線性方程組的消元法矩陣及其初等行變換

線性代數(shù)

LinearAlgebra理學院數(shù)學系韓維辦公室

18-903,9277/2/20231學分獲取點名+=復習作業(yè)其它平時期末總評筆記作業(yè)總結練習書本課程郵箱：probability郵箱密碼：xd20137/2/20232

DavidC.Lay：線性代數(shù)是最有趣最有價值的大學數(shù)學課程

線性方程組的應用：劍橋減肥食譜問題、電路問題、交通流問題、馬爾科夫鏈、聯(lián)合收入問題、現(xiàn)代飛行器外形設計例等等……

向量組的線性相關性的應用：藥方配制問題等

可逆矩陣的應用：密碼問題等

矩陣對角化應用：行業(yè)就業(yè)人數(shù)預測、人口遷移、人口分布趨勢分析等

二次型應用：如政府合理分配修路、修公園資金等

注了解線性代數(shù)7/2/20233

應用線性代數(shù)相關學科：

工程學，計算機科學，物理學，數(shù)學，生物學，經(jīng)濟學，統(tǒng)計學，力學，信號與信號處理，系統(tǒng)控制，通信，航空等學科和領域

應用線性代數(shù)相關后繼學科：

電路、理論力學、材料力學、計算機圖形學、計算機輔助設計、系統(tǒng)動力學、自動控制原理、機械振動、機器人學、密碼學、虛擬現(xiàn)實等課程無不以線代為其理論和算法基礎的一部分

注了解線性代數(shù)7/2/20234

在數(shù)學上，線性函數(shù)關系是直線，而非線性函數(shù)關系是非直線，包括各種曲線、折線、不連續(xù)的線等；線性方程滿足疊加原理，非線性方程不滿足疊加原理；線性方程易于求出解析解，而非線性方程一般不能得出解析解----阿爾文·托夫勒(AlvinToffler1928-)，未來學大師、世界著名未來學家

注了解線性代數(shù)

本學科體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等可以強化數(shù)學思維訓練。學習方法是大學教學的重要內(nèi)容7/2/20235

科學的發(fā)展決定了不僅要研究單個變量之間的關系，還要研究多個變量之間的關系。各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化。計算機的迅速發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來。大量的理論及應用問題可以通過“線性化”變成線性代數(shù)問題。線性代數(shù)的重要性在于它考慮了一類簡單的數(shù)學模型。解決這些問題的有力工具。

注了解線性代數(shù)7/2/20236

線性代數(shù)和微積分學是數(shù)學的兩大支柱，是所有理工科學生的必修課程.

線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。

一次方程稱為線性方程，討論線性方程及線性運算的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。知識鏈：線性方程組--->行列式--->矩陣--->向量

注了解線性代數(shù)7/2/20237大學數(shù)學學什么？怎樣學？數(shù)學教育本質上是一種素質教育----中國科學院院士李大潛通過數(shù)學的訓練，可以使學生樹立明確的數(shù)量觀念，“胸中有數(shù)”，認真地注意事物的數(shù)量方面及其變化規(guī)律。

怎樣做為什么這樣做不這樣做可以嗎How?Why?Otherways?

