高考數(shù)學(xué)滿分突破之5年全國卷高考真題(2016-2021)與優(yōu)質(zhì)模擬題(理科)(解析版)

專題5.1平面向量

A組5年高考真題

1.(2020全國川理6)已知向量a全滿足時=5,網(wǎng)=6,。?力=-6,則8s(a,a+〃)=()

3119八17c19

A.---nB.----C.一D.—

35353535

【答案】D

【思路導(dǎo)引】計算出7(￡+9、K+q的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出cos<￡,￡+加〉的值.

【解析】..?卜|=5,|同=6.￡.石=-6，.,.7(￡+萬)=同+￡4=52—6=19.

卜+耳=++2a-b+h'-j25-2x6+36=7，因此

___aAa+b\1919

cos<a,a+b>-_------=一.故選D.

\^-\a+b\5x735

2.(2018?新課標(biāo)I[，理4)已知向量1,?滿足|R=1,4石=一1,則d.(21-b)=()

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

【解析】向量d,6滿足|d|=l,a?b=-1,則—6)=2n2—萬妨=2+1=3,故選5.

uuv]J3uus-J31

3.(2016新課標(biāo)，理3)已知向量BA=(5，T),BC=(—則NABC=

(A)30°(B)45°.(C)60°(D)120°

【答案】A

1G百1

【解析】由題意，得COS/ABC=|BAHBCI=2」]*]22.=萬所以NABC=30。，故選A.

4.(2019?新課標(biāo)H,理3)已知麗=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,則通.配=()

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】C

【解析】vAB=(2,3),AC=(3,r),BC=AC-AB=(l,t-3),-.1BC|=1,.1—3=0即配=(1,0),則

AB-BC=2,故選C.

5.（2017?新課標(biāo)H,理12）已知AABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則⑸?（而+前）

的最小值是（）

3

A.-2B.--cD.-1

2-4

【答案】B

【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點為坐標(biāo)原點，則4（0,后），5（-1,0）,C（l,0）,

設(shè)P(x,y),則PA=(-x,y[3-y),而=(-l-x,-y),PC=(1-x,-y),則

PA^PB+PC)=2x2-2y/3y+2y2=2[x2+當(dāng)x=0,y=*時，取得最小值2x(_}=_g,

6.（2017?新課標(biāo)HI,理12）在矩形ABC。中，AB=\,AD=2,動點P在以點C為圓心且與B力相切的

圓上.若AP=XA月+〃4力，則＞1+〃的最大值為（）

A.3B.272C.>/5D.2

【答案】A

【解析】如圖：以A為原點，以4?,4）所在的直線為為，y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,

則A(0,0),8(1,0),0(0,2),C(l,2),?.?動點尸在以點C為圓心且與加相切的圓匕

設(shè)圓的半徑為r,?.?3C=2,CD=1.：.BD=y/22+l2=75,-BC.CD=-BD>r,：.r=^=,

22石

圓的方程為(x—4+(y-2)2=}設(shè)點尸的坐標(biāo)為(手cosO+1,^sin6>+2),

???小噸+國…第—竽疝。+2)=如。)+〃(。,2)-2〃),

/.-^^-cos^+l=A,^^sine+2=2〃，「.X+〃=^^cose+^^sin6+2=sin(e+0)+2,其中tan0=2,

?..-l<sin(e+°)<l,...1"之+〃<3,故〃的最大值為3,故選A.

7.（2015新課標(biāo)I,理5）已知M（xo.yo）是雙曲線C：-^-y2=1上的一點，F(xiàn)i、Fz是C上的兩個焦點,

若M片?MF2<0,則y。的取值范圍是（）

（A）QT）

?（一半半）(D)(---,十)

【答案】A

2

【解析】由題知耳(—名,0),6(6,0),3-乂=1,所以胡?喇=(-右一天,-%)?(6-毛,—%)

=X：+y；-3=3y；-1<0,解得一故選A.

