高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)外接球與內(nèi)切球問(wèn)題

一網(wǎng)打盡外接球與內(nèi)切球問(wèn)題

【命題規(guī)律】

縱觀近幾年高考對(duì)于組合體的考查，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)之

高考命題小題綜合化傾向尤為明顯,要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力,

才能順利解答.從近幾年全國(guó)高考命題來(lái)看，這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少

見(jiàn)，此部分是重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，屬于中等難度.

【核心考點(diǎn)目錄】

核心考點(diǎn)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球

核心考點(diǎn)二：正四面體外接球

核心考點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球

核心考點(diǎn)四：直棱柱外接球

核心考點(diǎn)五：直棱錐外接球

核心考點(diǎn)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型

核心考點(diǎn)七：側(cè)棱為外接球直徑模型

核心考點(diǎn)八：共斜邊拼接模型

核心考點(diǎn)九：垂面模型

核心考點(diǎn)十：二面角模型

核心考點(diǎn)H■：坐標(biāo)法

核心考點(diǎn)十二：圓錐圓柱圓臺(tái)模型

核心考點(diǎn)十三：錐體內(nèi)切球

核心考點(diǎn)十四：棱切球

【真題回歸】

1.（2022?全國(guó).高考真題（文））已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)

均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.；C.—D.顯

3232

2.（2021?全國(guó)?高考真題（理））已知A,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且

AC\.BC,AC=BC=\,則三棱錐O-他C的體積為（）

A.正B.立C.旦D.@

121244

3.（2022?全國(guó)?高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為36和46，其

頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.128兀C.144TID.192兀

4.（2022?全國(guó)?高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的

體積為36萬(wàn)，且則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

■811「2781]「27641

A.18,—B.—C.—D.r[i1o8,27J

_4J44J1_43_

5.（2020?全國(guó)?高考真題（理））已知46,C為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，。01為一的外

接圓，若。。1的面積為4兀，AB=BC=AC=OOlf則球。的表面積為（）

A.64兀B.48兀C.36兀D.32兀

6.（2020?全國(guó)?高考真題（理））已知AABC是面積為亞的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。

4

的球面上.若球O的表面積為16兀，則。到平面ABC的距離為（）

A.叢B.-C.1D.正

22

【方法技巧與總結(jié)】

1、補(bǔ)成長(zhǎng)方體

（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示.

（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示.

PA

（3）正四面體P-/WC可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)a=如圖3所示.

衣

（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球

【規(guī)律方法】

1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半.

2、長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半.

【典型例題】

32

例1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正方體外接球的體積是丁萬(wàn)，那么正方體的體對(duì)角線

等于（）

A.偵B.4C.逑D.延.

333

例2.（2022?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)（文））長(zhǎng)方體的過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別是2,4,4,則

該長(zhǎng)方體外接球的表面積為（）

A.9萬(wàn)B.18笈C.36%D.487r

例3.（2022?貴州黔南?高三開(kāi)學(xué)考試（理））自2015年以來(lái)，貴陽(yáng)市著力建設(shè)“千園之城”,

構(gòu)建貼近生活、服務(wù)群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級(jí)為“公園中的城市截

至目前，貴陽(yáng)市公園數(shù)量累計(jì)達(dá)到1025個(gè).下圖為貴陽(yáng)市某公園供游人休息的石凳，它可

以看做是一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長(zhǎng)為20&cm，

則石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的外接球的表面積為cm2.

核心考點(diǎn)二：正四面體外接球

【規(guī)律方法】

如圖，設(shè)正四面體ABCD的的棱長(zhǎng)為。，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為正〃，

2

顯然正四面體和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為=如。，即正

224

四面體外接球半徑為R邛〃.

【典型例題】

例4.（2022.黑龍江.哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））已知正四面體外接球。表面積為54乃,

則該正四面體棱長(zhǎng)為；若M為平面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且PM=4應(yīng)，則AM最小值為

例5.（2022?江蘇南京?高三開(kāi)學(xué)考試）已知一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,則其外接球與以其一

個(gè)頂點(diǎn)為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長(zhǎng)度為.

