塑性力學二單元

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)塑性力學二單元一、前言二、應(yīng)力分析三、應(yīng)變張量及其不變量四、屈服條件、屈服曲面五、兩種常用的屈服條件七、加載條件八、塑性本構(gòu)關(guān)系六、屈服條件的實驗驗證塑性力學二單元5個基本假設(shè)

一、前言②材料是均勻的、連續(xù)的。③各向均勻的應(yīng)力狀態(tài),即靜水應(yīng)力狀態(tài)不影響塑性變形而只產(chǎn)生彈性體積的變化。①忽略時間因素對材料變形的影響。（不計蠕變和松弛）④穩(wěn)定材料。⑤均勻應(yīng)力—應(yīng)變實驗的結(jié)果，可以用于有應(yīng)力梯度的情況。塑性力學二單元二、應(yīng)力分析1、應(yīng)力張量及其不變量（1）一點應(yīng)力狀態(tài)的表示方式（2）斜截面上的應(yīng)力與應(yīng)力張量的關(guān)系（3）主應(yīng)力及應(yīng)力張量的不變量2、偏應(yīng)力張量及其不變量（1）偏應(yīng)力張量（2）偏應(yīng)力張量的不變量（3）引入與J2′有關(guān)的幾個定義塑性力學二單元1、應(yīng)力張量及其不變量應(yīng)力狀態(tài)的概念：受力物體內(nèi)某點處所取無限多截面上的應(yīng)力情況的總和，就顯示和表明了該點的應(yīng)力狀態(tài)。考慮到剪應(yīng)力互等,一點的應(yīng)力狀態(tài)用六個應(yīng)力分量來表示。二、應(yīng)力分析xyzO塑性力學二單元應(yīng)力張量的概念：0階張量：

30=11階張量：31=32階張量：32=93階張量：33=27xyzO數(shù)學上，在坐標變換時，服從一定坐標變換式的九個數(shù)所定義的量，叫做二階張量。根據(jù)這一定義，物體內(nèi)一點處的應(yīng)力狀態(tài)可用二階張量的形式來表示，并稱為應(yīng)力張量，而各應(yīng)力分量即為應(yīng)力張量的元素，且由剪應(yīng)力互等定理知，應(yīng)力張量應(yīng)是一個對稱的二階張量，簡稱為應(yīng)力張量。塑性力學二單元（1）一點應(yīng)力狀態(tài)的表示方式一點的應(yīng)力狀態(tài)由一個二階對稱的應(yīng)力張量表示，在直角坐標系中由九個應(yīng)力分量表示。xyzOx面的應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：用矩陣形式寫成塑性力學二單元工程力學的習慣寫法彈性力學的習慣寫法采用張量下標記號的應(yīng)力寫法把坐標軸x、y、z分別用x1、x2、x3表示，或簡記為xj(j=1,2,3)。應(yīng)力張量為對稱張量，有6個獨立分量。塑性力學二單元（2）斜截面上的應(yīng)力與應(yīng)力張量的關(guān)系在xj坐標系中，考慮一個法線為N的斜平面。N是單位向量，其方向余弦為則這個面上的應(yīng)力向量SN的三個分量與應(yīng)力張量之間的關(guān)系塑性力學二單元說明i）重復(fù)出現(xiàn)的下標叫做求和下標，相當于這稱為求和約定；ii）不重復(fù)出現(xiàn)的下標i叫做自由下標，可取i=1,2,3采用張量下標記號,可簡寫成塑性力學二單元（3）主應(yīng)力及應(yīng)力張量的不變量①主應(yīng)力(Principalstress)若某一斜面上，則該斜面上的正應(yīng)力稱為該點一個主應(yīng)力；②應(yīng)力主向主應(yīng)力所在的平面——稱為主平面；主應(yīng)力所在平面的法線方向——稱為應(yīng)力主向；根據(jù)主平面的定義，設(shè)SN與N重合。若SN的大小為λ,則它在各坐標軸上的投影為塑性力學二單元代入塑性力學二單元即

將這個行列式展開得到由幾何關(guān)系可知由于l1、l2、l3不能同時為零。對于包含這三個未知量的線性齊次方程，若有非零解，則此方程組的系數(shù)行列式應(yīng)當?shù)扔诹??；蛩苄粤W二單元其中塑性力學二單元當坐標軸方向改變時,應(yīng)力張量的分量均將改變,但主應(yīng)力的大小不應(yīng)隨坐標軸的選取而改變。因此,方程的系數(shù)的J1、J2、J3值與坐標軸的取向無關(guān)，稱為應(yīng)力張量的三個不變量。③應(yīng)力張量的不變量可以證明方程有三個實根，即三個主應(yīng)力當用主應(yīng)力來表示不變量時塑性力學二單元應(yīng)力張量不變量及其應(yīng)用應(yīng)力張量是二階實對稱張量，有3個獨立的主不變量。利用應(yīng)力張量的3個主不變量，可以判別應(yīng)力狀態(tài)的異同。例：判別以下兩個應(yīng)力張量是否表示同一應(yīng)力狀態(tài)？塑性力學二單元兩個應(yīng)力張量表示同一應(yīng)力狀態(tài)。判別兩個應(yīng)力狀態(tài)是否相同，可以通過判別對應(yīng)的三個主應(yīng)力不變量是否相同實現(xiàn)。塑性力學二單元靜水“壓力”在靜水壓力作用下，應(yīng)力~應(yīng)變間服從彈性規(guī)律，且不會屈服、不會產(chǎn)生塑性變形，則應(yīng)力分量分成兩部分。應(yīng)力不產(chǎn)生塑性變形的部分產(chǎn)生塑性變形的部分平均正應(yīng)力2、偏應(yīng)力張量及其不變量（1）偏應(yīng)力張量塑性力學二單元應(yīng)力張量可作如下分解：用張量符號表示：應(yīng)力球張量應(yīng)力偏張量應(yīng)力球張量塑性力學二單元——單位球張量或——應(yīng)力球張量使微分單元體三個方向作用相同的正應(yīng)力，這使單元體發(fā)生變形時，只能產(chǎn)生導致體積的均勻膨脹或收縮。因而只能改變單元體體積，而不能改變單元體形狀。

