高二理科數(shù)學(xué)秋季講義第13講折疊問題與最值問題教師版

13講折疊問題

與最值問題

13.1折疊問題

考點1：折疊與展開中的想象力

經(jīng)典精講2

【例1】⑴★?下圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中：①與￡?平行；②CN與BE是異

面直線；③CN與80成60。的角；④ZW與8N垂直.以上四個命題中，正確命題的序

號是（）

A.①②③B.②④C.③④D.②③④

⑵內(nèi)將3個12cmxl2cm的正方形沿鄰邊的中點剪開，分成兩部分（如圖），將這6部分接于

一個邊長為6后的正六邊形上，若拼接后的圖形是一個多面體的表面展開圖（如圖），該多

面體的體積為.

⑵864cm3

如圖，所折疊成的多面體是由一個大正三棱錐切去三個小正三棱錐得到的，

大三棱錐的底邊邊長為18夜，側(cè)棱長為18;小三棱錐的底面邊長為6五,側(cè)棱長為6,

T\I77~~飛V

大三棱錐體積K=-x—xl8>/2xl8>/2XJ182——X—X18A/2=972cn?,

314JVb2J

3

小三棱錐體積匕==36cm,

故所求幾何體的體積=匕-匕=864cn?.

另法：此正棱錐側(cè)棱相等且兩兩垂直，從而設(shè)側(cè)棱長為0,則有丫=！。3.

6

考點2：折疊中的垂直與距離問題

知識點睛二|

1.概念：將平面圖形沿某條直線翻折成立體圖形，再對折疊后的立體圖形的線面位置關(guān)系和某幾何量

進行論證和計算，就是折疊問題.

2.折疊問題分析求解原則：

折疊前后哪些位置關(guān)系和度量關(guān)系發(fā)生了變化，哪些沒有改變，充分利用不變量和不變關(guān)系；折疊前

后始終位于折線的同側(cè)的幾何量和位置關(guān)系保持不變，分別位于兩個半平面內(nèi)但垂直于折線的直線折

疊后仍然垂直于折線.

〈教師備案〉折疊問題的難點在于變化前后的位置關(guān)系，對于不變的部分可以在平面圖形中處理，而變

化的部分要在立體圖形中解決.如果對此類問題不是很擅長，可以將折疊前的平面圖和折

疊后的立體圖都畫出來進行對照，厘清線面關(guān)系再作解答.可以舉幾個簡單的三角形、正

方形折疊的例子進行說明.比如，正方形沿對角線進行折疊后的邊的位置關(guān)系.

經(jīng)典精講二|

【例2】用如圖，△ACD和△ABC都是直角三角形，AB=BC,NC4Z)=30。，把三角形ABC沿AC

邊折起，使八鉆。所在的平面與△ACZ)所在的平面垂直，茗AB=屈.

2

(1)求證：平面，平面BCD；

⑵求C點到平面A3D的距離.

【解析】⑴；面ABCJ_面ACD,且交線為AC,￡>Cu平面ACO,DCLAC,

.?.DC，面ABC,：.DC1AB.

"：ABIBC,AB1.DC,BCDC=C,

AB，面BCD,；.面ABD±面BCD.

⑵；面A3。，面BCD,且交線為皮>,

過C作CH_L皮)于”，則C〃_L面A3￡).

VAB=BC=s/6,ZABC=90°,：.AC=243,

在RtzMC。中，C￡>=AC-tan30°=2豆x±=2;

3

在RtABCD中，BD=x/BC2+DC2=V6+22=同：

.“BCDC2715

BD5

二點C到平面ABD的距離為之"5.

5

提高班學(xué)案1

【拓1】設(shè)M、N是直角梯形兩腰的中點，DEJ_A3于E(如圖).現(xiàn)將Z\4)E沿DE折起，

使二面角A--3為45。，此時點A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點8,求M、N的連線與

AE所成角的值.

【解析】連結(jié)回，易知NA￡B=45。，ZABE=90°,

：.AB=BE,

取AE中點Q,連結(jié)M。、BQ,

：MQ為中位線，文DE〃BC,且DE=BC,

又N為BC中點，

MQ〃BN,且MQ=BN,四邊形BQMN為平行四邊形,

，BQ//MN.