注未來的文盲不再是目不識丁的人，而是那些沒有學會怎樣學習的人---AlvinToffler(America)了解線性代數(shù)7/2/20238了解線性代數(shù)《數(shù)學概觀》:“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，如線性性質、向量、線性空間、矩陣等，要去學習自然科學，現(xiàn)在看來就和文盲差不多，甚至學習社會科學也是如此”。---瑞典數(shù)學家LarsGarding7/2/20239參考途資料釋：《線性洪代數(shù)》同準濟大條學第宿四版《線性借代數(shù)五講慌》龔休昇綿編著《數(shù)學購概觀》、貨《數(shù)學務拾遺》Th剖om影as害A咬.懲Ga省rr堤it榆y《高等大代數(shù)教程兩-習盼題集廉》王菜萼芳峽編封清緊華大臭學出挽版社了解題線性怪代數(shù)6/壩26膨/2字02肌310參考躁資料沙：線性竿代數(shù)翅的本采質-續(xù)心得原來博線性相代數(shù)匪很簡魂單-戒生動涌形象線性求方程箭組在脖各學徒科各洞知識卻點的霧應用了解炒線性訂代數(shù)6/揚26執(zhí)/2貧02窮311話說太很久文以前青，有否群吃油飽飯新沒事苦干的迫數(shù)學越家正處在研貸究方斑程組逢，其響中有毅一個撫特別撤吃得上飽的饞突然攔對大歷伙說蠻：“鴨兄弟腐，不撲覺得景寫一院堆方繩程式卸然后賞一個覆一個跡的代杰入消扭元太祝麻煩腥了嗎塑？特迅別是澆浪費潛紙！恒”其很他人熱點頭麻稱是竊，于榆是大萍家研禾究一涂番，較發(fā)現(xiàn)突如果便把方尚程組殿的系疫數(shù)提如出來茫計算所更加危的省鉛紙，碼于是行列陡式誕生斑了！艇并且青得出灑了克拉方默法詳則！真是尿“吃斬飽了份撐得馳”線性在代數(shù)咳的誕忌生故事口是這候樣發(fā)蘭生的膽……6/芳26僑/2事02敬312如果風方程尖組的直個數(shù)削很少損，是課不能憑構成行列版式的（婦行列完式一鋸定是杯方陣憲）。趟于是咳又有憂一個慣人提忽出了矩陣，利嶺用符逝號表曬示沒侵有任臨何關叼系的誤系數(shù)繞，并復得到符了矩團陣的秩的概腔念，預利用尤它就塊可以弓討論賭方程尾組解暢的情呢況了鵝！從此根一場像數(shù)學周界的則思想易革命悔開始勤了！矩陣覽的出父現(xiàn)方跌便了雕求解儉線性躲方程的組，東但是禮那群宅數(shù)學稿家非飲常不廁甘心拍，“宗連個邪小牛球頓都粘能有斷萬有日引力絹，咱控們得跟努力解一下氣，弄棗個像壘樣的井數(shù)學污工具燈！”亭一個話數(shù)學品家說伙！于堪是他測們又米想到筑了把喬線性消方程限組用昌有序手的數(shù)呀列來懸表示疤，這頁樣向量誕生租了。寬。。線性狂代數(shù)佛的誕丹生6/勸26不/2敞02利313原來寄這些端數(shù)學誰家在敏想辦事法利士用秩割的概柴念討眨論線菌性關系恢找到湯多余洪的方喪程把快它去疏掉，術剩下蘋的才緊是值裁得分敞析的鉗方程兵組，羅原來碌在省循紙。線性瘦代數(shù)列的發(fā)型展知識怠鏈：線性歐方程駕組-敗--盤>行翻列式?jīng)?-家->廊矩陣浙(秩浩)--瓣->好向量蚊--轎->爆向量挪空間6/結26粉/2嘗02放314如圖給桐出了燒某城臨市部毒分單娃行街在道在陣一個進下午煉早些遷時候薄的交值通流鄙量（廉每小向時車穗輛數(shù)金目）家。計革算該宿網(wǎng)絡姜的車行流量。引例交通害流問纏題6/偉26槽/2禾02連315由引例交通否流問汗題網(wǎng)絡流量假設，有對于節(jié)點A：對于節(jié)點B：對于節(jié)點C：對于節(jié)點D：對于節(jié)點E：問題熟歸結鴿為如岔下線辭性方府程組抬的求脅解（有澇解還驕是無鋸解）苦：6/尼26感/2蛙02開316線性聯(lián)方程夕組的什解法Sy芝st帶em關o棒f默Li蘇ne滅ar路E煤qu撥at鋼io午ns第一疏章線性綠方程吩組的弄消元辛法矩陣肯及其析初等皮行變扛換應用欠舉例6/患26濕/2挺02勾317第一織節(jié)線性酸方程畫組的莖消元含法6/番26敘/2聲02杠318公元忘前1世紀,《九章哭算術》:初等行變骨換,相當倘于高疏斯消需元法17世紀假后期,德國廣數(shù)學憲家萊布雷尼茨:含兩篩個未俘知量珠三個峰方程巧的線緩性組18世紀兄上半竭葉,英國慶數(shù)學偶家麥克消勞林:具有流二、陽三、易四個偉未知劃量的芬線性裁方程綱組得到蠶了現(xiàn)筐在稱孝為克拉鉤默法迅則的結巧果瑞士趙數(shù)學編家克拉幻玉默不久嘆也發(fā)路表了廊這個腐法則了解泉：關閥于線森性方形程組6/守26頓/2耀02隊31918世紀肅下半離葉，給法國醉數(shù)學枝家貝祖:對線濤性方機程組址理論暴進行腦了一天系列繁研究證明障了n元齊呆次線廢性方信程組有非得零解莖的條盈件是系數(shù)尤行列圓式等南于零19世紀撇，英抽國數(shù)衛(wèi)學家史密糊斯和道奇雜森:前者閉引進占了方簡程組繩的增廣悉矩陣的概幅念后者駝證明扒了n個未惑知數(shù)m個方益程的虛方程虧組相容的充挪要條驗件是牧系數(shù)師矩陣企和增澇廣矩攤陣的秩相同了解扮：關妹于線慕性方促程組6/顆26稿/2勞02盆3201、舊基本當概念線性置方程辭：設詳為疾實未負知量標，致為實畏數(shù)，n姿m刃k槽l為正境整數(shù)沃,線性槐方程燒組：線性假方程斗組的憑解、也相容co講ns竊is越te硬nt、不竊相容內(nèi)、解魂集、奏通解沙(一嗽般解跨)、吃同解詞（等迎價）良方程廊組6/民26壟/2喬02掠321Ga織us騎s消埋元法壺（G導au磁ss茄~m僅et噴ho宜d）a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21當a11a22a12a210銀時,x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.具體嫁實例乎見P董3燭例26/慢26堅/2截02清3222x13x2+4x3=4

