第01講數(shù)與式的運(yùn)算（4個(gè)考點(diǎn)6大題型）（原卷版）

數(shù)與式的運(yùn)算1.絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零．即絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離。2.乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三數(shù)和平方公式；（4）兩數(shù)和立方公式；（5）兩數(shù)差立方公式3.二次根式一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱為無(wú)理式.例如，等是無(wú)理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化．為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類(lèi)似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類(lèi)二次根式．2．二次根式的意義4.分式1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：；；其性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．【題型1根據(jù)絕對(duì)值化簡(jiǎn)】【典例1】（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）閱讀下列材料．我們知道|x|＝，現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式．例如：化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時(shí)，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1和x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點(diǎn)值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．從而在化簡(jiǎn)|x+1|+|x﹣2|時(shí)，可分以下三種情況：①當(dāng)x＜﹣1時(shí)，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當(dāng)﹣1≤x＜2時(shí)，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③當(dāng)x≥2時(shí)，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．∴|x+1|+|x﹣2|＝，通過(guò)以上閱讀，解決問(wèn)題：（1）|x﹣3|的零點(diǎn)值是x＝（直接填空）；（2）化簡(jiǎn)|x﹣3|+|x+4|；（3）直接寫(xiě)出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．【變式1-1】（2022秋?東港區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)1＜x＜3時(shí)，化簡(jiǎn)|x﹣3|+|x﹣1|．【變式1-2】（2022秋?黔東南州期中）同學(xué)們都知道，|7﹣（﹣4）|表示7與﹣4之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為7與﹣4兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．|7﹣4|也可理解為7與4兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）求|7﹣（﹣4）|＝．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x﹣（﹣6）|+|x﹣2|＝8這樣的整數(shù)是．（3）由以上探索猜想對(duì)于任何有理數(shù)x，|x﹣1|+|x﹣5|是否有最小值？如果有寫(xiě)出最小值請(qǐng)嘗試說(shuō)明理由．如果沒(méi)有也要請(qǐng)嘗試說(shuō)明理由．【變式1-3】（2021秋?廣豐區(qū)期末）對(duì)于式子|x﹣1|+|x﹣5|在下列范圍內(nèi)討論它的結(jié)果．（1）當(dāng)x＜1時(shí)；（2）當(dāng)1≤x≤5時(shí)；（3）當(dāng)x＞5時(shí)．【變式1-4】（2021秋?江岸區(qū)期中）閱讀下列材料．我們知道|x|＝，現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式．例如：化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時(shí)，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1和x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點(diǎn)值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．從而在化簡(jiǎn)|x+1|+|x﹣2|時(shí)，可分以下三種情況：①當(dāng)x＜﹣1時(shí)，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當(dāng)﹣1≤x＜2時(shí)，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③當(dāng)x≥2時(shí)，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．∴|x+1|+|x﹣2|＝，通過(guò)以上閱讀，解決問(wèn)題：（1）|x﹣3|的零點(diǎn)值是x＝（直接填空）；（2）化簡(jiǎn)|x﹣3|+|x+4|；（3）關(guān)于x，y的方程|x﹣3|+|x+4|+|y﹣2|+|y+1|＝10，直接寫(xiě)出x+y的最小值為．【題型2根據(jù)乘法公式因式分解求含參數(shù)的值】【典例2】（2023?呈貢區(qū)校級(jí)三模）已知4x2+kx+9可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則k的值為（）A．6 B．±6 C．12 D．±12【答案】D【解答】解：∵4x2+kx+9＝（2x±3）2，∴k＝±12．故選：D．【變式2-1】（2022秋?肇源縣期末）若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，則k的值是（）A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．無(wú)法確定【變式2-2】（2022秋?安次區(qū)期末）若x2+（m﹣3）x+4能用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則常數(shù)m的值為（）A．1或5 B．7或﹣1 C．5 D．7【變式2-3】（2022春?