例6.（2022?福建?福州三中模擬預(yù)測(cè)）表面積為86的正四面體的外接球的表面積為（）

A.4#I兀B.12萬(wàn)C.8萬(wàn)D.4瓜兀

核心考點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球

【規(guī)律方法】

四面體中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,這種四面體叫做對(duì)棱

相等四面體，可以通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體來(lái)解決這類問(wèn)題.

b2+c2=m2

如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a,A,c,則/+。2=〃2,三式相加可得/+后+,2=

a2+b2=t2

"72+〃2+’2,而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球,設(shè)外接球半徑為A,則

【典型例題】

例7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在四面體ABC。中，AC=BD=2,AD=BC=5

AB=CD=B則其外接球的表面積為.

例8.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知四面體A3C。中，AB=CD=M,BC=AD=M，

AC=BD=?若該四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積為（）

A.42〃B.43乃C.14萬(wàn)D.161

例9.（2020.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)（文））在三棱錐A—BCD中，若A3=8=2,AD=BC=3,

AC=BD=4f其外接球的表面積為（）

CM-29%c29江

A.277rB.297rC.-----D.-----

42

核心考點(diǎn)四：直棱柱外接球

【規(guī)律方法】

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面

可以是任意三角形）

圖1圖2圖3

第一步：確定球心。的位置，01是AABC的外心，則O?_L平面ABC;

第二步：算出小圓01的半徑AQ=r,OOt=1/L4,=^h（A4,=〃也是圓柱的高）；

第三步：勾股定理：OA?=qA?+go?=R2=（U）2+產(chǎn)=R=J「2+（g）2,解出R

【典型例題】

例10.（2022?河南新鄉(xiāng)?一模（理））已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為/,底面邊長(zhǎng)為。，若該正三

棱柱的外接球體積為辛32兀，當(dāng)/+4最大時(shí)，該正三棱柱的體積為（）

.108507201?108x/7?72屈

494977

例11.（2022?湖南岳陽(yáng)?高三階段練習(xí)）已知直三棱柱48C-A8G中，

AB=AA,=2,BC=yf3AC,當(dāng)該三棱柱體積最大時(shí)，其外接球的體積為（）

A28歷R%hr2（）石n2877

A.-----D.TCC.---冗D.---jc

27339

例12.（2021?四川瀘州?二模（文））直六棱柱的底面是正六邊形，其體積是6G，則該六棱

柱的外接球的表面積的最小值是（）

A.47B.87rC.12乃D.24萬(wàn)

核心考點(diǎn)五：直棱錐外接球

【規(guī)律方法】

如圖，B4_L平面45C,求外接球半徑.

解題步驟：

第一步：將AABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑4）,連接

PD,則必過(guò)球心O；

第二步：01為AABC的外心，所以O(shè)QJ,平面AfiC,算出小圓01的半徑OQ=r（三角

形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得，_=上=上=2'），OOt=-PA；

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①（2/?尸=尸川+（2廣o

27?=伺2+（2"2；

222

@R=r+OOtoR="+OO：.

【典型例題】

例13.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三期中（文））三棱錐P-ABC中，PA_L平面ABC,ABC

為直角三角形，ABJ.BC,AB=BC=1,E4=2,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為

（）

A.2萬(wàn)B.3萬(wàn)C.4九D.6乃

例14.（2022?福建?寧德市民族中學(xué)高三期中）已知三棱錐P-A8C中，B4_L底面ABC,PA

=AB=AC=2fZBAC=120°,則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積為（）

A.124B.167C.20萬(wàn)D.244

例15.（2021?四川成都.高三開(kāi)學(xué)考試（文）汨知在三棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA_L平面ABC,

PA=3,AB=1,BC=6,AC=2,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（）

A.13nB.12兀C.9兀D.8兀

核心考點(diǎn)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型

【規(guī)律方法】

1、正棱錐外接球半徑：R=匚二.

