剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)課件

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1.剛體的平動(dòng)

連接剛體中任意兩點(diǎn)的線段在運(yùn)動(dòng)中始終保持平行。一、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)

特點(diǎn):

剛體上所有點(diǎn)的

運(yùn)動(dòng)軌跡、

都相同,

可用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)描述?！飫傮w

—★

說(shuō)明：1.剛體是理想模型。2.在外力的作用下,其上任意兩點(diǎn)均不發(fā)生相對(duì)位移。受力而不形變的物體。§5-1剛體的運(yùn)動(dòng)

將剛體的運(yùn)動(dòng)看作其質(zhì)心的平動(dòng)與相對(duì)于通過(guò)質(zhì)心并垂直運(yùn)動(dòng)平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。3.剛體的一般運(yùn)動(dòng)

剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作半徑不同的圓周運(yùn)動(dòng)，在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度。2.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)：⑴剛體上各點(diǎn)在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)；⑵剛體上各點(diǎn)的均相同。二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述參考平面

—

與轉(zhuǎn)軸相垂直的平面。

2.

運(yùn)動(dòng)方程—

位矢與

ox

軸夾角。

★規(guī)定：

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向

位矢沿ox

軸

逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角位置

為正，反之為負(fù)。1.角坐標(biāo)參考方向參考平面5.角加速度6.角量與線量的關(guān)系4.角速度3.角位移xO(P.103)xO三、力矩對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng),力矩的方向可用正、負(fù)號(hào)表示之。對(duì)O

點(diǎn)力矩:大小:方向:1.力矩的定義右手法則：伸出右手四指垂直拇指，讓四指指向的方向，經(jīng)小于的角度轉(zhuǎn)向的方向，拇指指向的方向。O和所決定的平面(3)合力矩的大小等于各力矩的代數(shù)和。

若力F不在參考平面內(nèi),M

=?？2.討論:例：(4)

剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。(1)與轉(zhuǎn)軸垂直且通過(guò)轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生力矩。(2)

與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。O2dO3.力矩的計(jì)算舉例例1：水平桌面上勻質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)

l

，質(zhì)量

m，繞一端垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，已知摩擦系數(shù)為μ

，求：細(xì)桿受的摩擦力矩Mf

。解：方向：例2：水平桌面上勻質(zhì)薄圓盤(pán)半徑R

，質(zhì)量

m

，繞中心垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，已知摩擦系數(shù)為μ

，求：圓盤(pán)受的摩擦力矩

Mf

。解：選細(xì)圓環(huán)，半徑

r

，寬

dr

方向：四、轉(zhuǎn)動(dòng)定律

(重點(diǎn)）（p100）1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律2.轉(zhuǎn)動(dòng)定律的推導(dǎo)

(5-15)剛體上任意質(zhì)元

位矢合外力合內(nèi)力由牛頓定律:故只列切向分量式：兩端同乘得：自然坐標(biāo)系中，法向分力的力矩為零，

對(duì)組成剛體的所有質(zhì)元求和得：剛體的合外力矩合內(nèi)力矩

=0由此得出：其中：—

稱(chēng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量—

轉(zhuǎn)動(dòng)定律(5-15）兩端同乘得：()J3.討論⑸

均對(duì)同一轉(zhuǎn)軸,具有瞬時(shí)性，M

指合外力矩。轉(zhuǎn)動(dòng)定律

—

剛體所受合外力矩=剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量×角加速度。

⑴

J

一定，則，M是改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因。⑵

M

一定，則，J

是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。⑶M=0，則

α

=0，ω=

常量，剛體保持轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不變。⑷

M=常量，則

α

=常量，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。

五、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J⑵質(zhì)點(diǎn)組⑶質(zhì)量連續(xù)分布的剛體1.J

的計(jì)算⑴單個(gè)質(zhì)點(diǎn)線分布面分布體分布—質(zhì)量線密度

—質(zhì)量面密度

—質(zhì)量體密度

O●⑴剛體的總質(zhì)量；3.決定

J

的三個(gè)因素

2.

J

的單位

⑶轉(zhuǎn)軸的位置。⑵質(zhì)量分布；

同一剛體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，凡是提到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，必須指明它是對(duì)哪個(gè)軸的才有意義?！锝Y(jié)論：

J

的意義：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。(1)