其中：塑性力學二單元應(yīng)力偏張量——應(yīng)力偏張量應(yīng)力偏張量sij將不改變微分單元體的體積，僅產(chǎn)生形狀的畸變。它描述的是實際應(yīng)力狀態(tài)與平均應(yīng)力狀態(tài)的偏離程度，所以它對描述問題的塑性變形是十分重要的。塑性力學二單元說明材料進入塑性后，單元體的體積變形是彈性的，只與應(yīng)力球張量有關(guān)；而與形狀改變有關(guān)的塑性變形則是由應(yīng)力偏張量引起的，應(yīng)力張量的這種分解在塑性力學中有重要意義。σzσxσyσxσyσzσmσmσm-σm-σm-σm=+塑性力學二單元（2）偏應(yīng)力張量的不變量偏應(yīng)力張量的主軸方向與應(yīng)力主軸方向一致，而主值（稱為主偏應(yīng)力）為：或應(yīng)力偏張量也有三個不變量塑性力學二單元其中應(yīng)力偏張量的第二不變量今后用得最多。說明再介紹它的其他幾個表達式：在后面章節(jié)中我們將看到，在屈服條件中起重要作用。至于可以注意它有這樣的特點：不管的分量多么大，只要有一個主偏應(yīng)力為零，就有。這暗示在屈服條件中不可能起決定作用。塑性力學二單元（3）引入與J2′有關(guān)的幾個定義①等效應(yīng)力如果假定相等的兩個應(yīng)力狀態(tài)的力學效應(yīng)相同，那么對一般應(yīng)力狀態(tài)可以定義：——在塑性力學中稱為應(yīng)力強度或等效應(yīng)力，它代表復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)折合成單向應(yīng)力狀態(tài)的當量應(yīng)力。注意：這里的“強度”或“等效”都是在意義下衡量的。塑性力學二單元等效應(yīng)力隨應(yīng)力狀態(tài)不同而變化，即等效應(yīng)力是衡量材料處于彈性狀態(tài)或塑性狀態(tài)的重要依據(jù)，它反映了各主應(yīng)力的綜合作用。簡單拉伸時塑性力學二單元②等效應(yīng)力的特點?。┡c空間坐標軸的選取無關(guān)；ⅱ）各正應(yīng)力增加或減少同一數(shù)值（也就是疊加一個靜水應(yīng)力狀態(tài)）時數(shù)值不變，即與應(yīng)力球張量無關(guān)；ⅲ）全反號時的數(shù)值不變。塑性力學二單元

標志著所考察的偏應(yīng)力狀態(tài)與材料未受力（或只受靜水應(yīng)力）狀態(tài)的距離或差別的大小?？梢钥闯龃砜臻g的中的廣義距離③

空間

空間指的是以的九個分量為坐標軸的九維偏應(yīng)力空間；塑性力學二單元④等效剪應(yīng)力T——在塑性力學中稱為剪應(yīng)力強度或等效剪應(yīng)力在純剪時：⑤八面體上的剪應(yīng)力等斜面：通過某點做平面，該平面的法線與三個應(yīng)力主軸夾角相等。塑性力學二單元設(shè)將坐標軸x、y、z取與應(yīng)力主方向一致，則等斜面法線的三個方向余弦為滿足上式的面共有八個，構(gòu)成一個八面體，如圖所示。應(yīng)力向量正應(yīng)力剪應(yīng)力塑性力學二單元八面體的剪應(yīng)力說明八面體面上的應(yīng)力向量可分解為兩個分量：i)垂直于八面體面的分量，即正應(yīng)力，它與應(yīng)力球張量有關(guān)，或者說與有關(guān)；ii)沿八面體面某一切向的分量，即剪應(yīng)力與應(yīng)力偏張量的第二不變量有關(guān)。塑性力學二單元⑥八面體剪應(yīng)力、等效應(yīng)力和等效剪應(yīng)力之間的換算關(guān)系說明這些量的引入，使我們有可能把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)化作“等效”（在意義下等效）的單向應(yīng)力狀態(tài)，從而有可能對不同應(yīng)力狀態(tài)的“強度”作出定量的描述和比較。塑性力學二單元例:設(shè)某點的應(yīng)力張量為，試求其主應(yīng)力及主方向，并寫出應(yīng)力偏量，畫出應(yīng)力狀態(tài)分析簡圖。解：主應(yīng)力σ由下式給出解三次方程得到因此可求得塑性力學二單元將求得的代入下式可求得相應(yīng)于σ1的主方向余弦為同理，可求得相應(yīng)于σ2的主方向余弦為同理，可求得相應(yīng)于σ3的主方向余弦為塑性力學二單元又對于應(yīng)力張量σij

