c）、(e)所示。思考題4-1什么是“平面彎曲”？試就日常生活所見，列舉幾個(gè)平面彎曲梁的例子。4-2用截面法求梁的內(nèi)力后，怎樣才能由左段梁和右段梁外荷載互接求得梁某一截面上的內(nèi)力值？4-3試判斷下列各組中二梁的內(nèi)力圖是否相同，為什么？4-4圖中所示的梁，集中荷載P作用在固定于截面C的倒L剛臂上。在求梁的反力時(shí)，是否可將力P沿其作用線直接作用于梁上？在求梁的剪力和彎矩時(shí)，是否也可這樣作？為什么？試作出圖示梁的剪力圖和彎矩圖。4-5圖中二梁上所受的荷載大小相同（都是20kN），它們的剪力圖和彎矩圖是否相同？試加以比較、討論。4-6試用第4節(jié)中的方法，推導(dǎo)在下列二情況下荷載、剪力、彎矩之間的關(guān)系：（a）在所截微段梁上作用有集中力P時(shí)；（b）在所截微段梁上作用有集中力偶m時(shí)。4-7試判斷圖示各梁的彎矩圖是否正確？如有錯(cuò)誤，指出發(fā)生錯(cuò)誤的原因并加以改正。4-8什么是疊加原理，應(yīng)用疊加原理的前提是什么？習(xí)題4-1試求圖示各梁在點(diǎn)C和D處截面上的剪力和彎矩。4-2列出圖示各梁的剪力、彎矩方程，作出剪力圖和彎矩圖并求出與4-3根據(jù)q(x)，Q(x)，M(x)間的微分關(guān)系作下列各梁的剪力圖和彎矩圖。4-4圖示為起吊自重為q(N/m)的等截面梁，問起吊點(diǎn)的合理位置x應(yīng)為多少，才能使梁在吊點(diǎn)處和中點(diǎn)處的正、負(fù)彎矩絕對值相等。4-5根據(jù)q、Q、M間微分關(guān)系改正下列剪力、彎矩圖錯(cuò)誤。4-6試判斷圖示各梁的彎矩圖是否正確。如有錯(cuò)誤，指出產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因并加以改正。4-7圖（a）表示某混凝土大壩前的人行道支承梁，它承受的荷載為人群、蓋板重和梁的自重等，其計(jì)算簡圖如圖（b）所示。試求此梁的剪力、彎矩圖。4-8試作圖示斜梁的內(nèi)力圖。4-9梁剪力圖如圖所示，已知梁上無集中力偶，作梁的荷載圖與彎矩圖。4-10梁彎矩圖如圖示，試作梁的荷載圖和剪力圖。4-11用疊加原理作下列梁的彎矩圖。4-12作圖示（a）、(b)、（c）三組梁的彎矩圖，并比較其最大彎矩值，從中可得出什么結(jié)論？4-13一狹小座艇承載如圖，畫出所加荷載引起的剪力圖和彎矩圖。4-14圖示吊車梁，受吊車輪壓P如圖示，問吊車在何位置時(shí)：（1）梁有最大彎矩，其值為多少？（2）梁有最大反力或最大剪力，其值各為多少？答案4-1(a)(b)，(c)4-2(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)4-44-8（a）（a）4-10(a)(b)4-12(1)(2)小結(jié)及學(xué)習(xí)指導(dǎo)平面彎曲變形是桿件四種基本變形中最復(fù)雜的一種變形，其內(nèi)力有兩個(gè)——剪力和彎矩。剪力彎矩圖的繪制在土木及建筑工程等專業(yè)是材料力學(xué)一項(xiàng)重要的基本功，且為后續(xù)課程“結(jié)構(gòu)力學(xué)”的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。本章首先介紹平面彎曲受力與變形特點(diǎn)，然后在截面法基礎(chǔ)上，介紹求指定截面上內(nèi)力——剪力、彎矩的方法，再根據(jù)剪力、彎距的符號規(guī)定及截面法和平衡條件，介紹如何建立彎距，剪力方程；再介紹應(yīng)用彎矩、剪力和荷載集度間