?；BQLAE,

：.MNLAE,即M、N的連線與/IE成90。角.

尖子班學(xué)案1

【拓2】如圖，在A4BC中，AD1.BC,ED=2AE,過E作尸G〃3C,且將AAFG沿尸G折起,

使NA'EE>=60。，求證：A'EJ_平面A8C.

【解析】?/FG//BC,ADA.BC

：.A'EYFG

：.A'EYBC

設(shè)A'E="，則EO=2tz

由余弦定理得：A'D2=A'E2+EDT-2A'E-EDCOS60°=3a2

：.ED2=A'D2+A'E2

：.A'D±AE

：.A'E_L平面ABC.

【備選】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AC=i,ZACD=90°,將它沿對角線AC折起，使4?

與CD成60。角，求8,。之間的距離.

【解析】如圖，VZACD=90°,：.ACCD=0,同理8A-AC=(),

AB與C3成60。，；.(BA,cr>>=60°或120。，

BD2=BA'+AC2+CD2+2BA-AC+IBA-CD+2ACCD

022

=BA+AC+CD+2BACD

|4,(BA,CD)=60°

=3+2x1xlxcos/SA,CD)=<,

'1[2,CD)=120。

所以,4=2或及，即B,￡>之間的距離為2或0.

考點3:折疊中的角度問題

〈教師備案〉平面圖形折疊后求角度的問題，最重要的還是厘清線面的位置關(guān)系，特別是垂直關(guān)系，為

建立坐標(biāo)系解決問題奠定基礎(chǔ).

經(jīng)典精講

【例3】（2011年朝陽二模理17）

在長方形胡8乃中，4?=2e=4,C,G分別是4月的中點（如圖1）.將此長方

形沿CG對折，使二面角A-C￡-8為直二面角，D,E分別是44，C￡的中點（如圖2）.

⑴*★求證：G。〃平面ABE；

（2）內(nèi)求直線BG與平面A8E所成角的正弦值.

【解析】⑴由已知，將長方形例48沿CC1對折后，二面角A-CC1-8為直二面角；

?.?在長方形朋用8中，C,G分別是A8,的中點，

二CJ1BC,eq1AC.

即NACB是二面角4-CG-8的平面角.

二ZAC8=90°.所以8C_LAC.

Z.CA,CB,CG兩兩垂直.C,By

證法一:

4

八

取片8中點尸，連接DF、EF;

則DF//-B.B,從而DF//C.E;

:^=211

???DFEC}是平行四邊形；

AC{D//EF；而EFu面ABE,???6?！?8￡.

證法二：

以點C為原點，分別以C4,CB,CC、為x,y9z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

VAB=2A4,=4,且。，E分別是AM，CC1的中點，

Aq(0,0,2),0(1,1,2),4(2,0,2),5(0,2,0),

AC,D=(1,1,0),A(B=(-2,2,-2),BE=(0,-2,l).

設(shè)平面ABE的法向量為鹿=(x,y,z),

n-AB=0,..,—2x+2y—2z—0,

所以＜」所以

nBE=0.-2y+z=0.

令y=l,則z=2,x=-l;n=(-l,L2).

又因為G?〃=(l，1，0)(-1,1,2)=0,AC.Dln.

又?.?CQ.平面ABE,???G?！ㄆ矫?5E.

⑵由⑴證法二知，8(0,2,0),Cj(0,0,2).所以3G=(0,-2,2).

又由⑴知，平面43E的法向量為〃=(一1,1,2).

設(shè)直線BG與平面A8E所成角為6,則

-2+4一走

sin0=|cos<n,BC、>|=

“?閘|2"的一6

所以直線BC｝與平面A/E所成角的正弦值為

6

提高班學(xué)案2

【拓1】如圖，已知ABCD是上，下底邊長分別為2和6,高為g的等腰梯形，將它沿對稱軸折

成直二面角.

⑴證明：AC±BOt；

(2)求二面角。-AC-q的正弦值.

