章末質(zhì)量檢測(cè)(六)

章末質(zhì)量檢測(cè)(六)平面向量初步一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．如圖，在⊙O中，向量eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))，eq\o(AO,\s\up12(→))是()A．有相同起點(diǎn)的向量B．共線向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：由圖可知eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))，eq\o(AO,\s\up12(→))是模相等的向量，其模均等于圓的半徑，故選C.答案：C2．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，則eq\o(AB,\s\up12(→))＋2eq\o(BC,\s\up12(→))等于()A．5B．(－1,5)C．(6,1)D．(－4,9)解析：eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2,3)，eq\o(BC,\s\up12(→))＝(－3,3)，∴eq\o(AB,\s\up12(→))＋2eq\o(BC,\s\up12(→))＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)．答案：D3．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三點(diǎn)共線，則x的值為()A．－3B．－1C．1D．3解析：eq\o(AB,\s\up12(→))∥eq\o(BC,\s\up12(→))，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x)＝4，x＝－1，故選B.答案：B4．已知向量a，b滿足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，則a，b的坐標(biāo)分別為()A．(4,0)，(－2,6)B．(－2,6)，(4,0)C．(2,0)，(－1,3)D．(－1,3)，(2,0)解析：由題意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，3，,a－b＝3，－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，0，,b＝－1，3.))答案：C5．若a＝(5，x)，|a|＝13，則x＝()A．±5B．±10C．±12D．±13解析：由題意得|a|＝eq\r(52＋x2)＝13，所以52＋x2＝132，解得x＝±12.答案：C6．如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋yeq\o(OB,\s\up12(→))，且BP＝2eq\o(PA,\s\up12(→))，則()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)解析：由題意知eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(BP,\s\up12(→))，又eq\o(BP,\s\up12(→))＝2eq\o(PA,\s\up12(→))，所以eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up12(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).答案：A7．設(shè)向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－λ，\f(1,2)λ))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)λ＋1，－\f(1,6)λ))，則a＋3b＝()A．(λ＋3，－λ)B．(－λ＋3，λ)C．(1,0)D．(3,0)解析：因?yàn)閍＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－λ，\f(1,2)λ))b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)λ＋1，－\f(1,6)λ))所以a＋3b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－λ，\f(1,2)λ))＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)λ＋1，－\f(1,6)λ))＝(3,0)．答案：D8．若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，則c可用向量a，b表示為()A.eq\f(1,2)a＋bB．－eq\f(1,2)a－bC.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)bD.eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b解析：設(shè)c＝xa＋yb，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))＝(2x－y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0,x＋2y＝\f(5,2)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1))則c＝eq\f(1,2)a＋b.答案：A9．已知平面內(nèi)四邊形ABCD和點(diǎn)O，若eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，eq\o(OD,\s\up12(→))＝d，且a＋c＝b＋d，則四邊形ABCD為()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四邊形解析：由題意知a－b＝d－c，∴eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形，故選D.答案：D10．某人在無風(fēng)條件下騎自行車的速度為v1，風(fēng)速為v2(|v1|>|v2|)，則逆風(fēng)行駛的速度的大小為()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.eq\f(v1,v2)解析：題目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是實(shí)數(shù)，故逆風(fēng)行駛的速度大小為|v1|－|v2|.答案：C11．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))，則點(diǎn)P與△ABC的關(guān)系為()A．P在△ABC內(nèi)部B．P在△ABC外部C．P在AB邊所在的直線上D．P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)解析：∵eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))，∴eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝eq\o(PB,\s\up12(→))－eq\o(PA,\s\up12(→))，∴eq\o(PC,\s\up12(→))＝－2eq\o(PA,\s\up12(→))＝2eq\o(AP,\s\up12(→))，∴P是AC邊上靠近點(diǎn)A的一個(gè)三等分點(diǎn)．答案：D12．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：x－ky＋1＝0與圓C：x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)).若點(diǎn)M在圓C上，則實(shí)數(shù)k＝()A．－2B．－1C．0D．1解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程代入x2＋y2＝4，整理得(k2＋1)y2－2ky－3＝0，所以，y1＋y2＝eq\f(2k,k2＋1)，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝eq\f(－2,k2＋1)，eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2,k2＋1)，\f(2k,k2＋1)))，由于點(diǎn)M在圓C上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2,k2＋1)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,k2＋1)))2＝4，解得k＝0.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13．已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________．解析：若a，b能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線，則a≠kb(k∈R)，又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)14．