高二理科數(shù)學(xué)秋季講義第9講雙曲線與拋物線的基本量問題典型考法

第9講雙曲線、拋物線基本

-------量問題的典型考法

9.1雙曲線

考點1:雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

■等防暑假知識回顧

1.雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點片，鳥的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|月心|且不等于零)

的點的軌跡叫做雙曲線.

這兩個定點叫做雙曲線的焦點.兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

①W■一方■=，焦點坐標(biāo)為耳(一C，0)，E(c,0),c2=a2+b2；

2

p-=l(a>0,/?>0),焦點坐標(biāo)為耳(0,-c),.(0,c),c2=a2+b\

r22

3.雙曲線的幾何性質(zhì)（用標(biāo)準(zhǔn)方程三v-多=13>0">0）來研究）：

ab~

⑴范圍：x'a或xW-a；如圖.

⑵對稱性：以x軸、y軸為對稱軸，以坐標(biāo)原點為對稱中心，這個對稱中心又叫做雙曲線的中心.

⑶頂點：雙曲線與它的對稱軸的兩個交點叫做雙曲線的頂點.

⑷實軸與虛軸：兩個頂點間的線段叫做雙曲線的實軸.如圖中，％，4為頂點，線段為雙曲

線的實軸.在y軸上作點線（0,-6）,B式0,b）,線段8也叫做雙曲線的虛軸.

⑸漸近線：直線y=±紇；

a

⑹離心率：e=￡叫做雙曲線的離心率，e>\.雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊.

4.等軸雙曲線與共軌雙曲線：

⑴等軸雙曲線：實軸長、虛軸長相等的雙曲線.

焦點在X軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為Y—卜2=/（〃*0）；

焦點在y軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為了2-苫2=42（4X0）.

漸近線方程為y=±x,離心率e=&.

⑵共鈍雙曲線：

以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共輒雙曲線，共枕是相互的.

222）

互為共朝雙曲線二-4=1和4-==1（。>0,10）有相同的漸近線，他們的四個焦點共圓,

a~b~h~a~

且它們的離心率烏、e2滿足與+上=1.

練習(xí)]：⑴設(shè)P是雙曲線*-與曰上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x-2y=0,耳，鳥分別

是雙曲線的左、右焦點，若|尸月|=3,貝/「乙卜（）

A.1或5B.6C.7D.9

22

⑵（2012湖南理5）已知雙曲線C:±]=l的焦距為10,點P（2,1）在C的漸近線上，則

C的方程為（）

【解析】⑴C

雙曲線烏―段=1中，漸近線方程為3x—2y=0,.*.3=』，a=2.

a9a2

22

J雙曲線方程為E—E=l.

49

2

根據(jù)雙曲線定義，||Pf；\-\PF2\\=2a=4,\PFt|=3,/.\PF2\=1.

⑵A

?.?二-與=1的焦距為10,：.c^5=>]a2+b2①，又雙曲線漸近線方程為y=±2x,且

a"ba

P（2,1）在漸近線上，，a=l,即a=2A②，由①②解得a=2。，8=6.

經(jīng)典精講..

〈教師備案〉暑假時我們預(yù)習(xí)過雙曲線的方程的求法，這里借助例1進行總結(jié).

【例1】⑴*★與雙曲線看告=1有相同的漸近線且過點4（26,-3）的雙曲線方程是

22

⑵*★與雙曲線看-嘉=1有相同焦點，且經(jīng)過點（-5,2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是,

⑶*★與橢圓三+21=1有公共焦點，且經(jīng)過點（3&,2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是一

4936

⑴北一t=1

【解析】

94

利用有相同漸近線的雙曲線系去做.

2222

與雙曲線工—21=1有相同的漸近線的雙曲線方程為二一匯=4,

169169

僅何(-3)2

1

將點A（2g,-3）代入，得:X=-------------

1694

X2V214V2

.??所求雙曲線的方程為土—21=-上，即竺，一±=1.

169494

22

⑵設(shè)所求雙曲線方程為二-----J=1（-20<2<16）

16-/120+A

25

??,雙曲線過點（—5,2）,-----=1,解得4=—4或4=—29(舍去)

16—220+4

.??所求雙曲線方程為工-匕=1.

