數(shù)學(xué)分析2試題及答案文檔

數(shù)學(xué)分析(2)試題及答案

（十六）數(shù)學(xué)分析2考試題一、單項(xiàng)選擇題（從給出的四個(gè)答案中，選出一個(gè)最恰當(dāng)?shù)拇鸢柑钊肜ㄌ?hào)內(nèi)，每小題2分，共20分）a,b1、函數(shù)f(x)在[]上可積的必要條件是（）A連續(xù)B有界C無間斷點(diǎn)D有原函數(shù)a,a2、函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在[-]上可積，則（）AaBaf(x)dx2af(x)dxf(x)dx0a0aCaDaf(x)dx2af(x)dxf(x)dx2f(a)a0a3、下列廣義積分中，收斂的積分是（）ABCDsinxdx101111dxx3dxdxxx1014、級(jí)數(shù)收斂是部分和有界且的aalima0nnnnn1n1（）A充分條件B必要條件C充分必要條件D無關(guān)條件

5、下列說法正確的是（）A和收斂，也收斂B和abnnababnnnn發(fā)散n1n1發(fā)散n1收斂和n1發(fā)散n1，ab，C(ab)nnnnn1散D發(fā)收斂n1發(fā)散n1和，發(fā)ab(ab)abnnnnnnn1n1n1n1散abaxax6、在[，]收斂于（），且（）可a(x)nnn1導(dǎo)，則（）a（x）可導(dǎo)ABa'(x)a'(x)nn1axCD一致收斂，則（）a(x)dxba(x)dxba(x)nnaan1n1必連續(xù)7、下列命題正確的是（）A在[，]絕對(duì)收斂必一致收斂aba(x)nn1ab在[，]一致收斂必絕對(duì)收斂BCa(x)nn1ab若，則在[，]必絕對(duì)收斂lim|a(x)|0a(x)nnnD在[，]條n1ab件收斂必收斂Dcosxa(x)n8、n1的和函數(shù)為x2n112n1(1)nn0AeBCsinxln(1x)x9、函數(shù)zln(xy)A的定義域是（）B(x,y)|x0,y0(x,y)|yx

5、解：0||x（5分）lim0（1分）x2yx2y2x2yx2y2x0y0xx由于=-2，=2時(shí)，級(jí)數(shù)均不收斂，所以收斂域?yàn)椋?2，2）（3分）x44x2y2y2x2y20（2分）三、1、解、yf(x,y)(x2y2)2x0x2y20x44x2y2y2x2y20(4分）xf(x,y)(x2y2)2y0x2y202z(0,0)limf(0,y)f(0,0)1xxyxyy02z(0,0)limf(x,0)f(0,0)1（6分）yyxyxx02、解：由于（3分），即limn|(1)n12nsin2nx|2sinx2nn級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂條件收斂，級(jí)2sin2x12sin2x12sin2x1數(shù)發(fā)散（7分）所以原級(jí)數(shù)發(fā)散（2分）四、證明題（每小題10分，共20分）a，ba，1、證明：因?yàn)樵赱]上可積，故在[f(x)1b]上有界，即M0，使得，（3f(x)M(x[a,b])1分）從而一般來說，若f(x)x|f(t)|dtM(xa)21a對(duì)有（5分）則M(xa)n1(n1)!nf(x)na，b，所以在[]上一f(x)M(ba)(n1)!n1(n){f(x)}nn致收斂于0（2分）

aTf(x)dxxTtaf(tT)d(tT)af(t)dt（2）（4分）T00將式（2）代入（1）得證（2分）2、1，zx，（7分）則y2xzexyxyeyyx0（3分）zz1yxyxyxyxeyexyy23、證明：令xttf(sint)dt得證xf(sinx)dx0(t)f(sin(t))dtf(sint)dt000（7分）（3分）2xsinxsinx01cos2xdx201cos2xdx8（十七）數(shù)學(xué)分析2考試題二、單項(xiàng)選擇題（從給出的四個(gè)答案中，選出一個(gè)最恰當(dāng)?shù)拇鸢柑钊肜ㄌ?hào)內(nèi)，每小題2分，共20分）a,b1、函數(shù)f(x)在[]上可積的充要條件是（）A>0,>0和>0使得對(duì)任一分法，當(dāng)x（）<時(shí)，對(duì)應(yīng)于的那些區(qū)間長度iix之和∑<iB>0,>0,>0使得對(duì)某一分法，當(dāng)（）