應(yīng)力偏張量用主應(yīng)力表示的應(yīng)力狀態(tài)分析圖如下：-20104010101030-30=+塑性力學二單元三、應(yīng)變張量及其不變量1、應(yīng)變張量2、主應(yīng)變及應(yīng)變張量的不變量3、偏應(yīng)變張量及其不變量塑性力學二單元三、應(yīng)變張量及其不變量設(shè)物體內(nèi)一點(x，y，z)，這一點的三個位移分量是u，v，w顯然它們是x，y，z的函數(shù)。在小變形條件下，應(yīng)變和位移的關(guān)系(幾何方程)如下：1、應(yīng)變張量（與應(yīng)力張量一樣，為二階張量）塑性力學二單元

與工程剪應(yīng)變相差一半，即

這樣取的目的是使構(gòu)成一個二階對稱張量，即應(yīng)變張量。塑性力學二單元注：以下標之間的逗號表示微商公式的張量形式：塑性力學二單元2、主應(yīng)變及應(yīng)變張量的不變量平均正應(yīng)變類似地，應(yīng)變張量有三個主應(yīng)變和三個不變量：塑性力學二單元3、偏應(yīng)變張量及其不變量應(yīng)變張量也可以分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量，即應(yīng)變球張量它與彈性的體積改變部分有關(guān)應(yīng)變偏張量只反映變形中形狀改變的那部分①偏應(yīng)變張量塑性力學二單元②偏應(yīng)變張量的不變量其中和分別是主應(yīng)變和偏應(yīng)變張量的主值。塑性力學二單元4、引入與I2′有關(guān)的幾個定義①等效應(yīng)變在簡單拉伸時，如果材料不可壓縮，則塑性力學二單元②等效剪應(yīng)變在純剪時塑性力學二單元四、屈服條件、屈服曲面1、屈服條件2、應(yīng)力空間和主應(yīng)力空間3、屈服曲面、屈服曲線4、π平面上的幾何關(guān)系塑性力學二單元四、屈服條件、屈服曲面簡單應(yīng)力狀態(tài)下的屈服極限：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，設(shè)作用于物體上的外載荷逐步增加，在其變形的初始階段，每個微元處于彈性階段。材料初始彈性狀態(tài)的界限稱為初始屈服條件，簡稱為屈服條件。一般地：受六個應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、應(yīng)變速率、時間、溫度等因素的綜合影響。1、屈服條件塑性力學二單元當不考慮時間效應(yīng)且接近常溫時，在初始屈服前材料處于彈性狀態(tài)，應(yīng)力和應(yīng)變間有一一對應(yīng)的關(guān)系。幾何意義屈服條件在以應(yīng)力分量為坐標的應(yīng)力空間中為一曲面。稱為屈服曲面。屈服曲面是區(qū)分彈性和塑性的分界面。①當應(yīng)力點位于曲面之內(nèi)，即時，材料處于彈性階段。②當應(yīng)力點位于曲面之上，即時，材料開始屈服，進入塑性狀態(tài)。塑性力學二單元②靜水應(yīng)力不影響材料的塑性性質(zhì)。這時，屈服條件只與應(yīng)力偏量有關(guān)：兩點假設(shè)①材料是初始各向同性的，即屈服條件與坐標的取向無關(guān)。可表示為三個主應(yīng)力的函數(shù)：也可由應(yīng)力偏張量的不變量表示：或用應(yīng)力不變量來表示：塑性力學二單元2、應(yīng)力空間和主應(yīng)力空間①應(yīng)力空間一點的應(yīng)力張量有九個應(yīng)力分量，以它們?yōu)榫艂€坐標軸就得到假想的九維應(yīng)力空間?？紤]到九個應(yīng)力分量中只有六個是獨立的，所以又可構(gòu)成一個六維應(yīng)力空間來描述應(yīng)力狀態(tài)。一點的應(yīng)力狀態(tài)可以用九維或六維應(yīng)力空間中的一個點來表示。②主應(yīng)力空間塑性力學二單元它是以為坐標軸的假想的三維空間，這個空間中的一個點，就確定了用主應(yīng)力所表示的一個應(yīng)力狀態(tài)。③主應(yīng)力空間的性質(zhì)L直線：主應(yīng)力空間中過原點并與坐標軸成等角的直線。其方程為顯然，L直線上的點代表物體中承受靜水應(yīng)力的點的狀態(tài)，這樣的應(yīng)力狀態(tài)將不產(chǎn)生塑性變形。塑性力學二單元

平面：主應(yīng)力空間中過原點而與L直線垂直的平面。其方程為由于平面上任一點的平均正應(yīng)力為零，所以平面上的點對應(yīng)于只有應(yīng)力偏張量、不引起體積變形的應(yīng)力狀態(tài)。

主應(yīng)力空間中任意一點P所確定的向量總可以分解為：O塑性力學二單元所以向量是在平面上這樣任意應(yīng)力狀態(tài)就被分解為兩部分，分別與應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量部分對應(yīng)。應(yīng)力球張量應(yīng)力偏張量O塑性力學二單元O3、屈服曲面、屈服曲線

