華師大版初三數(shù)學(xué)上全冊教案

22.1.二次根式(1)

教學(xué)內(nèi)容：二次根式的概念與其運用

教學(xué)目標(biāo)：1、理解二次根式的概念，并利用石(a>0)的意義解答具體題目.

2、提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實際問題.

教學(xué)重難點關(guān)鍵：1.重點：形如G(a>0)的式子叫做二次根式的概念；

2.難點與關(guān)鍵：利用“G(a>0)”解決具體問題.

教學(xué)過程：一、回顧

當(dāng)a是正數(shù)時，及表示a的算術(shù)平方根，即正數(shù)a的正的平方根.

當(dāng)a是零時，右等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算術(shù)平方根.

當(dāng)a是負(fù)數(shù)時，右沒有意義.

二、概括：&(a>0)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說，G

(a>0)是一個非負(fù)數(shù)，它的平方等于a.即有：(1)&(a>0);(2)

(4a)2=a(a>0).

形如&(a>0)的式子叫做二次根式.

注意：在二次根式G中，字母a必須滿足a>0,即被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

三、例題講解

例題：x是怎樣的實數(shù)時，二次根式n有意義？

分析要使二次根式有意義，必須且只須被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

解：被開方數(shù)X-1>O,即x>l.

所以，當(dāng)x>l時，二次根式有意義.

思考：必等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3,……分別計算對應(yīng)的a2的

值，看看有什么規(guī)律：

概括:當(dāng)a>0時，病=。；當(dāng)avO時，后=—a.

這是二次根式的又一重要性質(zhì).如果二次根式的被開方數(shù)是一個完全平

方，運用這個性質(zhì)，可以將它“開方”出來，從而達到化簡的目的.例如：

=1（2x）2=2x（X>O）；==/.

四、練習(xí)：X取什么實數(shù)時，下列各式有意義.

（1）J3-4x；（2）V3x-2.（3）,（4）J3x-4+,\14—3x

五、拓展

例：當(dāng)X是多少時，岳仔+—1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

分析：要使后與+—、在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時滿足中的

X+1

>0和一匚中的x+lrO.

x+1

解：依題意，得

由①得：x>-j

由②得：XW-1

當(dāng)且xr-l時，行+—=在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

例：⑴已知y=V^7+H^+5,求土的值.（答案⑵

⑵若G+g=0,求a2004+b2004的值.（答案1）

六、歸納小結(jié)（學(xué)生活動，老師點評）本節(jié)課要掌握：

1.形如G（a>0）的式子叫做二次根式，稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

七、布置作業(yè)：教材P4:1、2

八、反思與感想:

22.1二次根式(2)

教學(xué)內(nèi)容：1.6(a>0)是一個非負(fù)數(shù)；2s2=a(a>0).

教學(xué)目標(biāo)：1、理解6(a>0)是非負(fù)數(shù)和(&)2=a(a>0),并利用它們

進行計算和化簡.

2、通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出石(a>0)是

一個非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出(G)2=a(a>0);最

后運用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

教學(xué)重難點關(guān)鍵：1.重點：G(a>0)是一個非負(fù)數(shù)；(?)2=2(a>0)

與其運用.

2.難點、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出&(a>0)是一個非

負(fù)數(shù)；?用探究的方法導(dǎo)出(&)2=a(a>0).

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入(學(xué)生活動)口答

1.什么叫二次根式?

2.當(dāng)a>0時，G叫什么？當(dāng)a<0時，G有意義嗎?

二、探究新知

議一議：(學(xué)生分組討論，提問解答)

?(a>0)是一個什么數(shù)呢？

老師點評：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出

8(a>0)是一個非負(fù)數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

(4)2=；(V2)2=；(囪)2=；(G)2=

(R)2=—；*)2=—；(而)2=—?

老師點評：①、”是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，

②、也是一個平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有(4)2=4.

同理可得：(血)2=2,(囪)2=9,(6)2=3,(^)2=1,2=g

(Vo)2=0,所以:(G)2=a(a>0)

三、例題講解

例1計算：1.(口2,2.(3石)2,3.虛)2,%(?)2

V2V62

分析：我們可以直接利用(右)2=a(a>0)的結(jié)論解題.

解：1.(@2=|,2.(3后2=32?(后2=32?5=45,

四、鞏固練習(xí)

計算下列各式的值:

(二)2(島2(—)2(—)2(4g)2(3括)2_(5我2

V34Vo

五、應(yīng)用拓展

例2計算

1.(Jx+1)2(x>0),2.(后)2,3.(\la2+2a+l)2,4.(\J^x2-12x+9)

2

分析：(1)因為x>。，所以x+l>0;

(2)a2>0;

(3)a2+2a+l=(a+1)>0;

(4)4x2-12x+9=(2x)2-2-2x-3+32=(2x-3)2>0.

