多邊形的內(nèi)角和-完整課件

1132多邊形的內(nèi)角和

法國(guó)的建筑事務(wù)所atelierd創(chuàng)造了這個(gè)“abeillesbeepavilion〞〔蜜蜂館〕情景引入思考：你知道正六邊形的內(nèi)角和是多少嗎？問(wèn)題2你知道長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)角和是多少度？

問(wèn)題1三角形內(nèi)角和是多少度？三角形內(nèi)角和是180°都是360°問(wèn)題3猜測(cè)任意四邊形的內(nèi)角和是多少度？

多邊形的內(nèi)角和一猜測(cè)：四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°問(wèn)題4你能用以前學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明一下你的結(jié)論嗎？猜測(cè)與證明方法1：如圖，連接AC,所以四邊形被分為兩個(gè)三角形，所以四邊形ABCD內(nèi)角和為180°×2=360°ABCDE方法2：如圖，在CD邊上任取一點(diǎn)E，連接AE,DE，所以該四邊形被分成三個(gè)三角形，所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為180°×3-∠AEB∠AED∠CED=180°×3-180°=360°ABCD方法3：如圖，在四邊形ABCD內(nèi)部取一點(diǎn)E，連接AE,BE,CE,DE，把四邊形分成四個(gè)三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE所以四邊形ABCD內(nèi)角和為：180°×4-∠AEB∠AED∠CED∠CEB=180°×4-360°=360°ABCDEDCABABCDP方法4：如圖，在四邊形外任取一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個(gè)公共頂點(diǎn)的四個(gè)三角形所以四邊形ABCD內(nèi)角和為180°×3－180°=360°這四種方法都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，把四邊形分割成三角形，轉(zhuǎn)化到已經(jīng)學(xué)了的三角形內(nèi)角和求解結(jié)論：四邊形的內(nèi)角和為360°DDCDBDAACDEBABCDEF問(wèn)題5你能仿照求四邊形內(nèi)角和的方法，選一種方法求五邊形和六邊形內(nèi)角和嗎內(nèi)角和為180°×3=540°內(nèi)角和為180°×4=720°n邊形六邊形五邊形四邊形三角形多邊形內(nèi)角和分割出三角形的個(gè)數(shù)從多邊形的一頂點(diǎn)引出的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)圖形邊數(shù)······0n-31231234n-2〔n-2〕·180o1×180o=180o2×180o=360o3×180o=540o4×180o=720o························由特殊到一般分割多邊形三角形分割點(diǎn)與多邊形的位置關(guān)系頂點(diǎn)邊上內(nèi)部外部轉(zhuǎn)化思想總結(jié)歸納多邊形的內(nèi)角和公式nn≥3邊形內(nèi)角和等于n-2×180°例1：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？試說(shuō)明理由解：

如圖，四邊形ABCD中，∠A∠C=180°∠A∠B∠C∠D=4－2×180°=360°，因?yàn)椤螧＋∠D=360°－〔∠A＋∠C〕=360°－180°=180°所以ABCD如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角互補(bǔ)典例精析多邊形的外角和二如圖，在五邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和．問(wèn)題1：任意一個(gè)外角和它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？問(wèn)題2：五個(gè)外角加上它們分別相鄰的五個(gè)內(nèi)角和是多少？EBCD123

45A互補(bǔ)5×180°=900°EBCD123

45A五邊形外角和=360°=5個(gè)平角－五邊形內(nèi)角和=5×180°－5－2×180°結(jié)論：五邊形的外角和等于360°問(wèn)題3：這五個(gè)平角和與五邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？一般地，在n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做n邊形的外角和．n邊形外角和n邊形的外角和等于360°－n－2×180°=360°=n個(gè)平角-n邊形內(nèi)角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1思考：n邊形的外角和又是多少呢？與邊數(shù)無(wú)關(guān)問(wèn)題4：回想正多邊形的性質(zhì)，你知道正多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度嗎？每個(gè)外角呢？為什么？每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是每個(gè)外角的度數(shù)是當(dāng)堂練習(xí)1判斷．1當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時(shí)，它的內(nèi)角和也隨著增加2八角形的外角和與四邊形的外角和大2一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為720°，那么這個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于______．120°3如下圖，小華從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線(xiàn)前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)24°，再沿直線(xiàn)前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)24°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點(diǎn)A時(shí)，走的路程一共是________米．150例5一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角與外角的比都是7:2，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)解法一：設(shè)這個(gè)多邊形的內(nèi)角為7°,外角為2°,根據(jù)題意得72=180°，解得=20°即每個(gè)內(nèi)角是140°，每個(gè)外角是40°360°÷40°=9答：這個(gè)多邊形是九邊形還有其他解法嗎？解法二：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,根據(jù)題意得解得n=9答：這個(gè)多邊形是九邊形課堂小結(jié)多邊形的內(nèi)角和內(nèi)角和計(jì)算公式n-2×180°n≥3的整數(shù)〕外角和多邊形的外角和等于360°特別注意：與邊數(shù)無(wú)關(guān)正多邊形內(nèi)角=，外角=4一個(gè)多邊形的內(nèi)角和不可能是〔〕A1800°B540°C720°D810°D6一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1800°，截去一個(gè)角后，求得到的多邊形的內(nèi)角和解：∵1800÷180＝10，∴原多邊形邊數(shù)為10＋2＝12∵一個(gè)多邊形截去一個(gè)內(nèi)角后，邊數(shù)可能減1，可能不變，也可能加1，∴新多邊形的邊數(shù)可能是11，12，13，∴新多邊形的內(nèi)角和可能是1620°，1800°，1980°【變式題】如圖，在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補(bǔ)，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，假設(shè)BE∥DF，求證：△DCF為直角三角形．證明：∵在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補(bǔ)，∴∠ABC∠ADC=180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF∠EBF=90°，∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，∴∠CDF∠CFD=90°，故△DCF為直角三角形．運(yùn)用了整體思想例2一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多720°，并且這個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等，這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度？解：設(shè)這個(gè)多邊形邊數(shù)為n，那么〔n-2〕?180=360720，解得n=8，∵這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，〔8-2〕×180°=1080°，∴它每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為1080°÷8=135°．典例精析【變式題】一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角比一個(gè)內(nèi)角大60°，求這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)及邊數(shù)．解：設(shè)該正多邊形的內(nèi)角是°，外角是y°，那么得到一個(gè)方程組解得而任何多邊形的外角和是360°，那么該正多邊形的邊數(shù)為360°÷120°=3，故這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是60°，邊數(shù)是三條．解：∵∠EAB∠ABC∠C∠D∠E=540°，∠C=100°，