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1蔽/21對換升變換(s因wa冒pp殼in縫g)倍乘蛙變換(r鐵es鋼ca懲li章ng招)倍加存變換(p賽iv濕ot芽in罪g)階梯嚇形方否程組(e巧ch秘el福on掌f港or分m)2、甩Ga企us草s消叫元法佩實例統(tǒng)稱何為：懇同解刺變換6/率26跟/2戴02饅323x1

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最簡饒形(re叫du儲ce樂d摸ec必he年lo傳n冰fo蝴rm恰)或寫剝成向況量形蔬式由此故可得屠原方意程組勁的通解(ge哲ne諒ra湯l匙so艘lu茅ti替on)x=5c+12c2c

,其中c為任貓意數(shù)灰.2、扎Ga驕us因s消擺元法孫實例6/某26垃/2儲02蹄324(1擺)約線性校方程座組的明初等規(guī)變換對換奇變換(s秒wa濟pp槽in向g)倍乘閑變換(r噴es雙ca替li建ng挨)倍加椅變換(p獸iv豆ot科in蹲g)注:倍乘變換必須用非零的數(shù)去乘某一個方程3、積Ga東us吹s消敢元法瞎實例口小結6/割26壟/2倉02啟325(2猜)買階梯面形線聾性方這程組蓋的有發(fā)三中液基本鞭類型么.2x1+3x2x3=1

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例如典:leadingvariables

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3、減Ga笛us慢s消賞元法里實例傍小結無解有唯洽一解有無柱數(shù)解6/繁26高/2麥02緊326(3跡)貝階梯籠陣的若形狀葉與線滑性方幕程組秤的解.引入利矩陣2x1+3x2x3=1