【解析】方法一：

⑴連結(jié)CO,BO1,由題設(shè)知。4J.OO1,OB±00.,

???是所折成的直二面角的平面角，

即。4JLQB,從而AOJ_平面08CQ,

??.AO±

VtanZO(9lB=^=>/3,tanZOtOC=^-=

.../OQB=60。，NOQC=30。，OC1BOf

二BQ_L面AOC,ACu面AOC,

BQ±AC.

(2)設(shè)OCO,B=E,過點￡作EF_LAC于F,連結(jié)Of,

AC±BO,,又ACJ.￡F,

AC,面ERF,/.AC±O,F

/。尸￡是二面角O-AC-?的平面角.

由題設(shè)知Q4=3,OO、=6,OtC=\,

：.O,A=y/o^+OO；=2>/3,AC=ylo^+O^2=V13

.4r>.z、rxcLclO,A-O.C2\/5

..在RtAA^C中，Q[F=—1------=-y=r,

AC，13

又0￡=。??sinBOOug,；.sinN?FE=^=乎.

二面角O-AC-Q的正弦值是巫.

14

方法二：

以。為原點，直線OA,OB,001分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

0(0,0,0),4(3,0,0),8(0,3,0),?(0,0,6),C(0,l，G)

⑴；4C=(-3,1,⑹，8Q=(0,-3,6),

AACBO,=(-3)+3=0,AAC±BOt

⑵；47=卜3,1,⑹，0A=(3,(),0),491=卜3,0,6)

二設(shè)平面ACO的法向量為〃=(x-必，zj,

所JAC-〃=O.J-3X1+%+64=0

OA-n=0,[3為=0

取Z1=1,則”=(0,-6,1),

同理，設(shè)平面ACq的法向量為根=(/，%，Z2),

,ACnt=O-3%,+y2+>/3z2=0

則《，..〈-1-

AO、-m=0[-3x2+V3Z2=0

取z2=V3,則團=(1,0,G),

./\mnV3V3

??cos(i7ifn)=,；—；—；~~i=-----=—,

\'|/M|X|H|2X24

../\V13

??sin\m,n]=—

...二面角。一Ac-q的正弦值是手.

目標(biāo)班學(xué)案1

【拓3】（2012北京東城一模）在正△A5C中，E、F、P分別是A3、AC.BC邊上的點，

滿足AE:￡B=C尸:必=CP:PB=1:2,將A4EF沿￡F折起到的位置，使二面角

A-EF-8成直二面角，連結(jié)A1、AtP.

⑴求證：AE1?平面3EP；

⑵求直線AE與平面A8P所成角的大小;

⑶求二面角5-4P-F的余弦值大小.

【解析】不妨設(shè)正△ABC的邊長為3.

(1)取BE中點。，連結(jié)￡)尸，

VAE:EB=CF;FA=\;2,二AF=A￡>=2,

而乙4=60°,，△AQE是正三角形.

又AE=DE=1,AEFYAD.

折疊后圖形中AELEF,BELEF,

二幺班為二面角4-EF-8的平面角.

由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，AA.E1BE.

義BE\EF=E,，AE_L平面3￡F,即AE_L平面3EP

方法一：

②.：在AEBP中，BE=BP=2,而NEBP=60。,

：.是等邊三角形.

因此取5P中點Q,連結(jié)EQ,A。，則E0LBP

AE_L平面BEP,^￡1BP

...砂_L平面AEQ,又BPu面ABP,

...平面ABPJ.平面AE。，且AQ為兩平面交線，

則過點E作ER^AQ交AQ于R，則￡7?工平面ABP

...NE4,Q為線A|E與平面ABP所成角，

；是等邊三角形，且。為3P中點,

EQ=苧X2=5且AE=I,

,根據(jù)AEJ?底面班尸可知，在RtZ\E4,Q中，tanNE4,Q=-^2=百.

\E

：./￡41。=60。，

直線AE與平面\BP所成的角為60。.

(3)過F作FM_LAP于M，連結(jié)QM、QF,

,:CP=CF=l,NC=60°,AFCP是正三角形.

；.PF=1,又PQ=；BP=1,：,PF=PQ?

