特征值估計(jì)與表示

關(guān)于特征值估計(jì)與表示第1頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三§5.1特征值的估計(jì)

一、特征值的界

1.定理5.1：設(shè)A=(aij)Rn×n，若表示A的任一特征值，則其中。2.推論實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。第2頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.引理1：設(shè)BCn×n，yCn為單位列向量，則證明：設(shè)B=(bij)

n×n，，則第3頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三4.定理5.2：設(shè)ACn×n，則A的任一特征值

滿足

(1)||||A||m(2)|Re()|0.5||A+AH||m(3)|Im()|0.5||A－AH||m。證明：設(shè)A屬于的單位特征向量為y，則有Ay=y，即yHAy=yHy=，因此由引理，于是有第4頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三例：估計(jì)矩陣特征值的上界。5.推論

Hermite矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，反Hermite矩陣的特征值為零或純虛數(shù)．解：由定理5.2，對(duì)A特征值，有：|

|2，|Re()|2，|Im()|1.3，由定理5.1，知其虛部的另一逼近為：其特征值為：第5頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三6.定義5.1設(shè)A=(aij)Cn×n,記Rr=sr|ars|,r=1,…,n，如果|arr|＞Rr(r=1,2,…,n)，則稱矩陣A按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)；如果|arr|Rr(r=1，…，n)，且有l(wèi)ron，使得|aroro|>Rro成立，則稱矩陣A按行(弱)對(duì)角占優(yōu)。7.定義5.2設(shè)ACn×n，如果AT按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則稱A按列嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)；如果AT按行(弱)對(duì)角占優(yōu)、則稱A按列(弱)對(duì)角占優(yōu)。

第6頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、特征值的包含區(qū)域1.定義5.3

設(shè)A=(aij)Cn×n，稱區(qū)域Gi:|z-aii|Ri為矩陣A的第i個(gè)蓋爾圓，其中Ri=ji|aij|稱為蓋爾圓Gi的半徑(i=l，…，n)。2.定理5.6矩陣A=(aij)Cn×n的一切特征值都在它的n個(gè)蓋爾圓的并集之內(nèi)。證明:設(shè)λ為其特征值，為對(duì)應(yīng)特征向量，且為其絕對(duì)值最大者，則有即第7頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.定理5.7由矩陣A的所有蓋爾圓組成的連通部分中任取一個(gè)，如果它是由k個(gè)蓋爾圓構(gòu)成的，則在這個(gè)連通部分中有且僅有A的k個(gè)特征值(蓋爾圓相重時(shí)重復(fù)計(jì)數(shù)．特征值相同時(shí)也重復(fù)計(jì)數(shù))．證明思路：考慮由A的對(duì)角線元素構(gòu)成的矩陣D=diag(a11,a22,…,ann)，定義矩陣B(u)=(1-u)D+uA則其特征值變化連續(xù)依賴于參數(shù)u，D的蓋爾圓連續(xù)變化成為A的蓋爾圓。因此第8頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三例：討論矩陣的特征值的分布。解：A的蓋爾圓分別為|z-1|≤0.8和|z|≤0.5，這兩個(gè)蓋爾圓為連通的，因此包含兩個(gè)特征值。其特征值為不在蓋爾圓|z|≤0.5內(nèi)。第9頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三考慮滿秩對(duì)角陣則矩陣DAD-1與A具有同樣的特征值，因此有若將Ri改作ri=ji(|aij|i/j)

，則兩個(gè)蓋爾定理仍然成立，其中i都是正數(shù)。第10頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三隔離矩陣特征值原則選取的一般方法是：觀察A的n個(gè)蓋爾圓，欲使第i個(gè)蓋爾圓Gi的半徑變大(或小)些，就取i＞1(或i＜1)．而取其它正數(shù)=1。此時(shí)，B=DAD-1的第i個(gè)蓋爾圓的半徑變大(或小)，而B(niǎo)的其余蓋爾圓的半徑相對(duì)變小(或變大)．但是，這種隔離矩陣特征值的辦法還不能用于任意的具有互異特征值的矩陣．比如主對(duì)角線上有相同元素的矩陣．如果矩陣A按行(列)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則detA0。第11頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三例:

隔離矩陣A=的特征值．

A的3個(gè)蓋爾圓為G1:|z-20|5.8，G2:|z-10|5，G3:|z-10j|3。G1與G2相交；而G3孤立，其中恰好有A的一個(gè)特征值，記作3(見(jiàn)左圖)．選取D=diag(1，1，2)，則B=DAD-1的三個(gè)蓋爾圓為G1’:|z-20|5.4，G2’:|z-10|4.5，G3’:|z-10j|6。易見(jiàn)，這是3個(gè)孤立的蓋爾圓，每個(gè)蓋爾圓中恰好有B的(也是A的)一個(gè)特征值(見(jiàn)右圖)．第12頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理5.11：設(shè)矩陣A=(aij)Cn×n的，0α1，λ是A的任一個(gè)特征值，則存在i使得|λ–aii|[Ri(A)]α[Ri(AT)]1-α例：討論矩陣的特征值的分布。解：R1(A)=0.8,R2(A)=0.5;R1(AT)=0.5,R2(AT)=0.8.取α=0.5,則A的特征值λ滿足不等式|λ–1|[R1(A)]1/2[R1(AT)]1/2=0.41/2=0.6324|λ|[R2(A)]1/2[R2(AT)]1/2=0.41/2=0.6324第13頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三§5.2廣義特征值問(wèn)題

