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黑龍江省哈爾濱市第五十八中學2022年高二數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.設(shè)復數(shù)z1,z2在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于虛軸對稱,若z1=1﹣2i,其中i是虛數(shù)單位,則的虛部為()A.﹣ B. C.﹣i D.i參考答案:A【考點】A5:復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.【分析】利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義、虛部的定義即可得出.【解答】解:復數(shù)z1,z2在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于虛軸對稱,z1=1﹣2i,∴z2=﹣1﹣2i.則==﹣=﹣=﹣i.其虛部為﹣.故選:A.【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義、虛部的定義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.等差數(shù)列中,,則等于(
)A.2
B.9
C.18
D.20參考答案:C略3.給出以下四個說法:①
若p或q為真命題,則p且q為真命題;②在刻畫回歸模型的擬合效果時,相關(guān)指數(shù)的值越大,說明擬合的效果越好;③在回歸直線方程中,當解釋變量每增加一個單位時,預報變量平均增加個單位;④對分類變量與,若它們的隨機變量的觀測值越小,則判斷“與有關(guān)系”的把握程度越大.其中正確的說法是
(
) A.①④ B.②④ C.①③ D.②③參考答案:D4.從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作,若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作,則選派方案共有(
).96種
.180種
.240種
.280種參考答案:C:根據(jù)題意,由排列可得,從6名志愿者中選出4人分別從事四項不同工作,有A64=360種不同的情況,其中包含甲從事翻譯工作有A53=60種,乙從事翻譯工作的有A53=60種,若其中甲、乙兩名支援者都不能從事翻譯工作,則選派方案共有360-60-60=240種;故選C.5.正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為棱AB的中點,則異面直線DM與D1B所成角的余弦值為()A.
B.
C.
D.參考答案:B6.已知命題“若x≥3,則”,則此命題的逆命題、否命題逆否命題中,正確命題的個數(shù)為A.0
B.1
C.2
D.3參考答案:B∵,∴,即(x﹣2)(x+1)>0,∴x>2或x<﹣1.逆命題為“若,則”,顯然是假命題,又逆命題與否命題互為逆否命題,所以否命題也是假命題.又原命題為真命題,所以逆否命題也是真命題.綜上,選B.
7.在中,,則的值為(
)
參考答案:A8.已知垂直時k值為
(
)A.17
B.18
C.19
D.20參考答案:C9.右面的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績,其中一個數(shù)字被污損,則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C略10.已知函數(shù)的導數(shù)為,且滿足關(guān)系式,則=(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)P是邊長為2的正△ABC內(nèi)的一點,P點到三邊的距離分別為、、,則;類比到空間,設(shè)P是棱長為2的空間正四面體ABCD內(nèi)的一點,則P點到四個面的距離之和______.參考答案:【分析】根據(jù)平面正三角形利用等面積法可得,因此空間正四面體利用等體積法即可。【詳解】間正四面體如下圖由題意可得邊長為2,設(shè)每個面的面積為即【點睛】把平面知識類比到空間知識,是高考的常考思想,本題屬于中檔題。12.若的展開式中的系數(shù)為,則常數(shù)的值為
.參考答案:
解析:,令
13.設(shè),則直線恒過定點
.參考答案:
解析:變化為
對于任何都成立,則14.若隨機變量X服從兩點分布,且成功概率為0.7;隨機變量Y服從二項分布,且Y~B(10,0.8),則E(X),D(X),E(Y),D(Y)分別是
,
,
,