對應(yīng)于應(yīng)力狀態(tài)的球張量部分，即靜水壓力部分；由于靜水應(yīng)力不影響屈服，即屈服與否與無關(guān)。因此當P點達到屈服時，線上的任一點也都達到屈服。塑性力學二單元屈服曲面是一個等截面柱面，其母線平行于L直線。并且此柱面垂直于平面。屈服曲線：屈服曲面與π平面相交所得的一條封閉曲線，或稱屈服軌跡。屈服曲線屈服曲面塑性力學二單元①由于材料是初始各向同性的，屈服條件不因坐標變換而變化，因此屈服曲線關(guān)于三軸對稱。屈服曲線的方程屈服曲線的主要性質(zhì):②對于大多數(shù)金屬材料，初始拉伸和壓縮的屈服極限相等，因此屈服曲線關(guān)于三軸的垂線也對稱。塑性力學二單元①分別在主應(yīng)力空間的三根坐標軸上截取長度為1的線段。由于等斜面與π平面平行，所以角β為π平面與主應(yīng)力空間的夾角，也即的夾角。4、π平面上的幾何關(guān)系其中：O等斜面111塑性力學二單元

把S投影到π平面上，可得到其（x,y）坐標為：OxyS②在π平面上取x、y軸，如圖。則屈服曲線上任一點S在π平面上的坐標為：塑性力學二單元當采用極坐標表示時：三種特殊情況單向拉伸純剪切單向壓縮就是Lode應(yīng)力參數(shù)塑性力學二單元

平面的定義。問題③什么叫屈服條件？④屈服條件在什么假定下變?yōu)?。⑤⑥為什么平面上的屈服曲線有六條對稱軸。⑦的幾何意義是什么？①應(yīng)力張量狀態(tài)的三個不變量的表達方式？偏應(yīng)力張量狀態(tài)的三個不變量的表達方式？②偏應(yīng)變張量狀態(tài)的三個不變量的表達方式？塑性力學二單元五、兩種常用的屈服條件1、Tresca屈服條件(1864年)2、Mises屈服條件3、π平面上Mises圓同Tresca六邊形的幾何關(guān)系塑性力學二單元五、兩種常用的屈服條件1、Tresca屈服條件(1864年)基于實驗觀測，Tresca假設(shè)材料在某處出現(xiàn)屈服是由于該點的最大剪應(yīng)力達到某一極限值k。當已知Tresca屈服條件可以表示為—也就是材料力學的第三強度理論由對稱性拓展后，得到π平面上的一個正六邊形。塑性力學二單元如不規(guī)定在主應(yīng)力空間中，它們構(gòu)成一母線平行于L直線的正六邊形柱面塑性力學二單元塑性力學二單元對于平面應(yīng)力狀態(tài)，當時，變?yōu)榧丛谄矫嫔希淝壽E呈斜六邊形，這相當于正六邊形柱面被的平面斜截所得的曲線。式塑性力學二單元常數(shù)k1一般由實驗確定：在單向拉伸時：在純剪切時：比較這二者可知，采用Treca條件就意味著塑性力學二單元Treca屈服條件的適用范圍1、在主應(yīng)力方向和大小順序都已知時，Tresca屈服條件求解問題是比較方便的，因為在一定范圍內(nèi)，應(yīng)力分量之間滿足線性關(guān)系。2、在主應(yīng)力方向已知，但其大小順序未知時，不失一般性，屈服條件可寫為：然后可用應(yīng)力偏張量的不變量的形式寫成3、主應(yīng)力方向未知，很難用表達式描述。Treca屈服條件一般僅適用于主應(yīng)力方向已知的情況。塑性力學二單元Tresca條件的局限：①主應(yīng)力未知時表達式過于復(fù)雜；②未考慮中間主應(yīng)力的影響。1913年Mises指出:Tresca條件在π平面上的截跡是一個正六邊形,因此不能用一個簡單的方程來表示;此外,六角形的六個頂點是由實驗得到的,但是連接這六個點的直線卻包含了假定(認為中間主應(yīng)力不影響屈服),這種假定是否合適,需經(jīng)實驗證明。Mises認為：用一個圓來連接這六個點似乎更合理，并且可以避免因曲線不光滑而引起的數(shù)學上的困難。Mises條件在應(yīng)力空間中的軌跡是外接于Tresca六角柱體的圓柱體。塑性力學二單元塑性力學二單元Mises屈服條件假定屈服曲線的一般表達式具有如下的最簡單形式：2、Mises屈服條件由屈服曲線上的點在π平面上投影可知因此，在π平面Mises屈服條件可用一個圓來表示。塑性力學二單元塑性力學二單元常數(shù)K2

