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遼寧省鞍山市第一零九中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.某同學(xué)設(shè)計右面的程序框圖用以計算和式的值,則在判斷框中應(yīng)填寫A.
B.
C.
D.參考答案:C2.若α∈(,π),且3cos2α=sin(﹣α),則sin2α的值為()A. B. C. D.參考答案:D【考點】GQ:兩角和與差的正弦函數(shù).【分析】由已知可得sinα>0,cosα<0,利用二倍角公式,兩角差的正弦函數(shù)公式化簡已知可得cosα+sinα=,兩邊平方,利用二倍角公式即可計算sin2α的值.【解答】解:∵α∈(,π),∴sinα>0,cosα<0,∵3cos2α=sin(﹣α),∴3(cos2α﹣sin2α)=(cosα﹣sinα),∴cosα+sinα=,∴兩邊平方,可得:1+2sinαcosα=,∴sin2α=2sinαcosα=﹣.故選:D.【點評】本題主要考查了二倍角公式,兩角差的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.3.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S2=10,S4=36,則過點P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直線的一個方向向量的坐標(biāo)可以是()A.(﹣1,﹣1) B. C. D.參考答案:B【考點】直線的斜率.【專題】計算題;直線與圓.【分析】由題意求出等差數(shù)列的通項公式,得到P,Q的坐標(biāo),寫出向量的坐標(biāo),找到與向量共線的坐標(biāo)即可.【解答】解:等差數(shù)列{an}中,設(shè)首項為a1,公差為d,由S2=10,S4=36,得,解得a1=3,d=4.∴an=a1+(n﹣1)d=3+4(n﹣1)=4n﹣1.則P(n,4n﹣1),Q(n+2,4n+7).∴過點P和Q的直線的一個方向向量的坐標(biāo)可以是(2,8)=﹣4().即為.故選B.【點評】本題考查了直線的斜率,考查了等差數(shù)列的通項公式,訓(xùn)練了向量的坐標(biāo)表示,是中檔題.4.已知復(fù)數(shù)z滿足(z﹣1)i=1+i,則z的共軛復(fù)數(shù)為()A.﹣2﹣i B.﹣2+i C.2﹣i D.2+i參考答案:D【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.【分析】把已知的等式變形,然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案.【解答】解:由(z﹣1)i=1+i,得z﹣1=,∴z=2﹣i,則.故選:D.5.定義在上的函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù),當(dāng)時,,且在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則函數(shù)在上的零點的個數(shù)為_______.參考答案:20得,f(x)-sinx=0Tf(x)=sinx=g(x),只要考慮y=f(x)與y=g(x)的交點個數(shù).由題設(shè),f(x)的值域為(0,1),故當(dāng)g(x)=sinx>0時兩者才有交點.令sinx>0T2kp<x<2kp+p,又x?[-10p,10p],∴k=-5,-4,…,4,即有10個正值區(qū)間,而第個正值區(qū)間上有2個交點,故共有20個零點.【答案】【解析】6.函數(shù)的大致圖像是A
B
C
D參考答案:B略7.已知的面積為,則的周長等于參考答案:8.已知全集,集合,,則等于(
)A.(0,3)
B.(0,5)
C.
D.(0,3]參考答案:D9.二分法是求方程近似解的一種方法,其原理是“一分為二、無限逼近”.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入x1=1,x2=2,d=0.05,則輸出n的值為()A.4 B.5 C.6 D.7參考答案:B【考點】程序框圖.【分析】按照用二分法求函數(shù)零點近似值得步驟求解即可.注意驗證精確度的要求.【解答】解:模擬執(zhí)行程序框圖,可得x1=1,x2=2,d=0.05,m=,n=1滿足條件:f(1)?f()<0,x2=,不滿足條件:|x1﹣x2|<0.05,m=,n=2,不滿足條件:f(1)?f()<0,x1=,不滿足條件:|x1﹣x2|<0.05,m=,n=3,不滿足條件:f()?f()<0,x1=,不滿足條件:|x1﹣x2|<0.05,m=,n=4,不滿足條件:f()?f()<0,x1=,不滿足條件:|x1﹣x2|<0.05,m=,n=5,不滿足條件:f()?f()<0,x1=,滿足條件:|x1﹣x2|<0.05,退出循環(huán),輸出n的值為5.故選:B.10.已知為直角坐標(biāo)系原點,,的坐標(biāo)均滿足不等式組,則的最小值為A. B.
C.