x<時(shí)，對(duì)應(yīng)于的那些區(qū)間長度之和iix∑<iC>0,>0使得對(duì)任一分法，當(dāng)（）<x時(shí)，對(duì)應(yīng)于的那些區(qū)間長度之和iix∑<iD>0,>0，>0使得對(duì)任一分法，當(dāng)x（）<時(shí)，對(duì)應(yīng)于的那些區(qū)間長度iix之和∑<i2、函數(shù)f(x)連續(xù)，則在[]上df(t)dt=（a,b）2xdx1DABCf(2x)2f(2x)2f(x)2f(2x)f(x)4、1dx（）11x2A-2B2C0D發(fā)散4、，則()lima0nannn1A必收斂B必發(fā)散C必條件收斂D斂散性不定5、若級(jí)數(shù)是更序級(jí)數(shù)，則（）abnnn1斂散n1A和同B可以babnnnn1n1n1發(fā)散到+∞C若絕對(duì)收斂，也收斂D若條anabnnn1n1n1

件收斂，也條件收斂bnn1abax6、在[，]一致收斂，且()可導(dǎo)a(x)nnn1n（=1,2?），那么()fxabA（）在[，]可導(dǎo)，且f'(x)a'n(x)fxabn1B（）在[，]可導(dǎo)，但不一定等于f(x)a'n(x)'n1C點(diǎn)點(diǎn)收斂，但不一定一致收斂a(x)'nn1D不一定點(diǎn)點(diǎn)收斂a'n(x)7、n1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂的充要D條a(x)nn1件是（）mn>A>0,N（）>0，使>N有a(x)a(x)n1mmn>B>0,N>0，使>N有a(x)a(x)n1mmn>C>0,N（）>0，使>N有a(x)a(x)n1mmn>D>0,N（）>0，使>N有a(x)a(x)n1m8、的收斂域?yàn)椋ǎ?n(x1)nn1A(-1,1)B(0,2]C[0,2）D[-1,1）9、重極限存在是累次極限存在的（）A充分條件B必要條件C充分必要條

件D無關(guān)條件10、f(x,y)|（）x(x0,y0)Alimf(xx,yy)f(x,y)0000xx0Blimf(xx,y)f(x,y)0000xx0Climf(xx,yy)f(xx,y)Dlimf(xx,y)00x0000xx0x0三、計(jì)算題：（每小題6分，共30分）1、1sinxcosx1dx1x22、計(jì)算由曲線yx1,y0,xy2和xe圍成的面1積23、求e的冪級(jí)數(shù)展開x25、已知zf(xy,xy),f(u,v)可微，求2zxy6、求在（0，0）的累次極限f(x,y)xxyy三、判斷題（每小題10分，共20分）1、討論的斂散性lncosnn3xn2、判斷的絕對(duì)和條件收斂性1x2n四、證明題（每小題10分，共30分）n1fxa，a1、設(shè)()是[-]上的奇函數(shù)，證明af(x)dx0a2、證明級(jí)數(shù)y4n滿足方程y(4)yx(4n)!n0SSc3、證明為閉集的充分必要條件是是開集。

參考答案一、1、D2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B二、1、解：1sinxcosx1dx=1sinxcosx1dx（2分）dx11x211x1x2211由于sinxcosx為奇函數(shù)=0（2分）1sinxcosxdx1x21x21=（2分）所以積分值為（1分）1111x2dxarctanx|12212、解：兩曲線的交點(diǎn)為（1，2）（2分）所求的面積為：1/222+（4分）2xe2dx613、解：由于（3分），ex1xx2xnn!（3分）2!ex21x2x4(1)nx2!n!2n4、解：==（3分）ffx12（3分）zzyffyx122zxyff(xy)fxyf22112125、解：lim1，（3分）limlimxx1xylimyxyxyxyyx0y0y0y0x0y0（3分）三、1、解：由于lncos~2（6分），又收斂（21n2n2n2n1分）所以原級(jí)數(shù)收斂（2分）2、解：當(dāng)|x|1時(shí)，有，所以級(jí)數(shù)絕對(duì)xnx2x1|x|n

收斂（4分），當(dāng)|x|1時(shí)，1，原級(jí)數(shù)發(fā)散（2分）xnx2x121當(dāng)|x|1時(shí)，有()nx，由上討論知級(jí)數(shù)絕xn11x2nn11()n12nx對(duì)收斂（4分）四、證明題（每小題10分，共30分）1、證