. 力矩 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

§6.1力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程一.力矩力改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)

剛體獲得角加速度定義：zOPh

力F

的大小與

O

點(diǎn)到F

的作用線間垂直距離h的乘積矢量式力矩是矢量

——反映力的大小、方向和作用點(diǎn)在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩矢量只有兩個(gè)指向????質(zhì)點(diǎn)獲得加速度改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？(1)力對(duì)定軸的力矩力對(duì)軸的力矩為A討論(2)力對(duì)點(diǎn)的力矩—更為一般的物體轉(zhuǎn)動(dòng)O.A(1)力對(duì)任意點(diǎn)的力矩，在通過(guò)該點(diǎn)的任一軸上的投影，等于該力對(duì)該軸的力矩。說(shuō)明(2)力矩隨參考點(diǎn)而變例已知棒長(zhǎng)L,質(zhì)量m，在摩擦系數(shù)為

的桌面轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖)解根據(jù)力矩xLOmxdxTT'TT'例如TT'在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算?求摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律作用在剛體上所有的外力對(duì)定軸z軸的力矩的代數(shù)和剛體對(duì)z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度(1)M

正比于

，力矩越大，剛體的

越大(2)力矩相同，若轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，產(chǎn)生的角加速度不同二.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律實(shí)驗(yàn)證明當(dāng)M

為零時(shí)，當(dāng)存在M時(shí)，(3)與牛頓定律比較：說(shuō)明則剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)

與M

成正比,而與J

成反比根據(jù)牛頓第二定律，第i個(gè)質(zhì)元圓周軌跡切線投影同乘以ri對(duì)所有質(zhì)元求和mihri-fifi剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律討論(2)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(1)與牛頓定律比較轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J外力矩

M內(nèi)力矩為0外力內(nèi)力ai=ri三.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義式質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布dmmz(2)當(dāng)剛體質(zhì)量一定，J

與質(zhì)量分布有關(guān)例圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dmOmR轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素(1)J

與剛體的總質(zhì)量有關(guān)例兩根等長(zhǎng)、質(zhì)量均勻分布的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量LzOxdmM?x質(zhì)量分布的均勻性對(duì)圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有影響嗎?問(wèn)題OLxdmMzLOxdmM結(jié)論：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置均有關(guān)z(3)J

與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)例質(zhì)量均勻分布的圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ROmrdr平行軸定理dCmz例均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mL:剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:剛體繞通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:兩軸間垂直距離L/2薄板塌垂直側(cè)軸定同理zxy例求對(duì)淚薄圓超盤的涉一條間直徑浮的轉(zhuǎn)譽(yù)動(dòng)慣裁量已知垂直塵軸定腥理

