常微分方程數(shù)值解與malab

實(shí)驗(yàn)4-常微分方程數(shù)值解1.求解常微分方程數(shù)值方法介紹（1）一階微分方程

求方程(1)的數(shù)值解,就是計(jì)算(精確)解在一系列離散點(diǎn)的近似值.通常取相等的步長(zhǎng)h,于是xn=x0+nh(n=1,2,…).

(a)歐拉方法基本思想是在小區(qū)間[xn,xn+1]上用差商代替方程(1)左端的導(dǎo)數(shù)而方程右端函數(shù)f(x,y(x))中的x取[xn,xn+1]上得某一點(diǎn),公式為（2）實(shí)驗(yàn)4-常微分方程數(shù)值解(b)Runge-Kutta方法基本思想是用小區(qū)間[xn,xn+1]上的若干個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的線性組合代替方程(2)右端的,一般形式為

(3)滿足并使(3)的局部截?cái)嗾`差

-------L級(jí)p階Runge-Kutta公式實(shí)驗(yàn)4-常微分方程數(shù)值解

(2)常微分方程組和高階方程的數(shù)值方法歐拉方法和Runge-Kutta方法可直接推廣到求常微分方程組,如對(duì)歐拉公式為Runge-Kutta公式有類似的形式.對(duì)高階方程

(5)需先降階化為一階常微分方程組,降階方法不唯一.簡(jiǎn)單、常用的方法是令y1=y,將(5)化為實(shí)驗(yàn)4-常微分方程數(shù)值解

2.

Runge-Kutta方法的MatLab實(shí)現(xiàn)對(duì)微分方程(組)的初值問題Runge-Kutta方法用MatLab命令實(shí)現(xiàn):[t,x]=ode23(@f,ts,x0,options)%用3級(jí)2階Runge-Kutta公式[t,x]=ode45(@f,ts,x0,options)%用5級(jí)4階Runge-Kutta公式命令的輸入f是待解方程寫成的函數(shù)M文件:functiondx=f(t,x)Dx=[f1;f2;…;fn];實(shí)驗(yàn)4-常微分方程數(shù)值解

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Runge-Kutta方法的MatLab實(shí)現(xiàn)舉例：仿真模擬著名的Lorenz系統(tǒng)混沌圖其中，先建立一個(gè)函數(shù)M文件

functionxdot=lorenz(t,x)sigma=10;r=28;row=8/3;xdot=[-sigma*x(1)+sigma*x(2);(r-x(3))*x(1)-x(2);x(1)*x(2)-row*x(3)];

實(shí)驗(yàn)4-常微分方程數(shù)值解

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Runge-Kutta方法的MatLab實(shí)現(xiàn)畫出Lorenz系統(tǒng)圖clearall;clf;options=odeset('RelTol',1e-5,'AbsTol',1e-5);tspan=[0,100];x0=[1,2,3];[t,x]=ode45('lorenz',tspan,x0,options);l=length(x(:,1));a=1;b=l;figure(1)plot3(x(a:b,3),x(a:b,1),x(a:b,2),‘b’);gridon;%畫出三維相圖xlabel('z');ylabel('x');zlabel('y');figure(2)subplot(311);plot(t,x(a:b,1));%畫三分量演化圖subplot(312);plot(t,x(a:b,2))subplot(313);plot(t,x(a:b,3))

實(shí)驗(yàn)4-常微分方程數(shù)值解

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Runge-Kutta方法的MatLab實(shí)現(xiàn)作業(yè)報(bào)告：著名的Duffing系統(tǒng)（描述彈簧系統(tǒng)性質(zhì)）其中類似的，分別畫出F=1，2，3，4，6等時(shí)的相圖翻閱一些參考書，你能得到一些什么結(jié)論？

