兩條直線的位置關(guān)系

1兩條直線的位置關(guān)系第1課時對頂角、余角和補角教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．知道直線的兩種位置關(guān)系．2．能識別對頂角，知道它的性質(zhì)．3．理解補角和余角的概念和性質(zhì)，并能進行簡單的角度計算．二、重難點目標(biāo)【教學(xué)重點】理解同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系以及對頂角、補角、余角的含義．【教學(xué)難點】對頂角、補角、余角的性質(zhì)的探索與應(yīng)用．教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P38～P39的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】(一)相交線與平行線1．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種．2．若兩條直線只有一個公共點，我們稱這兩條直線為相交線.3．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.(二)對頂角、余角、補角1．(1)如圖所示是一把剪刀的簡易圖，那么∠1與∠2的位置有什么關(guān)系？它們的大小有什么關(guān)系？能試著說明你的理由嗎？解：∠1和∠2是對頂角，∠1＝∠2.理由：因為∠AOB和∠COD都是平角，即∠1＋∠AOD＝180°，∠2＋∠AOD＝180°，等式兩邊同時都減去∠AOD，則∠1＝180°－∠AOD，∠2＝180°－∠AOD，即∠1＝∠2.歸納總結(jié)：在上圖中，直線AB與CD相交于點O，∠1與∠2的有一個公共點O，它們的兩邊互為反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角叫對頂角．對頂角相等．(2)在圖中，∠1和∠AOD有什么數(shù)量關(guān)系？解：∠1＋∠AOD＝180°.歸納總結(jié)：如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角互為補角.類似地，如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角互為余角.注意：互余和互補是指兩個角的數(shù)量關(guān)系，與它們的位置無關(guān)．2．下列圖形中∠1與∠2互為對頂角的是(C)3．∠A與∠B互余，如果∠A＝36°，那么∠B的度數(shù)為54度．環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題活動1小組討論(師生互學(xué))【例1】(教材P39“做一做”)如圖1，打臺球時，選擇適當(dāng)?shù)姆较蛴冒浊驌舸蚣t球，反彈的紅球會直接入袋，此時∠1＝∠2.圖1將圖1簡化成圖2，ON與DC交于點O，∠DON＝∠CON＝90°，∠1＝∠2.在圖2中：圖2(1)哪些角互為補角？哪些角互為余角？(2)∠3與∠4有什么關(guān)系？為什么？(3)∠AOC與∠BOD有什么關(guān)系？為什么？【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)根據(jù)對頂角、余角、補角的定義分析解題．【解答】(1)互為補角的有：∠1與∠AOC，∠2與∠BOD，∠1與∠BOD，∠2與∠AOC，∠DON與∠CON.互為余角的有：∠1與∠3，∠2與∠4，∠1與∠4，∠2與∠3.(2)∠3與∠4相等．理由：因為∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠2，且∠1＝∠2，所以∠3＝∠4.(3)∠AOC＝∠BOD．理由：因為∠AOC＝180°－∠1，∠BOD＝180°－∠2，且∠2＝∠1，所以∠AOC＝∠BOD．【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等．【例2】如圖，直線AB、CD相交于點O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度數(shù)．【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)根據(jù)對頂角的性質(zhì)，可得∠AOC與∠BOD的關(guān)系，根據(jù)OA平分∠COE，可得∠COE與∠AOC的關(guān)系，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)，可得答案．【解答】由對頂角相等，得∠AOC＝∠BOD＝42°.因為OA平分∠COE，所以∠COE＝2∠AOC＝84°.由鄰補角的性質(zhì)，得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°.【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)解決此類問題的關(guān)鍵是在圖中找出對頂角和鄰補角，根據(jù)兩種角的性質(zhì)找出已知角和未知角之間的數(shù)量關(guān)系．活動2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))1．如圖所示，直線AB、CD相交于點O，已知∠AOD＝160°，則∠BOC的大小為(D)A．20° B．60°C．70° D．160°2．如圖所示，直線AB和CD相交所成的四個角中，∠1的鄰補角是∠2和∠4.3．如圖，已知直線AB、CD相交于點O，∠COE＝90°.(1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度數(shù)；(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度數(shù)．解：(1)∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝180°－36°－90°＝54°.(2)因為∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∠BOD＋∠BOC＝180°，所以∠BOD＝30°.因為∠BOD＝∠AOC，所以∠AOC＝30°，所以∠AOE＝∠COE＋∠AOC＝90°＋30°＝120°.4．若一個角的補角等于它的余角的4倍，求這個角的度數(shù)．解：設(shè)這個角是x°，則它的補角是(180°－x°)，余角是(90°－x°)．根據(jù)題意，得180°－x°＝4(90°－x°)，解得x＝60.所以這個角的度數(shù)是60°.活動3拓展延伸(學(xué)生對學(xué))【例3】我們知道：兩直線交于一點，對頂角有2對；三條直線交于一點，對頂角有6對；四條直線交于一點，對頂角有12對……圖1圖2圖3(1)10條直線交于一點，對頂角有________對；(2)n(n≥2)條直線交于一點，對頂角有________對．【互動探索】(1)如圖1，兩條直線交于一點，圖中共有eq\f(4－2×4,4)＝2(對)對頂角；如圖2，三條直線交于一點，圖中共有eq\f(6－2×6,4)＝6(對)對頂角；如圖3，四條直線交于一點，圖中共有eq\f(8－2×8,4)＝12(對)對頂角……按這樣的規(guī)律，10條直線交于一點，那么對頂角共有eq\f(20－2×20,4)＝90(對)；(2)由(1)得n(n≥2)條直線交于一點，對頂角的對數(shù)為eq\f(2n2n－2,4)＝n(n－1)．