所以上面的4題都可以運用(石)2=a(a>0)的重要結(jié)論解題.

解：(1)因為x>。，所以x+l>0,(Vx+1)2=x+l

(2)Va2>0,A(V7)2=a2

(3)-/a2+2a+l=(a+1)2,又丁(a+1)2>0,

a2+2a+1>0,da2+2a+l=a2+2a+1

(4)-.-4x2-12x+9=(2x)2-2-2x?3+32=(2x-3)2,又「(2x-3)

2>0

/.4x2-12x+9>0,(\/4x2-12x+9)2=4x2-12x+9

例3在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)x2-3(2)x4-4(3)2x2-3

六、歸納小結(jié)：本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.4a(a>0)是一個非負(fù)數(shù)；2.(G)2=a(a>0);反之:a=(Va)

2(a>0).

七、布置作業(yè)：教材P4：3、4

八、反思與感想：

22.1二次根式(3)

教學(xué)內(nèi)容J/=a(a>0)

教學(xué)目標(biāo)：1、理解必=a(a>0)并利用它進行計算和化簡.

2、通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究必=a(a>0),并利用這個結(jié)論解決

具體問題.

教學(xué)重難點關(guān)鍵：1.重點：(a>0).

2.難點：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a>0時，值=2才成立.

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：(老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容)

1.形如G(a>0)的式子叫做二次根式；

2.@(a>0)是一個非負(fù)數(shù)；

3.[\[a)2=a(a>0).

貝h我們猜想當(dāng)a>0時，必=2是否也成立呢？下面我們就來探究這個

問題.

二、探究新知：(學(xué)生活動)填空：

后=；Vo.oi2=；=；

=;病=;=.

(老師點評)：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：

應(yīng)=2、Vo.oi2=0.01;=—;=-;=0;=-.

1037

因此，一般地：畫/(a>0)

三、例題講解：

例1化簡：(1)也(2)Q7(3)V25(4)心分

分析:因為(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,

所以都可運用V?=a(a>0)?去化簡.

解：(1)弧==3(2)-^(—4)2=^4^=4

(3)后="=5(4)必？=存=3

四、鞏固練習(xí)：(見小黑板)

五、應(yīng)用拓展

例2填空：當(dāng)a>。時，后=;當(dāng)a<0時，后=—，?并根據(jù)這一

性質(zhì)回答下列問題.

(1)若"=a,則a可以是什么數(shù)？(2)若"=-a,則a可以是什

么數(shù)？

(3)J/>a,則a可以是什么數(shù)？

分析：?.?必=a(a>0),.?.要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空

格就不行，應(yīng)變形，使*了”中的數(shù)是正數(shù)，因為，當(dāng)a<0時，"=正荷

則-a>0.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；(3)根

據(jù)(1)、(2)可知，/=|a|,而|a|要大于a,只有什么時候才能保證呢？

a<0.

解：(1)因為病=a,所以a>0;(2)因為值=-a,所以a<0;

(3)因為當(dāng)a>0時行=a,要使行>a,即使a>a所以a不存在；當(dāng)

a<。時，J/=-a,要使正>a,即使-a>a,a<0綜上，a<0

例3當(dāng)x>2,化簡J(x—2)2-J(l-.

六、歸納小結(jié)：本課掌握：J/=a(a>0)與運用，同時理解當(dāng)a<。時，后

=-a的應(yīng)用拓展.

七、布置作業(yè):L先化簡再求值：當(dāng)a=9時，求a+川-2a+〃的值,甲乙兩人

的解答如下：

甲的解答為：原式=a+7(1-?)2=a+(l-a)=l;乙的解答為：原式=a+J(l-a)2=a+

(a-1)=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是_________.

2.若門995-a|+6-2000=a,求a-19952的值.(提示：注意根式有意

義的隱含條件)

3.若-3&X&2時，試化簡|x-2|+y/(x+3)2+VX2-10X+25O

八、反思與感想：

22.2二次根式的乘除(1)

教學(xué)內(nèi)容：G?=\[ab(a>0,b>0),反之=&,>Jb(a>0,b>

0)與其運用.

教學(xué)目標(biāo)：1、理解G,&=\[ab(a>0,b>0),4ab=?>Jb(a>0,

b>0),并利用它們進行計算和化簡

2、由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出&-法(a>0,b>0)并運用它進

行計算；.利用逆向思維，得出J拓=6?&(a>0,b>0)并運

用它進行解題和化簡.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1、重點：4a?=>fah(a>0,b>0),-Jab=>/a?\[b(a>0,b>0)與

它們的運用.