2、側(cè)棱相等模型：

如圖，P的射影是AABC的外心

=三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等

O三棱錐P-/WC的底面AABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂

解題步驟：

第一步：確定球心O的位置，取AABC的外心。1,則P,O,Q三點(diǎn)共線:

第二步：先算出小圓01的半徑AQ=r,再算出棱錐的高/>?=/?（也是圓錐的高）;

第三步：勾股定理：OA2=OA2+O,O2=>7?2=（/?-/?）2+r,解出R=---------.

t2h

【典型例題】

例16.（2022?江西?金溪一中高三階段練習(xí)（文））在正三棱錐S-ABC中，NASB+ZBSC=y,

△ABC的邊長(zhǎng)為2,則該正三棱錐外接球的表面積為.

例17.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正三棱錐S-A8C,其外接球球。的半徑為R,則該

正三棱錐5-ABC的體積的最大值為.

例18.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正三棱錐S-ABC的棱長(zhǎng)為6出，底面邊長(zhǎng)為6.則

該正三棱錐外接球的表面積為.

例19.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）三棱錐P-ABC體積為正，且

6

PA=PB=PC,AB=AC=1,BC=6,則三棱錐外接球的表面積為.

例20.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在三棱錐尸-ABC中，PA=PC=AB=AC=\,

PB=BC=?，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.

核心考點(diǎn)七：側(cè)棱為外接球直徑模型

【規(guī)律方法】

找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形.

【典型例題】

例21.（2022?河南河南?一模（文））三棱錐￡>-ABC的外接球的表面積為8肛8。是該球的直

徑，AC1BC,AB=2BC=2,則三棱錐O-ABC的體積為.

例22.（2022?河南?一模（理））三棱錐。-ABC的外接球的表面積為2（k,AO是該球的直

徑，ABC是邊長(zhǎng)為的正三角形，則三棱錐Q-ABC的體積為.

例23.（2021.全國(guó).高三專題練習(xí)（文））已知三棱錐P-ABC中，AB=BC=叵,AC=2,

也為其外接球的一條直徑，若該三棱錐的體積為名叵，則外接球的表面積為.

3

核心考點(diǎn)八：共斜邊拼接模型

【規(guī)律方法】

如圖，在四面體MCD中，AB1AD,CB_LCD,此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊

的直角三角形拼接而形成的，3。為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型''命名之.設(shè)點(diǎn)。為

公共斜邊的的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，

OA=OC=OB=OD,即點(diǎn)O到A,B,C,。四點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)O就是四面體

外接球的球心，公共的斜邊8。就是外接球的一條直徑.

【典型例題】

例24.在矩形A3CD中，A5=4,3C=3,沿AC將矩形A5CD折成一個(gè)直二面角

B-AC-D,則四面體A3CD的外接球的體積為()

4125“〃125”「125?125”

A.-7tD.-------71C.---7tDn.-------71

12963

例25.三棱錐P—A3C中，平面PAC_L平面ABC,AC=2,PAVPC,ABYBC,

則三棱錐P-ABC的外接球的半徑為

222

例26.在平行四邊形A8C。中，滿足=A",2AB'=4-BI)~,若將其沿折成直

二面角A-3Z)-C,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為()

A.16萬(wàn)B.8"C.4萬(wàn)D.ITI

核心考點(diǎn)九：垂面模型

【規(guī)律方法】

如圖1所示為四面體P-43C,已知平面皿，平面43C,其外接球問(wèn)題的步驟如下：

(1)找出和△ABC的外接圓圓心，分別記為01和Q.

(2)分別過(guò)0和。2作平面和平面A8C的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為O.

（3）過(guò)01作45的垂線，垂足記為。，連接QO,則.DLAB.

（4）在四棱錐A-OQQQ中，4）垂直于平面。RO。?，如圖2所示，底面四邊形

OOQO?的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且8為該圓的直徑.

【典型例題】

例27.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）三棱錐尸-他。中，平面PAC_L平面ABC,AC=2,

PA1PC,AB1BC,則三棱錐P-ABC的外接球的半徑為

例28.（2022?安徽馬鞍山?一模（文））三棱錐P-ABC中，△P4C與ABC均為邊長(zhǎng)為2』

的等邊三角形，平面PAC_L平面ABC,則該三棱錐的外接球的表面積為.