2016

22

⑶設(shè)所求雙曲線方程為一一+二一=1（36<2<49）

49-436-/1

:雙曲線過點（30,2）,.?.』—+'—=1,，/1=40或4=23（舍去）.

49-/136-A

22

J所求雙曲線方程為三—二=1.

94

22

【點評】幾種特殊情況的標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法：①與雙曲線=1（a>0,b>0）有相同漸近線的雙^

a~tr

曲線方程為「一馬=義（2*0）②漸近線為y=±'x的雙曲線方程為當(dāng)?—馬=4（2^0）

abtnmn

③與雙曲線餐—2=1（a>0,b>0）有共同焦點的雙曲線方程為二一

aba-2b2+A

22

(-b2<A<a2)④與橢圓二+1=1（6Z>Z?>0）有共同焦點的雙曲線方程為

ab

2

y

丸=1(Z?2<2<a2).

a2=1+b2_

雙曲線方程還有一個常見的設(shè)法，是已知雙曲線上兩個點，但沒有其它信息時，可以統(tǒng)一設(shè)

雙曲線的方程為zn/=1（祖〃<o）,如已知雙曲線上有兩點p（6,46），。（2夜，后），求

雙曲線方程.就可以不討論焦點位置，直接設(shè)為,n/+〃y2uigyjvo）,從而得到方程組

1

36〃?+48/2=1m=-

解得，,可以有效減少計算量.

+6/7=1n=—

6

提高班學(xué)案1

22

【拓1】⑴己知實數(shù)X,y滿足二-馬=13>0,b>0）,則下列不等式中恒成立的是（）

ab~

A.\y\<^xB.一芻MC.|y|」xD.y斗

aa

⑵（2010朝陽一模理6）已知點尸（3,-4）是雙曲線5-4=13>0,6>0）漸近線上的一點,

ab-

E,尸是左、右兩個焦點，若EP?FP=O,則雙曲線方程為（）

2222。)20

A.-X-^v=1B.三-工=1C.上上=1D.—--^-=1

3443916169

【解析】⑴D

因為工均可取負值,排除A;由（-*0）在雙曲線上排除C;而雙曲線的焦點在x軸上,

且漸近線為y=±^x知y<2|x|成立，故D正確，B錯誤.

⑵C

解法一：不妨設(shè)E（-c,O）,P（c,O）,

于是有EP.FP=（3+c,-4>（3-c,-4）=9-c?+16=0.

于是c?=25.排除A,B.

由D中雙曲線的漸近線方程為y=±』x,點P不在其上.排除D.

4

解法二：

如圖，???|。目=|。戶|,“.口=o,???|?！?|。同=|。石，

又：尸（3,-4）,.70P|=5,即c=5,后面同解法一.

尖子班學(xué)案1

22

［拓2］（2010浙江理8）設(shè)耳、￡分別為雙曲線二-1=1（心0,6>0）的左、右焦點，若在雙曲線

CTZr

右支上存在點P,滿足歸鳥|=|￡E|,且6到直線P耳的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲

線的漸近線方程為（）

A.3x±4y=0B.3x土5y=0C.4x±3>-=0D.5x±4y=0

［解析］C__________

據(jù)題意得|「用=2J（2C）2-（2a）2=4b,又點P在雙曲線的右支上，據(jù)雙曲線的定義可得

\PFl\-\PF2\=4b-2c=2a,整理得a+c=2Z?,又+從，故有/+/=（4,整理

h44

得3b=而，即2=上，故雙曲線的漸近線方程為y=±±x,即4x±3y=0.

a33

考點2：雙曲線的離心率求法

4

〈教師備案〉雙曲線的離心率決定雙曲線的開口的開闊程度，如果一個雙曲線方程是確定的，可以直接

求離心率，但大多數(shù)時候，雙曲線的方程都是不確定的，只能通過所給的幾何條件得到“

與C的比值關(guān)系，進行得到離心率滿足的方程，求得離心率.

經(jīng)典精講

【鋪墊】雙曲線虛軸的一個端點為〃，兩個焦點為廣、F2,g=120。，則雙曲線的離心率為（）

A.6B.亞C.逅D.近

233

【解析】B

V22

設(shè)雙曲線方程為二一v彳=1,ZXM4鳥為等腰三南形，/耳/工=120。，AZMF,F=30°,

ab2

?,_1.c2-a2._V6

??tan30=—=—,Rf1——=—,??------=—,??e=—.

c3c23c232

【例2】⑴內(nèi)如圖，已知ABCDEF為正六邊形，若以C,E為焦點的雙曲線恰好經(jīng)過A,B,D,E

四點，則該雙曲線的離心率為.

