點(diǎn)估計(jì)量的求法

關(guān)于點(diǎn)估計(jì)量的求法第1頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三一、矩估計(jì)法由于估計(jì)量是樣本的函數(shù),是隨機(jī)變量,故對(duì)不同的樣本值,得到的參數(shù)值往往不同,因此如何求得參數(shù)的估計(jì)量便是問(wèn)題的關(guān)鍵所在.常用構(gòu)造估計(jì)量的方法:(三種)1.矩估計(jì)法2.最(極)大似然估計(jì)法.3.次序統(tǒng)計(jì)量估計(jì)法第2頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三1.矩估計(jì)法

基本思想：用樣本矩估計(jì)總體矩.理論依據(jù):或格列汶科定理它是基于一種簡(jiǎn)單的“替換”思想建立起來(lái)的一種估計(jì)方法.是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出的.大數(shù)定律第3頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三記總體k階原點(diǎn)矩為樣本k階原點(diǎn)矩為記總體k階中心矩為樣本k階中心矩為

用樣本矩來(lái)估計(jì)總體矩,用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來(lái)估計(jì)總體矩的連續(xù)函數(shù),這種估計(jì)法稱為矩估計(jì)法.第4頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三矩估計(jì)法的具體步驟:設(shè)總體X的分布函數(shù)為m個(gè)待估參數(shù)(未知)為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.第5頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三矩估計(jì)量的觀察值稱為矩估計(jì)值.注第6頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三解根據(jù)矩估計(jì)法,例1第7頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三解例2第8頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三解方程組得到a,b的矩估計(jì)量分別為第9頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三解解方程組得到矩估計(jì)量分別為例3第10頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三上例表明:總體均值與方差的矩估計(jì)量的表達(dá)式不因不同的總體分布而異.一般地:第11頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三例4設(shè)總體X的分布密度為為來(lái)自總體X的樣本.求參數(shù)的矩估計(jì)量.分析：一般地，只需要求：的矩估計(jì)量.第12頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三不含有，故不能由此得到的矩估計(jì)量.解(方法1)要求：—的矩估計(jì)量第13頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三(方法2)要求：的矩估計(jì)量：注此例表明：同一參數(shù)的矩估計(jì)量可不唯一.第14頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三例5(p43例2.9)解建立方程第15頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三求解方程可得第16頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三

矩法的優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.缺點(diǎn)：當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒(méi)有充分利用分布提供的信息.一般場(chǎng)合下,矩估計(jì)量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程時(shí)，選取哪些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性.小結(jié)：第17頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、最大似然估計(jì)法最大似然估計(jì)法是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法.它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的,GaussFisher然而，這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher.

Fisher在1921年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).Fisher資料第18頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三先看一個(gè)簡(jiǎn)單例子：一只野兔從前方竄過(guò).是誰(shuí)打中的呢？某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵.如果要你推測(cè)，你會(huì)如何想呢?只聽(tīng)一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下.1最大似然法的基本思想第19頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三你就會(huì)想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率.看來(lái)這一槍是獵人射中的.這個(gè)例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了最大似然法的基本思想.第20頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三設(shè)X~B(1,p),p未知.

設(shè)想我們事先知道

p只有兩種可能:問(wèn):應(yīng)如何估計(jì)p?p=0.7或p=0.3如今重復(fù)試驗(yàn)3次,得結(jié)果:0,0,0由概率論的知識(shí),3次試驗(yàn)中出現(xiàn)“1”的次數(shù)(k=0,1,2,3)引例第21頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三(k=0,1,2,3)Y01230.3430.4410.1890.0270.0270.1890.4410.343依題設(shè)，“重復(fù)試驗(yàn)3次,得結(jié)果:0,0,0”應(yīng)如何估計(jì)p?p=0.7還是p=0.3？第22頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三2似然函數(shù)第23頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三最大似然估計(jì)法第24頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三似然函數(shù)的定義第25頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三第26頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.求最大似然估計(jì)的步驟第27頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三最大似然估計(jì)法也適用于分布中含有多個(gè)未知參數(shù)的情況.此時(shí)只需令對(duì)數(shù)似然方程組對(duì)數(shù)似然方程第28頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三解例6(p46例2.12)第29頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三這一估計(jì)量與矩估計(jì)量是相同的.第30頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三解X的似然函數(shù)為例7(p47例2.13)第31頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三第32頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三它們與相應(yīng)的矩估計(jì)量相同.第33頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三例8(p47例2.14)設(shè)總體X服從柯西分布，其分布密度為解由分布可知，其似然函數(shù)為此方程只能求解其數(shù)值解，可以以樣本中位數(shù)為初始值進(jìn)行迭代。又因?yàn)榇朔植季挡淮嬖?，不可用矩估?jì).第34頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三解例9(p48例2.15)第35頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三第36頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三第37頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三4.最大似然估計(jì)的性質(zhì)定理2.4

此性質(zhì)可以推廣到總體分布中含有多個(gè)未知參數(shù)的情況.例10(p48例2.16)解第38頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理2.5第39頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三證由因子分解定理可知注該定理說(shuō)明最大似然估計(jì)充分利用了樣本中包含的參數(shù)的信息，因而是一種比較好的估計(jì)，通常情況下，最大似然估計(jì)不僅是相合估計(jì)，而且是漸近正態(tài)估計(jì).第40頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三三、用次序統(tǒng)計(jì)量估計(jì)參數(shù)的方法1.用樣本中位數(shù)與樣本極差估計(jì)參數(shù)由1.4節(jié)可知，由于樣本中位數(shù)與樣本極差計(jì)算方便，因而通常情況下，可以用樣本中位數(shù)估計(jì)總體期望，用樣本極差估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差。定理2.6第41頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三因此第42頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三例10(p51例2.18)某維尼綸廠20天內(nèi)生產(chǎn)正常，隨機(jī)的抽樣得到20個(gè)纖度數(shù)值，等分成4組，每組5個(gè)數(shù)值，如下表：第43頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三極差R11.361.491.431.411.370.1321.401.321.421.471.390.1531.411.361.401.341.420.0841.421.451.351.421.390.10假設(shè)纖度服從正態(tài)分布，試估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差。解計(jì)算平均極差顯然兩種估計(jì)結(jié)果極為接近，但極差形式簡(jiǎn)單.第44頁(yè)，講稿共47頁(yè)，2023年5月2日，星期三ThankYou!