專題04二次函數(shù)的圖像與一元二次方程根的分布

專題04二次函數(shù)的圖像與一元二次方程根的分布【初高中知識(shí)點(diǎn)銜接】知識(shí)點(diǎn)初中高中二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系建立二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系,能以函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)理解一元二次方程，并根據(jù)相應(yīng)一元二次方程的根的情況分析二次函數(shù)的圖像特征，此內(nèi)容內(nèi)容是初中九年級(jí)拓展內(nèi)容，屬于選修內(nèi)容此內(nèi)容是高中階段必須掌握的內(nèi)容【知識(shí)回顧與銜接】一元二次方程的根可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),所以在處理一元二次方程根的問(wèn)題時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像進(jìn)行處理，也是數(shù)形結(jié)合的思想方法的體現(xiàn)【例題精講】1、若，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】求出對(duì)稱軸、及，即可判斷函數(shù)所過(guò)象限，從而得解.【詳解】對(duì)于函數(shù)，因?yàn)?，，則對(duì)稱軸為，，且，所以函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且交軸負(fù)半軸，故函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第二象限.故選：B2、已知，并且m、n是方程的兩根，則實(shí)數(shù)a、b、m、n的大小關(guān)系可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先設(shè)，從條件中得到的圖象可看成是由的圖象向上平移1個(gè)單位得到，然后結(jié)合圖象判定實(shí)數(shù)的大小關(guān)系即可．【詳解】設(shè)，又，分別畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，其中的圖象可看成是由的圖象向上平移1個(gè)單位得到，如圖，

由圖可知：．故選：A．3、若二次函數(shù)的圖像都在軸下方，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】二次函數(shù)必須滿足二次項(xiàng)系數(shù)，其次恒成立可利用二次不等式在上恒成立的處理方法來(lái)做即可.【詳解】由于是二次函數(shù)，則二次項(xiàng)系數(shù)，依題意，對(duì)于恒成立，則二次函數(shù)開(kāi)口必然向下，且和軸沒(méi)有交點(diǎn)，即，解得.故選：A4、二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，如圖所示，則的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和圖形可知，只需要滿足且即可，解不等式即可求解.【詳解】由圖可得，即，解得，又，所以.故選：.5、已知方程的兩根都大于2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)方程的兩根都大于2，分析的圖象特征列出不等式組求解即可.【詳解】方程的兩根都大于2，則二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在的右側(cè)，根據(jù)圖象得：方程的判別式；當(dāng)時(shí)函數(shù)值；函數(shù)對(duì)稱軸.即，解得.故選：B.6、（多選）若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，，B．C．當(dāng)時(shí)，D．二次函數(shù)的零點(diǎn)為2和3【答案】ABD【分析】當(dāng)時(shí)，，解方程即可判斷選項(xiàng)A，有實(shí)數(shù)根，，且，根據(jù)即可判斷選項(xiàng)B，數(shù)形結(jié)合由圖像與圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)可判斷選項(xiàng)C，由展開(kāi)得：，先利用韋達(dá)定理求出代入可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，易知當(dāng)時(shí)，的根為2，3，故A正確；對(duì)于B,設(shè)，因?yàn)榈膱D像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，故B正確；對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，的圖像由的圖像向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由展開(kāi)得：，利用韋達(dá)定理求出代入可得，所以二次函數(shù)的零點(diǎn)為2和3，故D正確．故選:ABD．7、已知關(guān)于x的方程，在下列兩種情況下分別求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(1)有兩個(gè)大于1的不等實(shí)數(shù)根；(2)至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)根.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用根的分布可得答案；（2）先求關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)或有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)的范圍，再求對(duì)立面可得答案.【詳解】（1）關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的不等實(shí)數(shù)根，等價(jià)于二次函數(shù)的圖象與軸有2個(gè)大于1的不同實(shí)根，可得，解得；（2）關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)，，解得，關(guān)于x的方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)，，解得，所以關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)或有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)，可得關(guān)于x的方程至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，則.8、已知．(1)若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根，求的最小值．【答案】(1)(2)0【分析】（1）根據(jù)題意集合二次函數(shù)的判別式運(yùn)算求解；（2）利用韋達(dá)定理整理可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】（1）由題意可得：，解得或，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）由，可得，則，∵的對(duì)稱軸為，注意到，則當(dāng)時(shí)，取到最小值0，即的最小值為0.9、已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，若，則為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，要有兩個(gè)零點(diǎn)且一個(gè)大于1一個(gè)小于1，則，得，故；若，則為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，要有兩個(gè)零點(diǎn)且一個(gè)大于1一個(gè)小于1，則，得，故；綜上可知：或，故答案為：10、二次函數(shù)的函數(shù)圖像與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_____.【答案】7【分析】令求出與x軸兩交點(diǎn)，即可算出答案.【詳解】因?yàn)?，令得，解得，所以，函?shù)圖像與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為.故答案為：711、已知函數(shù)在上y隨x的增大而增大，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸與進(jìn)行比較，即可求出答案【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上y隨x的增大而增大則，解得所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是故選：A12、二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么此函數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖像利用待定系數(shù)法設(shè)，代入點(diǎn)，即可求出其解析式.【詳解】由圖象經(jīng)過(guò)可設(shè)其解析式為，代入點(diǎn)則有方程，，解得，故其解析式為，化簡(jiǎn)為.故選：C.【鞏固練習(xí)】1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列判斷中錯(cuò)誤的是（