例29.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）三棱錐P-A8C中，△PAC是邊長(zhǎng)為2后的等邊三角形，

AB=BC=2,平面PAC,平面ABC,則該三棱錐的外接球的體積為

例30.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知在三棱錐P-ABC中，

ZBAC=90,AB=AC=4,ZAPC=30°,平面PAC_L平面ABC,則三棱錐P-ABC外接球的

表面積為?

核心考點(diǎn)十：二面角模型

【規(guī)律方法】

如圖1所示為四面體尸-他C,已知二面角P-AB-C大小為a,其外接球問(wèn)題的步驟

如下:

（1）找出和人鉆。的外接圓圓心，分別記為。?和。2?

(2)分別過(guò)0和Q作平面R4B和平面ABC的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為O.

(3)過(guò)J作A8的垂線，垂足記為連接a。，則

(4)在四棱錐A-。OQQ中，">垂直于平面0aOQ，如圖2所示，底面四邊形

OO?的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且”>為該圓的直徑.

【典型例題】

例31.(2022?貴州?模擬預(yù)測(cè)(理))如圖，在三棱錐A-BCD中，A8C是邊長(zhǎng)為2道的正

三角形，AD=CD=2y/3,二面角。-AC-B的余弦值為弓，則三棱錐A-58外接球的表

面積為.

例32.(2022?江西贛州?高三階段練習(xí)(文))已知菱形ABCO的邊長(zhǎng)為2,且NZMB=60。,

沿把△回￡>折起，得到三棱錐A-BCD,且二面角A'-3?！狢的平面角為120。，則三

棱錐W-BCD的外接球的表面積為.

例33.(2022?江蘇?南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí))在三棱錐A-8CD中，ABCD是

邊長(zhǎng)為3的正三角形，且44=6，AB=2日二面角A-3D-C的大小為?，則此三棱錐

外接球的體積為.

例34.（2022-r東汕頭?高三階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，8。=，將菱形ABCD

沿對(duì)角線AC對(duì)折，使二面角8-AC-D的余弦值為g,則所得三棱錐A-BCD的外接球的

表面積為.

核心考點(diǎn)十一：坐標(biāo)法

【規(guī)律方法】

對(duì)于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為O（x,y,z）,利用

球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長(zhǎng).坐標(biāo)的引入，

使外接球問(wèn)題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來(lái)，轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，大大降低了解題的

難度.

【典型例題】

例35.（2022?黑龍江?大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）直角中A8=2,8C=1,。是斜邊AC上

的一動(dòng)點(diǎn)，沿8。將△A8O翻折到V45。，使二面角A'-BD-C為直二面角，當(dāng)線段AC的

長(zhǎng)度最小時(shí)，四面體A88的外接球的表面積為（）

13%「21乃-134、14萬(wàn)

A.——B.——C.——D.——

4533

例36.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））如圖，在長(zhǎng)方體A3CO-44GR中，48=2",BC=4,

M=4,E是棱A8上靠近B的三等分點(diǎn)，EG分別為BC,CG的中點(diǎn)，p是底面內(nèi)

一動(dòng)點(diǎn)，若直線8『與平面EFG垂直，則三棱錐A-BgP的外接球的表面積是（）

A.28〃B.56兀C.112]D.224萬(wàn)

rr

例37.（2022?山西?一模（理））如圖①，在@ABC中，C=-,AC=BC=2,D,E分別

為AC,AB的中點(diǎn)，將..ADE沿OE折起到的位置，使A.DLCD,如圖②.若尸是

的中點(diǎn)，則四面體下。區(qū)的外接球體積是（）

①

D.叵兀

A.27B.——兀C.——71

3612

核心考點(diǎn)十二:圓錐圓柱圓臺(tái)模型

【規(guī)律方法】

1、球內(nèi)接圓錐

如圖1,設(shè)圓錐的高為6,底面圓半徑為r,球的半徑為/?.通常在△OC3中，由勾股

定理建立方程來(lái)計(jì)算R.如圖2,當(dāng)PC>C8時(shí)，球心在圓錐內(nèi)部；如圖3,當(dāng)PC<C3時(shí),

球心在圓錐外部.和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問(wèn)題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的

方程是一樣的，故無(wú)需提前判斷.

h24-r2

由圖2、圖3可知，℃id或R—〃，故小村+r2=人所以八h

2、球內(nèi)接圓柱

如圖，圓柱的底面圓半徑為廣，高為〃，其外接球的半徑為/?,三者之間滿足§）+/=*.

