拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 省賽獲獎(jiǎng)

2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）問題：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？

圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

與橢圓、雙曲線一樣，通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以研究它的幾何性質(zhì)．

P(x,y)一、拋物線的幾何性質(zhì)拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。1、范圍由拋物線y2=2px（p>0）而所以拋物線的范圍為關(guān)于x軸對(duì)稱

由于點(diǎn)也滿足，故拋物線(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱.y2=2pxy2=2px2、對(duì)稱性P(x,y)拋物線的軸：把拋物線的對(duì)稱軸稱為拋物線的軸定義：拋物線和它的軸的交點(diǎn)稱為拋物線的頂點(diǎn)。P(x,y)由y2=2px

（p>0）當(dāng)y=0時(shí),x=0,

因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）。３、頂點(diǎn)4、離心率P(x,y)

拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義，可知e=1。

下面請(qǐng)大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。圖形方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率x軸拋物線的幾何性質(zhì)

x軸y軸y軸特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)無限延伸，但沒有漸近線；2.拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒有對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開口的影響.P(x,y)P越大,開口越開闊例1.

斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x

的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng).解：另解：A’B’ABOxyF焦點(diǎn)弦過拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線相交的直線，被拋物線截取的線段叫拋物線的焦點(diǎn)弦.A’B’ABOxyF拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：

設(shè)則焦點(diǎn)弦中與對(duì)稱軸垂直的弦叫做拋物線的通徑，長(zhǎng)度為2p.這是標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義.解：由定義得，xyFABKO|AB|=|AF|+|BF|思考：拋物線中過焦點(diǎn)的弦有最小值嗎？如果有，在何處取得？FyOx........AB由上題可知，通徑是拋物線中過焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)度為2p.這是標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義.例3.

過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，求證：y1y2=-p2，（2）證明:以CD為直徑的圓與弦AB相切于焦點(diǎn)F.(7)以CD為直徑的圓與弦AB相切于焦點(diǎn)F.(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切；二、焦點(diǎn)弦性質(zhì)：過拋物線y2=2