一般由實驗確定：在單向拉伸時：在純剪切時：比較這二者可知，采用Mises條件應(yīng)有：塑性力學二單元確定常數(shù)K2以后，Mises屈服條件可寫成以下常用的形式：或在主應(yīng)力空間中是一個母線平行于L直線的圓柱面。塑性力學二單元Mises屈服準則為：即所以，米塞斯屈服準則也可以表述為：在一定的變形條件下，當受力物體內(nèi)一點的等效應(yīng)力達到某一定值時，該點就開始進入塑性狀態(tài)。塑性力學二單元在平面上，這是一個橢圓。為主應(yīng)力空間中的Mises圓柱面被平面斜截所得。對于平面應(yīng)力狀態(tài)，當時，有：MisesTresca由于上式中右端常數(shù)由單向拉伸實驗確定，所以圖中Mises橢圓外接于Tresca斜六邊形。塑性力學二單元3、π平面上Mises圓同Tresca六邊形的幾何關(guān)系①如果假定在簡單拉伸時兩種屈服條件相重合，則Tresca六邊形將內(nèi)接于Mises圓。內(nèi)接Tresca六邊形Mises圓Mises:Tresca:純剪切時，Tresca六邊形同Mises圓之間的相對偏差最大，為單向拉伸塑性力學二單元外接Tresca六邊形Mises圓②如果假定在純剪切時兩種屈服條件相重合，則Tresca六邊形將外切于Mises圓。Mises:Tresca:純剪切單向拉伸時，Tresca六邊形同Mises圓之間的相對偏差最大，為塑性力學二單元試判斷下圖中的主應(yīng)力狀態(tài)是彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)。解：利用Mises屈服準則判別：（圖1）（圖2）（圖3）對圖1，用代入得滿足Mises屈服條件，所以處于塑性狀態(tài)。塑性力學二單元對圖3用（圖2）（圖3）解：利用Mises屈服準則判別：對圖2用代入滿足Mises屈服條件，所以處于塑性狀態(tài)。解：利用Mises屈服準則判別：不滿足Mises屈服條件，所以處于彈性狀態(tài)。代入塑性力學二單元設(shè)某點的應(yīng)力張量為

材料的σs=25Mpa

①求出其主應(yīng)力及最大切應(yīng)力；②根據(jù)Tresca屈服條件和Mises屈服條件判斷材料處于彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)；③畫出兩種屈服條件在主應(yīng)力空間的屈服曲面和л平面上的屈服曲線；④畫出平面應(yīng)力狀態(tài)下的Tresca屈服準則及Mises屈服準則圖形，并進行比較。[應(yīng)用]：根據(jù)兩種屈服準則，由任意應(yīng)力狀態(tài)確定材料處于彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)。塑性力學二單元主應(yīng)力的大小為：[σ1σ2σ3]=[47.848234.088120.0637]最大切應(yīng)力為：[τ12τ23τ31]=[7.0122-13.89226.8801]根據(jù)Tresca屈服條件和Mises屈服條件判斷材料狀態(tài)結(jié)果為：經(jīng)Tresca屈服條件判斷,材料處于塑性階段經(jīng)Mises屈服條件判斷,材料處于彈性階段塑性力學二單元畫出兩種屈服條件在主應(yīng)力空間的屈服曲面和л平面上的屈服曲線；其中，圖中‘*’表示任意點的應(yīng)力狀態(tài)，‘*’若在屈服曲線內(nèi)則表示材料處于彈性階段，‘*’若在屈服曲線外則表示材料處于塑性階段。塑性力學二單元塑性力學二單元畫出平面應(yīng)力狀態(tài)下的Tresca屈服準則及Mises屈服準則圖形，并進行比較（如圖所示）。塑性力學二單元[解]由于殼體幾何形狀和受力都是對稱于球心,是球?qū)ΨQ問題。這樣殼體內(nèi)剪應(yīng)力分量必為零，否則就不是球?qū)ΨQ了。各點只有正應(yīng)力分量，并且有qoxyz主應(yīng)力排序為例：一內(nèi)半徑為a

，外半徑為b

的球形殼，在其內(nèi)表面上作用均勻的壓力q

。試寫出其屈服條件。塑性力學二單元代入Tresca屈服條件發(fā)現(xiàn)它們有一樣的屈服條件。代入Mises屈服條件塑性力學二單元問題①兩種屈服條件的物理解釋。③兩種屈服條件分別在平面，主應(yīng)力空間和對應(yīng)于的平面應(yīng)力狀態(tài)的圖形（畫出）。②兩種屈服條件的函數(shù)表示形式（寫出具體的表達式）塑性力學二單元六、屈服條件的實驗驗證試驗二、薄圓管受拉力T和扭矩M的作用。試驗一、薄圓管受拉力T和內(nèi)壓p的作用。Tresca屈服條件與Mises屈服條件的適用范圍：塑性力學二單元六、屈服條件的實驗驗證試驗一、薄圓管受拉力T和內(nèi)壓p的作用。TTp設(shè)圓管的平均半徑為R，壁厚為h，h《R，在拉力T和內(nèi)壓p的作用下，圓管近似地處于均勻應(yīng)力狀態(tài)。在柱坐標中其應(yīng)力分量為塑性力學二單元由此求得Lode應(yīng)力參數(shù)為單向拉伸純剪切此時：如果則可取減去靜水應(yīng)力后：塑性力學二單元在的范圍內(nèi)改變拉力T和內(nèi)壓p的比值時，就可以得到范圍內(nèi)的任意應(yīng)力狀態(tài)。Lode（1925）拉伸~內(nèi)壓試驗：代入Mises屈服條件得到：塑性力學二單元為了使兩種屈服條件便了比較，可以將它們改寫成統(tǒng)一的形式。在主應(yīng)力大小次序已知時，屈雷斯加屈服條件可寫成：在單向拉伸時：塑性力學二單元