2、難點：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出6-4b=y[ab(a>0,b>0).

3、關(guān)鍵：要講清四(a<0,b<0)=8義/,hn7(-2)x(-3)=7-(-2)x-(-3)

或J(-2)x(-3)==&XV3.

教學(xué)過程：一、設(shè)疑自探——解疑合探

自探.(學(xué)生活動)請同學(xué)們完成下列各題.

1.填空：(1)V4X79=,74^9=__;(2)V16XV25=,

J16x25=.

(3)VlOOXx/36=,7100x36=.

參考上面的結(jié)果，用“>、<或="填空.

V4X亞____74^9,V16XV25716x25,7100X7367100x36

2.利用計算器計算填空

(1)V2XV3",(2)V2X75Vio,

(3)V5X76x/30,(4)V4X75病，

(5)擊xM屈.

(學(xué)生活動)讓3、4個同學(xué)上臺總結(jié)規(guī)律.

老師點評：(1)被開方數(shù)都是正數(shù)；(2)兩個二次根式的乘除等于一個二

次根式，?并且把這兩個二次根式中的數(shù)相乘，作為等號另一邊二次根式中的被

開方數(shù).

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

4a-4b=4ab.(a>0,b>0)

反過來：4ab=4a?-Jb(a>0,b>0)

合探L計算：(1)V5XV7,(2)后X眄,(3)亞X歷,(4)

GX"

分析：直接利用石?枇=友(a>0,b>0)計算即可.

合探2化簡(1)斥話,(2)716x81,(3)781x100,(4)麻了,

(5)V54

分析：利用J茄=6-4b(a>0,b>0)直接化簡即可.

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下!

三、應(yīng)用拓展：判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正:

(1)g)x(-9)=Cx"

(2)XV25=4XJ—XV25=4J—XV25=4V12=8x/3

\25V25

四、鞏固練習(xí)(1)計算(生練，師評)①屈X&②3^X2標(biāo)③庖?

(2)化簡:向；V18；V24；754；J12-

五、歸納小結(jié)(師生共同歸納)

本節(jié)課掌握：(1)4a?s/b=yfab=(a>0,b>0),sfab=-Ja?\[b(a>0,

b>0)與運用.

六、作業(yè)設(shè)計(寫在小黑板上)

(一)、選擇題

1.直角三角形兩條直角邊的長分別為厲cm和厄cm,?則此直角三角形斜

邊長是（）

A.30cmB.36cmC.9cmD.27cm

2.化簡a的結(jié)果是（）.A.J工B.后C.-J工D.-G

3.等式而LG=77二i成立的條件是（）

A.x>1B.x>-lC.-l<x<1D.x>l或x4-l

4.下列各等式成立的是（）.

A.475X275=875;B.573X4&=20石;C.4V3X3V2=7V5;D.55/3

X4y/2=20yf6

（二）、填空題：

1.71014=.

2.自由落體的公式為S=；gt2（g為重力加速度，它的值為lOm/s?）,若物體

下落的高度為720m,則下落的時間是________.

（三）、綜合提高題探究過程：觀察下列各式與其驗證過程.

⑴2斤

驗證：2區(qū)=VFx區(qū)==

5/3A/3

=忸—2_2_/2（22—1）2=

V22-1+22-1-V22-1+22-1

（2）3/1=

驗證：3[3=4^x巨=w=

V8V8

=/3（32-1）+T_/3（3?-1）~3=

V32-1-V32-1+32-1

同理可得：45,……

通過上述探究你能猜測出：a=（a>0）,并驗證你的結(jié)論.

七、反思與感想:

22.2二次根式的乘除(2)

教學(xué)內(nèi)容：?=回(a>0,b>0),反過來回=以(a>0,b>0)與利用它

-/b7bVby/b

們進行計算和化簡.

教學(xué)目標(biāo);1、理解五=回(a>0,b>0)和回=返(a>0,b>0)與利用

4bVbVb

它們進行運算.

2、利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向

思維寫出逆向等式與利用它們進行計算和化簡.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.重點：理解五=叵(a>0,b>0),叵=①(a>0,b>0)與用它

vbVby/iy

們進行計算和化簡.

2.難點關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教學(xué)過程；一、設(shè)疑自探——解疑合探

自探.（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題:

1.填空(1)/=一；(2)巫=,叵=;

V36V36

(3)巫=_____,[±=-；(4)^_=,匡=一

V16Y16787V81

規(guī)律：巫____叵;叵__叵;。____叵;___/36.

