廣東省江門市克中學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

廣東省江門市克中學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)之和記為Sn,若S10=10,S30=70,則S40等于(

)

(A)

150

(B)

-200

(C)

150或-200

(D)

-50或400參考答案：解：首先q≠1，于是，(q10－1)=10，(q30－1)=70，∴q20+q10+1=7．Tq10=2．(－3舍)∴S40=10(q40－1)=150．選A．2.雙曲線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，公共弦AB恰好過它們的公共焦點(diǎn)F，則雙曲線C的離心率為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B3.若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是A．cm3

B．cm3

C．cm3

D．cm3參考答案：D4.已知，，，則（

）A.有最大值，最大值為6 B.有最大值，最大值為9C.有最小值，最小值為6 D.有最小值，最小值為9參考答案：D【分析】利用，根據(jù)均值不等式，即可求出最值.【詳解】∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,的最小值為9.【點(diǎn)睛】本題主要考查了均值不等式，屬于中檔題.5.已知a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B由，則成立，反之：如，則不成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選B．

6.=（）A．B．﹣1C．D．1參考答案：D【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】由條件利用兩角和差的三角公式化簡(jiǎn)所給的式子，求得結(jié)果．【解答】解：==2?=2sin30°=1，故選：D．7.已知集合，，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．A1

【答案解析】B

解析：由A中不等式變形得：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1或x≥2，即A=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故選：B．【思路點(diǎn)撥】求出A中不等式的解集確定出A，再由B，求出A與B的交集即可．8.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為.

.

.

.參考答案：A試題分析：根據(jù)題意有，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，可知，解得，故選A.考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì).9.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a2+a6+a10=，則tan（a3+a9）的值為（）A．0 B． C．1 D．參考答案：D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得．從而a3+a9=2a6=，由此能求出tan（a3+a9）的值．【解答】解：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1+a6+a10=，∴a2+a6+a10=3a6=，解得．∴a3+a9=2a6=，∴tan（a3+a9）=tan=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正切值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．10.曲線上切點(diǎn)為的切線方程是（

）（A）

（B）

（C）（D）或

參考答案：A導(dǎo)數(shù)則切線斜率，所以切線方程為，即切線為選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在區(qū)間上的最大值是，則ω＝________.參考答案：略12.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若3，a7，a5也成等差數(shù)列，則S17．參考答案：51【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出a1+8d=3．再由=17（a1+8d），能求出結(jié)果．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，3，a7，a5也成等差數(shù)列，∴2（a1+6d）=3+（a1+4d），a1+8d=3．=17（a1+8d）=51．故答案為：51．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的第17項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．13.已知向量⊥，||=3，則?=

．參考答案：9【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由已知結(jié)合平面向量是數(shù)量積運(yùn)算求得答案．【解答】解：由⊥，得?=0，即?（）=0，∵||=3，∴．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量模的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．14.若曲線存在平行于直線的切線，則a的取值范圍為_________．參考答案：【分析】首先根據(jù)題意，知切點(diǎn)位置不確定，故需根據(jù)切點(diǎn)位置進(jìn)行討論。當(dāng)切點(diǎn)不在直線上時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出切點(diǎn)，求得切線斜率，建立等式，由判別式大于等于零，求得的取值范圍；當(dāng)切點(diǎn)在直線上時(shí)，由切點(diǎn)既在直線上又在曲線上，列出方程可以求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再檢驗(yàn)是否符合題意，綜上即可求出的取值范圍?！驹斀狻浚?）設(shè)平行于直線的切線的切點(diǎn)為，，解得；（2）若切點(diǎn)在直線上，則，又，從而，解得或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，曲線不存在平行于直線的切線；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，曲線僅存在一條平行于直線的切線.綜上，的取值范圍為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解和切線方程有關(guān)的問題以及分類討論思想的應(yīng)用。

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題。每道試題考生都必須作答．第22、23題為選考題?？忌鶕?jù)要求作答．15.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍

