安徽省皖南八校2023屆高三三模數(shù)學(xué)試卷

2023屆“皖南八?！备呷谌未舐?lián)考數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．已知集合，，則集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為（）A．14 B．15 C．30 D．622．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．給出下列四個(gè)命題，其中正確命題為（）A．“，”的否定是“，” B．“”是“”的必要不充分條件C．，，使得D．“”是“”的充分不必要條件4．如圖，用M，，三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)M正常工作且，至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知M，，正常工作的概率依次是，，，已知在系統(tǒng)正常工作的前提下，則只有M和正常工作的概率是（）A． B． C． D．5．勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，P為弧AC上的一點(diǎn)，且，則的值為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．的最小正周期為 B．直線是圖象的一條對(duì)稱軸C．在上單調(diào)遞增 D．若在區(qū)間上的最大值為1，則7．已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程的所有根的和為6，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若對(duì)任意的恒成立，則的最大值是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在某市高三年級(jí)舉行的一次模擬考試中，某學(xué)科共有20000人參加考試．為了了解本次考試學(xué)生成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（成績均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本容量為n，按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．其中，成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16．則下列結(jié)論正確的是（）A．圖中 B．樣本容量C．估計(jì)該市全體學(xué)生成績的平均分為70.6分D．該市要對(duì)成績前25%的學(xué)生授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)，則授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)的學(xué)生考試成績大約至少為77.25分10．已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，當(dāng)取最小值時(shí)，下列說法正確的是（）A． B．C．的最大值為1 D．的最小值為11．已知正方體棱長為4，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面，則下列說法正確的是（）A．若N為中點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，B．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，若平面截正方體所得截面圖形的面積越大，則其周長就越大C．直線AB與平面所成角的余弦值的取值范圍為D．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，四面體內(nèi)切球表面積為12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B是C上異于點(diǎn)O的兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）則下列說法正確的是（）A．若A、F、B三點(diǎn)共線，則的最小值為2B．若，則的面積為C．若，則直線AB過定點(diǎn)D．若，過AB的中點(diǎn)D作于點(diǎn)E，則的最小值為1三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)的值域是______．14．某企業(yè)五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，則不同的安排種數(shù)為______．15．過雙曲線右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的角平分線與x軸交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M到OA與AF的距離都為，則雙曲線C的離心率為______．16．已知四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，是邊長為2的等邊三角形，外接圓的圓心為．若四面體ABCD的體積最大時(shí)，，則球O的半徑為______；若，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，且，則球O的表面積為______．（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行、也是第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.卡塔爾世界杯后，某校為了激發(fā)學(xué)生對(duì)足球的興趣，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)得出的數(shù)據(jù)如下表：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生50女生25合計(jì)（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校學(xué)生喜歡足球與性別是否有關(guān)．（2）社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球，已知男生進(jìn)球的概率為，女生進(jìn)球的概率為，每人踢球一次，假設(shè)各人踢球相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角C；（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為D，且，求的取值范圍．19．（12）分在數(shù)列中，，且對(duì)任意的，都有．在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．20．（12分）如圖，在三棱錐中，為直角三角形，，的邊長為4的等邊三角形，，．（1）求證：平面平面ABC；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A，B，C分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．點(diǎn)P是上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與直線BC相交于點(diǎn)Q，直線CP與x軸相交于點(diǎn)M．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)的面積為，的面積為，求的值．22．（12分）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，b，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)是否為“恒切函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：．2023屆“皖南八?！备呷谌未舐?lián)考·數(shù)學(xué)參考答案、解析及評(píng)分細(xì)則1．D 由題意得，集合，則集合，所以集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為．故選D．2．D 由得，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第四象限．故選D．3．C 對(duì)于A，由全稱命題的否定知該命題的否定為，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，“”是“”的既不充分又不必要條件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，則，C正確；對(duì)于D，“”是“”的充要條件，D錯(cuò)誤．故選C．4．C 設(shè)事件A為系統(tǒng)正常工作，事件B為只有M和正常工作，因?yàn)椴⒙?lián)元件、能正常工作的概率為，所以，又因?yàn)椋裕蔬xC．5．C 如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，過點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，且，，所以，，所以．