V16V16736V36V16而"781

2.利用計算器計算填空:

⑴堂⑵書⑶(4)

規(guī)律：正

V4

每組推薦一名學(xué)生上臺闡述運算結(jié)果.（老師點評），根據(jù)大家的練習(xí)和回

答,

我們進行合探:

二次根式的除法規(guī)定:

一般地，對二次根式的除法規(guī)定:

器=噲（a>0,b>0）,反過來54心皿b>0)

下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目.

合探1.計算:⑴噂⑵（3）（4）號

分析：上面4小題利用亨=5（a>0,b>0）便可直接得出答案.

合探2.化簡：（1）總⑵⑶⑷

分析：直接利用舊(a>0,b>0)就可以達到化簡之目的.

二、應(yīng)用拓展

已知，且x為偶數(shù)，求(1+x)的值.

分析：式子聆=器，只有a>0,b>。時才能成立.

因此得到9-x>。且x-6>0,即6<x&9,又因為x為偶數(shù)，所以x=8.

三、歸納小結(jié)(師生共同歸納)

本節(jié)課要掌握五=叵(a>0,b>0)和叵=弧(a>0,b>0)與其運

y/bVbVby/b

用.

四、作業(yè)：(寫在小黑板上)

(一)、選擇題：

1.計算的結(jié)果是().

A.2石;B.2;C.夜；D.正

777

2.閱讀下列運算過程：，數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分

母有理化“，貝I」，化簡宗的結(jié)果是().

A.2B.6C.1瓜D.屈

3

(二)、填空題1.分母有理

化：(1)_!_=________；(2)=；(3)巫=______.

3^2VT22^/5

2.已知x=3,y=4,z=5,則正+而的最后結(jié)果是______.

(三卜綜合提高題計算

(1)-(-)4-(m>0,n>0)

(2)-3：()X(a>0)

五、反思與感想:

22.2二次根式的乘除（3）

教學(xué)內(nèi)容

最簡二次根式的概念與利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運

算.

教學(xué)目標(biāo)：1、理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成

最簡二次根式.

2、通過計算或化簡的結(jié)果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據(jù)它的特

點來檢驗最后結(jié)果是否滿足最簡二次根式的要求.

重難點關(guān)鍵：L重點：最簡二次根式的運用.

2.難點關(guān)鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式.

教學(xué)過程

一、設(shè)疑自探—解疑合探

自探1.（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題（請三位同學(xué)上臺板書）

計算（1）正，（2）3V2,（3）至

>/5>/2742a

老師點評：正=正，32/2=76,巫=生旦

>/55>/273V2?a

自探2.觀察上面計算題的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有

什么特點？（有如下兩個特點：L被開方數(shù)不含分母；2.被開方

數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.）

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

合探1.把下面的二次根式化為最簡二次根式：(1)；⑵Jd探+%與2；

⑶

合探2.如圖，在RtaABC中，NC=90°,AC=2.5cm,/

BC=6cm,

BC

求AB的長.

AB=V2.52+62=J(-)2+36169169^=6.5(cm)

因此AB的長為6.5cm.

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

三、應(yīng)用拓展

觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根

式：

=lx(V2-l)_V2-1=r-

—(向］)(J一口

=1X(6_0)_V3-^r-r~

-電+加電-6一千亍一="7'

同理可得：=4-6,……

從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算

(+++……)(V2002+1)的值.

分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有

理化后就可以達到化簡的目的.

四、歸納小結(jié)(師生共同歸納)：本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡二次根式的概念與其運用.

五、作業(yè)設(shè)計(寫在小黑板上)

（一）、選擇題

i.如果￡（y>°）是二次根式，貝h化為最簡二次根式是（）.

A.3（y>0）B.6（y>0）C.叵（y>0）D.以上都不對

\fyy

2.把（a-1）中根號外的（a-1）移入根號內(nèi)得（）.

A.-1B.y/1—ciC.-Ja-1D.-Jl-〃

3.在下列各式中，化簡正確的是（）

A.p=3而B.0=±；啦C.D.Vx3-x2=xVx-l

4.化簡的結(jié)果是（）A.-V2;B.-2..-正;D.-72

3V3C3

（二）、填空題

1.化簡s]x4+x2y2=.（x>0）

2.a化簡二次根式號后的結(jié)果是________.

（三）、綜合提高題

1.已知a為實數(shù)，化簡：用-a,閱讀下面的解答過程，請判斷是否正

確？若不正確，?請寫出正確的解答過程：

=

:J---Q_=SLJ—a-a,_Lci（a-1）<一a

a

2.若x、y為實數(shù)，且y=,求師;?右；的值.