例38.球內(nèi)接圓臺(tái)

片小產(chǎn)w,其中小公介分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高.

【典型例題】

例39.（2022?廣東?廣州市第十六中學(xué)高三階段練習(xí)）已知一圓臺(tái)高為7,下底面半徑長(zhǎng)4,

此圓臺(tái)外接球的表面積為100萬(wàn)，則此圓臺(tái)的體積為（）

.c,c259-262

A.84TTB.867rC.---7iD.---TC

33

例40.（2022?河南?高三階段練習(xí)（文））已知圓錐的底面半徑為2&，側(cè)面積為8岳，則

該圓錐的外接球的表面積為.

例41.（2022.上海.曹楊二中高三階段練習(xí)）已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，P為

上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點(diǎn)，則三棱錐P-ABE外接

球的表面積為.

例42.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為白，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓,

則該圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的表面積為.

核心考點(diǎn)十三：錐體內(nèi)切球

【規(guī)律方法】

等體積法，即R=2四

S表面積

【典型例題】

例43.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）球。是棱長(zhǎng)為1的正方體A8CD-AMGA的內(nèi)切球，球

。1與面ABCD,面、面A4,DQ、球。都相切，則球。的表面積是.

例44.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）若正四棱錐P-45c3內(nèi)接于球。，且底面A8CO過(guò)球心

O,則球。的半徑與正四棱錐P-ABCD內(nèi)切球的半徑之比為.

例45.（2022?山東濟(jì)南?二模）在高為2的直三棱柱ABC-AgG中，ABLAC,若該直三棱

柱存在內(nèi)切球，則底面4ABC周長(zhǎng)的最小值為.

核心考點(diǎn)十四：棱切球

【規(guī)律方法】

找切點(diǎn)，找球心，構(gòu)造直角三角形

【典型例題】

例46.（2022?涪城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）一個(gè)正方體的內(nèi)切球0「外接球O?、與各棱都相切的球

O、的半徑之比為

（）

A.1:3:2B.1:1:1C,1:>/3：V2D.1:2:3

例47.（2022?江蘇模擬）正四面體P-A8C的棱長(zhǎng)為4,若球O與正四面體的每一條棱都相

切，則球O的表面積為（）

A.2%B.8萬(wàn)C.-~—7iD.12萬(wàn)

3

例48.（2022?昆都侖區(qū)校級(jí)一模）已知正三棱柱的高等于1,一個(gè)球與該正三棱柱的所有棱

都相切，則該球的體積為（）

.n口4下>?！?%4忑i兀

A?—LJ?lx?U?

62733

【新題速遞】

一、單選題

I.（2022.湖北.高三階段練習(xí)）已知某圓臺(tái)的體積為（9+3&）支，其上底面和下底面的面積

分別為3兀,6兀，且該圓臺(tái)兩個(gè)底面的圓周都在球。的球面上，則球。的表面積為（）

A.25兀B.26兀C.27兀D.28兀

2.（2022.甘肅.高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知A,B,C均在球。的球面上運(yùn)動(dòng)，且

TT

滿足乙4O8=§,若三棱錐ABC體積的最大值為6,則球。的體積為（）.