：AE_L平面BEP,EQ=EF=y/3,

/.AF=AQ

...△AFP也△AQP,從而441Pp=NAPQ②

由①②及MP為公共邊知AFMP法△QMP,

ZQMP=NFMP=90°,S.MF=MQ.

/.FMQ為二面角B-A.P-F的平面角.

在RtZ\AQ尸中，4。=4尸=2,PQ=\,

：.\P=^>,又MQ_LAP，

?“cAQ，PQ2百…r2V5

??MQ=^7-=亍，-叱=丁

在△FCQ中，F(xiàn)C=\,QC=2,ZC=60°,

由余弦定理得QF=G.

MF1+MQ1-QF-7

在△FMQ中，cosNFMQ=

2.MFMQ8

7

，二面角B-AP-F的余弦值為.

方法二：

如圖，以E為原點，￡B,所，即分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E（0,0,0）,

8(2,0,0),F(0，G，0),A(0,0,l),尸(1,6,0)

⑵%=(-2,0,1),PA,=(-1,-s/3,1),

設(shè)平面A8P的法向量為〃=(x，N，z),

,f/i-BA=0,f-2x+z=0

則《?，即{r,

n-PA,=0[-x-yJ3y+z=0

(A、

設(shè)z=2,則〃=1,—,2,

又：EA,=（0,0,1）,設(shè)直線4E與平面A8P所成的角為61,

2y|3

則sin?=^^~昌=仁=工2,直線A|E與平面ABP所成的角為60。.

|￡^||?|4百2

亍

（3）尸4=（0,-73,1）,設(shè)平面APP的法向量為，"=（r，s，?）,

m-F\-0

則4設(shè)f=6,則初=(0,1,V3j,

m-尸A=0

7.

又1,—,2,則cos(機，")=3「

[3}''/網(wǎng)："「"；J=g=8"L,,

3

由圖形知，二面角B-4P-F為鈍角，

7

???二面角8—一尸的余弦值為一；.

713.2最值問題

〈教師備案〉立體幾何中用運動變化觀點處理問題的題目，如最值與范圍類問題，對空間想象能力和處

理動態(tài)問題的探索能力要求較高，是立體幾何的難點.此類問題，經(jīng)常需要幾何圖形推理

與代數(shù)（函數(shù)、不等式等）推理相結(jié)合，洞察變化過程中的特殊位置（用代數(shù)方法的話就

不需要了），將最值問題轉(zhuǎn)化為幾何或代數(shù)問題來處理.

考點4：立體幾何中的長度最值問題

8

經(jīng)典精講

【例4】⑴*★在棱長為a的正方體ABC。-44GA中，AE=g431,在面ABCD中取一點P,使

歸尸|+,q最小，則最小值為.

⑵內(nèi)如圖已知直三棱柱ABC-A4G，ABLAC,AC=A8=A4）=1,M,

N分別為線段45、AC上的動點，M,N兩點滿足耳N1.GM,則

線段MN長度的最小值為.

【追問】AM+AN的最小值為.

【解析】⑴—a

2

延長GC到M,使GC=CM,則尸C_LGM,故FC,=FM,

團+用卜團+,M可叩，Dy

當(dāng)且僅當(dāng)F為EM與平面AfiCZ）的交點時，歸耳+卜弓|最小.

(2)

2

建立以A為原點，ABtACfAA所在直線為x,y,z軸的坐標(biāo)系,

則印1,o,1),6(o,i,i)；

設(shè)M(a,0,0),N(0,b,0);

則與N=(-l,b,—1),GM=(a,—1,一1),

???gNGM=0=_〃—力+]=0,

.■?Q+b=l,而a,匕均為正數(shù)，

由均值不等式可知MN=》組2.亞=立；

22

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,

2

；.MN最小值為之.

2

【追問】垂;

A,M+A,N=yla2+\+^（1-0）2+1（0<a<l）,可看成平面直角坐標(biāo)系中點（a,0）到點（0,1）

和點（1,-1）的距離之和，因此AM+AN2石'，當(dāng)（0,1）和（1,-1）的連線與x軸的交點

為（a,0）時，AM+AN取到最小值班.