六、反思與感想:

22.3二次根式的加減(1)

教學(xué)內(nèi)容：二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)：理解和掌握二次根式加減的方法.

重難點關(guān)鍵：L重點：二次根式化簡為最簡根式.

2.難點關(guān)鍵：會判定是否是最簡二次根式.

教學(xué)過程：

一、設(shè)疑自探——解疑合探

自探(學(xué)生活動)：計算下列各式.

(1)20+3&;(2)2般-3瓜+5瓜；(3)幣+2幣+3乒1;(4)

3A^-2X/3+V2

因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2a與&表面上看是

不相同的，但它們可以合并嗎？可以的.(板書)3&+&=3亞+2正=5正和

3^+727=3^+3>/3=6>/3

所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，?再將被開

方數(shù)相同的二次根式進行合并.

合探1.計算：(1)78+718(2)VI菽+灰石

分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將

相同的最簡二次根式進行合并.

合探2.計算

(1)3748-9^+3712(2)(748+V20)+(V12-V5)

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下!

三、應(yīng)用拓展

已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(+y2巨)-(x2fT-5x）的值.

V.y3

分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得（2x-l）

2+（y-3）2=0,

即x=；,y=3.其次，根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡

二次根式，?再合并同類二次根式，最后代入求值.

四、歸納小結(jié)（師生共同歸納）：本節(jié)課應(yīng)掌握：

（1）不是最簡二次根式的，應(yīng)化成最簡二次根式；（2）相同的最簡二次根式

進行合并.

五、作業(yè)設(shè)計（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.以下二次根式：①配；②萬；③在；④J方中，與&是同類二次

根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①36+3=6百；②;e=1;③&+指=指=2垃；④

叵=2逝，其中錯誤的有（）.A.3個B.2個C.1個D.0

個

（二）、填空題

1.在石、、、V125、、3屁、-2患中，與瓦是同類二次根式的有.

2.計算二次根式56-3揚-7后+9靠的最后結(jié)果是______.

（三）、綜合提高題

1.已知石七2.236,求（V80-+）的值.（結(jié)果精確到。.01）

2.先化簡，再求值.

(6xf+)-(4x其中x=3,y=27.

2

六、反思與感想:

22.3二次根式的加減⑵

教學(xué)內(nèi)容：利用二次根式化簡的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題.

教學(xué)目標(biāo)：運用二次根式、化簡解應(yīng)用題.

重難點關(guān)鍵：講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點，又是本節(jié)課的難點、關(guān)

鍵點.

教學(xué)過程:

一、設(shè)疑自探——解疑合探

上節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步

驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的

二次根式進行合并，下面我們研究三道題以做鞏固.

自探1.如圖所示的Rt^ABC中，ZB=90°,點P從點B開始沿BA邊

以1厘米/?秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘

米/秒的速度向點C移動.問：幾秒后4PBQ的面積為35平方厘米？PQ的

距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）

分析：設(shè)x秒后aPBQ的面積為35平方厘米，貝l」PB=x,BQ=2x,?根

據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值.

解：設(shè)x后APEQ的面積為35平方厘米.則有PB=x,BQ=2x

依題意，得：?2x=35x2=35x=V35

所以莊秒后APBQ的面積為35平方厘米.

PQ=yJPB2+BQ2=JC+4%2=A/5?=J5x35=5近

答：莊秒后4PBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為

5萬厘米.

自探2.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精

確到0.1m)?

解：由勾股定理，得AB=J心+即2="2+22=而=2右

BC=^BEr+Clf=722+12=V5

所需鋼材長度為AB+BC+AC+BD=275+75+5+2=3逐+7比3X

2.24+7^13.7（m）

答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材.）

三、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

四、應(yīng)用拓展

若最簡根式“河花與根式屈F礪是同類二次根式，求a、b的值.

注：（?同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式）

分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相

同；?事實上，根式1+6式不是最簡二次根式,因此把J2a上-椎+6從化

簡成|b|丁花，才由同類二次根式的定義得3a-?b=?2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J%/-芯+6、化為最簡二次根式:

12a白一S+6廿=J〃2（2a-i+6）=|b|-yj2a-b+6

由題意得.'.a=l,b=l

五、歸納小結(jié)（師生共同歸納）：本節(jié)課應(yīng)掌握運用最簡二次根式的合并原理解

決實際問題.

六、作業(yè)設(shè)計（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5,則斜邊的長應(yīng)為（）.