A.12兀B.48兀C.32&D.絲巨

3

3.（2022?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）已知A,B,C,。為球。的球面上的四點(diǎn)，記AB的中點(diǎn)

為E,且48=/1。。（彳＞0）,四棱錐Q-A￡CO體積的最大值為G，則球。的表面積為（）

A.8〃B.12萬(wàn)C.161D.207r

4.（2022?黑龍江?海倫市第一中學(xué)高三期中）已知四面體ABC。的所有頂點(diǎn)在球。的表面上，

平面BCD,AB=2拒,8=2上，ZCBD=\35°,則球O的體積為（）

.16則兀?76乃_28萬(wàn)c28不兀

3333

5.（2022?全國(guó)?高三階段練習(xí)（文））已知正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為36萬(wàn)的球O的球面

上，若該正四棱錐的高為〃，且24〃45,則該正四棱錐的體積的取值范圍是（）

6.（2022?貴州?高三階段練習(xí)（文））已知正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為6,體積為66,

A,B,C三點(diǎn)均在以S為球心的球S的球面上，P是該球面上任意一點(diǎn)，則三棱錐P-A8C

體積的最大值為（）

A.54百B.36A/3C.276D.18也

7.（2022?全國(guó)?高三階段練習(xí)（理））已知體積為V的正三棱柱ABC-44G的所有頂點(diǎn)都在

球。的球面上，當(dāng)球。的表面積S取得最小值時(shí)，該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)。與高〃的比值為

)

D.1

A—L.----

2B-T22

8.（2022.福建?浦城縣第三中學(xué)高三期中）《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，得兩塹堵，其一

為陽(yáng)馬，一為鱉膈，陽(yáng)馬居二，鱉膈居一下圖解釋了這段話中由一個(gè)長(zhǎng)方體得到塹堵、陽(yáng)

馬、鱉膈的過(guò)程.在一個(gè)長(zhǎng)方體截得的塹堵和鱉膈中，若塹堵的內(nèi)切球（與各面均相切）半

徑為1,則鱉膈體積的最小值為（）

二、多選題

9.（2022?浙江?慈溪中學(xué)高三期中）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-A8c以正方體中心

。為球心的球。與正方體的各條棱相切，點(diǎn)P為球面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.球。在正方體外部分的體積為也4-1

3

■17]

B.若點(diǎn)尸在球。的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則

_44

C.若點(diǎn)P在平面A8CD下方，則直線"與平面所成角的正弦值最大為手

D.若點(diǎn)P、〃、N在球。的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則PMjN最小值為

10.（2022?福建泉州?高三開(kāi)學(xué)考試）已知正四棱臺(tái)ABC。-ABIGA的所有頂點(diǎn)都在球。的

球面上，AB=2A線=2,例=應(yīng)，E為BDG內(nèi)部（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，貝IJ（）

A.明〃平面BOCB.球。的表面積為6兀

C.E4+E4）的最小值為2&D.AE與平面BOq所成角的最大值為60。

11.（2022?廣東?鐵一中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為P,其軸截面^PAB是

邊長(zhǎng)為6的為正三角形，。|為底面的圓心，EF為圓O,的一條直徑，球。內(nèi)切

于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），點(diǎn)Q是球。與圓錐側(cè)面的交線上一動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.圓錐的表面積是45兀B.球。的體積是4百兀

C.四棱錐Q-AEBF體積的最大值為D.QE+QF的最大值為6a

12.（2022?湖南?長(zhǎng)沙一中模擬預(yù)測(cè)）傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓

柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等?“圓柱容球”是阿基米德最為得意的

發(fā)現(xiàn)；如圖是一個(gè)圓柱容球，Q，Q為圓柱上下底面的圓心，。為球心，為底面圓。?的

一條直徑，若球的半徑r=2,則（）

A.球與圓柱的表面積之比為1:2

B.平面。EF截得球的截面面積最小值為g不

C.四面體CDEF的體積的取值范圍為

D.若尸為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則PE+P尸的取值范圍為[2+2"46]

13.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在五面體產(chǎn)048。中，底面A8CD為矩形，④的和△8CQ

均為等邊三角形，PQ〃平面ABC。，AB=7,AD=26且二面角P-AO-C和。-8C-4

的大小均為。&e（0,2）.設(shè)五面體PQA8CD的各個(gè)頂點(diǎn)均位于球。的表面上，則（）

A.有且僅有一個(gè)凡使得五面體尸QA3C。為三棱柱

B.有且僅有兩個(gè)6,使得平面平面BC。

C.當(dāng)cos。=-1時(shí)，五面體PQA8c。的體積取得最大值

D.當(dāng)cos6=（）時(shí)，球。的半徑取得最小值

14.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱錐S-ABC的底面ABC的面積為36，體積為3,球