）

A．圖象的對(duì)稱軸是直線x=1B．一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是－1，3C．當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而減小D．當(dāng)-1<x<3時(shí)，y<0【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象結(jié)合其性質(zhì)判斷．【詳解】由圖象知函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是和3，因此B正確；又，因此A正確；時(shí)，圖象向右下，，y隨x的增大而減小，C正確；在時(shí)，圖象在軸上方，，D錯(cuò)誤．故選：D．2、已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出對(duì)稱軸，確定單調(diào)性，然后判斷各選項(xiàng)即可．【詳解】對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增，A：，故A錯(cuò)誤；B：，故B錯(cuò)誤；C：，故C錯(cuò)誤；D：，故D正確.故選：D.3、已知函數(shù)的圖象都在x軸的上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分類討論函數(shù)的平方項(xiàng)系數(shù)是否為零，根據(jù)常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求出k的取值范圍.【詳解】因?yàn)榈膱D象都在軸上方，①當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足條件；故；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，則，解得；綜上，，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：B.4、設(shè)是關(guān)于x的方程的根．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數(shù)圖像開(kāi)口向上，利用根的分布，即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意知，函數(shù)開(kāi)口方向向上，若，則函數(shù)須同時(shí)滿足三個(gè)條件：當(dāng)時(shí)，，代入解得，恒成立；當(dāng)時(shí)，，代入解得；當(dāng)時(shí)，，代入解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A.5、已知方程=0的兩根為，滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析二次函數(shù)的圖象，根據(jù)根的分布，結(jié)合根的判別式和對(duì)稱軸，列出不等式組，求出答案.【詳解】開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，要想滿足，則要，解得：.故選：B6、（多選）如圖，函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，函?shù)的對(duì)稱軸為直線，所以，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，函?shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，故B選項(xiàng)正確；因?yàn)楹瘮?shù)開(kāi)口向下，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故，D選項(xiàng)正確.故選：BD7、（多選）已知，分析該函數(shù)圖象的特征，若方程一根大于3，另一根小于2，則下列推理一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】方程根的問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，利用函數(shù)圖象進(jìn)行處理.【詳解】由題得，函數(shù)的大致圖像如圖：方程一定有兩實(shí)數(shù)根，故，所以不一定成立，由圖可知：必有，，所以C，D一定成立，若，方程的根為，此時(shí)，所以此時(shí)不成立.故選：CD.8、已知二次函數(shù)，在下列條件下，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(1)兩根均大于1；(2)一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1．【答案】(1)；(2)【分析】（1）結(jié)合二次函數(shù)圖象，對(duì)稱軸大于1，，判別式大于等于0，解得的范圍即可；（2）結(jié)合二次函數(shù)圖象，只需即可求解【詳解】（1）因?yàn)榉匠痰膬筛笥?，所以，解得，即的取值范圍為；（2）由可得，因?yàn)榉匠痰囊粋€(gè)根大于1，一個(gè)根小于1，所以，解得．即的取值范圍為．9、函數(shù)在區(qū)間上（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值【答案】A【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得函數(shù)在上的單調(diào)性，從而即可得函數(shù)在上的最值.【詳解】解：因?yàn)?，所以函?shù)的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為，如圖所示：由此可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，無(wú)最小值.故選：A.10、關(guān)于二次函數(shù)，則下列正確的是（

）A．函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)B．若函數(shù)圖象與x軸正半軸交于不同的兩點(diǎn)，則C．不論k為何值，若將函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位，則圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而