A.5&B.V50C.2石D.以上都不對

2.小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，?為了增

加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對角線又釘上了一根木條，木條的長應(yīng)為()

米.

A.13V100B.^/i3boC.10V13D.5g

(二)、填空題

1.某地有一長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的2倍，它的面積是1600m2,?

魚塘的寬是_m.

2.已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為立,?則這個等腰直角三角形的周長

是_.

(三)、綜合提高題

1.若最簡二次根式與七“/二記是同類二次根式，求m、n的值.

2.同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2,你一定熟練

掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，則所有的正數(shù)(包括0)都可以看作

是一個數(shù)的平方，如3=(G)2,

5=(6)2,你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察：

(V2-1)2=(⑸2-2?1?收+12=2-20+1=3-2&

反之，3-2^2=2-2yp2+1=(V2-1)23-2V2=(>/2-1)25/3—25/2=V2-1

求：(1)J3+20;(2)"+2g;(3)你會算“-配嗎?

(4)若6±2〃=瓜±4,則m、n與a、b的關(guān)系是什么？并說明理由.

六、反思與感想:

22.3二次根式的加減(3)

教學(xué)內(nèi)容：含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、

相除；多項式與多項式相乘、相除；乘法公式的應(yīng)用.

教學(xué)目標(biāo)：1、含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法

公式的應(yīng)用.

2、復(fù)習(xí)整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘

方等運算.

重難點關(guān)鍵：1、重點：二次根式的乘除、乘方等運算規(guī)律；

2、難點關(guān)鍵：由整式運算知識遷移到含二次根式的運算.

教學(xué)過程

一、設(shè)疑自探——解疑合探

自探L(學(xué)生活動)：請同學(xué)們完成下列各題：

1.計算：(1)(2x+y)-zx(2)(2x2y+3xy2)4-xy

2.計算：(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2

老師點評：這些內(nèi)容是對八年級上冊整式運算的再現(xiàn).它主要有(1)?單

項式X單項式；(2)單項式義多項式；(3)多項式?單項式；(4)

完全平方公式；(5)平方差公式的運用.

如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規(guī)律是否仍成立呢？?

仍成立.

整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一

切，?當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算規(guī)律也適用于二次根式.

自探2.計算：(1)(娓+a)XV3(2)(4V6-3V2)4-272

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運算規(guī)律，?所以直接可用

整式的運算規(guī)律.

自探3.計算：(1)(石+6)(3-75)(2)(V10+V7)(V10-V7)

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中

仍然成立.

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

三、應(yīng)用拓展：已知口=2-,其中a、b是實數(shù)，且a+br。，

a

化簡+,并求值.

分析：由于(G+?)(KR-6)=1,因此對代數(shù)式的化簡，可先

將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到X的值，代入化簡

得結(jié)果即可.

解：原式="號一①+(4^+盧了

(V%+1++1-Jr)(Jx+1-+1+

=+=(x+1)+x-2Jx(x+D+x+2Jx(x+1)=4x+2

,/^-^-=2-.'.b(x-b)=2ab-a(x-a)bx-b2=2ab-ax+a2

a

(a+b)x=a2+2ab+b2.'.(a+b)x=(a+b)2，.'a+b：#0.'.x=a+b

原式=4x+2=4(a+b)+2

四、歸納小結(jié)(師生共同歸納)：本節(jié)課應(yīng)掌握二次根式的乘、除、乘方等運算.

五、作業(yè)設(shè)計(寫在小黑板上)

(一)、選擇題

1.(V24-3V15+2唇)X后的值是().

A.2073-3^0B.3730-2V3C.25-馬下）D.史百-病

3333

2.計算（6+VTn）（五-VTH）的值是（）.A.2B.3C.4D.1

（二）、填空題

1.（-_1+正）2的計算結(jié)果（用最簡根式表示）是_______.

22

2.（1-26）（1+26）-（2百-1）2的計算結(jié)果（用最簡二次根式表示）

是.

3.若x=夜-1,則x2+2x+1=.

4.已知a=3+2近，b=3-2V2,則a2fc）-ab2=.