尖子班學(xué)案2

【拓2】如圖，正方形"CD、A8EF的邊長都是1,而且平面4?CD、A3EF互相垂直.點M在AC

上移動，點N在8F上移動，若CM=BN=a(0<?<^),求MN的長度的最小值.

【解析】作MP〃AB交BC于點、P,NQ〃AB交BE于點、Q,連結(jié)PQ,

依題意可得MP〃NQ,且MP=NQ,即MNQP是平行四邊形.

MN=PQ,

由已知CM=BN=a,CB=AB=BE=1

AC=BF—\[2,CP=BQ=a,

.?.當(dāng)”=時，MN取最小值上

22

即當(dāng)〃、N分別為AC、M的中點時，MN的長最小,最小值為——

【備選】(2013北京理14)如圖，在棱長為2的正方體A8CD-A耳中，E為8c的中點，點P在

線段RE上，點P到直線CG的距離的最小值為.

【解析】|>/5

根據(jù)空間線面垂直關(guān)系求點P到直線CG的距離的最小值.過點￡1作Eg_L面，交

直線AG于罵，連接,在平面￡>盧盧內(nèi)過.P作PH〃EE］交Dg于H,連接GH,則G"

即為點P到直線CC的距離.

因此當(dāng)點P在RE上運動時，P到CG距離的最小值即為C1到距離的最小值，即

RtAC.Dif,中G到2g的高.

2_2

因為CQ=2,Cg=l所以=不，則所求的高為

45=5

【點評】將空間中點到直線的距離轉(zhuǎn)化到平面圖形中解決，需要一定的空間想象和構(gòu)造聯(lián)想力.

考點5：立體幾何中的體積最值問題

10

知識點睛

立體幾何中體積的最值問題，一般來講，關(guān)鍵是引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)，建立目標(biāo)函數(shù)，然后用函數(shù)或不等

式方法去求最值.

經(jīng)典精講

【例5】設(shè)四棱錐P-ABC。中，底面ABCD是邊長為1的正方形，且上面A5C￡>.

(D**求證：PCIBD；

⑵再過比>且垂直于直線PC的平面交PC丁點E,如果三棱錐E-BCD的體積取到最大值,

求此時四棱錐P-ABCD的高.

解析圖：

【解析】⑴連接AC.PAIABCD^PALBD,又AC_LB。,

二BD_L平面E4C,于是或>_LPC.

(2)如圖建系，設(shè)P4=x,CE=ACP,

則A(0,0,0)、8(1,0,0)、C(1,1,0),。(0,1,0)、P(0,0,x).

VCP=(-l,-l,x),

J.BE=BC+CE=(O,I,0)+2(-l,-1,x)=(-2,1-2,Ax),

而PC工平面BED,：.CPLBE,CPBE=0,

于是/1+/1-1+/U2=0,=.

x+2

,z_n/_1_x111<11V2

I2k

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取到等號.

故三棱錐E-BCD的體積取最大值時，四棱錐P-ABCD的高為友.

【拓3】如圖已知在A4BC中，ZC=90°,P4_L平面ABC,AE^LPB交PB于E,人/_1.2。于尸，

已知AF=M=2,ZAEF=。,當(dāng)。變化時，求三棱錐P-AEF體積的最大值.

【解析】：R4_L平面ABC,/.PAVBC卜

又：BC_LAC,PAC\AC=A,，8CJ.平面叢C,\\

?；4尸匚面抬(7,ABCLAF,\\

又尸J_PC,PCBC=C,\X

，平面P8C,/.AFYEF,AFLPB

又,：AEA.PB,，平面AEF.

在三棱錐P-A￡F中，VAP=AB=2,AE±PB,

：.PE=y12,AE=s/2,AF=&sin6?,EF=血cos?,

VP_AEF=-S^AEF-PE=-—\[2sinO-42cos0x>/2=—sin20

'3326

71

V0<6><-,：.O<20<TI0vsin26Wl,

29

當(dāng)。=￥時，匕，取得最大值為立.