8.(2011新課標(biāo)，理10)已知。與。均為單位向量，其中夾角為氏有下列四個命題

P|:|?+Z>|>1<=>^G[0,-^)P2：1。+M>1o。,71}

TTTT

Pi：|?-/>|>1<=>6>G[0,y)p4:\a-b\>\<^>6>G(y,n\

其中真命題是

(A)Pi，p4(B)Pi，P3(C)p2,P3(D)P3,p4

【答案】A

【解析】由I"+R>1得，a2+2a?b+b2>\,即a?>>-L即cos6=f^>-1，

2\a\\b\2

八八24、

萬],.^e[0,—),

由|。一)|>1得，a~-2a?b+b~>\,即gpcos0-<y,G［O,乃］,Oe((,乃］,

故選A.

9.(2018?新課標(biāo)I,理6文7)在AABC中，AT>為8C邊上的中線，E為4)的中點，則E月=()

3___1____1____?____3___1____1____3____

A.-AB——ACB.-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444444

【答案】A

【解析】在AABC中，4)為3c邊上的中線，E為AD的中點，，麗=A月一通=A^-』A/5

2

—.11—.―?3—?1—.,

=AB——x-(AB+AC)=-AB——AC,故If選A.

2244

10.(2015新課標(biāo)I,理7)設(shè)D為?ABC所在平面內(nèi)一點8弓=3。方，貝IJ()

(A)AD=-^AB+^AC(B)AD=^AB-^AC

(C)AD=-AB+-AC(D)AD=-XB--AC

3333

【答案】A

【解析】由題知而=/+麗=/+4而=前+4(/一通)==一!通+3衣，故選A.

3333

11.(2016新課標(biāo)，理3)已知向量。=(1,m)，6=(3,-2),且(a+b)_Lb,貝U()

(A)-8(B)-6(C)6(D)8

【答案】D

【解析】由題知。+/?=(4,初一2),所以(a+6)?b=4x3-2(加-2)=0,解得m=8,故選D.

12.(2014新課標(biāo)II,理3文4)設(shè)向量海3滿足|,+B|=M,\a-b\=y［f>,則無B=()

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

［解析］.?.|。+.=廂，\a-b\=s/6,A(a+&)2=10?…<D,("b=6……②

由j一②得：ab=\,故選A.

13.（2019?新課標(biāo)HI,理13）已知2,6為單位向量，且彳石=0,若E=2d-回,則coscl,c>=

【答案】-

3

【解析】?/a.c=a.(2a-回)=2求-質(zhì)石=2,c2=(2d-y/5b)2=4a2-4病后+55?=9,

__a>c2

.'Jc=3,,'.cos<a,c>=--------=—.

I?IRI3

14.(2017?新課標(biāo)I,理13)已知向量2,5的夾角為60。，|萬|=2,出|=1,則|4+2勿=.

【答案】26

【解析】向量機(jī)5的夾角為60。，且|刖=2,|5|=1,3+25)2=卻+4必6+4戶

=22+4x2xlxcos600+4xl2=12,a+2^|=2>/3.

15.(.2018?新課標(biāo)m,理13)已知向量1=(1,2),5=(2,-2),c=(l,A).若3//(2a+5),則2=.

【答案】-

2

【解析】?.?向量d=(l,2),b=(2-2),2a+b^(4,2),vc=(l,A),c//(2a+b),.

：.-=解得；1=」.

422

16.(2015?新課標(biāo)H,理13)設(shè)向量5不平行，向量24+B與a+2b平行，則實數(shù)4=.

【答案】-

2

【解析】「向量日不平行，向量XM+6與M+26平行，Aa+b=t(a+2b)=ta+2th,

,解得實數(shù)2=1.

[\=2t2

17.(2020全國II理13)已知單位向量〃的夾角為45。，左〃-〃與〃垂直，則％=.

【答案】叵

2

【思路導(dǎo)引】首先求得向量的數(shù)量積，然后結(jié)合向量垂直的充分必要條件即可求得實數(shù)左的值.

【解析】由題意可得：WE=lxlxcos45"=孝，由向量垂直的充分必要條件可得：(&.，?：=0,

即：k工二4=k一旦=3解得"=也，故答案為：—.

222

18.(2020全國I理14)設(shè)為單位向量，且心+4=1,貝1°一.=.

【答案】G

【思路導(dǎo)引】整理已知可得：|a+.=J（a+》）2,再一利用￡出為單位向量即可求得2a/=-L對

|。一可變形可得：|1|=荷_2a1+時問題得解.