轉(zhuǎn)軸過(guò)中心與桿垂直取質(zhì)元：(2)轉(zhuǎn)軸過(guò)棒一端與棒垂直5.J

的計(jì)算舉例

講義P.97

例5-2

例題1:計(jì)算勻質(zhì)細(xì)桿的

J

。dmdm取質(zhì)元：

Rm其中：例題2:均勻細(xì)圓環(huán)的

J

(質(zhì)量m，半徑R，軸過(guò)圓心垂直環(huán)面)。dm取細(xì)圓環(huán)例題3:勻質(zhì)薄圓盤(pán)的J

(質(zhì)量

m

，半徑

R

，軸過(guò)圓心垂直盤(pán)面)。

講義P.98例5-3

其中：適用情況:6.平行軸定理說(shuō)明：⑴兩軸平行；⑵

JC

為剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；⑶

d

為兩平行軸間的距離。dCACACA(5-7)例：勻質(zhì)細(xì)桿⑴力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量必須對(duì)同一轉(zhuǎn)軸而言。

⑵

選定轉(zhuǎn)軸正方向,以確定力矩、角加速度、角速度的正負(fù)。

⑶當(dāng)系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動(dòng)物體，又有平動(dòng)物體時(shí),用隔離法解題。對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體用轉(zhuǎn)動(dòng)定律建立方程,對(duì)平動(dòng)物體則用牛頓定律建立方程?！镒⒁猓毫?、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用（重點(diǎn)）

1.隔離法分析研究對(duì)象，建立坐標(biāo)系。2.對(duì)剛體列轉(zhuǎn)動(dòng)定律方程，對(duì)質(zhì)點(diǎn)列牛頓定律方程。3.列出輔助方程。解:隔離法列出運(yùn)動(dòng)方程從以上各式解得T2T1m1gm2gm2m1輔助方程：①②③④T1T2mOm2m1am例題4:一輕繩跨過(guò)定滑輪如圖所示，繩兩端分別懸掛質(zhì)量為

的物體，且，滑輪可視為質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)圓盤(pán)，軸處摩擦力矩為，繩不可伸長(zhǎng)且與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求重物的加速度及繩中的張力。若忽略

Mf

，則：

前面例題已求出圓盤(pán)所受的的摩擦力矩：解:設(shè)的方向?yàn)檎赊D(zhuǎn)動(dòng)定律

得：

∴是勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，由ROm令得：例題5:一質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)圓盤(pán)，以角速度繞垂直于盤(pán)面的中心軸旋轉(zhuǎn)，如圖所示。今將該圓盤(pán)置于水平面上，其間的摩擦系數(shù)為，問(wèn)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間停止。例題6:物理練習(xí)二填空題1解:⑴因?yàn)槭亲兞?與方向相反。當(dāng)時(shí)，⑵令

得：由得：由得：軸轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,在時(shí)角速度為,此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過(guò)程,阻力矩的大小與角速度的平方成正比,比例系數(shù)為大于0的常數(shù),當(dāng)時(shí),飛輪的角加速度,從開(kāi)始制動(dòng)到所經(jīng)歷的時(shí)間飛輪繞中心垂直練習(xí)題：質(zhì)量為m的物體懸于輕繩的一端，繩繞在一輪軸上，如圖所示。軸水平，輪半徑為r，物體由靜止釋放，在時(shí)間t內(nèi)下降距離為h，試求整個(gè)輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J（用m、

r、t和h表示）

解：聯(lián)立（1）—（3）解得：代入（4）式得：七、力矩的功（p98）

⑴反映力矩的空間累積結(jié)果。2.總功：1.元功3.說(shuō)明:⑵恒力矩的功⑶合外力的功=

合外力矩的功。⑷合內(nèi)力矩的功=0。

(5-11)八、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

(P.94)

剛體分為質(zhì)元定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)各質(zhì)元?jiǎng)幽埽簞傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能=

各質(zhì)元?jiǎng)幽艿目偤停骸?/p>

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能1.是剛體上所有質(zhì)元?jiǎng)幽苤??！?/p>

特點(diǎn):(5-5)2.因轉(zhuǎn)動(dòng)而存在，可使剛體反抗阻力矩做功。九、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

(P.100)

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律—合外力矩對(duì)剛體所做的功=

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。得剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理(5-14)★

說(shuō)明：

1.定理描述了力矩作用的空間累積效果,適用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體。2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的機(jī)械能=勢(shì)能+轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。（其中h

為剛體質(zhì)心到勢(shì)能零點(diǎn)的垂直高度）3.系統(tǒng)(剛體+質(zhì)點(diǎn))

的動(dòng)能定理為4.系統(tǒng)僅保守力做功,機(jī)械能守恒。解：前面已求出摩擦力矩利用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理求轉(zhuǎn)過(guò)的角度。恒摩擦力矩做負(fù)功，固有即：得轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)：例1:一質(zhì)量為m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)細(xì)桿，在水平面內(nèi)繞端點(diǎn)O的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，若初始角速度為，桿與水平面的摩擦系數(shù)為μ。求（1）細(xì)桿所受的摩擦力矩Mf；（2）若細(xì)桿只受此摩擦力矩的作用，它轉(zhuǎn)動(dòng)多少圈能靜止？另解:前面已求出摩擦力矩