.參考答案:15.在平面直角坐標系xOy中,已知P是函數(shù)f(x)=ex(x>0)的圖象上的動點,該圖象在點P處的切線l交y軸于點M,過點P作l的垂線交y軸于點N,設(shè)線段MN的中點的縱坐標為t,則t的最大值是.參考答案:(e+e﹣1)【考點】6K:導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用;6H:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.【分析】先設(shè)切點坐標為(m,em),然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x=m處的導數(shù),從而求出切線的斜率,求出切線方程,從而求出點M的縱坐標,同理可求出點N的縱坐標,將t用m表示出來,最后借助導數(shù)的方法求出函數(shù)的最大值即可.【解答】解:設(shè)切點坐標為(m,em).∴該圖象在點P處的切線l的方程為y﹣em=em(x﹣m).令x=0,解得y=(1﹣m)em.過點P作l的垂線的切線方程為y﹣em=﹣e﹣m(x﹣m).令x=0,解得y=em+me﹣m.∴線段MN的中點的縱坐標為t=[(2﹣m)em+me﹣m].t'=[﹣em+(2﹣m)em+e﹣m﹣me﹣m],令t'=0解得:m=1.當m∈(0,1)時,t'>0,當m∈(1,+∞)時,t'<0.∴當m=1時t取最大值(e+e﹣1).故答案為:(e+e﹣1).16.圓x2+y2=r2(r>0)經(jīng)過橢圓+=1(a>b>0)的兩個焦點F1,F(xiàn)2,且與該橢圓有四個不同的交點,設(shè)P是其中的一個交點,若△PF1F2的面積為26,橢圓的長軸為15,則a+b+c=
。參考答案:13+17.若等比數(shù)列的前項之積為,則有;類比可得到以下正確結(jié)論:若等差數(shù)列的前項之和為,則有
.參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.給出一個正五棱柱.(Ⅰ)用3種顏色給其10個頂點染色,要求各側(cè)棱的兩個端點不同色,有幾種染色方案?(Ⅱ)以其10個頂點為頂點的四面體共有幾個?參考答案:(1);(2)。19.(本小題滿分12分)已知圓C1的方程為(x-2)2+(y-1)2=,橢圓C2的方程為,C2的離心率為,如果C1與C2相交于A、B兩點,且線段AB恰為圓C1的直徑,試求:
(1)直線AB的方程;
(2)橢圓C2的方程.參考答案:(1)由e=,得=,a2=2c2,b2=c2。設(shè)橢圓方程為+=1。又設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)。由圓心為(2,1),得x1+x2=4,y1+y2=2。又+=1,+=1,兩式相減,得+=0?!唷嘀本€AB的方程為y-1=-(x-2),即y=-x+3。(2)將y=-x+3代入+=1,得3x2-12x+18-2b2=0又直線AB與橢圓C2相交,∴Δ=24b2-72>0。由|AB|=|x1-x2|==,得·=。解得
b2=8,故所求橢圓方程為+=120.(12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點A(1,﹣2).(Ⅰ)求拋物線C的方程,并求其準線方程;(Ⅱ)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線L,使得直線L與拋物線C有公共點,且直線OA與L的距離等于?若存在,求直線L的方程;若不存在,說明理由.參考答案:【考點】:直線與圓錐曲線的綜合問題;拋物線的簡單性質(zhì).【專題】:計算題.【分析】:(I)將(1,﹣2)代入拋物線方程求得p,則拋物線方程可得,進而根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得其準線方程.(II)先假設(shè)存在符合題意的直線,設(shè)出其方程,與拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)直線與拋物線方程有公共點,求得t的范圍,利用直線AO與L的距離,求得t,則直線l的方程可得.解:(I)將(1,﹣2)代入拋物線方程y2=2px,得4=2p,p=2∴拋物線C的方程為:y2=4x,其準線方程為x=﹣1(II)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=﹣2x+t,由得y2+2y﹣2t=0,∵直線l與拋物線有公共點,∴△=4+8t≥0,解得t≥﹣又∵直線OA與L的距離d==,求得t=±1∵t≥﹣∴t=1∴符合題意的直線l存在,方程為2x+y﹣1=0【點評】:本題小題主要考查了直線,拋物線等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力,運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,數(shù)形結(jié)合的思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想,分類討論與整合思想.21.已知分別為三個內(nèi)角的對邊,
(I)求;
參考答案:略22.某工廠有舊墻一面長14米,現(xiàn)準備利用這面舊墻建造一個平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是:建1米新墻費用為a元,修1米舊墻費用為元,拆1米舊墻用所得材料再建1米新墻所得費用為元,現(xiàn)有兩種方案:(1)利用舊墻的一段x米(x<14)為廠房的一邊長(剩下的舊墻拆掉建成新墻),(2
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