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1梳/21注：粥解只叛與相緣瑞應的笨系數(shù)攏和右蛇邊常佛數(shù)有罩關，溝故可概用矩陣表示嘗如下-2-344

12-1-322-6-212-1-3

-2-34

411-3-16/向26掀/2銀02世328第二強節(jié)矩陣遞及其叢初等永行變顆換6/淚26冷/2象02抽329“矩陣(ma搞tr慈ix)”這個詞首迫先是牧英國首數(shù)學助家西爾去維斯植特使炸用的倉.他為狀了將醉數(shù)字姑的矩騙形陣列餃區(qū)別軌于行感列象式(de繞te醫(yī)rm嫂in附an圓t)而幅發(fā)明了這腰個述帝語.Ja魚me職s童Jo鄉(xiāng)豐se做phSy鼓lv派es暫te父r(~餐)一、版關于趙矩陣去的歷衰史6/布26棟/2貞02鑄330英國五數(shù)學浪家凱萊被公奇認為序是矩擇陣論的蘆創(chuàng)立儀者.他首辦先把性矩陣玩作為一個染獨立銅的數(shù)掌學概念,渾并它發(fā)表誓了一餡系列關薄于這司個題潔目的文章叉.Arthur

Cayley(1821.8.16~1895.1.26)

一、漆關于縣矩陣鋪的歷毛史6/弟26倦/2緣瑞02股331二、童實例例1睛.睬四個增城市毀間的土單向弊航線陪如圖垮所示柱.1423用aij表示蘆從i市到j市航鄙線的退條數(shù)勿,則上廉圖信持息可芬表示厭為a11

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6/恭26枯/2葬02漂332例2胳.軌線性壞方程添組的虛一般悶形式冬為如果論把未雄知量璃的系眾數(shù)按宇其原政來的肺相對懼位置撕排成悼一個矩形御的樣度子，憐則為綁一個敬矩陣殿。系數(shù)摘矩陣增廣信矩陣二、希實例6/訂26凱/2坑02敢333三.酒矩供陣的柄定義1.mn矩陣元素aij(1im,鞠1jn)行(row)

列(column)

6/獵26您/2好02耍334De狡f.2.勁1由

個數(shù)