（三）、綜合提高題

1.化簡岳*"

>/To+V14+Vr5+^/2l

2.當(dāng)x=時，求+的值.（結(jié)果用最簡二次根式表示）

六、反思與感想：

23.1一元二次方程

教學(xué)目標(biāo)：

1、知道一元二次方程的定義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式

5版+。=0（。力0）2、在分析、揭示實際問題的數(shù)量關(guān)系并把實際問題轉(zhuǎn)

化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）的過程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量

關(guān)系的工具，增加對一元二次方程的感性認(rèn)識。3、會用試驗的方法估計一元二

次方程的解。

重點難點：

1.一元二次方程的意義與一般形式，會正確識別一般式中的“項”與“系數(shù)”。

2.理解用試驗的方法估計一元二次方程的解的合理性。

教學(xué)過程：

一做一做：

1.問題一綠苑小區(qū)住宅設(shè)計，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900

平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多1。米，則綠地的長和寬各為多少？

分析：設(shè)長方形綠地的寬為x米，不難列出方程

x(x4-10)=900

整理可得x2+lOx-900=0.(1)

2.問題2

學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年

的年平均增長率.

解：設(shè)這兩年的年平均增長率為x,我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬冊，

則今年年底的圖書數(shù)是5(1+x)萬冊；同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年

底的(1+x)倍，即5(1+x)(l+x)=5(l+x)2萬冊.可列得方程

5(1+x)2=7.2,

整理可得5x2+10x-2.2=0.(2)

3.思考、討論

這樣，問題1和問題2分別歸結(jié)為解方程(1)和(2).顯然，這兩個方程都

不是一元一次方程.則這兩個方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么

共同特點呢？

(學(xué)生分組討論，然后各組交流)共同特點：(1)都是整式方程(2)只含有

一個未知數(shù)(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2

二、一元二次方程的概念

上述兩個整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣

的方程叫做一元二次方程).通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑?/p>

2

ax+bx+c=0(a>b、c是已知數(shù)，a^0)o其中。廠叫做二次項，。叫做二次

項系數(shù)；法叫做一次項，人叫做一次項系數(shù)，。叫做常數(shù)項。.

三、例題講解與練習(xí)鞏固

1.例1下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。

(1)3x+2=5x-3(2)x2=4(3)(4)-4=(x+2)2

2.例2將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項

系數(shù)和常數(shù)項：

1)6y2=y2)(x-2)(x+3)=83)(x+3)(3x-4)=(x+2/

說明：一元二次方程的一般形式內(nèi)?+以+c=°(。力0)具有兩個特征：一

是方程的右邊為0;二是左邊的二次項系數(shù)不能為0o此外要使學(xué)生意識到：

二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、常數(shù)項都是包括符號的。

3.例3方程(2a-4)x2-2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？

在什么條件下此方程為一元一次方程？

本題先由同學(xué)討論，再由教師歸納。

解：當(dāng)a力2時是一元二次方程；當(dāng)。=2,0力0時是一元一次方程；

4.例4已知關(guān)于x的一元二次方程(m-l)x2+3x-5m+4=。有一根為2,求m。

分析：一根為2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5.練習(xí)一將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項

系數(shù)和常數(shù)項

2/=2-3x2X(X-1)=3(X-5)-4(2y-l)2-(y+1)2=(y+3Xy-2)

練習(xí)二關(guān)于X的方程（加一3）/+如+m=0,在什么條件下是一元二次方程？

在什么條件下是一元一次方程？

本課小結(jié)：

1、只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二

次方程。

2、一元二次方程的一般形式為依,+法+。=°（。力0）,一元二次方程的項與系

數(shù)都是根據(jù)一般式定義的，這與多項式中的項、次數(shù)與其系數(shù)的定義是一致的。

3、在實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）的過程中，體會學(xué)習(xí)一元二次

方程的必要性和重要性。

布置作業(yè)：課本第27頁習(xí)題1、2、3

23.2.2一元二次方程的解法

教學(xué)目標(biāo)：

1、會用直接開平方法解形如以龍―幻2="（ar0,ab>0）的方程；

2、靈活應(yīng)用因式分解法解一元二次方程。

3、使學(xué)生了解轉(zhuǎn)化的思想在解方程中的應(yīng)用，滲透換遠方法。

重點難點：

合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程，理解一元二次

方程無實根的解題過程。

教學(xué)過程：

問：怎樣解方程（*+1）一=256的？

讓學(xué)生說出作業(yè)中的解法，教師板書。

解：1、直接開平方，得x+l=±16

所以原方程的解是xl=15,x2=-17

2、原方程可變形為

(x+1)2-256=0

方程左邊分解因式，得

(x+1+16)(x+1—16)=0

即可(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0,x-15=0

原方程的蟹xl=15,x2=-17

二、例題講解與練習(xí)鞏固

1、例1解下列方程

(1)(x+1)2-4=0;(2)12(2-x)2-9=0.

分析兩個方程都可以轉(zhuǎn)化為g—(a^0,ab>0)

的形式，從而用直接開平方法求解.

解(D原方程可以變形為

(x+1)2=4,

直接開平方，得

x+1=±2.