鐵-111.101.21Mises屈服條件對于Tresca屈服條件Tresca屈服條件

銅

鎳Lode用鐵、銅、鎳等金屬薄管做出的實驗結(jié)果，同Mises屈服條件曲線比較接近。可見，Mises屈服條件更適合于金屬材料。對于Mises屈服條件塑性力學二單元試驗二、薄圓管受拉力T和扭矩M的作用。TTMM相應(yīng)的主應(yīng)力塑性力學二單元因而Lode應(yīng)力參數(shù)是單向拉伸純剪切只要P≥0，改變T與M的比值，便可得到的任意應(yīng)力狀態(tài)。塑性力學二單元Taylor—Quinney(1931)試驗：對于Tresca屈服條件改寫成：對于Mises屈服條件改寫成：塑性力學二單元

軟鋼10Mises屈服條件Tresca屈服條件

銅

鋁0.20.40.60.20.40.60.8在圖上都是橢圓，但長短軸的比值不同。Taylor和Quinney用鋼、銅、鋁薄管進行了試驗，結(jié)果也同Mises屈服條件比較接近。塑性力學二單元Tresca屈服條件與Mises屈服條件的適用范圍：1、實驗表明，多數(shù)金屬材料的屈服性態(tài)接近Mises屈服條件。從物理意義上，這兩種屈服條件都表明，材料的屈服與剪應(yīng)力有密切關(guān)系；Tresca屈服條件表明材料的屈服與最大剪應(yīng)力有關(guān)，但它沒有考慮中間主應(yīng)力對材料屈服的影響，然而實驗表明這種影響確實是存在的。Mises屈服條件表明材料的屈服與均方根剪應(yīng)力有關(guān)，從而考慮到中間主應(yīng)力對材料屈服的影響。在這一點上，應(yīng)該說Mises屈服條件更為合理—些。塑性力學二單元2、在應(yīng)用上主應(yīng)力方向已知時用Tresca條件較方便。主應(yīng)力方向未知時用Mises條件較方便。而無論何種情形，二者的相對偏差不會超過15.5%。外接Tresca六邊形Mises圓純剪切內(nèi)接Tresca六邊形Mises圓單向拉伸塑性力學二單元Tresca屈服條件在偏量平面π上的軌跡是正六邊形，Mises屈服條件的軌跡是正六邊形的外接圓。在六個頂點處兩個軌跡重合，這意味著在廣義單向應(yīng)狀態(tài)情況下，兩種屈服條件是一致的。內(nèi)接Tresca六邊形Mises圓單向拉伸除六個頂點外，兩種屈服條件都不一致，外接圓在正六邊形之外，表明按Mises屈服條件，需要更大的應(yīng)力才能使材料屈服。由此可見，兩者差別最大的有六個點，這六個點對應(yīng)的是廣義純剪切應(yīng)力狀態(tài)。塑性力學二單元Tresca屈服條件可表示成主應(yīng)力的線性函數(shù)，在主應(yīng)力大小次序已經(jīng)確定的情況下使用是很方便的，因為它的數(shù)學表達式簡單。所以，究竟采用那一種屈服條件，要視具體情況而定。此外，按照Tresca屈服條件，要求材料的拉伸和剪切屈服極限之間存在關(guān)系σs=2τs；而按照Mises屈服條件要求材料的σs=τs。因此，由材料的τs和σs值；也可判斷采用哪—種屈服條件更為合適。在材料力學中，Tresca屈服條件和密席斯屈服條件作為強度理論使用時，分別稱為第三和第四強度理論。3、在實際問題中，并不限制使用何種屈服條件，二者都可用。塑性力學二單元問題①為什么實驗用薄壁結(jié)構(gòu)，能否改用厚壁。②兩種實驗結(jié)果結(jié)論。③判斷某物體材料適用Tresca屈服條件還是Mises屈服條件，最簡單的辦法是什么？塑性力學二單元例：一兩端封閉的薄壁圓筒，半徑為r，壁厚為t，受內(nèi)壓力p的作用，試求此圓筒內(nèi)壁開始屈服及整個壁厚進入屈服時的內(nèi)壓力p(設(shè)材料單向拉伸時的屈服應(yīng)力為σs)解：先求應(yīng)力分量，在筒壁選取一單元體，采用圓柱坐標，單元體上的應(yīng)力分量如圖所示。根據(jù)平衡條件可求得應(yīng)力分量為：塑性力學二單元沿壁厚為線性分布，內(nèi)表面，在外表面圓筒的內(nèi)表面首先產(chǎn)生屈服，然后向外層擴展，當外表面產(chǎn)生屈服時，整個圓筒就開始塑性變形。1）在外表面由Mises屈服準則：可求得：由Tresca屈服準則：可求得：塑性力學二單元2）在內(nèi)表面由Mises屈服準則：可求得：由Tresca屈服準則：可求得：塑性力學二單元2.一薄壁圓管，平均半徑R=50mm，，壁厚t=3mm，σs=390MPa,承受拉力F和扭矩T的作用，在加載過程中保持σ/τ=1，試求此圓管開始屈服時的F和T的值。（按兩種屈服準則分別計算）1.設(shè)某點的應(yīng)力張量為，該物體的材料在單向拉伸時的屈服點為，試用Mises和Tresca準則來判斷改點是處于彈性狀態(tài)，還是處于塑性狀態(tài)。塑性力學二單元七、加載條件1、等向強化（各向同性強化）模型2、隨動強化模型3、組合強化模型塑性力學二單元七、加載條件理想塑性材料:（初始）屈服曲面是固定不變的，是材料未經(jīng)受任何塑性變形時的彈性響應(yīng)的界限。應(yīng)力狀態(tài)不能落在屈服曲面之外。理想塑性材料由于屈服極限不能再增加，因而屈服面也不能繼續(xù)擴展。塑性力學二單元強化材料：對于強化材料，由于應(yīng)力達到屈服極限后仍能繼續(xù)增長，因此屈服面仍能繼續(xù)變化，其屈服面稱為后繼屈服曲面，或加載曲面。塑性力學二單元以參數(shù)來刻劃材料的塑性加載歷史，則后繼屈服條件可表示為：后繼屈服條件與材料塑性變形的歷史有關(guān)。實際材料的加載曲面的演化規(guī)律非常復(fù)雜，在應(yīng)用中使用簡化模型。1、等向強化（各向同性強化）模型認為后繼屈服曲面（加載曲面）就是屈服曲面在應(yīng)力空間的相似擴大。等向強化模型的表達式可寫成：塑性力學二單元其中f