⑵鼻（2010遼寧理9）設(shè)雙曲線的一個焦點為尸，虛軸的一個端點為B,如果直線總與該

雙曲線的一條漸近線垂直，那么雙曲線的離心率為（）

22

⑶由（2012湖北14）如圖，雙曲線馬=1（“，6>0）的兩頂點為％,A,,虛軸兩端點為不

ab

B2,兩焦點為E，F(xiàn),.若以A4為直徑的圓內(nèi)切于菱形￡48與，切點分別為A,B,C,

D.則雙曲線的離心率e=.

【解析】⑴75+1

設(shè)正六邊形邊長為1,則以FC為X軸，中垂線為），軸建立直角坐標(biāo)系，則尸（-1,0）,

C(1,0),故c=l,因為|FC|=2,|BC|=1,所以忸日=石，即忸尸|_忸4=有_1=2”,

故所以e=￡=T—=-3—=6+1.

2aV3-1V3-1

2

⑵D

上2

設(shè)雙曲線方程為—=1(6?>0,Z?>0),貝”尸（C,0）,8(0,b),

直線在5:云+①一歷=0與漸近線y=垂直,

所以—4.2=—1,即Z;2=,得c?—a?=ac,

ca

即/一6—1=0,解得e=""或e=，——（舍去）.

22

/nx加+1

（3）e=---------;

2

由題意知：在RtA與O瑪中，OA±B2F2f

又用（c,0）,為（。，加，\OA\=\OA2\=a9

RtAOAE^RtAB.OF；,于是有匕"=上”,

周

|0\B2F2\

A224

即g=—7=匕，兩邊平方將82=d一a?代入整理得：a_3t/C*+C=0,

CJ/+c2

得1—3/+1=0,解得/=三@（e2>1,舍去一根），

2

,,V5+1

故e=----.

2

目標(biāo)班學(xué)案1

r2V24

【拓3】設(shè)雙曲線:■-斗=l（a>0,。>0）的右焦點為/，直線*■與兩條漸近線交于尸、。兩

a:b~c

點，如果△尸。尸是直角三角形，則雙曲線的離心率e=.

【解析】72

22.

設(shè)雙曲線3-馬=13>0,6>0）的右焦點為尸（c,0）,漸近線方程為y=±9x,

aba

又直線》=幺與兩條漸近線交于p、。兩點，p

?；△PQF是直角三角形，AFPFQ=0,即---c-巴，-=0,即

cC-

.?.雙曲線的離心率e=0.

考點3：雙曲線離心率的取值范圍問題

〈教師備案》有些問題是給定雙曲線一些限制，求離心率的范圍.有時需要用到雙曲線的一個性質(zhì)，若

22

雙曲線今―g=l的一個右（左）焦點為尸，P為雙曲線右（左）支上任一點，則|PF|的

最小值為c-a,當(dāng)P為右（左）頂點時取到.

證明很簡單，設(shè)尸（內(nèi),%）,F（c,0）,

則=（4—。2+呼=（%一、）2+/（去_]=-2cx?+c2-b2=,

從而|PF|=?卜0-合（其實這就是雙曲線焦半徑公式之一）

又因為天）》。，故當(dāng)天）=。時，有歸目而“=。一。.

有這個天然的限制，解決一些問題時需要注意:

例雙曲線亮*=1的左右焦點分別為片、F2,雙曲線上一點P滿足仍用=9,求|P周.

解：由雙曲線的定義可知歸名|=1或17,但前者必須舍去.

下面例3的⑵⑶都用到這個限制.

22

【例3】⑴內(nèi)設(shè)則雙曲線二-一J=1的離心率e的取值范圍是______

a2(a+l)2

⑵由已知雙曲線三-斗=1(。>0,6>0)的左，右焦點分別為耳，鳥，點P在雙曲線的右支上,

ab

且|尸白卜4|尸入|,則此雙曲線的離心率e的最大值為.

