求軌跡的幾種求法

關(guān)于求軌跡的幾種求法第1頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三“定義法”求軌跡方程第2頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三三、定義法分析題設(shè)幾何條件，根據(jù)所學(xué)曲線的定義，判斷軌跡是何種類型的曲線，直接求出該曲線的方程.第3頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三xyoxyoxyo橢圓的定義：雙曲線的定義：拋物線的定義：圓的定義：|PC|=r(r>0)|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|)|PF|=dP-l(Fl)第4頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三由題設(shè)條件，根據(jù)圓錐曲線的定義確定曲線的形狀后，直接寫出曲線的方程．一、定義法求軌跡方程的特征二、“定義法”求軌跡方程的一般步驟一建軸設(shè)點(diǎn)二定型三定方程四定范圍第5頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三：定義法第6頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三[例2]

已知B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，|BC|＝8，且△ABC的周長等于18，求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)A的軌跡方程．第7頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)：知三角形ABC的一邊BC長為6，周長為16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程答：14已第8頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三ACOyxO1O2M練習(xí)：已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，

C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1內(nèi)切，和圓C2外切，求動圓圓心的軌跡方程．第9頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三ABSSABSAB探索與定圓相切的動圓圓心軌跡要抓牢動圓圓心到兩定點(diǎn)的距離的和與差不放。C第10頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三ＡCP例3：變式2：169相rr13-rM第11頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三1、如圖，圓C：(x+1)2+y2=9內(nèi)一點(diǎn)A(1，0)，與圓上一動點(diǎn)Q的連線AQ的垂直平分線交CQ于P．當(dāng)Q在圓C上運(yùn)動一周時(shí)，則動點(diǎn)P的軌跡方程為________．CyxAQP問題2第12頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三OxyQPF1F2問題22、已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動點(diǎn)Q的軌跡是（）(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線的一支(D)拋物線第13頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三【探究1】如圖,已知線段AB=4,動圓O′與線段AB切于點(diǎn)C,且AC-BC=2,過點(diǎn)A?B分別作⊙O′的切線,兩切線相交于P,且P?O′均在AB同側(cè),建立適當(dāng)坐標(biāo)系,當(dāng)O′位置變化時(shí),求動點(diǎn)P的軌跡E的方程.

第14頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三【解析】以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(圖略),則A(-2,0),B(2,0).

由切線長定理可得|AC|-|BC|=|PA|-|PB|=2<4,

∴點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A?B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(不包括頂點(diǎn)).

∵a=,c=2,∴b2=2.

∴動點(diǎn)P的軌跡方程是:x2-y2=2(x>).

第15頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三想一想:問題1：一動圓與圓O1：(x+3)2+y2=4外切，同時(shí)與圓O2：(x-3)2+y2=9內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么類型的曲線．在兩定圓不動的前提下，適當(dāng)改變其他條件使動圓圓心形成新的軌跡？第16頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三已知圓A：(x+2)2+y2=1與點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），分別求出滿足下列條件的動點(diǎn)P的軌跡方程.（1）△PAB的周長為10;（2）圓P與圓A外切，且點(diǎn)B在動圓P上（P為動圓圓心）;（3）圓P與圓A外切且與直線x=1相切（P為動圓圓心）.【例題3】第17頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三【解析】(1)根據(jù)題意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，

即|PA|+|PB|=6＞4=|AB|，故P點(diǎn)的軌跡是橢圓，

且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b=

，

因此其方程為

（y≠0）.

（2）設(shè)圓P的半徑為r，則|PA|=r+1，|PB|=r，

因此|PA|-|PB|=1.

由雙曲線的定義知，P點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支，

且2a=1，2c=4，即a=

,c=2,b=

，

因此其方程為第18頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三（3）依題意，知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離等于

到定直線x=2的距離，故其軌跡為拋物線，

且開口向左，p=4.

∴方程為y2=-8x.第19頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三1.動點(diǎn)P到定點(diǎn)(-1，0)的距離與到點(diǎn)(1，0)距離之差為2，則P點(diǎn)的軌跡方程是______________.2.3.【練習(xí)3】第20頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三【練習(xí)3】第3題第21頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三【練習(xí)3】第3題-----變式16第22頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三16【練習(xí)3】第3題-----變式第23頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三8.(能力題,中)

設(shè)Q是圓C:(x+1)2+y2=16上的動點(diǎn),另有A(1,0),線段AQ的垂直平分線交直線CQ于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動時(shí),點(diǎn)P的軌跡方

程是________.