所以原方程的解是xl=l,x2=-3.

原方程可以變形為

有

所以原方程的解是Xl=,x2=.

2、說明：(1)這時，只要把(x+D看作一個整體，就可以轉(zhuǎn)化為(〃>。)

型的方法去解決，這里體現(xiàn)了整體思想。

3、練習(xí)一解下列方程：

(1)(x+2)2-16=0;(2)(x-l)2-18=0;

(3)(l-3x)2=l;(4)(2x+3)2-25=0.

三、讀一讀

四、討論、探索：解下列方程

(l)(x+2)2=3(x+2)(2)2y(y-3)=9-3y(3)(x-2)2

—x+2=0

222

(4)(2x+l)=(x-l)(5)X-2%+1-49O

本課小結(jié)：

1、對于形如"甕一外2="(ar0,a8>0)的方程，只要把(“一口看作一個整體,

就可轉(zhuǎn)化為/=〃(n>0)的形式用直接開平方法解。

2、當(dāng)方程出現(xiàn)相同因式(單項式或多項式)時，切不可約去相同因式，而應(yīng)用

因式分解法解。

布置作業(yè)：課本第37頁習(xí)題1(5、6)、P38頁習(xí)題2(1、2)

23.2.3一元二次方程的解法

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

2、使學(xué)生掌握配方法的推導(dǎo)過程，熟練地用配方法解一元二次方程。

3.在配方法的應(yīng)用過程中體會“轉(zhuǎn)化”的思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能。

重點難點：

使學(xué)生掌握配方法，解一元二次方程。

把一元二次方程轉(zhuǎn)化為('+=q

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)提問

解下列方程，并說明解法的依據(jù)：

(1)3-2/=1(2)(x+l『-6=0(3)(x-2)2-1=0

通過復(fù)習(xí)提問，指出這三個方程都可以轉(zhuǎn)化為以下兩個類型：

X2=/?(/?>0)^n(x—a)~=b(bNO)

根據(jù)平方根的意義，均可用“直接開平方法”來解，如果b<0,方程就沒有

實數(shù)解。

如(I)』

請說出完全平方公式。

22

(x+a)2=x+2ax+a

=x2-2ax+a2

二、引入新課

我們知道，形如/-A=°的方程，可變形為/=A(ANO),再根據(jù)平方根

的意義，用直接開平方法求解.則，我們能否將形如《+法+。=°的一類方程，

化為上述形式求解呢？這正是我們這節(jié)課要解決的問題.

三、探索:

1、例1、解下列方程:

2、2

廠+2x=5;（2）%-4x+3=0.

思考

能否經(jīng)過適當(dāng)變形，將它們轉(zhuǎn)化為

（）2=a的形式，應(yīng)用直接開方法求解？

解（1）原方程化為廠+2x+l=6,（方程兩邊同時加上1）

9

（2）原方程化為廠—4x+4=-3+4（方程兩邊同時加上4）

三、歸納

上面，我們把方程l—4x+3=0變形為（尢一2）一=1,它的左邊是一個含有未知

數(shù)的完全平方式，右邊是一個非負(fù)常數(shù).這樣，就能應(yīng)用直接開平方的方法求解.

這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意到第一步在方程兩邊同時加上了一個數(shù)后，左邊可以用完全平方公式從而

轉(zhuǎn)化為用直接開平方法求解。

則，在方程兩邊同時加上的這個數(shù)有什么規(guī)律呢？

四、試一試：對下列各式進行配方：

x2+8x=（x+）2.x2-10x=（x+）2

X2-5x4-=(1一)2,X2-9x4-=(x-)2

232

(

X--2X+-------=X—-------).x2+1/?%+=(/%+\)2-

通過練習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識到；配方的關(guān)鍵是在方程兩邊同時添加的常數(shù)項等于一

次項系數(shù)一半的平方。

五、例題講解與練習(xí)鞏固

1、例2、用配方法解下列方程:

(1)-6x-7=0;(2)+3x4-1=0.

2、練習(xí)：

①.填空：

⑴X2+6X+()=()2

(2)V-8x+()=(x-)2

(3)x?+x+()=(x+)2;(4)4/—6x+()=4(x—)

2

②用配方法解方程：

(1)+8x-2=0(2)/-5x-6=0.

(3)X2+7=-6X六、試一試

用配方法解方程x2+px+q=0(p2-4q>0).

先由學(xué)生討論探索，教師再板書講解。

解：移項，得x2+px=-q,

p_p_p_

配方，得X?+2?X?2+(2)2=(2)2-q,

P_

即