【解析】?“，）為單位向量，，|a|=|a=1,

，|a+.=J(a+4)-=『+2a,J+=\j2+2a-b=1,解得：2ab=~\.

；?,—.=J(a-方卜-^|a|~—2a-6+|/>|-=>/3.故答案為：

19.（2014新課標(biāo)I,理15）已知A,B,C是圓。上的三點，若衣=g（而+正），則入方與衣的夾

角為______

【答案】90°

―.1—.―.

【解析】AO^-（AB+AC）,，。為線段BC中點，故BC為。。的直徑，

NBAC=90°,，而與比的夾角為90°.

20.（2013新課標(biāo)I,理13文13）已知兩個單位向量a,6的夾角為60。，c=ta+（l-t）b,若bc=0,則

【答案】2

011

【解析】b?c=b*[ta+(l-t)b]=ta?b+(l-t)b2=-t+\-t=l——t=O,解得f=2.

22

21.(2013新課標(biāo)II,理13文14)已知正方形ABC的邊長為2,E為CD的中點，則荏切方=

【答案】2

【解析】AE-BD=(AD+-AB)?(AD-AB)=|A￡)|2--1AB|2=4-2=2.

22

B組能力提升

22.（2020屆安徽省合肥市高三第二次質(zhì)檢）在平行四邊形ABCD中，若瓦=反,AE交BD于F點,

則赤=（）

A.-AB+-ADB.-AB--AD

3333

C.-AB--ADD.-AB+-AD

3333

【答案】D

【解析】如圖，：詼=后e，，E為CD的中點，

設(shè)衣=4荏=%（荏+就+；①）=%（而+而

?J=yAB+2AD,且B,F,D三點共線,

22

+2=1,解得幾=彳，

23

.AF=-AB+-Ab.

33

故選D。

BA

23.（2020屆安徽省皖南八校高三第三次聯(lián)考）在AA5c中,AC=5AD，E是直線3。上一點，且

BE^IBD,若荏=加而+〃比則加+〃=（）

2233

A.-B.-----C.一D.--

5555

【答案】D

—2—3

【解析】AE=AB+BE=AB+2BD=AB+2（AD-AB）——ABH---AC,777+M=----.

55

故選D。

B滿足。=。,一2),B=(-3"),且

24.（2020屆甘肅省高三第一次高考診斷）已知平面向量

+則忖=（）

A.3BMC.2百D.5

【答案】B

【解析】3+5=(1,-2)+(—3")=(—2,/—2)

由+所以a-(a+B)=O

lx(-2)+(-2)x(r-2)=0.

t-\,^=(-3,1).|^|=V10

故選B。

25.（2020屆甘肅省蘭州市高三診斷）已知非零向量￡,B給定，與使得￡=九心

4：卜+目=.|+忖,則p是g的（

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

c.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

［解析］P：皿GR,使得〃=焉，則a,B共線,

“審+q=忖+忖等價于￡,辦同向，

因此夕是q的必要不充分條件.

故選B。

26.（2020屆廣東省東莞市高三模擬）已知平面向量3、B的夾角為135。，且￡為單位向量，5=（1/）,

則歸+?=（）

A.75B.3+夜C.1D.3-72

【答案】C

【解析】由題意得|1|=1,|6|=0,ab=-\,則|G+l|=+2d.（+5）=1.故選C。

|11叫

27.（2020屆廣東省汕頭市高三第一次模擬）已知四邊形ABCD為平行四邊形，［AB|=j2,

|AD|=V3,M為CD中點，BN=2NC,則麗?麗7=（）

【答案】A

【解析】

麗.麗=（通+麗配+:可

+的通［冊）

故選Ao

28(2020屆廣東省湛江市模擬)已知方=(2,-6),5=(3/)，則向量々+5在5方向上的投影為

().

A.—6B.—y/10C.D.J10

【答案】D

【解析】：a=(2,-6),5=(3,1),5+h=(5,-5).

(a+b)-h—5x3+(—5)x1=1(),|們=+F=V10-

二向量d+5在5方向上的投影為皎坐==Jib

WVio

故選D。

7F

29.(2020屆陜西省漢中市高三質(zhì)檢)在直角AABC中，ZC=-,AB=4,AC=2,若