D.1參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示,某城鎮(zhèn)由6條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成,其中有一個池塘,街道在此變成一個菱形的環(huán)池大道.現(xiàn)要從城鎮(zhèn)的A處走到B處,使所走的路程最短,最多可以有
種不同的走法.參考答案:答案:3512.已知為常數(shù),函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2,則
.參考答案:解析:本小題主要考查二次函數(shù)問題。對稱軸為,下方圖像翻到軸上方.由區(qū)間[0,3]上的最大值為2,知解得檢驗時,不符,而時滿足題意。13.若方程僅有一解,則實數(shù)a的取值范圍上
。參考答案:14.如圖所示,AB是半徑等于3的圓O的直徑,CD是圓O的弦,BA,DC的延長線交于點P.若PA=4,PC=5,則CBD=__________.參考答案:略15.考察下列式子:;;;;得出的結(jié)論是
.參考答案:16.已知拋物線到其焦點的距離為5,雙曲線的左頂點為,若雙曲線一條漸近線與直線垂直,則實數(shù)=
.參考答案:17.在等差數(shù)列{an}中,a1=2,a3=6,若將a1,a4,a5都加上同一個數(shù),所得的三個數(shù)依次成等比數(shù)列,則所加的這個數(shù)為
.參考答案:
略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2acosθ(a>0),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與曲線C相交于A,B兩點.(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;(2)若|AB|=2,求a的值.參考答案:【考點】參數(shù)方程化成普通方程;簡單曲線的極坐標(biāo)方程.【分析】(1)利用三種方程的互化方法,可得結(jié)論;(2)直線與曲線聯(lián)立,利用弦長公式,建立方程,即可求a的值.【解答】解:(1)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2acosθ(a>0)可得ρ2sin2θ=2aρcosθ.可得:曲線C的普通方程為:y2=2ax;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),普通方程為x﹣y﹣2=0;(2)直線與曲線聯(lián)立可得y2﹣2ay﹣4a=0,∵|AB|=2,∴=2,解得a=﹣5或1.19.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC=BB1,AB⊥BC,BB1⊥平面ABC,D為AC的中點,E為CC1的中點.(1)求證AC1∥平面BDE;(2)求證:AC1⊥平面A1BD.參考答案:考點:直線與平面平行的判定;直線與平面垂直的判定.專題:證明題;空間位置關(guān)系與距離.分析:(1)由已知根據(jù)中位線定理可得DE∥AC1,又DE?平面BDE,AC1?平面BDE,由線面平行的判定定理即可證明.(2)D為AC的中點,可證∠AA1D=∠CAC1,∠CAC1+∠ADA1=90°,從而可得AC1⊥A1D,又AC1⊥BD,即可證明AC1⊥平面A1BD.解答: 證明:(1)∵D為AC的中點,E為CC1的中點,∴DE∥AC1,又DE?平面BDE,AC1?平面BDE,∴AC1∥平面BDE;…6分(2)D為AC的中點,則tan∠AA1D=,tan,則∠AA1D=∠CAC1,那么∠CAC1+∠ADA1=90°,AC1⊥A1D,又AC1⊥BD,所以AC1⊥平面A1BD…12分點評:本題主要考查了直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,考查了空間想象能力和推理論證能力,屬于中檔題.20.(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講如圖,在正方形ABCD中,E,G分別在邊DA,DC上(不與端點重合),且DE=DG,過D點作DF⊥CE,垂足為F.(I)證明:B,C,G,F(xiàn)四點共圓;(II)若AB=1,E為DA的中點,求四邊形BCGF的面積.參考答案:(Ⅰ)因為DF⊥EC,所以,則有,,所以△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=∠CBF.因此∠CGF+∠CBF=180°,所以B,C,G,F(xiàn)四點共圓.(II)由B,C,G,F(xiàn)四點共圓,CG⊥CB知FG⊥FB,連結(jié)GB.由G為Rt△DFC斜邊CD的中點,知GF=GC,故Rt△BCG≌Rt△BFG,因此四邊形BCGF的面積S是△GCB面積S△GCB的2倍,即S=2S△GCB=.
21.已知四棱錐的底面是平行四邊形,平面,點分別在線段上.(1)證明:平面平面;(2)若三棱錐的體積為4,求的值.參考答案:(1)證明:因為四棱錐的底面是平行四邊形,,所以,因為平面平面,所以,因為,所以平面,因為平面,所以平面平面。(2)因為,所以,設(shè)點到平面的距離為,所以,解得,所以.22.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點在軸上,短軸長為2,且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點.過右焦點與軸不垂直的直線交橢圓于兩點.(1)求橢圓的方程;(2)當(dāng)直線的斜率為1時,求的面積;(3)在線段上是否存在點,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.參考答案:(1)(2)試題分析:第一問應(yīng)用題中所給的條件,設(shè)出相應(yīng)的橢圓的方程,根據(jù)其短軸長,可以確定的值,根據(jù)焦點和短軸的端點為一個正方形的頂點,從而確定出,進(jìn)一步求得的值,從而確定出橢圓的方程,第二問根據(jù)直線的斜率和過右焦點,將直線的方程寫出來,與橢圓方程聯(lián)立,應(yīng)用點到直線的距離求得三角形的高,應(yīng)用弦長公式求得三角形的底,應(yīng)用面積公式求得結(jié)果,第三問關(guān)于是否存在類問題,都是假設(shè)存在,根據(jù)菱形的條件,從而求得結(jié)果,再轉(zhuǎn)化為
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