yx

z

圓盤

R

C

m3rmmrO解C求對(duì)忽過(guò)圓別環(huán)中孟心且否垂直杯于圓環(huán)平禾面的旋轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)蟻動(dòng)慣臨量例求空散心圓砍柱繞第中心豈軸的吩轉(zhuǎn)動(dòng)派慣量例解為兩白個(gè)實(shí)糖心圓充柱繞鎖中心廈軸的器轉(zhuǎn)動(dòng)要慣量守的差信值圓盤掘繞中用心軸厭旋轉(zhuǎn)怖的轉(zhuǎn)核動(dòng)慣黃量為實(shí)心洲圓柱配繞中敞心軸振的轉(zhuǎn)憤動(dòng)慣堅(jiān)量為空心辨圓柱嶺繞中腔心軸保的轉(zhuǎn)釣動(dòng)慣豬量為zR1R2lm求均遠(yuǎn)勻的得薄球習(xí)殼繞夸直徑姿的轉(zhuǎn)們動(dòng)慣坦量例解R切為或許多去垂直巾于軸掀的圓環(huán)zmr從半宵徑為R的均獸質(zhì)圓專盤上際挖掉瘋一塊災(zāi)半徑組為r的小希圓盤呈，該系統(tǒng)的姐質(zhì)量債為m,兩圓內(nèi)盤中首心O和O′相距霜為d，且(d+r)<RdOO′Rr挖掉側(cè)小圓說(shuō)盤后氧，該捆系統(tǒng)租對(duì)垂夜直于床盤面,且過(guò)考中心棒軸的轉(zhuǎn)動(dòng)蠻慣量例解求使用蕩補(bǔ)償懂法則填府滿后繡的總汁質(zhì)量折為m+m/設(shè)小痕圓盤銀的質(zhì)昆量為m/m求均辜勻立吩方體(邊長(zhǎng)l、質(zhì)量m)繞通饅過(guò)面堤心的水中心濃軸的昏轉(zhuǎn)動(dòng)乏慣量例解設(shè)k是一恥個(gè)無(wú)瓣量綱穿的量Cz立方敲體繞議棱邊z的轉(zhuǎn)王動(dòng)慣腰量為分成杏八個(gè)姻相同佩的小槍立方徑體他們縫繞各陸自棱疲邊的充轉(zhuǎn)動(dòng)洞慣量研為····八個(gè)雖相同理的小菜立方覽體繞靠棱邊冰的轉(zhuǎn)嬸動(dòng)慣姐量=JC即(1悼)飛輪創(chuàng)的角錢加速烈度(2忙)如以王重量P=9兔8N的物震體掛檢在繩端，遵試計(jì)頓算飛索輪的獻(xiàn)角加僻速度解(1育)(2晴)五.轉(zhuǎn)動(dòng)笛定律猶的應(yīng)砌用舉核例例求一輕掠繩繞瞎在半轟徑r=2惱0c摩m的飛手輪邊挪緣，高在繩斥端施港以F=9搜8N的拉它力，龍飛輪繭的轉(zhuǎn)叫動(dòng)慣揚(yáng)量J=0異.5叫kg惰·m2，飛乎輪與上轉(zhuǎn)軸菊間的譜摩擦賠不計(jì)潑，一個(gè)撞作定寇軸轉(zhuǎn)卵動(dòng)的急輪子遙，對(duì)驕軸的殲轉(zhuǎn)動(dòng)歐慣量憐為J=2.泄0k啊g．m2，正以?shī)Z角速滴度ω0勻速劃轉(zhuǎn)動(dòng)蘿?，F(xiàn)光對(duì)輪瓦子加陵一恒葬定的勸力矩M=委-7形.0灶N·m，經(jīng)過(guò)釀時(shí)間t=奪8.蘿0s時(shí)輪冷子的紅角速戲度為-ω0求解例ω0R=0絹.2困m,m=1橡kg背,h=1殃.5距m,v0=0。繩輪聽(tīng)無(wú)相詳對(duì)滑筒動(dòng)，條輕繩拖不可筑伸長(zhǎng)稈，下籮落時(shí)摩間t=3頌sJ0求解例定軸ORthmv0=0mgaNTGT由轉(zhuǎn)灶動(dòng)定蜻律得由牛短頓定紐奉律得運(yùn)動(dòng)律學(xué)方憂程一不侵變的樓力矩M作用筍在絞枕車的傾鼓輪預(yù)上使認(rèn)輪順鹿時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)動(dòng)重，如扯圖所示餓。Mrm1m2αμ繩子腎的質(zhì)雜量忽剖略不久計(jì)，鼓輪凍可看振作均師質(zhì)圓輝柱。開(kāi)始跪時(shí)此孫系統(tǒng)伴靜止隙，鼓輪婦轉(zhuǎn)過(guò)丹角j時(shí)，慎繩中發(fā)的張北力及陵鼓輪門的角秒速度求解例MTTfm1gm2g對(duì)鼓婚輪使用道轉(zhuǎn)動(dòng)恒定律對(duì)物她體使用濤牛頓秋定律NN一根未長(zhǎng)為l，質(zhì)鉛量為m的均皺勻細(xì)伴直棒膛，可急繞軸O在豎濤直平面內(nèi)嗎轉(zhuǎn)動(dòng)交，初在始時(shí)輛它在爭(zhēng)水平干位置求它由螺此下直擺角時(shí)丘的OlmCx解取一廉質(zhì)元dm由轉(zhuǎn)北動(dòng)定濟(jì)律例x圓盤奸以0在桌訪面上返轉(zhuǎn)動(dòng),受摩渠擦力爽而靜友止解例求到圓裂盤靜繼止所瓦需時(shí)間取一淡質(zhì)元由轉(zhuǎn)望動(dòng)定孝律摩擦欣力矩R例一個(gè)揀剛體破系統(tǒng)漆，如某圖所展示，已知哥，轉(zhuǎn)熱動(dòng)慣