46

考點6：立體幾何中的角度最值問題

〈教師備案〉涉及到空間中的南度問題時，現(xiàn)在都用空間向量來解決了，需要弄清楚所求的角度與向量

夾角之間的關(guān)系，選擇參變量，建立函數(shù)關(guān)系仍然是角度最值的主要方法.

經(jīng)典精講

【例6】如圖，已知四棱錐P-ABCD,底面ABC。為菱形，1ftA_L平面ABC。，NABC=60。，E,F分

別是8C,PC的中點.

⑴*★證明：AEYPD；

⑵=若以為PZ)上的動點，E”與平面R4D所成最大角的正切值為

―,求二面角E-AF-C的余弦值.

2

【解析】⑴由四邊形ABCD為菱形，Z4fiC=60°,可得八鉆。為正三角形.

因為E為BC的中點，所以AELBC.

叉BC〃AD,因此AE_LA￡>.

因為E4_L平面ABC。，AEu平面ABCZ),所以

而R4u平面R4￡>,A￡)u平面R4。，且尸4AD=A,

所以AE_L平面Q4Z).又PDu平面B4。，

所以A￡_LP￡).

⑵法一：

設(shè)A5=2,H為PD上任意一點、,連接A4,EH.

由⑴知AE_L平面B4Z),則NEH4為E”與平面P4Z)所成的角.

在Rt^EA“中，AE=6,.,.當(dāng)A//最短時，N￡H4最大，

即當(dāng)AH_LP￡>時，NEHA最大.

此時tan/EH4=K^=3=^,

AHAH2

,:AH=&.又？1￡>=2,AZADH=45°,PA=2.

因為P4_L平面A6CD,R4u平面B4C,

所以平面P4C_L平面ABCD.

過E作EOLAC于0,則EOJ,平面巴4C,

過。作QSLAF于S,連接￡5,

則NESO為二面角E—AF—C的平面角，

na

在RtA/lOE中，EO=AE-sin30°=—,A0=AE-cos30°=—,

22

又F是PC的中點，在RtZXASO中，SO=AOsin450=—,

4

12

義SE=4E()2+so。=4+[=粵,

3夜

在Rtz^ES。中，cosNESO="=S=叵,即所求二面角的余弦值為姮.

SEV3055

4

法二：

E”與平面QW所成最大角的正切值為好，等價于最大角的正弦值為巫，由(1)知4E

25

是面PAD的法向量，因此上述條件即為|cos<AE,EH>|=—.

Imiix5

由⑴知AE,A￡),AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以A(0,0,0),Bg,-1,0),Cg,1,0),0(0,2,0),E(百，0,0),

設(shè)點H(0,y,z),貝IAE=(G，0,0),EH=(-61,y,z),于是

=半，解得(丁+22)

|cos<AE,EH>|=3『2,即|訓(xùn)而?=夜，4到"

存j3+y2+z2

的距離為0,于是可以算出|AP|=2.

(61/

又E,尸分別為8C,PC的中點，P(0,0,2),F--,一,1AF=,1,1,

22

▼一一,,?,一、m,AE=0

設(shè)平面AEF的一法向堇為m=(x,,y,zj,則<

in-AF=0

\[^X]=0

因此，,&\9取Z[=—1,則，77=(0,2,-1),

虧無I+不,+Z]=0

.乙乙

因為8Q_LAC,BDLPA,PAAC=A,

所以3。_L平面AFC,故BO為平面AFC的一法向量.

(也可直接設(shè)出法向量，由方程求解)

又3￡>=(-G，3,0),

m,BD2x3_叵

所以cos〈"3BD)=

卜小田亞x5i~~T

因為二面角E—A尸一C為銳角，所以所求二面角的余弦值為半

華山論劍

己知正三棱柱A3C-A4G的底面邊長為1，高為餌〃>3),點M在側(cè)棱84上移動，到底面

ABC的距離為x,且AM與側(cè)面BCGM所成的角為a；

(1)若a在區(qū)間「巴，巴]上變化，求x的變化范圍；

⑵若a為求AM與8c所成角的余弦值.

6

【解析】⑴設(shè)8c的中點為O,連結(jié)AD、DM,

在正八43c中，易知AO_LBC,

又側(cè)面BCG與底面ABC互相垂直，,A￡>_L平面BCC,,

即N4MD為AW與側(cè)面BCG所成的角，ZAMD^a,

：.在RI/XADM中，cosZAMD=—.