排成m行n列的狠數(shù)表稱為

m行

n列矩陣，簡稱矩陣。No和te忙:1、肌前行訴后列尾；2、寺與行皂列式未的區(qū)份別

這

個數(shù)稱為矩陣

A的元素，稱為矩陣

A

的第

i行、第

j列元素。（實矩陣、復矩陣）

簡記同型畝矩陣護：矩捎陣的塔行數(shù)慣相等割，列辜數(shù)也責相等注三.寬矩祝陣的野定義6/虜26替/2垮02咱335如果扎與壺是同甩型矩正陣，振且,稱澆矩陣盾A易與堅B強相等份，記薯為A=朋B相等勒的必絕要條雁件是舉同型常見散的特蛙殊矩曉陣：1、例列矩防陣：2、慢行矩吼陣：3、賢零矩陽陣：O4、舅方氣陣站（很n腐階方萄陣）怠：對角吃線（炊對角床線）6/疊26漏/2播02燥3365、攔上三嚼角形吐矩陣腔（上疼三角榨陣）在n階方鹿陣中婚，rik=練0其中i>k.6、圾下三副角形境矩陣填（下饒三角卻陣）在n階方論陣中祝，lik=視0痛其中i<k.6/射26作/2柄02嶼3377、掘對角捷陣：8、花數(shù)量續(xù)矩陣掉：9、稼單位大矩陣按：的數(shù)下量矩咐陣記作En簡記ENo嚼te:5抬~籠9概念詳?shù)那翱椞崾橇疥囄稹?/澡26謹/2揚02私338四、愛矩陣皆表示悉舉例氣：Ex葡am惡pl春e3婚姻洋問題(ma悶tc她hi戴ng娃p怎ro蹤蝶bl輛em)女兒追求蓮者ABCEDF327151042628如何缸嫁娶癢，使獲增得的亮禮品打最多競？7DEF6/具26簽/2未02丙339“錘箱子，美剪刀患，布沃”的露游戲代，也略是一沾種矩殃陣對故策。惱如果剛約定桶：勝堂者得居1分糊，負弦者得汗-1圣分，畫平手理得0阿分，重而且陽雙方廟的策烈略都網(wǎng)按錘片子，艦剪刀封，布棵的順胳序。錘子天剪俊刀賢布錘乎剪林布策略簡化勾后某恰一方匯的贏得爆矩陣映為：Ex泳am柄pl裕e4：贏得療矩陣四、永矩陣徑表示頑舉例饒：6/血26倚/2妥02舅340思考（贏居得矩金陣）（這雹是對綁策論興的問西題）我國豪古代冷有“壁齊王贊賽馬趨”的除事例邪，戰(zhàn)承國時慢代齊悼王與占其大將藥田忌黨賽馬未，雙歉方約冷定各紀出上竹、中楊、下卡3祥個順等級殘的馬各一大匹進倦行比趙賽，軍共賽日馬槐3泰次，完每次歪比賽秧的敗碧者付養(yǎng)給勝者千志金已架知.威在阿同一貢等級屆的比賽休中，共齊王虜之馬千可穩(wěn)梁操勝券移，但剖田忌款的上削、中爽等級的鴉馬分沿別可脹勝齊太王的畝中、下等酒級的裝馬.齊王若與田笑忌在看排列滾賽馬卻出場刮順序肯時，秤各可衰取下歐列6址種策書略之愧一：1懷(上料、中嚼、下啦)償2栗(中驚、上許、下估)3云(下巨、中個、上乞)啟4燈(上備、下啊、中愉)5帖(中切、下戰(zhàn)、上翅)京6貸(下篩、上象、中份)則可省得齊接王的贏得例矩陣良：6/嬸26倡/2敵02覽341說明蘆：對策像論—奶—研隸究沖田突對貢抗條渴件下校最優(yōu)蕩決策算問題區(qū)的理蘿論對策季也稱格博弈（Ga遣me）,是挽自古犧以來念的政摸治家療、軍事家系（現(xiàn)誓在更淋多的乞是經(jīng)轟濟學罩家）續(xù)關注接研究時的問勺題.服作凝為一門運學科巡壽是2鼻0世道紀4恩0年氣代形薄成并亮發(fā)展淋起來榆的.屑19踐44辭年馮.愧諾依蝦曼(Vo榨n脹Ne再um解an膊n)與特摩根炮斯特削(O.蒜Mo祝rg薦en攻st改er齒n)合作疲出版罰了《植博弈馳論與博經(jīng)濟屯行為雀》一拆書，污標志狗著現(xiàn)謹代系統(tǒng)博撲弈理詞論的瘋初步崖形成屆.20世紀50年代愉，納歇什(Na剪sh)建立超了非夾合作償博弈湯的“納什拆均衡”理論才，標榆志著邀博弈彩的新馳時代橫開始推，是族納什喝在經(jīng)濟滅博弈療論領豪域劃寨時代吃的貢富獻，尋是繼業(yè)馮.賠諾依只曼之嚷后最偉大遇的博局弈論遙大師犧之一咸.1碌99畝4年房誠納什統(tǒng)獲得鐘了諾維貝爾窗經(jīng)濟學獎月.6/中26飽/2漢02士342對策您論的勞例：囚犯窄的兩子難處影境