第24頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三解析:設(shè)P(x,y),

∵點(diǎn)P是線段AQ垂直平分線上的一點(diǎn),

∴|PA|=|PQ|,

∴|PA|+|PC|=|PC|+|PQ|=4>2,

∴點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A?C為焦點(diǎn)的橢圓,

且a=2,c=1,b2=3,

∴點(diǎn)P的軌跡方程為.第25頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三方法：利用雙曲線的定義求軌跡方程第26頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三“直接法”求軌跡方程第27頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何知識推出等量關(guān)系，列出含動點(diǎn)P（x,y）的解析式.一、直接法第28頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三例3如圖，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-5,0)，(5,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為,求M的軌跡方程.ABMyOx方法3：直接法第29頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三第30頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三第31頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三【例題1】它表示何種曲線呢？第32頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三2.與圓x2+y2-4x=0外切，且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方程是______________________.y2=8x(x＞0)或y=0(x＜0)1.已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)、A(3,0)距離的比為

1:2的點(diǎn)的軌跡,則此曲線的方程是______________.PABxyo解：設(shè)動圓圓心為P(x,y).由題，得即-4x+y2=4|x|得動圓圓心的軌跡方程為y=0(x<0),或y2=8x(x>0)【練習(xí)】第33頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三9.(經(jīng)典題,中)△ABC的頂點(diǎn)B(-1,0),C(2,0)若∠ACB=2∠ABC,則頂點(diǎn)A的軌跡方程為________.

第34頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三第35頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三“待定系數(shù)法”求軌跡方程第36頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三二、待定系數(shù)法題目已知曲線類型,正確設(shè)出曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后結(jié)合問題的條件,建立參數(shù)a,b,c,p

滿足的等式,求得其值,再代入所設(shè)方程.第37頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是y軸，且經(jīng)過點(diǎn)P（-6，-3），則拋物線方程為__________【練習(xí)2】第38頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三“代入法（相關(guān)點(diǎn)法）”求軌跡方程第39頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三四、代入法（相關(guān)點(diǎn)法）

當(dāng)所求動點(diǎn)P的運(yùn)動很明顯地依賴于一已知曲線上的動點(diǎn)Q的運(yùn)動時(shí)，可利用代入法，其關(guān)鍵是找出兩動點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系。設(shè)所求動點(diǎn)P坐標(biāo)(x,y)，再設(shè)與P相關(guān)的已知點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x0,y0)，找出P.Q之間的坐標(biāo)關(guān)系，并表示為x0=f(x),y0=f(y)，根據(jù)點(diǎn)Q的運(yùn)動規(guī)律得出關(guān)于x0,y0的關(guān)系式,把x0=f(x),y0=f(y)代入關(guān)系式中,即得所求軌跡方程.第40頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三講授新課例1.yx第41頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三例2、如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？分析：點(diǎn)P在圓上運(yùn)動，點(diǎn)P的運(yùn)動引起點(diǎn)M運(yùn)動。解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)，則

x=x0,y=y0/2.因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在圓上，所以把x0=x,y0=2y代入方程(1)，得即所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓。第42頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三此法實(shí)際上是利用中間變量x0,y0求軌跡方程【例題4】第43頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三【練習(xí)4】第44頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三“參數(shù)法”求軌跡方程第45頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三五、參數(shù)法如果軌跡動點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)點(diǎn)可用時(shí)，可先考慮將x、y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程.參數(shù)法中常選角、斜率等為參數(shù).第46頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三【例題5】

解：設(shè)動直線方程為：y=x+b，

和橢圓方程聯(lián)立得：

x2+4y2-4x=0①y=x+b②5x2+8bx-4x+4b2=0設(shè)中點(diǎn)M（x，y），則

x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,與②聯(lián)立消去參數(shù)b，得：x+4y-2=0（橢圓內(nèi)的一段）傾斜角為450的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)的軌跡方程。xyoAB第47頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三【練習(xí)5】1.過原點(diǎn)的直線與橢圓

相交，求弦中點(diǎn)的軌跡方程。2.如圖,過點(diǎn)A(-3,0)的直線l與曲線C：x2+2y2=4交于A,B兩點(diǎn).作平行四邊形OBPC，求點(diǎn)P的軌跡。AoxyBCPoxyMA第48頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三【練習(xí)5】

解：設(shè)OA斜率為k（k∈R），由y=kxx2+4y2-4x=0

得：（1+4k2）x2-4x=0設(shè)中點(diǎn)M（x，y），則

x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2）

k=y/x

消參數(shù)得：x2+4y2-2x=01.過原點(diǎn)的直線與橢圓相交，求弦中點(diǎn)的軌跡方程。oxyMA第49頁，講稿共56頁，2023年5月2日，星期三2.如圖,過點(diǎn)A(-3,0)的直線l與曲線C：x2+2y2=4交于A,B兩點(diǎn).作平行四邊形OBPC，求點(diǎn)P的軌跡。AoxyBCPG解法一：利用韋達(dá)定理解法二：點(diǎn)差法連PO交CB于G.設(shè)P(x,y),G(x0,y0),C(x1,y1),B(x2,y2),則x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2