寶雞期末）下列單項(xiàng)式中，使多項(xiàng)式16a2+M能用平方差公式因式分解的M是（）A．a(chǎn) B．b2 C．﹣16a D．﹣b2【題型3運(yùn)用乘法公式因式分解】【典例3】（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）分解因式：（x2﹣5xy）2﹣16y4．【變式3-1】（2023?未央?yún)^(qū)校級(jí)三模）因式分解：9（m+n）2﹣16（m﹣n）2．【變式3-2】（2022春?北湖區(qū)校級(jí)期中）能用完全平方公式因式分解的是（）A．a(chǎn)2﹣4ab+4b2 B．a(chǎn)2﹣4ab﹣4b2 C．﹣a2+4ab+4b2 D．a(chǎn)2﹣2ab+4b2【變式3-3】（2022?南京模擬）把下列各式因式分解：①﹣9（x+y）2+（x﹣y）2；②2（y﹣1）2+12（1﹣y）+18；③（a2+b2）2﹣4a2b2．【題型4運(yùn)用整體法-因式分解】【典例4】（2021秋?昭陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）先閱讀下列材料，再解答下列問(wèn)題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再將“A”還原，得原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）因式分解：1+2（5x﹣7y）+（5x﹣7y）2．（2）因式分解：（x+y）（x+y﹣4）+4．【變式4-1】（2021秋?岳池縣期末）分解因式：（a+b）4﹣2（a+b）2+1．【變式4-2】（2022春?岳陽(yáng)縣期中）先閱讀下列材料，再解答下列問(wèn)題：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再將“A”還原，得原式＝（x+y+1）2，上述解題用到得是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：（x+y）（x+y+18）+81．【變式4-3】（2021秋?乳山市期末）【方法提取】：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是在公式化體系的不斷完善中進(jìn)行的．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方差公式，在平方差公式的基礎(chǔ)上，可以對(duì)式子a3﹣b3進(jìn)行如下推導(dǎo)：a3﹣b3＝a3﹣a2b+a2b﹣b3＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）[a2+b（a+b）]＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．對(duì)于a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），稱為立方差公式．【公式推導(dǎo)】：請(qǐng)推導(dǎo)立方和公式：a3+b3．【公式應(yīng)用】請(qǐng)利用上面的公式進(jìn)行因式分解：（直接寫(xiě)結(jié)果）（1）x3﹣27＝；（2）＝．【題型5二次根式的乘除法運(yùn)算】【典例5】（2023春?上海期中）計(jì)算：4×．【變式5-1】（2023春?普陀區(qū)期中）計(jì)算：．【變式5-2】（2023春?黃浦區(qū)期中）×4÷【題型6巧用完全平方公式化簡(jiǎn)二次根式】【典例6】（2023春?興寧區(qū)校級(jí)期中）【閱讀材料】小明在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以化成另一個(gè)式子的平方，如：；+2×1×＝（1+）2．【類(lèi)比歸納】（1）請(qǐng)你仿照小明的方法將7+2化成另一個(gè)式子的平方；（2）請(qǐng)運(yùn)用小明的方法化簡(jiǎn)；．【變式探究】（3）若a+2＝，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．【變式6-1】（2023春?上海期中）先閱讀下列的解答過(guò)程，然后再解答：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得（）2+（）2＝m，，那么便有：＝＝．（a＞b）例如：化簡(jiǎn)：解：首先把化為，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，＝，所以＝＝＝2+，（1）填空：＝，＝；（2）化簡(jiǎn)：＝．【變式6-2】（2023春?趙縣期中）【閱讀材料】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)＝（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類(lèi)似的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：【問(wèn)題解決】．（1）若，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，則a＝，b＝．（均用含m、n的式子表示）（2）若，且x、m、n均為正整數(shù)，分別求出x、m、n的值．【拓展延伸】（3）化簡(jiǎn)＝（直接寫(xiě)出結(jié)果）．【變式6-3】（2022秋?德化縣期末）請(qǐng)閱讀下列材料：形如的式子的化簡(jiǎn)，我們只要找到兩個(gè)正數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，那么便有（a＞b）．例如：化簡(jiǎn)．解：首先把化為，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，所以．請(qǐng)根據(jù)材料解答下列問(wèn)題：（1）填空：＝．（2）化簡(jiǎn)：（請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）．【題型7根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值】【典例7】（2023春?玄武區(qū)校級(jí)期中）閱讀理解材料1：小學(xué)時(shí)常常會(huì)遇到將一個(gè)假分?jǐn)?shù)寫(xiě)成帶分?jǐn)?shù)的問(wèn)題，在這個(gè)過(guò)程中，先計(jì)算分子中包含幾個(gè)分母，求出整數(shù)部分，再把剩余的部分寫(xiě)成一個(gè)真分?jǐn)?shù)．例如：．類(lèi)似地，我們可以將分式寫(xiě)成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)新分式的和．例如：，．材料2：為了研究字母x和分式值得變化關(guān)系，小明制作了如下表格：x…﹣3﹣2﹣10123……﹣2﹣3﹣6無(wú)意義632…請(qǐng)根據(jù)上述材料完成下列問(wèn)題：（1）把下列分式寫(xiě)成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)新分式的和的形式；＝，＝．（2）隨著x值的變化，分式的值是如何變化的？（3）當(dāng)x大于2時(shí)，隨著x的增大，分式的值無(wú)限趨近于一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是．