柱錐體臺(tái)體的體積

關(guān)于柱錐體臺(tái)體的體積第1頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三思考1:你還記得正方體、長(zhǎng)方體和圓柱的體積公式嗎？它們可以統(tǒng)一為一個(gè)什么公式？思考2:推廣到一般的棱柱和圓柱，你猜想柱體的體積公式是什么？知識(shí)探究：柱體、錐體、臺(tái)體的體積第2頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三

取一摞書(shū)放在桌面上，將它如圖那樣改變一下形狀，這時(shí)高度沒(méi)有改變，每頁(yè)紙的面積也沒(méi)有改變，因而這摞書(shū)的體積與變形前相等嗎？。例如第3頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三高h(yuǎn)底面積S

知識(shí)探究：柱體、錐體、臺(tái)體的體積第4頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三關(guān)于體積有如下幾個(gè)原理：（1）相同的幾何體的體積相等；（2）一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分體積之和；（3）等底面積等高的兩個(gè)同類幾何體的體積相等；（4）體積相等的兩個(gè)幾何體叫做等積體.

第5頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三將一個(gè)三棱柱按如圖所示分解成三個(gè)三棱錐，那么這三個(gè)三棱錐的體積有什么關(guān)系？它們與三棱柱的體積有什么關(guān)系？

123123第6頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三思考4:推廣到一般的棱錐和圓錐，你猜想錐體的體積公式是什么？高h(yuǎn)底面積S

第7頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三思考5:根據(jù)棱臺(tái)和圓臺(tái)的定義，如何計(jì)算臺(tái)體的體積？

第8頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三討論：臺(tái)體的上底面積S’，下底面積S，高為h

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如何計(jì)算臺(tái)體的體積？解:設(shè)切割前的錐體的高為x,則:第9頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三設(shè)臺(tái)體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，那么臺(tái)體的體積公式是什么？高h(yuǎn)下底面積S上底面積S′

第10頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三思考6:在臺(tái)體的體積公式中，若S′=S，S′=0，則公式分別變形為什么？S′=SS′=0第11頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1：埃及的胡夫金字塔大約建于公元前2580年，其形狀為正四棱錐，金字塔高約為146.6m底面邊長(zhǎng)約230.4m。問(wèn)：這座金字塔的側(cè)面積和體積各是多少？ACB第12頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三S1祖暅原理

夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任何平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。夾在平行平面α、β間的兩個(gè)幾何體，被平行于α、β的任何一個(gè)平面所截，如果截面（陰影部分）的面積S1=S2，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等。祖暅S2αβ第13頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三柱體的體積公式設(shè)有底面積都等于S，高都等于h的任意一個(gè)棱柱、一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，使它們的下底面在同一個(gè)平面α內(nèi)（右圖）

其中S是柱體的底面積，h是柱體的高sss

根據(jù)祖暅原理，可知它們的體積相等。由于長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積乘于高，于是我們得到柱體的體積公式V柱體=S?h第14頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三錐體的體積公式

設(shè)有底面積都等于S，高都等于h的兩個(gè)錐體，使它們的底面在同一個(gè)平面α內(nèi)。α為了求錐體的體積公式,我們先研究等底等高的任意兩個(gè)錐體體積之間的關(guān)系!

根據(jù)祖暅原理，可推導(dǎo)出定理。等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等。S1S2S1=S2定理：第15頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三將一個(gè)三棱柱按如圖所示分解成三個(gè)三棱錐，那么這三個(gè)三棱錐的體積有什么關(guān)系？它們與三棱柱的體積有什么關(guān)系？

錐體BAB1CC1A1B1CC1A1BB1CA1BACA1第16頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三

對(duì)于一個(gè)任意的錐體，設(shè)它的底面積為S，高為h，那么它的體積應(yīng)等于一個(gè)底面積為S，高為h的三棱錐的體積。ShShV三棱錐=?

?S?hV圓錐=?

?S?h如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面積是S，高是h，那么它的體積是V錐體=?

?S?h定理：第17頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1：埃及的胡夫金字塔大約建于公元前2580年，其形狀為正四棱錐，金字塔高約為146.6m底面邊長(zhǎng)約230.4m。問(wèn)：這座金字塔的側(cè)面積和體積各是多少？ACB第18頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三練習(xí)：1一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積是168，底面面積是24，底面周長(zhǎng)是20cm，長(zhǎng)方體的體積是多少？

2、一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為5cm，兩底面面積分別為4π和25π

．求圓臺(tái)的體積3、正四棱錐的底面積和側(cè)面積分別為16和32，求它的體積4、設(shè)棱錐的底面面積是8，那么這個(gè)棱錐的中截面（過(guò)棱錐高的中點(diǎn)且平行底面的截面）的面積是————

第19頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三柱體、錐體、臺(tái)體的體積錐體臺(tái)體柱體知識(shí)小結(jié):第20頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三柱體、錐體、臺(tái)體的表面積各面面積之和知識(shí)小結(jié):展開(kāi)圖

圓臺(tái)

圓柱圓錐第21頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三作業(yè)：第22頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三理論遷移例1如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：（1）球的體積等于圓柱體積的；（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.第23頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且正方體的表面積為a2，求球O的表面積和體積.oAC′第24頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3蜜蜂爬行的最短路線問(wèn)題.易拉罐的底面直徑為8cm,高25cm.分析:可以把圓柱沿開(kāi)始時(shí)蜜蜂所在位置的母線展開(kāi),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題.

AB第25頁(yè)，講稿共27頁(yè)，2023年5月2日，星期三鞏固練習(xí)：1.

把三棱錐的高分成三等分，過(guò)這些分點(diǎn)且平行于三棱錐底面的平面，把三棱錐分成三部分，求這三部分自上而下的體積之比。2、棱臺(tái)的兩個(gè)底面面積分別是245cm2和80ｃm2，截得這個(gè)棱臺(tái)的棱錐的高為35cm，求這個(gè)棱臺(tái)的體積。

（答案：2325cm3