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))∴m－n＝2－5＝－3答案：－315．用兩條成120°角的等長(zhǎng)繩子懸掛一個(gè)燈具，已知燈具重量為10N，則每根繩子的拉力大小為________N.解析：如圖，由題意得，∠AOC＝∠COB＝60°，|eq\o(OC,\s\up12(→))|＝10，則|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝|eq\o(OB,\s\up12(→))|＝10，即每根繩子的拉力大小為10N.答案：1016．如圖，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線．設(shè)eq\o(OP,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OQ,\s\up12(→))＝y(tǒng)eq\o(OB,\s\up12(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝________.解析：eq\o(OG,\s\up12(→))＝eq\o(OP,\s\up12(→))＋eq\o(PG,\s\up12(→))＝eq\o(OP,\s\up12(→))＋λeq\o(PQ,\s\up12(→))＝eq\o(OP,\s\up12(→))＋λ(eq\o(OQ,\s\up12(→))－eq\o(OP,\s\up12(→)))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up12(→))＋λeq\o(OQ,\s\up12(→))＝(1－λ)xeq\o(OA,\s\up12(→))＋λyeq\o(OB,\s\up12(→))，①又∵G是△OAB的重心，∴eq\o(OG,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up12(→)).②而eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))不共線．∴由①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λx＝\f(1,3)，,λy＝\f(1,3).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＝3－3λ，,\f(1,y)＝3λ.))∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3.答案：3三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)如圖所示，已知eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，eq\o(OD,\s\up12(→))＝d，eq\o(OE,\s\up12(→))＝e，eq\o(OF,\s\up12(→))＝f，試用a，b，c，d，e，f表示：(1)eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))；(2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))；(3)eq\o(EF,\s\up12(→))－eq\o(CF,\s\up12(→)).解析：(1)因?yàn)閑q\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OD,\s\up12(→))＝d，所以eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝d－b.(2)因?yàn)閑q\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，eq\o(OF,\s\up12(→))＝f，所以eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝(eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))＋(eq\o(OF,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→)))＝b＋f－a－c.(3)eq\o(EF,\s\up12(→))－eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\o(EF,\s\up12(→))＋eq\o(FC,\s\up12(→))＝eq\o(EC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OE,\s\up12(→))＝c－e.18．(12分)已知點(diǎn)A(－1,2)，B(2,8)以及eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(DA,\s\up12(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up12(→))，求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)和eq\o(CD,\s\up12(→))的坐標(biāo)．解析：設(shè)點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，得eq\o(AC,\s\up12(→))＝(x1＋1，y1－2)，eq\o(AB,\s\up12(→))＝(3,6)，eq\o(DA,\s\up12(→))＝(－1－x2,2－y2)，eq\o(BA,\s\up12(→))＝(－3，－6)．因?yàn)閑q\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(DA,\s\up12(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up12(→))，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0，))所以點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別是(0,4)，(－2,0)，從而eq\o(CD,\s\up12(→))＝(－2，－4)．19．(12分)已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若eq\o(AC,\s\up12(→))＝2eq\o(AB,\s\up12(→))，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．解析：(1)由已知eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2，－2)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up12(→))∥eq\o(AC,\s\up12(→)).∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵eq\o(AC,\s\up12(→))＝2eq\o(AB,\s\up12(→))，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝4，,b－1＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－3.))∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，－3)．20．(12分)長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸．如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A地出發(fā)，垂直于對(duì)岸航行，航行速度的大小為15km/h，同時(shí)江水的速度為向東6km/h.(1)用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；(2)求船實(shí)際航行的速度的大小(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到1°)．

【解析】(1)如圖所示，eq\o(AD,\s\up12(→))表示船速，eq\o(AB,\s\up12(→))表示江水速度，以AD，AB為鄰邊作?ABCD，則eq\o(AC,\s\up12(→))表示船實(shí)際航行的速度．(2)在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝6，|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝15，于是|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up12(→))|2＋|\o(BC,\s\up12(→))|2\f(,))＝eq\r(62＋152)＝eq\r(261)≈16.2.因?yàn)閠an∠CAB＝eq\f(|\o(BC,\s\up12(→))|,|\o(AB,\s\up12(→))|)＝eq\f(5,2)，所以利用計(jì)算工具可得∠CAB≈68°.因此，船實(shí)際航行速度的大小約為16.2km/h，方向與江水速度間的夾角約為68°.21．(12分)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k.解析：(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，