【變式7-1】（2022秋?渝北區(qū)期末）閱讀下列材料，解決問(wèn)題：定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．如：，這樣的分式就是真分式；當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，如，這樣的分式就是假分式．假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．例如：；又如：；＝．（1）分式是（填“真分式”或“假分式”）；（2）將假分式化為帶分式；（3）如果分式的值為整數(shù)，求所有符合條件的整數(shù)x的值．【變式7-2】（2023春?鹽都區(qū)期中）閱讀下列材料：我們知道，分子比分母小的數(shù)叫做“真分?jǐn)?shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”．類(lèi)似地，我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．如：，這樣的分式就是假分式：再如：，這樣的分式就是真分式，假分?jǐn)?shù)可以化成1（即1）帶分?jǐn)?shù)的形式，類(lèi)似的，假分式也可以化為帶分式．如：．解決下列問(wèn)題：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化為帶分式的形式為；（3）如果分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x的值；（4）若分式的值為m，則m的取值范圍是（直接寫(xiě)出結(jié)果）．【變式7-3】（2023春?靖江市校級(jí)月考）觀察下列式子，并探索它們的規(guī)律：；．（1）根據(jù)以上式子填空：①．②．（2）求分式的最小值．（3）已知x為整數(shù)，求能使分式的值為整數(shù)的所有x值的和．1．（2022秋?泰山區(qū)校級(jí)月考）將多項(xiàng)式x2﹣1因式分解正確的是（）A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2） C．（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）2．（2022春?下城區(qū)期中）已知a≠c，若M＝a2﹣ac，N＝ac﹣c2，則M與N的大小關(guān)系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不能確定3．（2021秋?豐南區(qū)期末）已知m+n＝2，則m2﹣n2+4n的值是（）A．2 B．6 C．4 D．84.（2023春?西城區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：＝；＝．5.（2023春?長(zhǎng)壽區(qū)校級(jí)月考）將化為最簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果為．6．（2023春?雄縣月考）化成最簡(jiǎn)二次根式：＝．7.（2022春?環(huán)江縣期中）計(jì)算：．8．（2022秋?祁陽(yáng)縣校級(jí)期中）若|a|＝7，|b|＝3，（1）若ab＞0，求a+b的值．（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．9．（2022秋?洛川縣期末）因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2．10．（2020秋?江岸區(qū)期末）化簡(jiǎn)并填空：（1）當(dāng)﹣≤x≤1時(shí)，化簡(jiǎn)|3x+1|﹣2|x﹣1|；（2）當(dāng)|x|+|x+4|最小時(shí)，|3x+1|﹣2|x﹣1|的最大值為．11．（2020秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）閱讀下列材料，并解決有關(guān)問(wèn)題：我們知道，|x|＝，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的式子，例如化簡(jiǎn)式子|x+1|+|x﹣2|時(shí)，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1、2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點(diǎn)值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)不重復(fù)且不遺漏地分成如下三種情況：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．從而化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|可分為以下3種情況：（Ⅰ）當(dāng)x＜﹣1時(shí)，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；（Ⅱ）當(dāng)﹣1≤x＜2時(shí)，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；（Ⅲ）當(dāng)x≥2時(shí)，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1；綜上所述：原式＝．通過(guò)以上閱讀，請(qǐng)你類(lèi)比解決以下問(wèn)題：（1）填空：|x+2|與|x﹣4|的零點(diǎn)值分別為；（2）化簡(jiǎn)式子|x﹣3|+2|x+4|．12．（2021秋?芝罘區(qū)期中）在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們常用到“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的（探究）．（提出問(wèn)題）兩個(gè)有理數(shù)a、b滿足a、b同號(hào)，求的值．解：①若a、b都是正數(shù)，即a＞0，b＞0，|a|＝a，|b|＝b，則＝＝1+1＝2；②若a、b都是負(fù)數(shù)，即a＜0，b＜0，有|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，則＝＝（﹣1）+（﹣1）＝﹣2，所以的值為2或﹣2．（探究）請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題：（1）兩個(gè)有理數(shù)a、b滿足a、b異號(hào)，求的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，且a＜b＜c，求a+b+c的值．13．（2023春?蜀山區(qū)校級(jí)期中）閱讀下列例題．在學(xué)習(xí)二次根式性質(zhì)時(shí)我們知道，例題：求的值．解：設(shè)x＝，兩邊平方得：x2＝（）2＝（）2+（）2+2（）（），即，x2＝10，∴x＝±．∵，∴．請(qǐng)利用上述方法，求的值．14．（2022秋?永定區(qū)期末）閱讀下列例題．在學(xué)習(xí)二次根式性質(zhì)時(shí)我們知道例題求的值．解：設(shè)x＝，兩邊平方得：，即，x2＝10∴x＝．∵＞0，∴＝．請(qǐng)利用上述方法，求的值．15．（2