.參考答案：

16.下面有4個(gè)命題：①當(dāng)時(shí)，的最小值為2；②若雙曲線的一條漸近線方程為，且其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的離心率為2；③將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象；④在中，，則的外接圓半徑；類比到空間，若三棱錐S－ABC的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長(zhǎng)度分別為a、b、c，則三棱錐S－ABC的外接球的半徑．其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為_______（把你認(rèn)為錯(cuò)誤命題的序號(hào)都填上）．參考答案：①③17.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知?jiǎng)t的最小值為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如果關(guān)于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集為空集．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若實(shí)數(shù)b與實(shí)數(shù)a取值范圍完全相同，求證：|1﹣ab|＞|a﹣b|參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；絕對(duì)值三角不等式．【分析】（1）由條件利用絕對(duì)值的意義，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．（2）要證的不等式等價(jià)于（1﹣a2）（1﹣b2）＞0，由條件得到（1﹣a2）＞0，且（1﹣b2）＞0，不等式得證．【解答】解：（1）由于|x﹣3|+|x﹣4|≤表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3、4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值為1，由于關(guān)于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集為空集，故|a|＜1，求得﹣1＜a＜1．（2）若實(shí)數(shù)b與實(shí)數(shù)a取值范圍完全相同，即﹣1＜b＜1，即|b|＜1，|1﹣ab|＞|a﹣b|，等價(jià)于（1﹣ab）2＞（a﹣b）2，等價(jià)于1+a2b2﹣a2﹣b2＞0，等價(jià)于（1﹣a2）（1﹣b2）＞0．由于（1﹣a2）＞0，且（1﹣b2）＞0，故（1﹣a2）（1﹣b2）＞0成立，即|1﹣ab|＞|a﹣b|成立．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．19.（本小題滿分12分）已知橢圓離心率為，點(diǎn)在短軸CD上，且.（I）求橢圓E的方程；（II）過點(diǎn)P的直線與橢圓E交于A,B兩點(diǎn).（i）若，求直線的方程；（ii）在y軸上是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：見解析【知識(shí)點(diǎn)】橢圓解：（Ⅰ）由題意，，

又，

，所以橢圓E的方程

（Ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，

不符合題意，不存在這樣的直線。

當(dāng)直線斜率存在，設(shè)方程為

聯(lián)立方程，整理得

由韋達(dá)定理得

由題意知，定點(diǎn)Q只可能是

下面證明存在點(diǎn)對(duì)任意斜率存在的直線，均有

，為的角平分線，只需證明：

，

由（1）中韋達(dá)定理得成立

即在y軸上，存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)，使得恒成立。20.已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣ax2是減函數(shù)．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）證明：對(duì)任意n∈N，n＞1，都有++…+＞．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）≤0在x＞0恒成立，由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最大值，即可得到a的范圍；（Ⅱ）設(shè)h（x）=xlnx﹣x2，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得x≥2時(shí)，xlnx＜x2﹣，即＞，則n≥2時(shí)，＞=﹣，再由裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理，即可得證．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=xlnx﹣ax2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx﹣2ax，函數(shù)f（x）=xlnx﹣ax2是減函數(shù)，可得f′（x）≤0在x＞0恒成立，即為2a≥在x＞0恒成立，設(shè)g（x）=，g′（x）=，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．可得g（x）在x=1處取得極大值，且為最大值1．則2a≥1，解得a≥；（Ⅱ）證明：設(shè)h（x）=xlnx﹣x2，h′（x）=1+lnx﹣x，h″（x）=﹣1，當(dāng)x＞1時(shí)，h″（x）＜0，h′（x）＜h′（1）=0，h（x）在（1，+∞）遞減，即有h（x）＜h（1）=﹣，即x＞1時(shí)，xlnx﹣x2＜﹣，x≥2時(shí)，xlnx＜x2﹣，即＞，則n≥2時(shí)，＞=﹣，即有++…+＞1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣=1