⑶恭已知雙曲線§-方=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為片(-c,0),F2(C,0),若

雙曲線上存在一點P使吧幺型.=4,則該雙曲線的離心率的取值范圍是________.

sinZPF2F}C

【解析】⑴(0,右)

e=加+)+1)2而0<^<1，故3<e(石.

Q2

由定義知|出|-|「工|=2〃，又已知|尸甲=4|尸名|,解得|尸用=；〃，|P周=丁,

\PF,\.=c-a,從而只要*a'c—a,就能得到尸點存在，解得eW工

Izimin33

等號可以取到，即e的最大值為*.

3

⑶(1,0+1);

因為在△尸與E中，由正弦定理得一圈一歸用

sinNPKE

則由已知得即仍用=￡|戶用，由雙曲線的定義知歸周_|尸周|=2a,

附1M

則泉產(chǎn)周―儼瑪=2a,即|尸周=三，

2

由雙曲線的幾何性質(zhì)知|P用〉c-a,則上——>c-a,c2—2ac-a2<0,

所以e2-2e-l<0,解得一0+l<e<應(yīng)+1,又ee(l,+8),

故雙曲線的離心率ee(l,V2+1).

提高班學(xué)案2

22

【拓1】已知雙曲線二-三=l(a>0,分>0)的右焦點為尸，若過點尸且傾斜角為60。的直線與雙曲線

a'b~

的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是()

A.(1,2]B.(1,2)C.[2,+oo)D.(2,+8)

【解析】C

22

如圖，4與/，分別為與雙曲線=-4=1的漸近線平行的兩條直線,

a2b2

直線/為過下且傾斜角為60。的直線，要使/與雙曲線的右支有且只有一個交點，則應(yīng)使

—二tan60°=6,e22.

a

尖子班學(xué)案2

V-2V2

【拓2】雙曲線)-與=1(“>1”>0)的焦距為2c,直線/過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線/

ab

的距離與點(-1,0)到直線/的距離之和s、1c.求雙曲線的離心率e的取值范圍.

【解析】直線/的方程為四+,=1,即bx+4-必=0.

ab

由點到直線的距離公式，且1,得到點(1,0)到直線/的距離d=

4a2+h2

伙4+1),,2ab2ab

同理得到點(-1,0)到直線/的距離4=s=a.+a-,=,=--.

y1a2+b2■5/777rc

由s2±c,得辿》M,即57爐-標(biāo)22c2.

5c5

于是得5“2一122/,即464-25/+25?0.

解不等式得由于e>l>0,所以e的取值范圍是近6.

42

目標(biāo)班學(xué)案2

［拓3］若橢圓或雙曲線上存在一點p到兩個焦點的距離之比為2:1,則稱此橢圓或雙曲線上存在“r

點”，下列曲線中存在“「點”的是()

222■>

A.—+—=iB.—+—=1D.x2-y2=1

16152524

【解析】D:

在橢圓中，附2"閥|+熙H，|如2陶,即圈等又圈泊

(橢圓上的點到焦點距離的最值為a+c,a-c,分別對應(yīng)橢圓的端點，推導(dǎo)類型雙曲線)

故幺2a—cnce幺ne，,，又0<e<l,故

3333

\PF\

在雙曲線中扁=2>1,|Pg|=2a,|尸周》c-a,故2aze,-a=3a，c=eW3,

又e>l,所以l<eW3.

22

..xy.Ui=)史錯誤;

由A:----F--=1,e=—^1|,錯誤：由B:—+1|,

16154_3Jh2524_，533)

由C:x2-^=l,e=4e(1,3],錯誤；由D:x2-y2^l,e=J5e(l,3],正琉

考點4：雙曲線的焦點三角形

知識點睛

雙曲線的焦點三角形：以雙曲線的兩個焦點耳、鳥與雙曲線上任意一點P為頂點組成的三角形.

8

22

〈教師備案〉月、居為雙曲線［-二=1的兩個焦點，尸在雙曲線上，且/居尸居=0,的面積

a~b~~

1n

S=5附卜儼閭sin，=c.|%|=火co「.