坦白抵賴坦白5，50.5，20抵賴20，0.51，1一位段富翁銹在家德中被圣殺，憂財物低被盜帶。警方震抓到仙兩個干犯罪取嫌疑掘人，約并從桶他們桂的住處宜搜出頂被害慈人家蹦中丟染失的疾財物鳴。但鴉是，他們恭矢口梯否認留曾殺怎過人想，辯核稱是飲先發(fā)濫現(xiàn)富窯翁被條殺，鍵然后踐只是辱順手牽寨羊偷腳了點鏡兒東愧西。孤于是懼警方服將兩交人隔拜離，泛分別拴關在映不同付的房間焰進行沒審訊倆。由身地方耳檢察臂官分桐別和償每個摧人單填獨談睜話。妖檢察蔬官給出軌了上境表的隱政策沒，囚腎犯該豆怎么提辦呢帝？他事們面糖臨著催兩難萄的選煮擇——軟坦白善或抵撇賴。結果龜：兩丙人都箱選擇歉了坦躬白，粒各被駛判刑蓋5年幕。這虎個結局被艇稱為虹“納菌什均欺衡”汁也稱涼非合逃作均寨衡。6/仁26課/2領02致343“納辰什均遲衡”執(zhí)對亞憑當·未斯密餐的“董看不妻見的叢手”乎的原啟理提處出挑戰(zhàn)站。按喝照斯都密的鄰理論富，在接市場砌經(jīng)濟剃中，哭每一桃個人迷都從利己的目劃的出合發(fā)，泉而最幣終全沈社會遼達到利他的效昌果。指從“納演什均鍵衡”抽我們必引出叨了“概看不才見的唱手”插的原惜理的轎一個你悖論：子從利巾己目寬的出完發(fā)，婚結果逆損人贏不利顯己，圾既不桃利己械也不利他劣?！懊}納什繳均衡齡”提畫出的黎悖論蒼實際淺上動回搖了自西方趨經(jīng)濟米學的基榜石.對策季論的哨例6/裂26逝/2規(guī)02姐344§2矩陣煤及其探初等怖行變畝換五、貼矩陣隱的初盤等行斬變換De有fi口ni鐘ti偶on2設A是m×石n矩陣扯，下逗面三艇種變換稱汽為矩蠻陣的涼初等以行變賴換：（1）交換A的第i行和第j行的位置，記為；（2）用非零常數(shù)

k

乘以

A

的第i行各元素，記為（3）將A

的第i行各元素的k倍加到第j行對應元素，記為注意港記號行ro元w6/殘26誦/2企02彼345第一章盆線性狼方程否組的尋解法De妖fi熟ni嶄ti根on3

若矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣B，則稱矩陣A與矩陣B

行等價，記作.例如剛：用消坡元法割求解敗線性嶼方程悉組可通蜂過對讀增廣錘矩陣侍初等筋行變猛換得駝到縮慧.即代入酷即得x1=籃2，x2=救3剩.即不是次等號6/欣26草/2恐02掙346再如跑：用消延元法蛛求解刮線性海方程根組6/姑26熊/2捧02清347第一章任線性仍方程生組的蔑解法解：（消去震法化陽簡）①②③④①②③④①②③÷找2①②③④②-2①③-2①④-3①③+2④③④+③③+3②③÷14④-3③結論艙：該壓方程艱組有戲解，隱且有片無窮浴多解.同解覽變換軋：1、毛交換媽方程詳次序爪；2、蜘用一貪個非洗零數(shù)唉乘某堪個方蒜程；3、座將一巨個方憶程的k倍加裕到另猶一個碼方程顏上.②-5③①-③自由材未知沉量令x3=k（k為任群意常琴數(shù)）痕得：實際圍給了今3個筍方程①-②

6/源26租/2百02技348再看爸剛才的求預解過此程:稱為帳行階勿梯形厘矩陣行階梯形矩陣:

如果矩陣中全為零的行在矩陣的下方,且非零行的第一個非零元素的列標隨行標的遞增而嚴格增加化行晃階梯速形矩旱陣即為躬消元幼過程方程帶組是消否有徐解由妖此判隊斷對應駐的同鵲解方去程組盯為：6/槽26伴/2植02靠349稱為頃行最驕簡形峰