剛體定軸轉(zhuǎn)動課件

剛體的定軸轉(zhuǎn)動1.剛體的平動

連接剛體中任意兩點的線段在運動中始終保持平行。一、剛體的平動和轉(zhuǎn)動

特點:

剛體上所有點的

運動軌跡、

都相同,

可用質(zhì)點運動來描述?！飫傮w

—★

說明：1.剛體是理想模型。2.在外力的作用下,其上任意兩點均不發(fā)生相對位移。受力而不形變的物體?！?-1剛體的運動

將剛體的運動看作其質(zhì)心的平動與相對于通過質(zhì)心并垂直運動平面的軸的轉(zhuǎn)動的疊加。3.剛體的一般運動

剛體上各點都繞同一轉(zhuǎn)軸作半徑不同的圓周運動，在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。2.剛體的定軸轉(zhuǎn)動特點：⑴剛體上各點在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運動；⑵剛體上各點的均相同。二、定軸轉(zhuǎn)動的描述參考平面

—

與轉(zhuǎn)軸相垂直的平面。

2.

運動方程—

位矢與

ox

軸夾角。

★規(guī)定：

定軸轉(zhuǎn)動只有兩個轉(zhuǎn)動方向

位矢沿ox

軸

逆時針方向轉(zhuǎn)動時角位置

為正，反之為負(fù)。1.角坐標(biāo)參考方向參考平面5.角加速度6.角量與線量的關(guān)系4.角速度3.角位移xO(P.103)xO三、力矩對于定軸轉(zhuǎn)動,力矩的方向可用正、負(fù)號表示之。對O

點力矩:大小:方向:1.力矩的定義右手法則：伸出右手四指垂直拇指，讓四指指向的方向，經(jīng)小于的角度轉(zhuǎn)向的方向，拇指指向的方向。O和所決定的平面(3)合力矩的大小等于各力矩的代數(shù)和。

若力F不在參考平面內(nèi),M

=?？2.討論:例：(4)

剛體內(nèi)各質(zhì)點間內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。(1)與轉(zhuǎn)軸垂直且通過轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生力矩。(2)

與轉(zhuǎn)軸平行的力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。O2dO3.力矩的計算舉例例1：水平桌面上勻質(zhì)細(xì)桿長

l

，質(zhì)量

m，繞一端垂直軸轉(zhuǎn)動，已知摩擦系數(shù)為μ

，求：細(xì)桿受的摩擦力矩Mf

。解：方向：例2：水平桌面上勻質(zhì)薄圓盤半徑R

，質(zhì)量

m

，繞中心垂直軸轉(zhuǎn)動，已知摩擦系數(shù)為μ

，求：圓盤受的摩擦力矩

Mf

。解：選細(xì)圓環(huán)，半徑

r

，寬

dr

方向：四、轉(zhuǎn)動定律

(重點）（p100）1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律2.轉(zhuǎn)動定律的推導(dǎo)

(5-15)剛體上任意質(zhì)元

位矢合外力合內(nèi)力由牛頓定律:故只列切向分量式：兩端同乘得：自然坐標(biāo)系中，法向分力的力矩為零，

對組成剛體的所有質(zhì)元求和得：剛體的合外力矩合內(nèi)力矩

=0由此得出：其中：—

稱剛體的轉(zhuǎn)動慣量—

轉(zhuǎn)動定律(5-15）兩端同乘得：()J3.討論⑸

均對同一轉(zhuǎn)軸,具有瞬時性，M

指合外力矩。轉(zhuǎn)動定律

—

剛體所受合外力矩=剛體轉(zhuǎn)動慣量×角加速度。

⑴

J

一定，則，M是改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因。⑵

M

一定，則，J

是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。⑶M=0，則

α

=0，ω=

常量，剛體保持轉(zhuǎn)動狀態(tài)不變。⑷

M=常量，則

α

=常量，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動。

五、轉(zhuǎn)動慣量J⑵質(zhì)點組⑶質(zhì)量連續(xù)分布的剛體1.J

的計算⑴單個質(zhì)點線分布面分布體分布—質(zhì)量線密度

—質(zhì)量面密度

—質(zhì)量體密度

O●⑴剛體的總質(zhì)量；3.決定

J

的三個因素

2.