實(shí)驗(yàn)4-常微及分方射程數(shù)交值解3.實(shí)例問題緝私芳艇追耳擊走返私船海上擴(kuò)邊防舉緝私蛛艇發(fā)斤現(xiàn)距d公里敲處有屈一走匹私船耳正以急勻速a沿直父線行職駛,緝私荒艇立婚即以止最大嚷勻速犬度v追趕,在雷捕達(dá)的非引導(dǎo)預(yù)下,緝私避艇的附方向屋始終左指向播走私宗船.問緝捧私艇豎何時(shí)沈追趕研上走璃私船?并求話出緝趁私艇尾追趕夠的路按線.SS0dM(x,y)（1）建毅立模很型走私支船初皆始位裙置在墊點(diǎn)(S0,0慕),行駛憐方向玻為x軸正膨方向,緝私歲艇的今初始賣位置瓶在點(diǎn)(0唯,M0),在時(shí)批刻t：走私貼船的鐮位置頂?shù)竭_(dá)射點(diǎn):(儉S0+a簽t,明0)緝私癥艇到攜達(dá)點(diǎn)M(池x,米y)S0dM(x,y)S（2）模壇型求競(jìng)解（a）求鐵解析幅解令：令：（2）模型何求解(a優(yōu))求解鉤析解當(dāng)y=疏0時(shí):走私承船a=本0.巷4千米/秒，分別廁取v=倘0.懷6,忍0總.8滋,娛1.紹0千米/秒時(shí)，緝私株艇追紡趕路現(xiàn)線的抓圖形。cl驚ea夕r踩al皺l;cl茅f;a=里0.偶4;細(xì)v=紫[0棚.6繞0阻.8但1挺.0聰];抹%取不拼同的無速度r=五0.然4.剃/v父;填t=遣20伐*r漆./爸(a厲*(型1-珠r.伏^2時(shí)))間%追上艙的時(shí)亞間fo唇r絡(luò)i=哭1:疫3y=鄰20滴:-欺0.掌01汽:0裹;x(頁:,靠i)崗=-章0.說5*饞(-鵝40殼*r鍋(i屈)+脊20摔^(叫-r準(zhǔn)(i久))即*(版r(妖i)脂-1漢)*川y.刃^(著1+泉r(項(xiàng)i)季)+籌20燒^r執(zhí)(i廁)*射(r新(i尖)+訂1)灰*y辨.^叛(1丑-r族(i討))掘)/快(1購-r猶(i洗)^嘴2)聰;pl挑ot瀉(x球(:向,i怖),礎(chǔ)y)趨;a厚xi魂s(植[0溫3蛋0剪0霜20份])矛;嫌ho棋ld癥o厚nen椒d追趕雀時(shí)間步分別累為：T=60兆.0戚00斤0,33菊.3溝33放3,23蓋.8姿09垮5（秒）2)當(dāng)時(shí)，緝私綢艇不辛可能慰追趕帥上走難私船。3），，當(dāng)時(shí)，，緝私墻艇不其可能擠追趕邀上走武私船。（b）用MA杏TL司AB軟件胳求解穗析解MA皇TL柴AB軟件5.亡3以上庸版本綱提供甚的解堅(jiān)常微蔬分方廣程解削析解豆的指皮令是Ds燦ol心ve,完整濃的調(diào)運(yùn)用格醒式是:ds池ol次ve('逃eq槽n1慎',針'e仙qn雙2'呀,氣..皇.)其中‘eq冒n1旁’,棒‘e毛qn伯2’妻,鞠..呈.是輸桃入宗健量,包括緒三部改分:微分木方程隸、初腎始條件紗、指乒定變壺量,若不季指定和變量,則默蕉認(rèn)小我寫字乒母t為獨(dú)嶄立變羅量.書P-鄭69微分痰方程鍛的書怖寫格液式規(guī)晶定:當(dāng)y是因幕變量撿時(shí),用“Dn企y”表示y的n階導(dǎo)網(wǎng)數(shù).例沒求捧微分之方程的通伏解。ds盼ol爹ve('Dy=x擺+x碧*y兵',島'x存')An銀s=-臨1+熔ex帳p(殲1/抹2*船x^盤2)訴*C脖1ds裁ol愉ve蚊('胳Dx娛=1評(píng)/2障*(榴(y漲/2忌0)抹^r臉-(卷20倡/y柳)^劑r)糠',禍'x亦(2府0)追=0騎',類'y舟')An玻s=炕1/智2*猛20叛^(筒-r詞)*床y^宜(r侄+1嘗)/談(r工+1龜)+曉1/赤2*絲式20劃^r叼/(背r-挺1)京*y溪*(屋1/琴y)嚷^r有-2搜0*除r/望(r雁^2效-1漆)S0dM(x,y)（c）用MA鋼TL省AB軟件尸防真當(dāng)建截立動(dòng)針態(tài)系粗統(tǒng)的組微分燃方程護(hù)模型盲很困槍難時(shí),我們剖可以瘦用計(jì)境算機(jī)止仿真良法對(duì)袍系統(tǒng)減進(jìn)行濤分析副研究.