故選C．6．D ，所以的最小正周期為，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以直線不是圖象的一條對(duì)稱軸，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，在，而函數(shù)在上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上的最大值為1，即，所以，解得，D正確．故選D．7．A 方程的根轉(zhuǎn)化為和的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)閮蓚€(gè)圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，要使所有根的和為6，則兩個(gè)圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)．作出和的圖象如圖所示．當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相切，可得；當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相切，可得．故k的取值范圍是．故選A．8．B ，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則單調(diào)遞減，，顯然不恒成立，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，∵恒成立，∴，∴，令，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴．故選B．9．ACD 對(duì)于A，因?yàn)?，解得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槌煽兟湓趨^(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16，所以樣本容量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，學(xué)生成績平均分為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，解得，所以大約成績至少為77.25分的學(xué)生能得到此稱號(hào)，故D正確．故選ACD．10．AC ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，故A正確，B錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，的最大值為1，C正確；無最小值，D錯(cuò)誤．故選AC．11．ACD 對(duì)于A，矩形與正方形展開成一個(gè)平面（如圖所示），若最小，則A、M、N三點(diǎn)共線，因?yàn)椋?，所以，即，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，連接、、、、，（如圖所示），在正方體中，平面ABCD，平面ABCD，所以，又因?yàn)?，且，所以平面，又平面，所以，同理可證，因?yàn)椋云矫?，易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為；設(shè)E、F、Q、N，G，H分別為，、，，，的中點(diǎn)，易知六邊形EFQNGH是邊長為的正方形，且平面平面，正六邊形EFQNGH的周長為，面積為，則的面積小于正六邊形EFQNGH的面積，它們的周長相等，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，且,，，所以直線AB與平面所成角的正弦值的取值范圍為，則直線AB與平面所成角的余弦值的取值范圍為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，四面體即為為正四面體，棱長，由正四面體的性質(zhì)可得，其內(nèi)切球半徑，所以表面積為，故D正確．故選ACD．12．ABD 對(duì)于A，經(jīng)分析可知，當(dāng)直線AB垂直于y軸時(shí)，取最小值，且為2，A正確；由拋物線的定義可知，，解得，故，故，所以的面積為，B正確；設(shè)，，直線AB的方程為，將直線AB的方程代入，得．由，得，即，所以，，故直線，恒過定點(diǎn)，C錯(cuò)誤；過點(diǎn)A作于點(diǎn)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)，設(shè)，，所以，因?yàn)?，所以，的最小值?，D正確．故選ABD．13． 當(dāng)時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，由，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?4．14 ①若甲安排在最后一天，則不同的安排數(shù)為；②若甲不安排在最后一天，則不同的安排數(shù)為．綜上，不同的安排種數(shù)為14．15． 如圖所示，設(shè)點(diǎn)A在第一象限，由題意可知，其中d為點(diǎn)到漸近線的距離，，所以，過點(diǎn)M分別作于點(diǎn)N，于點(diǎn)T，又因?yàn)橛邳c(diǎn)A，所以四邊形MTAN為正方形，所以，所以，又因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以?6． 若四面體ABCD的體積最大時(shí)，點(diǎn)B在過O和的直徑上，，，設(shè)球O的半徑為r，則在中，，解得．設(shè)的外接圓的半徑R，由題可得，解得．如圖，取AC的中點(diǎn)E，連接DE并延長DE交圓于點(diǎn)F．連接BE，BF，由得，則．．在中，，所以在中，由余弦定理得，可得，結(jié)合圖形可得圓．連接，過點(diǎn)O作BF的垂線，垂足為點(diǎn)G．連接BO，四面體ABCD外接球的半徑解得．所以球O的半徑．四面體ABCD外接球的表面積為．17．解：（1）列聯(lián)表如下：喜歡籃球不喜歡籃球合計(jì)男生5050100女生2575100合計(jì)75125200零假設(shè)為：該校學(xué)生喜歡籃球與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，∴根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生喜歡籃球與性別有關(guān)．（2）3人進(jìn)球總次數(shù)的所有可能取值為0，1，2，3．，，，．∴的分布列如下：0123P∴的數(shù)學(xué)期望：．18．解：（1）中，，由正弦定理得，．所以，即，所以；又，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，即；?）設(shè)，則中，由可知，由正弦定理及可得，所以，，所以，由可知，，，所以．19．解：（1）由得時(shí)，．又，滿足，所以．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，所以；（2），，①，②兩式相減得，所以．20．（1）（方法一）證明：如圖，分別取AC，AB的中點(diǎn)D，E，連接PD，DE，PE，則．因?yàn)?，，所以，．因?yàn)槭沁呴L為4的等邊三角形，所以，，在中，,，在中，，所以，所以，因?yàn)?，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，所以，又，，平面ABC，所以平面ABC，因?yàn)槠矫鍼AB，所以平面平面ABC．（方法二）證明：如圖，分別取AC，AB的中點(diǎn)D，E，連接PD，PE，DE，則．因?yàn)?，所以，，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，因?yàn)?，，平面PDE，所以平面PDE，又平面PDE，所以，因?yàn)椋c(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，所以，又，AC，平面ABC，所以平面ABC，因?yàn)槠矫鍼AB，所以平面平面ABC．（2）解：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線CA，CB分別為x，y軸，過點(diǎn)C且與PE平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，．設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則，即取，則．設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則，即取，則．設(shè)二面角的平面角為，所以．21．解：（1）因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為在y軸上，O為的中點(diǎn)，所以軸，即軸，設(shè)，，，代入橢圓的方程得，，又，所以，即，所以，解得，所以橢圓的方程為．（2）（方法一）證明：設(shè)，由題意可得，，所以直線BC的方程的截距式為，即為．因?yàn)椋灾本€AP的方程為．聯(lián)立得即；直線CP的方程為：，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，又因?yàn)椋?，，所以，得證．（方法二）證明：由題意可得，，所以直線BC的方程的截距式為，即為．設(shè)直