力矩與平面力偶系

關(guān)于力矩與平面力偶系第1頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三本章研究力矩和力偶的概念、力偶的性質(zhì)、平面力偶系的合成與平衡。本章與第二章的理論是研究平面一般力系的基礎(chǔ)。第2頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三§3-1力矩的概念和計(jì)算一般情況下，力對(duì)物體作用時(shí)可以產(chǎn)生移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種外效應(yīng)。力的移動(dòng)效應(yīng)取決于力的大小和方向。為了度量力的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，需要引入力矩的概念。第3頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三一.力對(duì)點(diǎn)之矩用扳手?jǐn)Q一螺母，扳手連同螺母繞一定點(diǎn)Ｏ轉(zhuǎn)動(dòng)。由經(jīng)驗(yàn)可知，力越大，螺母擰得越緊；力的作用線離螺母中心愈遠(yuǎn)，擰緊螺母愈省力。OFd第4頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三經(jīng)驗(yàn)表明：力Ｆ使物體繞定點(diǎn)Ｏ的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，不僅與力的大小有關(guān)，而且與Ｏ點(diǎn)到力的作用線的垂直距離d有關(guān)。用乘積Ｆd來度量力的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。將力的這種轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)稱為作用于物體上的力F對(duì)空間任意一點(diǎn)O的矩。簡稱力矩，用符號(hào)Ｍo(F)表示。即：Ｍo(F)=±Ｆd第5頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三Ｏ點(diǎn)稱為力矩中心，簡稱矩心；Ｏ點(diǎn)到力Ｆ作用線的垂直距離h稱為力臂。力矩的正負(fù)號(hào)用于區(qū)別力Ｆ使物體繞Ｏ點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的兩種轉(zhuǎn)向。規(guī)定:力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正,反之為負(fù)。力對(duì)點(diǎn)之矩只取決于力矩的大小和旋轉(zhuǎn)方向（力矩的正負(fù)），是一個(gè)代數(shù)量。力矩的單位：N·m（牛頓·米) 或 kN·m（千牛頓·米)力矩的三要素是：大小、方向和矩心。第6頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三對(duì)三角形△OAB，F(xiàn)的大小為底邊長，d為高，即三角形的面積為：

S△OAB=Fd/2 Ｍo=Fd=2S△OAB

即力對(duì)Ｏ點(diǎn)的矩的大小等于△OAB面積的２倍。

ＯＦＡＢd第7頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三力對(duì)任一已知點(diǎn)的矩，不會(huì)因該力沿作用線移動(dòng)而改變。力的作用線如通過矩心，則力矩為零；反之，如一個(gè)大小不為零的力對(duì)一點(diǎn)之矩為零，則此力的作用線必通過該點(diǎn)?；コ善胶獾亩?duì)同一點(diǎn)的力矩之和為零

雖然力矩概念由力對(duì)物體上固定點(diǎn)的作用引出。實(shí)際上，作用于物體上的力可以對(duì)任意點(diǎn)取矩，即矩心可是空間中的任意點(diǎn)。第8頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三二．力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩用來度量力對(duì)所作用的剛體繞某一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)。該固定軸稱為矩軸，通常標(biāo)識(shí)為Z軸。第9頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三第10頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三三．合力矩定理Mo(F)=Fd=Frsin(a-q)=Fr(sinacosq–sinqcosa)Fx=Fcosa,Fy=Fsina;x=rcosq,y=rsinq。即：Mo(F)=xFy-yFxＯＡＦＦyＦxqadxyxyr第11頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三Mo(F1)=xF1y-yF1xMo(F2)=xF1y-yF1xMo(F3)=xF1y-yF1x∑Mo(Fi)=x∑Fy-y∑FxF1,F2,F3的合力為FＲ。FＲ在x,y軸方向的分力為FＲx,

FＲyMo(FＲ)=xFＲy-yFＲx由于：FＲx＝∑Fx

FＲy＝∑FyＯＡＦ2Ｆ3qdxyxyＦ1ＦRMo(FＲ)=xFＲy-yFＲx=x∑Fy-y∑Fx=∑Mo(Fi)第12頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三Mo(FＲ)=∑Mo(Fi)即平面匯交力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和——平面匯交力系的合力矩定理。第13頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

第14頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三一.力偶與力偶矩1．力偶

實(shí)踐中,常見到兩個(gè)大小相等,方向相反的平行力作用于物體的情形。 這樣的兩個(gè)力不滿足二力平衡條件。 將這種大小相等、方向相反、作用線平行的兩個(gè)力叫做力偶。