【答案】(1)90(2)n(n－1)【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)解決探索規(guī)律的問題，應(yīng)全面分析所給的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化特征．環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點評)1．對頂角相等．2．如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角互為補角；如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角互為余角．3．同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等．練習(xí)設(shè)計請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！第2課時垂線教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．在具體情境中進一步豐富對兩條直線互相垂直的認識，并會用符號表示兩條直線互相垂直．2．會畫垂線，并在操作活動中探索、掌握垂線的性質(zhì)．從實際中感知“垂線段最短”，并能運用到生活中解決實際問題．二、重難點目標(biāo)【教學(xué)重點】會使用工具按要求畫垂線，掌握垂線(段)的性質(zhì)．【教學(xué)難點】從生活實際中感知“垂線段最短”．教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P41～P42的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】(一)垂線1．觀察下列圖片，你能找出其中相交的線嗎？它們有什么特殊的位置關(guān)系？略2．垂直的概念：兩條直線相交成四個角，如果有一個角是90°，那么稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.3．垂直的表示：如圖1，如果用AB、CD表示兩條互相垂直的直線，可以記作AB⊥CD；如圖2，如果用l、m表示兩條互相垂直的直線，可以記作l⊥m，其中點O是垂足．圖1圖2(二)垂線段最短1．(1)如圖1，點A在直線l上，過點A畫直線l的垂線，你能畫出多少條？如果點A在直線l外呢？圖1(2)如圖2，點P是直線l外一點，PO⊥l，O是垂足，A、B、C在直線上，比較線段PO、PA、PB、PC的長短，你發(fā)現(xiàn)了什么？圖2解：(1)無論點A在直線l上，還是直線l外，過點A均只能畫1條l的垂線．(2)PO最短．歸納總結(jié)：①平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．②直線外一點與直線上各個點連結(jié)的所有線段中，垂線段最短．2．如圖，過點A作l的垂線，垂足為B，線段AB的長度叫做點A到直線l的距離.環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題活動1小組討論(師生互學(xué))(一)垂線【例1】(1)如圖1，過點P畫AB的垂線；(2)如圖2，過點P分別畫OA、OB的垂線；(3)如圖3，過點A畫BC的垂線．圖1圖2圖3【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)理解畫垂線的步驟，根據(jù)畫垂線的步驟求解．【解答】如圖所示．圖1圖2圖3【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)垂線的畫法需要三步完成：一落：讓三角板的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合；二移：沿直線移動三角板，使其另一直角邊經(jīng)過所給的點；三畫：沿此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線．(二)垂線段【例2】如圖是一條河，C是河邊AB外一點．現(xiàn)欲用水管從河邊AB將水引到C處，請在圖上畫出應(yīng)該如何鋪設(shè)水管能讓路線最短，并說明理由．【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)根據(jù)垂線的性質(zhì)可解，即過點C作CE⊥AB，根據(jù)“垂線段最短”可得CE最短．【解答】如圖所示，過點C作AB的垂線段，垂足為E.沿CE鋪設(shè)水管能讓路線最短，因為垂線段最短．【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)在利用垂線的性質(zhì)解決生活中最近、最短距離的問題時，要依據(jù)“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”來解決．活動2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))1．如圖，直線a、b相交于點A，點B在直線a上，過點B作直線b的垂線，垂足為C，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為(A)A．40° B．50°C．60° D．140°2．體育課上，老師測量跳遠成績的依據(jù)是(C)A．平行線間的距離相等 B．兩點之間，線段最短C．垂線段最短 D．兩點確定一條直線3．如圖，點A為直線BC外一點，AC⊥BC，垂足為C，AC＝3，點P是直線BC上的動點，則線段AP長不可能是(A)A．2 B．3C．4 D．54．如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，能表示點到直線的距離的線段有5條．活動3拓展延伸(學(xué)生對學(xué))【例3】根據(jù)要求畫圖，并回答問題．如圖，直線AB、CD相交于點O，且OE⊥AB．(1)過點O畫直線MN⊥CD；(2)若點F是(1)中所畫直線MN上任意一點(O點除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度數(shù)．【互動探索】(1)根據(jù)題意畫出直線MN即可；(2)當(dāng)點F在射線OM上時，根據(jù)垂直定義及同角的余角相等求出∠EOF＝∠BOD，根據(jù)對頂角求出∠EOF＝∠AOC，即可求出答案；當(dāng)點F在射線ON上時，求出∠AOM的度數(shù)，根據(jù)對頂角求出∠BON的度數(shù)，求出∠EOB＋∠BON即可．【解答】(1)如圖所示．(2)①當(dāng)F在射線OM上時．因為EO⊥AB，MN⊥CD，所以∠EOB＝∠MOD＝90°，所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.②當(dāng)F在射線ON上時，如圖點F′.因為MN⊥CD，所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，所以∠AOM＝90°－∠AOC＝55°，所以∠BON＝∠AOM＝55°，所以∠EOF′＝∠EOB＋∠BON＝90°＋55°＝145°，即∠EOF的度數(shù)是35°或145°.【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)本題考查了