J

的單位

⑶轉(zhuǎn)軸的位置。⑵質(zhì)量分布；

同一剛體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不同，凡是提到轉(zhuǎn)動慣量，必須指明它是對哪個軸的才有意義?！锝Y(jié)論：

J

的意義：剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。(1)

轉(zhuǎn)軸過中心與桿垂直取質(zhì)元：(2)轉(zhuǎn)軸過棒一端與棒垂直5.J

的計算舉例

講義P.97

例5-2

例題1:計算勻質(zhì)細(xì)桿的

J

。dmdm取質(zhì)元：

Rm其中：例題2:均勻細(xì)圓環(huán)的

J

(質(zhì)量m，半徑R，軸過圓心垂直環(huán)面)。dm取細(xì)圓環(huán)例題3:勻質(zhì)薄圓盤的J

(質(zhì)量

m

，半徑

R

，軸過圓心垂直盤面)。

講義P.98例5-3

其中：適用情況:6.平行軸定理說明：⑴兩軸平行；⑵

JC

為剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量；⑶

d

為兩平行軸間的距離。dCACACA(5-7)例：勻質(zhì)細(xì)桿⑴力矩和轉(zhuǎn)動慣量必須對同一轉(zhuǎn)軸而言。

⑵

選定轉(zhuǎn)軸正方向,以確定力矩、角加速度、角速度的正負(fù)。

⑶當(dāng)系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動物體，又有平動物體時,用隔離法解題。對轉(zhuǎn)動物體用轉(zhuǎn)動定律建立方程,對平動物體則用牛頓定律建立方程?！镒⒁猓毫?、轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用（重點）

1.隔離法分析研究對象，建立坐標(biāo)系。2.對剛體列轉(zhuǎn)動定律方程，對質(zhì)點列牛頓定律方程。3.列出輔助方程。解:隔離法列出運動方程從以上各式解得T2T1m1gm2gm2m1輔助方程：①②③④T1T2mOm2m1am例題4:一輕繩跨過定滑輪如圖所示，繩兩端分別懸掛質(zhì)量為

的物體，且，滑輪可視為質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)圓盤，軸處摩擦力矩為，繩不可伸長且與滑輪間無相對滑動，求重物的加速度及繩中的張力。若忽略

Mf

，則：

前面例題已求出圓盤所受的的摩擦力矩：解:設(shè)的方向為正由轉(zhuǎn)動定律

得：

∴是勻變速轉(zhuǎn)動，由ROm令得：例題5:一質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)圓盤，以角速度繞垂直于盤面的中心軸旋轉(zhuǎn)，如圖所示。今將該圓盤置于水平面上，其間的摩擦系數(shù)為，問圓盤轉(zhuǎn)動多長時間停止。例題6:物理練習(xí)二填空題1解:⑴因為是變力矩,與方向相反。當(dāng)時，⑵令

得：由得：由得：軸轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)動慣量為,在時角速度為,此后飛輪經(jīng)歷制動過程,阻力矩的大小與角速度的平方成正比,比例系數(shù)為大于0的常數(shù),當(dāng)時,飛輪的角加速度,從開始制動到所經(jīng)歷的時間飛輪繞中心垂直練習(xí)題：質(zhì)量為m的物體懸于輕繩的一端，繩繞在一輪軸上，如圖所示。軸水平，輪半徑為r，物體由靜止釋放，在時間t內(nèi)下降距離為h，試求整個輪軸的轉(zhuǎn)動慣量J（用m、

r、t和h表示）

解：聯(lián)立（1）—（3）解得：代入（4）式得：七、力矩的功（p98）

⑴反映力矩的空間累積結(jié)果。2.總功：1.元功3.說明:⑵恒力矩的功⑶合外力的功=

合外力矩的功。⑷合內(nèi)力矩的功=0。

(5-11)八、剛體的轉(zhuǎn)動動能

(P.94)

剛體分為質(zhì)元定軸轉(zhuǎn)動時各質(zhì)元動能：剛體的轉(zhuǎn)動動能=

各質(zhì)元動能的總和：—

剛體的轉(zhuǎn)動動能1.是剛體上所有質(zhì)元動能之和?！?/p>

特點:(5-5)2.因轉(zhuǎn)動而存在，可使剛體反抗阻力矩做功。九、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理

(P.100)

由轉(zhuǎn)動定律—合外力矩對剛體所做的功=

剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。得剛體的轉(zhuǎn)動動能定理(5-14)★

說明：

1.定理描述了力矩作用的空間累積效果,適用于定軸轉(zhuǎn)動的剛體。2.定軸轉(zhuǎn)動剛體的機械能=勢能+轉(zhuǎn)動動能。（其中h

為剛體質(zhì)心到勢能零點的垂直高度）3.系統(tǒng)(剛體+質(zhì)點)

的動能定理為4.系統(tǒng)僅保守力做功,機械能守恒。解：前面已求出摩擦力矩利用轉(zhuǎn)動動能定理求轉(zhuǎn)過的角度。恒摩擦力矩做負(fù)功，固有即：得轉(zhuǎn)過的圈數(shù)：例1:一質(zhì)量為m，長為L的勻質(zhì)細(xì)桿，在水平面內(nèi)繞端點O的鉛直軸轉(zhuǎn)動，如圖所示，若初始角速度為，桿與水平面的摩擦系數(shù)為μ。求（1）細(xì)桿所受的摩擦力矩Mf；（2）若細(xì)桿只受此摩擦力矩的作用，它轉(zhuǎn)動多少圈能靜止？另解:前面已求出摩擦力矩