是初始屈服函數(shù)，是的單調(diào)遞增函數(shù)。在加載過程中

逐漸加大。從幾何上看，后繼屈服曲面（加載面）與初始屈服曲面形狀相似，中心位置也不變。后繼屈服曲面對加載歷史的依賴性只表現(xiàn)在：后繼屈服曲面僅由加載路徑中所曾達到的最大應(yīng)力點所決定。如右圖所示Mises初始屈服面及其后繼屈服面。屈服面加載面A加載面B123塑性力學二單元2、隨動強化模型等向強化模型未考慮包氏效應(yīng)，在分析應(yīng)力作反復(fù)變化的問題時，往往誤差較大。隨動強化模型認為：后繼屈服曲面就是初始屈服曲面隨著塑性變形的過程而在應(yīng)力空間作剛性移動，而其大小和形狀都沒有改變。初始屈服面隨動強化隨動強化模型的表達式可寫成：塑性力學二單元3、組合強化模型將等向強化模型同隨動強化模型結(jié)合起來，就構(gòu)成更一般的組合強化模型。組合強化模型的表達式可寫成：具體到π平面上考察Mises屈服圓，那么在加載過程中后繼屈服曲線始終是一個圓，但其半徑和圓心位置都不斷發(fā)生變化。組合強化初始屈服面隨動強化塑性力學二單元等向強化組合強化初始屈服面隨動強化塑性力學二單元問題①何為加載條件？什么叫后繼屈服面？②兩種模型在Mises屈服條件下對應(yīng)于π平面上的圖形表示。塑性力學二單元八、塑性本構(gòu)關(guān)系1、廣義Hooke定律、彈性應(yīng)變能2、Drucker公設(shè)3、加載、卸載準則4、理想塑性材料的增量本構(gòu)關(guān)系5、簡單加載時的全量理論塑性力學二單元八、塑性本構(gòu)關(guān)系1、廣義Hooke定律、彈性應(yīng)變能①直角坐標系下表示：其中張量寫法：其中為平均正應(yīng)力。塑性力學二單元將三個正應(yīng)變相加，得：記：平均正應(yīng)變體積彈性模量則平均正應(yīng)力與平均正應(yīng)變的關(guān)系：②可用應(yīng)力偏量表示應(yīng)變偏量塑性力學二單元③由等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的關(guān)系：或可得：④當應(yīng)力從加載面（后繼屈服面）卸載時：應(yīng)力和應(yīng)變的全量不滿足廣義Hooke定律，但它們的增量仍滿足廣義Hooke定律。塑性力學二單元Mises屈服條件的物理解釋中將彈性應(yīng)變能分解為體積應(yīng)變能和形狀改變比能。這里，由彈性本構(gòu)關(guān)系將三者表示為：⑤彈性應(yīng)變能塑性力學二單元2、Drucker公設(shè)兩類力學量外變量：能直接從外部可以觀測得到的量。如總應(yīng)變，應(yīng)力等。內(nèi)變量：不能直接從外部觀測的量。如塑性應(yīng)變，塑性功。內(nèi)變量只能根據(jù)一定的假設(shè)計算出來。關(guān)于塑性應(yīng)變和塑性功的假設(shè)：①材料的塑性行為與時間，溫度無關(guān)。②應(yīng)變可分解為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變。③材料的彈性變形規(guī)律不因塑性變形而改變。塑性力學二單元根據(jù)以上假設(shè)，內(nèi)變量可以由外變量表示出來。對于各向同性材料：將總功分解為彈性功和塑性功。這樣，內(nèi)變量也可以由外變量表示出來。塑性力學二單元對于各向同性材料：Drucker公設(shè)對于處于在某一狀態(tài)下的材料質(zhì)點（或試件），借助一個外部作用，在其原有的應(yīng)力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加應(yīng)力，在這附加應(yīng)力的施加和卸除的循環(huán)內(nèi)，外部作用所做的功是非負的。塑性力學二單元應(yīng)力循環(huán)1(4）23單元體在應(yīng)力狀態(tài)下處于平衡。在單元體上施加一附加力，使應(yīng)力達到，剛好在加載面上，即開始發(fā)生塑性變形。繼續(xù)加載至，在這期間，將產(chǎn)生塑性應(yīng)變。最后，將應(yīng)力又卸回到。完成應(yīng)力循環(huán)。1234加載面塑性力學二單元在應(yīng)力循環(huán)中，應(yīng)力在彈性應(yīng)變上的功為0，即1234以表示應(yīng)力循環(huán)過程中任一時刻的瞬時應(yīng)力狀態(tài)。按Drucker公設(shè)，附加應(yīng)力在應(yīng)力循環(huán)中所作的功非負。塑性力學二單元在整個應(yīng)力循環(huán)中，只在應(yīng)力從到的過程中產(chǎn)生塑性應(yīng)變。1234當為小量時，上述積分變?yōu)椋杭磮D所示的陰影部分面積。塑性力學二單元兩個重要的不等式：①當處于加載面的內(nèi)部，即，由于是高階小量，則②當正處于加載面上，即，則由此可對屈服面形狀與塑性應(yīng)變增量的特性導出兩個重要的結(jié)論。①屈服曲面的外凸性。②塑性應(yīng)變增量向量與加載面的外法線方向一致~正交性法則。塑性力學二單元可見，應(yīng)力增量向量與塑性應(yīng)變增量向量之間的夾角必須小于90°。①屈服曲面的外凸性。oA0AoA0A