。一。2分別是三棱錐S-ABC的外接球與內(nèi)切球，則下列說(shuō)法正確的是（）

49

A.球。?的表面積為莖萬(wàn)

B.二面角S-AB-C的大小為30

C.若點(diǎn)E在棱S3上，則AE+CE的最小值為雙互

7

D.在三棱錐S-ABC中放入一個(gè)球。、，使其與平面SAB、平面SBC、平面SAC以及球。2均

相切，則球。3的半徑為立

9

三、填空題

15.（2022?河南?高三階段練習(xí)（文））已知四面體ABCD的各頂點(diǎn)都在球。的表面上，

AB=CD=26,E,5分別為A3,8的中點(diǎn)，。為EF的中點(diǎn).若AB_LCD,直線AC與8。

所成的角為60。，AB<EF,則球。的表面積為.

16.（2022?四川?石室中學(xué)高三期中（文））已知71BC的所有頂點(diǎn)都在球。的表面上，

327t

AB=AC=\,ZBAC=120,球。的體積為手，若動(dòng)點(diǎn)P在球。的表面上，則點(diǎn)尸到平面

ABC的距離的最大值為.

17.（2022?貴州?貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)（理））在三棱錐P-A8C中，已知

PA=AB=4C=2,N尸==與是線段BC上的點(diǎn)，BD=2DC,AD1PB.若

三棱錐尸-ABC的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球0的表面積為.

18.（2022?貴州?貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)（文））在三棱錐P-A8C中，已知

7T2冗

21=48=4：=2,/幺8=1,/847=（,。是線段8。上的點(diǎn)，AOJ.AB,A￡>,P8.若三棱

錐P-ABC的各頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為.

19.（2022?甘肅?高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））己知點(diǎn)A,B,C均在球。的球面上運(yùn)動(dòng)，

且滿足NAOB=q,若三棱錐ABC體積的最大值為6,則球。的體積為.

20.（2022?四川?成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)有限責(zé)任公司高三期中（理））如圖，在

7T71

三棱錐A—PBC中，已知NAPC=-，NBPC=—，PALAC,PB工BC,平面PAC_L平面

43

PBC,三棱錐A-PBC的體積為正，若點(diǎn)尸，A,B,C都在球。的球面上，則球。的表

面積為_(kāi)___________

參考答案

【真題回歸】

1.（2022?全國(guó)?高考真題（文））已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四個(gè)頂點(diǎn)

均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.JC.旦D.也

3232

【答案】c

【解析】［方法一］:【最優(yōu)解】基本不等式

設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD,四邊形ABCD所在小圓半徑為「，

設(shè)四邊形ABCO對(duì)角線夾角為a,

(當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立)

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為2,

又設(shè)四棱錐的高為萬(wàn)，則產(chǎn)+力2=/,

0'ABCD333K3J27

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)=2川即仁當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

故選：C

［方法二］:統(tǒng)一變量+基本不等式

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為“，底面所在圓的半徑為

r，則r=所以該四棱錐的高分、口L

2V2

(當(dāng)且僅當(dāng)9=1-1,即時(shí)，等號(hào)成立)

所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高/?=

故選：C.

［方法三］:利用導(dǎo)數(shù)求最值

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為“，底面所在圓的半徑為

〃，則r=也〃，所以該四棱錐的高。V」/「Z,令/=?0<“<2),v=l/一￡

2V23V23V2

設(shè)/⑺=/一；，則r(?25當(dāng)，

o</<1,單調(diào)遞增，X<2,r(f)<0,單調(diào)遞減,

所以當(dāng)/=：時(shí)，丫最大，此時(shí)

故選：c.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；

方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問(wèn)題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通

性通法.

2.（2021?全國(guó)?高考真題（理））已知A,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且

AC_L8cAe=8C=1,則三棱錐O-A3c的體積為（）

A.正