所謂衛(wèi)計(jì)算院機(jī)仿宋真就講是利汁用計(jì)夜算機(jī)嫌對(duì)實(shí)新際動(dòng)身態(tài)系統(tǒng)的省結(jié)構(gòu)鴿和行放為進(jìn)淹行編伏程、岔模擬鍬和計(jì)父算,以此來預(yù)朵測(cè)系榆統(tǒng)的任行為俊效果.追趕拋方向賊可用蘇方向障余弦惹表示肚為：%兩點(diǎn)健形成憂的向鋪量的景方向詢余弦時(shí)間積步長(zhǎng)但為，則在疊時(shí)刻時(shí)：仿真會(huì)算法：第一錫步：殖設(shè)置斥時(shí)間肅步長(zhǎng),速度a,辟v及初研始距迫離d，第二尋步：計(jì)算紋動(dòng)點(diǎn)居緝私蒜艇D在時(shí)講刻時(shí)的各坐標(biāo)，計(jì)算拘走私禾船R在時(shí)點(diǎn)刻時(shí)的體坐標(biāo)，第三射步：機(jī)計(jì)算映緝私蘆艇與鏈走私換船這眉兩個(gè)智動(dòng)點(diǎn)更之間亞的距守離：根據(jù)盆事先斑給定脹的距喬離，僻判斷寄緝私訪艇是膊否已違經(jīng)追耗上了牌走私導(dǎo)船，潔從而拖判斷退出敗循環(huán)需還是糖讓時(shí)獎(jiǎng)間產(chǎn)獎(jiǎng)生一那個(gè)步壓長(zhǎng)，勒返回胡到第拍二步碼繼續(xù)慮進(jìn)入訴下一素次循賣環(huán)；第四搖步：奴當(dāng)從升上述澡循環(huán)籮退出霧后，坐由點(diǎn)柏列和可分渠別繪制成撲兩條沖曲線書即為脅緝私淘艇和速走私作船走娃過的借軌跡交曲線遺。緝私?jīng)鐾С醭硎嘉槐贾?，走私轉(zhuǎn)船初飄始位貢置追擊與問題玩的數(shù)嘴值模悠擬(P墳-6泉6)cl亡ea樹r;逐cl拼f;d=爽12飲0;樸v=停90厚;a覺=8膛0;遵s0銀=8伸;%給出遲初始義條件T=遇10復(fù);d閉t=驅(qū)0.艱00雁1;拆%選取憤時(shí)間亞區(qū)間T(可以糾偏大兆一點(diǎn)),時(shí)間弦微元dtt=嘉0:鏈dt芳:T饞;%離散遣時(shí)間慨表tn=節(jié)le若ng咬th版(t罪);據(jù)%離散機(jī)時(shí)間召表t長(zhǎng)度x(逐1)蝦=0御;y期(1爪)=異d;句s(慎1)么=s腸0;欺%初始誰位置樓、初節(jié)始距傅離fo培r趟i=座1:傍nx(姐i+什1)蜜=x蕩(i首)+段v*dt*(天s0深+a融*t桃(i肺)-錢x(斤i)幫)/許sq襲rt礙((鄭s0闖+a眨*t崗(i近)-任x(茫i)粒)^健2+調(diào)y(萌i)珍^2遷);y(焦i+孤1)眾=y崗(i晚)+貪v*dt*(計(jì)-y尊(i正))戶/s黎qr威t(營(yíng)(s茶0+繡a*蠅t(控i)鍵-x宵(i跡))賽^2毛+y甚(i冊(cè))^虎2)蜻;%遞推負(fù)算式揚(yáng)、d=淘sq披rt梯((另s0懲+a旨*t嶼(i罷)-編x(噴i)陷)^媽2+昆y(蛋i)器^2頌);術(shù)%文t(羊i)時(shí)刻扭的距詳離if某d逢<0嬌.1i*dtbr罷ea福ken綱d%判斷電是否湊已追鍵上，絮并顯剩示追頂上時(shí)夠的時(shí)爆間s(此i)太=s稼0+鳳a*迷t(嫌i)鑒;en粉dpl木ot古(x醒,y)%c防om站et焦(x抹,y洽);（e）結(jié)果當(dāng)分析用求似解析伍解的潛方法迫算得捆的解穗是最恢為精傅確的;用數(shù)聰值方僚法計(jì)私算的啟結(jié)果嘆依賴皇于迭以代終蠅值的筐設(shè)定,減小挺迭代叛終值延可以券提高舉計(jì)算迫精度;用計(jì)走算機(jī)驚仿真法籠計(jì)算悉的結(jié)搭果依唯賴于敞時(shí)間活迭代具步長(zhǎng)怕的選援取和程序談終止丘條件揮的設(shè)賭定,修改肝終止蕩條件鵲的設(shè)黑定和減小幸時(shí)間招迭代摩步長(zhǎng)談可以戲提高呀計(jì)算鄉(xiāng)豐精度,減小珠誤差.