利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求轉(zhuǎn)過(guò)的角度,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律:利用公式:則有:轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)：

例題2P1095—10

解：（1）開(kāi)始擺動(dòng)時(shí)，重力矩為：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律：（2）解法一取桿為研究對(duì)象，外力矩為重力矩，在任意位置θ總功：根據(jù)動(dòng)能定律：解法二取桿+地球?yàn)橄到y(tǒng)，系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒的條件取豎直位置為勢(shì)能零點(diǎn)，則有：

例題3:在長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿的一端，固定一質(zhì)量為m的小球，可繞過(guò)桿的另一端的水平軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，若軸處無(wú)摩擦，試求（1）剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）若由水平位置釋放，當(dāng)桿與豎直方向成θ角時(shí)的角速度為多大？此時(shí)小球的法向加速度為多大？

O解：⑴⑵由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理得⑶§5—3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量及守恒定律一.

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

(P.84)

大?。悍较颍河沂址▌t

單位：注意：與參考點(diǎn)有關(guān)二.做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量大?。悍较颍航莿?dòng)量=轉(zhuǎn)動(dòng)慣量×角速度。(4-5)剛體角動(dòng)量：

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體上各質(zhì)元繞同一軸做圓周運(yùn)動(dòng)，所以各質(zhì)元的角動(dòng)量可寫(xiě)為：三.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量

(P.103)

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量

=剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量×角速度。方向：大?。嚎偨莿?dòng)量★注意:是對(duì)同一軸而言。(5-17)四、剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定理

(P.104)

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得1.沖量矩—⑴恒力矩沖量矩⑵變力矩沖量矩2.角動(dòng)量定理

（重點(diǎn)）角動(dòng)量定理

—

系統(tǒng)所受合外力矩的沖量矩=

系統(tǒng)角動(dòng)量的增量。(5-21)力矩與其作用時(shí)間的乘積。3.說(shuō)明⑴反映力矩的時(shí)間累積效應(yīng)—改變系統(tǒng)角動(dòng)量。⑵恒力矩作用的角動(dòng)量定理：⑶對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言，規(guī)定了正方向后角動(dòng)量定理可寫(xiě)為：★

注意：

本身有正有負(fù)。(5)

角動(dòng)量定理不僅適用于質(zhì)點(diǎn)、剛體，也適用于非剛體和系統(tǒng)。(6)

式中所有的角量(

)都是對(duì)同一軸而言。角動(dòng)量定理(4)角動(dòng)量的變化由和兩個(gè)因素決定。3.角動(dòng)量守恒的兩種情況：★說(shuō)明：2.角動(dòng)量守恒定律是一條普適定律。五、角動(dòng)量守恒定律

(重點(diǎn)p104）

守恒條件

守恒式或

1.對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言：，則⑴剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),如果不變,則不變；⑵如果改變,則也改變，=常量；或(5-22)常矢量。常矢量mmJ

花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員通過(guò)改變身體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來(lái)改變轉(zhuǎn)速。人和轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)六、碰撞指相互作用時(shí)間極短，1.完全彈性碰撞質(zhì)點(diǎn)系：

動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒剛體：

角動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒系統(tǒng)：角動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒2.

非完全彈性碰撞

質(zhì)點(diǎn)系：

動(dòng)量守恒剛體：

角動(dòng)量守恒系統(tǒng)：角動(dòng)量守恒3.完全非彈性碰撞—

碰后系統(tǒng)獲同一速度或角速度機(jī)械能不守恒！遵守的定律與2

相同。角動(dòng)量定理和守恒定律應(yīng)用舉例例1：物理練習(xí)二填空題3

已知：解：輪子受恒力矩作用，由角動(dòng)量定理得：求：一個(gè)能繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的輪子,除受到軸承的恒定摩擦力矩外,還受到恒定外力矩的作用,若,輪子對(duì)固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,在內(nèi),輪子的角速度由增大到,則.

一勻質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)

，質(zhì)量為M，可繞通過(guò)O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)桿從水平位置自由釋放后,它在豎直位置上與放在光滑水平面的質(zhì)量為m

的小滑塊相撞,碰后m的速度為v.求:相撞前后桿的角速度。解:除重力外,其余內(nèi)力與外力都不作功，故機(jī)械能守恒：⑴桿自由擺落的過(guò)程。①例題2:有兩個(gè)物理過(guò)程：得：COMLm

碰撞時(shí)間極短,沖力極大,系統(tǒng)對(duì)O

軸的角動(dòng)量守恒，設(shè)順時(shí)針為正：②⑵碰撞過(guò)程得：桿以角速度與滑塊相碰碰后桿的角速度變?yōu)?，滑塊獲得水平向左的速度。