證明：,:4F\PF[=e,'2|P￡||P工|2\PF}\\PF2\

||PKITPKI|=2。，②

4a2+21PF,||PF1-4c2

將②平方代入①式，得cos?=2,解之得

2\PFt\\PF2\l-cos”

4F\PFz的面積為3PE||「巴卜in6>=；?—-sin0==b2-cot-.

tan一

2

例4的三個小題都可以直接用推導(dǎo)后的公式做，如果不直接用公式，就需要用雙曲線的定

義+余弦定理進行推導(dǎo)計算，相當(dāng)于又推導(dǎo)了一遍面積公式.

2

【例4】⑴內(nèi)設(shè)片、后為雙曲線!-9=1的兩個焦點，點2在雙曲線上且滿足N6P6=90。，貝IJ

叢F\PF【的面積是（）

A.1B.—C.2D.75

2

⑵禹E和鳥為雙曲線:-丁=1的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足NEPE=60。，則

△片尸鳥的面積是.

（3）內(nèi)設(shè)6,6是雙曲線3/-5y2=15的兩個焦點，點4在雙曲線上，且MAE的面積等于

2&,則的正切值為.

【解析】⑴A

,.h21

M?法'：s=-----=------=1；

“PF?tan45°

tan——!——-

2

解法二：設(shè)尸（X。，%）,由面積公式=gw鳥1」為1知：要先求得P點縱坐標(biāo).

利用點P在雙曲線上和/￥；_LPR列出方程組，可以獲解.

設(shè)尸（%,%）,?.?點P在雙曲線\-y2=i上，.冷-y：?、?/p>

又匕（一石，0）,尺（行，0）,由尸耳工/58知一.—漢尸=一1②

\）\）Xo+V5Xo-V5

解①②得％=±g.；.4F,PF］的面積S=g|耳EH%|=；X2石X《=l.

解法三：

由三角形面積公式右哲和=31P/"尸鳥|smZFtPF2,需要先求得|「片|?|Pg|的值.

由勾股定理有IPfjF+l尸入『斗耳片匕再由雙曲線的定義有||P耳「瑪||=4……②,

22

對②兩邊平方|尸耳|-2\PFi\\PF2\+\PF11=16,

1,,

2

\PFt\-\PF2\=-（\PF^+\PF2^-S.

由雙曲線方程得1耳鳥1=2逐.在Rt△6p6中，

，IP"I?|尸鳥|=2,，△/;；尸后的面積S=g|「片|?|PR|=1.

⑵G；

由已知：a=2,b=l,c=#).

在△片Pg中，由余弦定理得

I耳一『=|PF^+\PF^-COS^PF

^\PFX\-\PF2\2

2

=(\PFl\-\PF21)+2\PFl\-\PF2\il-cos^FlPF2).

又耳瑪|=2c=2q,\\PF1\-\PF2\\=2a=4,N4P5=60。，

(2石/=42+2|P￡||P6M1-COS60。)，從而|尸耳卜|"|=4,

,S4PFF=~\PF\\PF,\^nZFPF,=-x4xsin60°=^.

122ll2

⑶-12上；

麗/耳

雙曲線即三一匕=1,故從=3,于是5曠"=〃.cot芻空!3

即tan—~二

53,2222夜’

c093

2tan$

設(shè)/64用=。，則tan(9=-----%=—半=-12&.

1-tan—1——

28

目標(biāo)班學(xué)案3

V-2V2

【拓3】（2010浙江10）設(shè)O為坐標(biāo)原點，耳，F(xiàn),是雙曲線二-與=1（a>0,匕>0）的焦點，若在雙

ab

曲線上存在點P,滿足/耳/55=60。，|。尸|=缶，則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.x+\/3y=0B.yfix±y=0C.x±>/2_y=0D.夜x±y=0

【解析】D

由余弦定理得：cos60°=1'耳「+10々「n|尸片||PE1=4/，

2\PFX\\PF2\

la2+c2-\PF^

2\Jlac

2。耳=7九”『②

2\/lac

①+②得14a2+2C2-(|PK|2+|PK|2)=0

,2?

即14a2+2,2=4/+畫，即從=26,所以1=2,-=±72,

a"a

故y=±\[lx.

考點5：雙曲線中的最值問題

提高班學(xué)案3

2222

【鋪1】設(shè)連結(jié)雙曲線「-4=1與與-[=1（4>0,/?>0）的四個頂點所得四邊形面積為不連

abba

結(jié)四焦點所得四邊形面積為s2,則R:S2的最大值為.