實(shí)驗(yàn)4-常微集分方鬧程數(shù)決值解4.剛性裁現(xiàn)象遠(yuǎn)與剛艦性方六程剛性弄現(xiàn)象振動(dòng)貨系統(tǒng)械或包通含電造容、揉電感機(jī)、電旋阻的朋電路郊系統(tǒng)窄的數(shù)銀學(xué)模驕型一輕般為接：給定崗一組喝參數(shù)k=兇20陸00徒.5謊,暢r=烏10踏00飯,汗a=賄1,狐b光=-先19窄99巧.5克,f蒼(t沙)=咽1.則(*靈1)的解熊為穩(wěn)態(tài)廁解快瞬琴態(tài)解蘇慢瞬失態(tài)解對(duì)快測(cè)瞬態(tài)貢解:時(shí)間腦常數(shù)t1=1椅/2慣00愈0=紫0.務(wù)00朋05焰,計(jì)算派到t=飯10麗t1=0慨.0駕05時(shí),該項(xiàng)爆已衰召減到;對(duì)慢括瞬態(tài)營(yíng)解:時(shí)間待常數(shù)t2=2夢(mèng),計(jì)算示到t=炮10梁t2=2秋0時(shí)它候才衰污減到.用數(shù)批值方顏法求圾解時(shí),精度懶要達(dá)郊到,至少既要算掃到t=堅(jiān)20適,需要14描28當(dāng)6步,這樣皮大的監(jiān)計(jì)算街量是省由快乒瞬態(tài)破解和很慢瞬些態(tài)解噴的衰叢減速皮度相角差懸棄殊造蚊成的,這現(xiàn)秋象稱首為剛戲性現(xiàn)需象,相應(yīng)險(xiǎn)的微挪分方可程稱抵為剛宣性方手程.實(shí)驗(yàn)4-常微恩分方雜程數(shù)霞值解4.剛性葉現(xiàn)象掛與剛落性方樂程剛性裙方程振動(dòng)悔、電館路及杯化學(xué)全反應(yīng)忽中出腥現(xiàn)剛蔥性現(xiàn)爐象的嶄方程兇可表沃示為滋：（*2）其中x,籃f是n維向健量,暈A是nx碌n矩陣.當(dāng)A的特灰征根的實(shí)鉗部蛛均嚷為負(fù)哨數(shù)時(shí),方程名通解斑中對(duì)魄應(yīng)于的值追大的碑項(xiàng)為腸快瞬勵(lì)態(tài)解,值小滅的項(xiàng)頌為慢楊瞬態(tài)陵解,稱曲為剛性帳比.s>乒10的方冊(cè)程便坊可認(rèn)示為是萍剛性猶方程,實(shí)際案問題鹽中可蓋出現(xiàn)s達(dá)堪的情克況.剛性安是問副題本禍身的左性質(zhì),與解社法無巷關(guān).但正耗是由擱于這冷種性與質(zhì),用數(shù)湖值方乖法求北解時(shí)脆需要場(chǎng)計(jì)算弊到最摧慢瞬殿態(tài)解檢衰減承成可兔忽略身的小禮量為法止,使得燒積分昂區(qū)間斥很長(zhǎng),而為逮保證螞計(jì)算渣的穩(wěn)壺定性,當(dāng)最意快瞬居態(tài)解櫻的釀很胖大時(shí),又必鈴須使伍步長(zhǎng)優(yōu)充分芝小,這就劈燕出現(xiàn)恒了在鈔大區(qū)碧間上耗用小倚步長(zhǎng)傳計(jì)算簽的困屯難情元況.實(shí)驗(yàn)4-常微縱分方價(jià)程數(shù)倆值解4.剛性蹤蝶現(xiàn)象嘩與剛使性方梢程Ma扯tL舞ab求解Ma筒tl炒ab中求企解常額微分旱方程與的命秒令od啦e2券3,張o材de境45花.由于痕其步萬長(zhǎng)是析按穩(wěn)碎定性好要求抽和指書定的猾精度賽加以綢調(diào)整刷的,所以鎖用它毯們解撞剛性鞭微分監(jiān)方程腰時(shí)步勝長(zhǎng)會(huì)史自動(dòng)堅(jiān)變小,對(duì)于槍大的描區(qū)間坑會(huì)導(dǎo)裁致計(jì)愿算時(shí)濱間很輩長(zhǎng).Ma觸tl春ab中有街專門震求解牽剛性齡方程協(xié)的命跳令od騎e2澡3s哪,霧od頓e1球5s丙,用法徒與od脈e2闊