定義:

稱Ax=Bx的特征值問(wèn)題為(對(duì)稱)矩陣A相對(duì)于(對(duì)稱)矩陣B的廣義特征值問(wèn)題，稱數(shù)為矩陣A相對(duì)于矩陣B的特征值；而與相對(duì)應(yīng)的非零解x稱之為屬于的特征向量．廣義特征值由det(A-B)=0的根給出。一、廣義特征值問(wèn)題的等價(jià)形式1.

等價(jià)形式1：B可逆時(shí)B-1Ax=x，等價(jià)地化為非對(duì)稱陣B-1A的普通特征值問(wèn)題。2.

等價(jià)形式2：B正定時(shí)B=GGT使得Sy=y，其中y=GTx，對(duì)稱陣S=G-1AG-T。等價(jià)地轉(zhuǎn)化為對(duì)稱矩陣S的普通特征值問(wèn)題第14頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三因此，當(dāng)B=GGT

正定時(shí)有正交矩陣P，使得令Q=G-TP,則有設(shè)A與B為正定對(duì)稱陣，則A+B仍為正定對(duì)稱陣，由以上結(jié)論，存在可逆矩陣Q，使得因此有第15頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、特征向量的共軛性1.在等價(jià)的普通特征值問(wèn)題Sy=y中，特征向量系y1,y2,…,yn是完備的標(biāo)準(zhǔn)正交系。令xj=G－Tyj，j=1,2,…,n，則有xiTBxj=xiTGGTxj=(GTxi)T(GTxj)=yiTyj=ij，向量系x1，…，xn稱為按B標(biāo)準(zhǔn)正交化向量系。2.

按B標(biāo)準(zhǔn)正交化向量系的性質(zhì)：性質(zhì)1xj0(j=1,2,…,n)(j=1，…，n)；性質(zhì)2x1，…，

xn線性無(wú)關(guān)。第16頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三§5.3對(duì)稱矩陣特征值的極性一、實(shí)對(duì)稱矩陣的Rayleigh商的極性1.定義：設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，x∈Rn．稱為矩陣A的Rayleigh商．2.Rayleigh商的性質(zhì)：性質(zhì)1

R(x)是x的連續(xù)函數(shù)．性質(zhì)2

R(x)是x的零次齊次函數(shù)．即，對(duì)任意的實(shí)數(shù)0，有R(x)=R(x)=0R(x)第17頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三性質(zhì)3

xL(x0)(x00)時(shí)，R(x)是一常數(shù)．性質(zhì)4

R(x)的最大值和最小值存在，且能夠在單位球面S={x|xRn,||x||2=1}上達(dá)到．證：S是閉集，在S上R(x)=xTAx連續(xù)，所以必有x1，x2S，使得minxSR(x)=R(x1)maxxSR(x)=R(x2)

任取0yRn，令y0=y/||y||2，則y0S，根據(jù)性質(zhì)3，有R(y)=R(y0)，從而R(x1)R(y)R(x2)。第18頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值(都是實(shí)數(shù))按其大小升序排列：12…n，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量系設(shè)為P=[p1，…，pn]，則有

定理：設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則minxSR(x)=1，maxxSR(x)=n

證：任取xS，則x=Pc,||c||=1,Ax=APc=PcR(x)=xTAx=cTc1R(x)n，Api=ipiR(pi)=i。第19頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三推論1：在S上p1和pn分別是R(x)的一個(gè)極小點(diǎn)和極大點(diǎn)，即R(p1)=1，R(pn)=n

推論2

若1=…=k(1kn)．則在||x||2=l上R(x)的所有極小點(diǎn)為[p1，…，pk]，||||2=1。定理：設(shè)xL(pr，…，ps)

，1rsn

，則有minxR(x)=r，maxxR(x)=s

Courant-Fischer定理:設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值按升序排列，則A的第k個(gè)特征值其中Vk是Rn的任意—個(gè)k維子空間，1＜k＜n。第20頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三Courant-Fischer定理的證明構(gòu)造Rn的子空間Wk=L(pk,…,pn)

，則dimWk=n-k+1．由于Vk+Wk

Rn，所以ndim(Vk+Wk)=dim(Vk)+dim(Wk)-dim(VkWk)=n+1-dim(VkWk)dim(VkWk)1

故存在x0=[pk,…,pn]VkWk，||||2=1滿足||x0||2=1使得xTAx=Tk，即max{xTAx|xVk,||x||2=1}k

根據(jù)Vk的任意性，可得:第21頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三令Vk=L(p1,…,pk)，取x=[pk,…,pn]Vk滿足||x||2=l，則有xTAxk，即max{xTAx|xVk,||x||2=1}k

于是第22頁(yè)