【解析】-

2

10

S.=--2a-2b=2ab,S,=--(2c)2=2c2=2(a2+b2),故'+6，=L

1222

22S2a+b2(/+〃)2

【例5】⑴』若P是雙曲線。-丁=]右支上一個動點，/是雙曲線的右焦點，已知點A的坐標(biāo)是

(3,5),貝IJ|PA|+1|的最小值是_______.

⑵內(nèi)若尸是雙曲線1-丫2=1右支上一個動點，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，已知點A的坐標(biāo)是

(3,1),則|弘|+|/^|的最小值是.

【解析】(1)醫(yī)

v-2

雙曲線5-y2=i中，/=3,b2=l,c=2,F(2,0).

如圖，要求|PA|+|P用的最小值，只需把折線段拉直，即當(dāng)點P運動到A尸與雙曲線的

交點尸'時，|PA|+|P可取得最小值，并滿足|2A|+|產(chǎn)尸HA用，

最小值為|AF|=J(3-2)2+(5-0)2=而.

⑵回_2逝

雙曲線1->2=i中，/=3,層=],c=2,尸(2,0),如

圖所示.找到其左焦點片(-2,0),\2/

如圖，根據(jù)雙曲線第一定義，|P/"-|PF|=24=2G,一

因此|尸用=|PF、|-2>/3,-<^1*

\PA\+\PF\^PFl\-2y/3+\PA\^PFt\+\PA\-2^.

故此題轉(zhuǎn)化為求|尸耳|+1241的最小值問題.

求|P/"+|P4|的最小值仍然是拉直，

當(dāng)點尸運動到A耳與雙曲線右支的交點P時，|PfJ|+|PA|取得最小值，

并滿足||+|PARA耳|=J(3+2『+(1-0)2=病.即最小值為V26.

則|/M|+|PF|=|尸甲-26+1PA\=\PFX|+|PA|一23的最小值為后-2G.

仁二\[92拋物線

考點6：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

暑假知識回顧

1.平面內(nèi)與一個定點下和一條定直線/(F任/)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.定點F叫做拋物線

的焦點，定直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=2px(p>0),焦點在x軸正半軸上，坐標(biāo)是《，0),準(zhǔn)線方程是x=",

其中p是焦點到準(zhǔn)線的距離.

3.拋物線的幾何性質(zhì)(根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程V=2px(p>0)研究性質(zhì))：

⑴范圍：拋物線在y軸的右側(cè)，開口向右，向右上方和右下方無限延伸.

⑵對稱性：以X軸為對稱軸的軸對稱圖形，拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸.

⑶頂點：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點.此處為原點.

⑷離心率：拋物線上的點與焦點利準(zhǔn)線的距離的比叫做拋物線的離心率，用e表示，e=l.

4.設(shè)拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為p(p>0),拋物線方程的四種形式如下:

標(biāo)準(zhǔn)方程圖形對稱軸焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程

y

I

y2=2px

(pO)一￡

(P>0)02

X軸

/

y2=-2px

(苫,0)x=E

(P>0)0X2

J

x2=2py

(。，爭

y=

(P>0)上-2

y軸

7

x2=-2py

(。，-9>甘

(P>0)

練習(xí)斗⑴動點P到點F(2,0)的距離與它到直線x+2=0的距離相等，則P的軌跡方程為.

⑵(2010浙江理13)設(shè)拋物線V=2px(p>0)的焦點為尸，點A(0,2),若線段￡4的中點8在

拋物線上，則3到該拋物線準(zhǔn)線的距離為.

⑶(2012四川理8)已知拋物線關(guān)于無軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點O,并且經(jīng)過點M(2,%),

若點M到該拋物線焦點的距離為3,貝U|OM|=()

A.272B.2>/3C.4D.26

【解析】(1)y2=8x

由定義知p的枕跡是以尸(2,0)為焦點的拋物線，p=4,所以其方程為丁=8》.

⑵%

4

利用拋物線的定義結(jié)合題設(shè)條件可得出0的值為Ji,3點坐標(biāo)為―,1，所以點8到

\/

拋物線準(zhǔn)線的距離為3夜.

4

(3)B

12

由題意設(shè)拋物線方程為/=2px(p>0),則M到焦點的距離為xM+-^=2+^=3,

：.p=2,：.y2=4x,；.y；=4x2,二％=±2夜，：