記作：（F，F(xiàn)‘）

第15頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三力偶中兩力作用線之間的垂直距離d叫力偶臂。力偶所在平面叫力偶作用面。第16頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三２．力偶的性質(zhì)⑴力偶在任何坐標(biāo)軸上的投影等于零。⑵力偶不能合成一個(gè)力，即力偶沒有合力，它不能與一個(gè)力等效，因而也不能被一個(gè)力平衡。⑶力偶對(duì)物體不產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)，只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，即它可以改變而且只能改變物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。Ｏxy第17頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三２．力偶矩力偶對(duì)物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)怎樣度量？力對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)用力矩來度量，因此力偶對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)可用力偶中的兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和來度量。第18頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三設(shè)物體上作用有一力偶臂為d的力偶（Ｆ，Ｆ‘）該力偶對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)Ｏ之矩為：ＯxdFF’Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd力偶對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩之大小恒等于力偶中一力的大小和力偶臂的乘積，而與矩心的位置無關(guān)。力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可用力與力偶臂的乘積Fd及轉(zhuǎn)向來度量，該物理量稱為力偶矩。第19頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三力偶矩用符號(hào)M（F，F(xiàn)’）或M表示；即

M（F，F(xiàn)’）=±Fd規(guī)定：逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩取正號(hào)； 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩取負(fù)號(hào)。

力偶矩單位與力矩單位相同。力偶三要素：力偶矩的大?。涣ε嫉霓D(zhuǎn)向和力偶的作用面。第20頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三二.同一平面內(nèi)力偶的等效定理作用在剛體上同一平面的兩個(gè)力偶相互等效的條件是兩力偶的力偶矩的代數(shù)值相等。稱為同一平面內(nèi)力偶的等效定理。第21頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三FF‘F1ABF1‘FRFR‘FR1FR1‘第22頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三推論1.力偶可在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)而不改變它對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。推論2.在保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以任意改變力偶中力和力偶臂的大小,這不會(huì)改變力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。等效力偶 注:以上兩個(gè)推論只對(duì)剛體適用！第23頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三§3-3平面力偶系的合成與平衡作用在物體上同一平面內(nèi)的若干力偶，總稱為平面力偶系。第24頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三一.平面力偶系的合成設(shè)同一平面內(nèi)作用有兩個(gè)力偶（Ｆ１，Ｆ１’）和（Ｆ２，Ｆ２’）。力偶臂為d1,d2力偶矩為：Ｍ１＝＋Ｆ１d1Ｍ2＝-Ｆ2d2取力偶(F11,F11’)和(F22,F22’)且:＋Ｆ１1d＝Ｍ１

-Ｆ22d＝Ｍ2ＦR＝F11-F22ＦR’＝F11’-F22’ＭR=ＦRd=(F11-F22)d

=Ｆ１1d-Ｆ22d=Ｍ１-Ｍ2d1d2F1’F1F2F2’F11F11’F22F22’dFRFR’d第25頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三ＭR為合力ＦＲ，ＦＲ’組成的力偶（ＦＲ，ＦＲ’）(稱為合力偶)的力偶矩，稱為合力偶矩；也是原來兩個(gè)力偶的力偶矩的和。 ＭR=

Ｍ１-Ｍ2同理，當(dāng)平面力偶系由n個(gè)力偶組成時(shí)，其力偶矩分別為M１,M２,

….Mn它們可合成為一個(gè)合力偶，其合力偶矩為： ＭR=

Ｍ１＋Ｍ2＋．．．＋Ｍn=∑

Ｍi即平面力偶系合成的結(jié)果是一個(gè)力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代數(shù)和。第26頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三二.平面力偶系的平衡條件平面力偶系平衡，表明力偶系對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)為零。因?yàn)槠矫媪ε枷岛铣傻慕Y(jié)果既然是一個(gè)合力偶，所以，要使力偶系平衡，合力偶矩必須為零；當(dāng)合力偶矩為零，則表示力偶系中個(gè)力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)相互抵消，物體處于平衡。 因此平面力偶系平衡的必要且充分條件為力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零，即：∑

Ｍi=０第27頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三思考題：３－１：約束力ＦＡ，ＦＢ的大小與力偶矩Ｍe作用的位置無關(guān)．思考題：３－２：合力為零，但合力偶矩不為零，物體有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，物體不平衡。思考題：３－３：兩個(gè)力偶的力偶矩大小相同，力偶的轉(zhuǎn)向相同，但作用面不同，固此兩個(gè)力偶不等效。（力偶三要素：力偶矩的大?。涣ε嫉霓D(zhuǎn)向和力偶的作用面。）因此兩個(gè)力偶等效，必須是該兩個(gè)力偶的力偶矩大小相同，轉(zhuǎn)向相同，作用面相同。（對(duì)剛體，可作用面平行。） 第28頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三例題：1.習(xí)題3-2abaF第29頁，講稿共31頁