AMA]

依題意3M即為點M到底面ABC的距離，BM=x,

且AM=>/1+x2,DM=.1—+x2,cosa=J+4J,%

V42也+x2M

^.71.兀//兀

由已知一WaW一,..cos—WcosaWcos一,

6446

即

v^-WcosaW——?

22

由w且,解得立Wxw6,即X的范圍是

V2-

2

2X/T7722

n

“-,即*=夜時，BA7=x/2,|AM|=s/3

,：AMBC=(AB+BM)BC=ABBC+BMBC=cos\2O0+O^~~,

2

/.cos〈AM,BQ==--,即AM與BC所成角的余弦值為一迫.

\AM\-\BC\66

【演練1】如圖，表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段A8,CD,所和G”在原正方

體中相互異面的有對.

【解析】3

將展開圖恢復(fù)成正方體后，得到AB與CO,EF和GH,AB和G”三對異面直線.

【演練2】把正方形488沿對角線AC折起，當(dāng)以A,B,C,。四點為頂點的三棱錐體積最大時，直

線比）與平面ABC所成的角的大小為（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【解析】C

14

當(dāng)平面ABC，平面4X?時，以A,B,C,。為頂點的三棱錐的體積最大，D01AC,DO1

平面ABC,ZDOB=90°,OD=OB,NOB￡>=45。即為3D與平面ABC所成的角.

【演練3】已知如圖1,正三角形ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高，E、尸分別是AC和5c邊

上的點，且滿足g=空，現(xiàn)將AABC沿CO翻折成直二面角A-DC-如圖2.

CACB

⑴試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由;

⑵求二面角3—AC—。的平面角的正切值.

圖2

【解析】⑴AB〃平面DEF.在△ABC中,

CECF

?:E、產(chǎn)分別是AC、8c上的點，且滿足匕=J=女

CACB

:.AB//EF.

???A5U平面DEF,EFu平面DEF,.「AB〃平面

⑵方法一,：

過。點作DGLAC于G,連結(jié)BG,

?：AD上CD,BD工CD,

：.NAZM是二面角A—CD—B的平面角.

AZADB=90°,即切JLAO.

???8￡)1.平面ADC.ABD1AC.

???AC,平面3GD.BGLAC.

：./BGD是二面角B—AC—O的平面角.

在ADC中，AD=a,DC=\/3a,AC=2a,

.AD-DC\/3ci

??ZJG=---------=-------=------.

AC2a2

在RtAB￡>G中，tanZBG￡>=—=^.

DG3

方法二：

如圖，以。為原點，DB,DC,D4分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則Q（0,0,0）,B（a,0,0）,C（O,氐，0）,A（0,0,a）,

AC=(0,&a,-a),AB=(a,0,-a),

設(shè)平面ABC的一個法向量為〃=（x,y,z）,

>j3ay-az=0人.

則<',令z=l,則〃=1,-----,1,

ax-az=03

平面4X1的一個法向量為DB=（a,0,0）,

n-DB>/21

所以cos（〃，08）

|n|x|DB|7'

設(shè)平面ABC與平面ADC所成的角為。，則6=(〃，DB),

.a屈.,〃2g

??cos6=---,??tan”=-------.

73

【演練4】如圖所示，等腰△ABC的底邊A8=6后，高8=3,點E是線段8。上異于點B,。的動

點，點尸在BC邊上，且EFLAB,現(xiàn)沿瓦'將△B￡F折起到尸的位置，使

記BE=x,V(x)表示四棱錐尸-ACEF的體積，

⑴求V(x)的表達式；

⑵當(dāng)x=6時，求異面直線AC與尸尸所成角的余弦值.

【解析】⑴VEFA.AB,：.EFYPE,

又；PE_LAE,EFCAE=E,且尸￡在平面AC莊■外,

二PE_L平面ACEF,

VEFA.AB,CD1AB,：.EF//CD,

.EFx??CD_x

>?=——=EF=

CDBD

所以四邊形ACFE的面