利用轉(zhuǎn)動定律求轉(zhuǎn)過的角度,根據(jù)轉(zhuǎn)動定律:利用公式:則有:轉(zhuǎn)過的圈數(shù)：

例題2P1095—10

解：（1）開始擺動時，重力矩為：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律：（2）解法一取桿為研究對象，外力矩為重力矩，在任意位置θ總功：根據(jù)動能定律：解法二取桿+地球為系統(tǒng)，系統(tǒng)滿足機械能守恒的條件取豎直位置為勢能零點，則有：

例題3:在長為l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿的一端，固定一質(zhì)量為m的小球，可繞過桿的另一端的水平軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，如圖所示，若軸處無摩擦，試求（1）剛體繞軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量；（2）若由水平位置釋放，當(dāng)桿與豎直方向成θ角時的角速度為多大？此時小球的法向加速度為多大？

O解：⑴⑵由轉(zhuǎn)動動能定理得⑶§5—3定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量及守恒定律一.

質(zhì)點的角動量

(P.84)

大小：方向：右手法則

單位：注意：與參考點有關(guān)二.做圓周運動的質(zhì)點對圓心的角動量大?。悍较颍航莿恿?轉(zhuǎn)動慣量×角速度。(4-5)剛體角動量：

定軸轉(zhuǎn)動時剛體上各質(zhì)元繞同一軸做圓周運動，所以各質(zhì)元的角動量可寫為：三.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量

(P.103)

定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量

=剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量×角速度。方向：大?。嚎偨莿恿俊镒⒁?是對同一軸而言。(5-17)四、剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量定理

(P.104)

由轉(zhuǎn)動定律得1.沖量矩—⑴恒力矩沖量矩⑵變力矩沖量矩2.角動量定理

（重點）角動量定理

—

系統(tǒng)所受合外力矩的沖量矩=

系統(tǒng)角動量的增量。(5-21)力矩與其作用時間的乘積。3.說明⑴反映力矩的時間累積效應(yīng)—改變系統(tǒng)角動量。⑵恒力矩作用的角動量定理：⑶對定軸轉(zhuǎn)動而言，規(guī)定了正方向后角動量定理可寫為：★

注意：

本身有正有負(fù)。(5)

角動量定理不僅適用于質(zhì)點、剛體，也適用于非剛體和系統(tǒng)。(6)

式中所有的角量(

)都是對同一軸而言。角動量定理(4)角動量的變化由和兩個因素決定。3.角動量守恒的兩種情況：★說明：2.角動量守恒定律是一條普適定律。五、角動量守恒定律

(重點p104）

守恒條件

守恒式或

1.對質(zhì)點而言：，則⑴剛體定軸轉(zhuǎn)動時,如果不變,則不變；⑵如果改變,則也改變，=常量；或(5-22)常矢量。常矢量mmJ

花樣滑冰運動員通過改變身體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動慣量來改變轉(zhuǎn)速。人和轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動六、碰撞指相互作用時間極短，1.完全彈性碰撞質(zhì)點系：

動量守恒，機械能守恒剛體：

角動量守恒，機械能守恒系統(tǒng)：角動量守恒，機械能守恒2.

非完全彈性碰撞

質(zhì)點系：

動量守恒剛體：

角動量守恒系統(tǒng)：角動量守恒3.完全非彈性碰撞—

碰后系統(tǒng)獲同一速度或角速度機械能不守恒！遵守的定律與2

相同。角動量定理和守恒定律應(yīng)用舉例例1：物理練習(xí)二填空題3

已知：解：輪子受恒力矩作用，由角動量定理得：求：一個能繞固定軸轉(zhuǎn)動的輪子,除受到軸承的恒定摩擦力矩外,還受到恒定外力矩的作用,若,輪子對固定軸的轉(zhuǎn)動慣量為,在內(nèi),輪子的角速度由增大到,則.

一勻質(zhì)細(xì)桿長為L

，質(zhì)量為M，可繞通過O點的水平軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)桿從水平位置自由釋放后,它在豎直位置上與放在光滑水平面的質(zhì)量為m

的小滑塊相撞,碰后m的速度為v.求:相撞前后桿的角速度。解:除重力外,其余內(nèi)力與外力都不作功，故機械能守恒：⑴桿自由擺落的過程。①例題2:有兩個物理過程：得：COMLm

碰撞時間極短,沖力極大,系統(tǒng)對O

軸的角動量守恒，設(shè)順時針為正：②⑵碰撞過程得：桿以角速度與滑塊相碰碰后桿的角速度變?yōu)?，滑塊獲得水平向左的速度。