用矢量表示，用矢量表示,

用矢量表示，用矢量表示。加載面加載面表示為屈服曲面必須是凸的。塑性力學二單元

可表示為：即應(yīng)力增量向量與塑性應(yīng)變增量向量之間的夾角必須大于90°。如果與n不重合，則總可以找到A0，使式不成立。②塑性應(yīng)變增量向量與加載面的外法線方向一致—正交性法則。A0Ann—加載面在A點的法向矢量。加載面因此，必須與加載面的外法線n重合。塑性力學二單元3、加載、卸載準則Drucker穩(wěn)定性條件：由于與外法線n同向，上式改寫成：只有當應(yīng)力增量指向加載面外部時，材料才能產(chǎn)生塑性變形。判斷能否產(chǎn)生新的塑性變形，需判斷：加卸載準則卸載：材料產(chǎn)生從塑性狀態(tài)回到彈性狀態(tài)的應(yīng)力改變。①是否在上。②是否指向的外部。加載：材料產(chǎn)生新的塑性變形的應(yīng)力改變。塑性力學二單元用表示屈服面，則可以把加卸載準則用數(shù)學形式表示如下：(1)理想材料的加載、卸載準則理想材料的加載面與初始屈服面是一樣的。塑性力學二單元n加載卸載由于屈服面不能擴大，所以當應(yīng)力點達到屈服面上，應(yīng)力增量不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切線。加載卸載在應(yīng)力空間中，上述加載準則可用矢量乘積表示為對于Tresca屈服面：加載卸載nlnm加載加載卸載應(yīng)力點塑性力學二單元加載卸載在應(yīng)力空間中，上述加載準則可用矢量乘積表示為總之只要應(yīng)力增量保持在屈服面上就稱為加載;返到屈服面以內(nèi)時就稱為卸載。塑性力學二單元n加載曲面(2)強化材料的加載、卸載準則強化材料的加載面在應(yīng)力空間不斷擴張或移動。這里，中性變載相當于應(yīng)力點沿加載面切向變化，應(yīng)力維持在塑性狀態(tài)但加載面并不擴張的情況。加載卸載中性變載塑性力學二單元上述加載準則的數(shù)學表達式為n加載曲面塑性力學二單元4、理想塑性材料的增量本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系即材料超過彈性范圍之后的本構(gòu)關(guān)系。此時，應(yīng)力與應(yīng)變之間不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，只能建立應(yīng)力增量與應(yīng)變增量之間的關(guān)系。這種用增量形式表示的塑性本構(gòu)關(guān)系，稱為增量理論或流動理論。進入塑性階段后，應(yīng)變增量可以分解為彈性部分和塑性部分。塑性力學二單元由Hooke定律由Drucker公設(shè)流動法則增量形式的塑性本構(gòu)關(guān)系：塑性力學二單元②當加載面和塑性應(yīng)變增量不正交，此時上式稱為與加載條件非關(guān)連的流動法則。主要用于巖土材料。①服從Drucker公設(shè)的材料，塑性勢函數(shù)g就是加載函數(shù)φ，即，此時上式稱為與加載條件相關(guān)連的流動法則。由于加載面和塑性應(yīng)變增量正交，也稱為正交流動法則。塑性位勢理論將塑性應(yīng)變增量表示為塑性位勢函數(shù)對應(yīng)力取微商。兩種情況：其中是塑性位勢函數(shù)。塑性力學二單元（1）理想塑性材料與Mises屈服條件相關(guān)連的流動法則對于理想塑性材料，屈服函數(shù)f就是加載函數(shù)φ。流動法則寫成：Mises屈服條件：有故理想塑性材料與Mises條件相關(guān)連的流動法則為：塑性力學二單元①理想彈塑性材料——Prandtl-Reuss關(guān)系按照廣義Hooke定律求得彈性應(yīng)變增量，再與所得的塑性應(yīng)變增量疊加，就得到理想彈塑性材料的增量本構(gòu)關(guān)系對理想塑性材料，比例系數(shù)要聯(lián)系屈服條件來確定。塑性力學二單元但反過來，如果給定的是則定不出，也就求不出?？梢?，給定應(yīng)力和應(yīng)變增量時從Prandtl-Reuss關(guān)系可以求出及應(yīng)力增量Mises屈服條件此時給定應(yīng)力求不出應(yīng)變增量，這正反映出理想塑性材料的特點。由