幾類不同增長的函數(shù)模型

3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型

通過一些實例,來感受一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的廣泛應用;結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義，理解它們的增長差異性．學習目標復習引入,創(chuàng)設情景在我們的生活中,有沒有用到函數(shù)的例子?有.如:細胞分裂,汽車行駛的路程與時間的關系,……生活中,數(shù)學無處不在,用好數(shù)學,將會給我們帶來很大的方便。今天我們就來看一個利用數(shù)學為我們服務的例子。互動交流,探求新知例1、假設你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：回報的累積值方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多 回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前 一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案呢？1.考慮回報量,除了要考慮每天的回報量之外,還得考慮什么?想一想：方案一：每天回報40元；想一想：2.本題中涉及哪些數(shù)量關系?如何利用函數(shù)描述這些數(shù)量關系?設第x天所得回報是y元,則方案一可用函數(shù)y=40(x∈N*)進行描述;方案二可以用函數(shù)y=10x(x∈N*)進行描述;方案三可以用函數(shù)進行描述。3.怎樣去研究這三個函數(shù),才能找到最佳的方案呢?要對三個方案作出選擇,就要對它們的增長情況進行分析,用計算器計算出三種方案所得回報的增長情況,列表如下：x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.4…………3040300214748364.8000000000…01010101010101010…100.40.81.63.26.412.825.651.2…107374182.4根據(jù)所列的表格中提供的數(shù)據(jù),你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認識?方案一每天的回報不變;方案二、三每天的回報都在增加,且方案三隨x的增加每天的回報越來越大,比方案二要大得多。作出三個方案的圖象看看?圖112-1根據(jù)以上分析,你認為該作出何種選擇?從問題1可知,考慮回報量,除了要考慮每天的回報量之外,還得考慮回報的累積值.你能把前11天回報的累積值算出來嗎?累計回報表天數(shù)方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8結論:

投資8天以下（不含8天）,應選擇第一種投資方案；投資8~10天，應選擇第二種投資方案；投資11天（含11天）以上，應選擇第三種投資方案。解決實際問題的一般步驟是什么?例題的啟示解決實際問題的步驟：實際問題讀懂問題抽象概括數(shù)學問題演算推理數(shù)學問題的解還原說明實際問題的解例2、某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求呢？本題中涉及了哪幾類函數(shù)模型?實質是什么?本例涉及了一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型,實質是比較三個函數(shù)的增長情況。怎樣才能判斷所給的獎勵模型是否符合公司的要求呢?要對每一個獎勵模型的獎金總額是否超出5萬元,以及獎勵比例是否超過25%進行分析,才能做出正確選擇。解:借助計算機作出三個函數(shù)的圖象如下:對于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,當x∈(20,1000)時,y>5,因此該模型不符合要求。對于模型,由函數(shù)圖象,并利用計算器,可知在區(qū)間(805,806)內有一個點滿足,由于它在[10,1000]上遞增,因此當時,y>5,因此該模型也不符合要求。對于模型,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,而且當x=1000時,,所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求。再計算按模型獎勵時,獎金是否不超過利潤的25%,即當x∈[10,1000]時,是否有

成立。

令,x∈[10,1000],利用計算機作出函數(shù)f(x)的圖象由圖可知它是減函數(shù),因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0即所以,當x∈[10,1000]時,說明按模型3獎勵,獎金不超過利潤的25%。綜上所述,模型確實符合公司的要求。探究：特殊冪、指、對函數(shù)模型的差異

對于函數(shù)模型：y=2x,y=x2,y=log2x其中x>0.思考1:觀察三個函數(shù)的自變量與函數(shù)值對應表,

這三個函數(shù)增長的快慢情況如何？

…1.7661.5851.3791.1380.8480.4850-0.737-2.322y=log2x…11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x2…10.55686.0634.5953.4822.63921.5161.149y=2x…3.43.02.62.21.81.410.60.2xx012345678y=2x1248163264128256y=x201491625364964思考2:對于函數(shù)模型y=2x和y=x2，觀察下列自變量與函數(shù)值對應表：

當x>0時，你估計函數(shù)y=2x和y=x2的圖象共有幾個交點？

思考3:在同一坐標系中這三個函數(shù)圖象的相對位置關系如何？請畫出其大致圖象.xyo1124y=2xy=x2y=log2xy=log2x思考4:根據(jù)圖象，不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的x的取值范圍分別如何？思考5:上述不等式表明，這三個函數(shù)模型增長的快慢情況如何？xyo1124y=2xy=x2y=log2x探究：你能否仿照前面例題使用的方法,探索研究冪函數(shù).指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上的增長差異?結論一般地,對于指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)通過探索可以發(fā)現(xiàn),在區(qū)間(0,+∞)上,無論n比a大多少,盡管在x的一定變化范圍內,會小于,但由于的增長快于的增長,因此,總存在一個,當時,就會有同樣地,對于對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)

,在區(qū)間(0,+∞)上,隨著x的增大,

增長得越來越慢,圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣,盡管在x的一定變化范圍內,可能會大于,但由于的增長慢于的增長,因此,總存在一個,當時,就會有綜上所述在區(qū)間(0,+∞)上,盡管,和都是增函數(shù),但它們的增長速度不同,而且不在同一個"檔次"上,隨著x的增大,的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于的