相似三角形難題集錦含答-案

./一、相似三角形中的動點問題1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,過點B作射線BB1∥AC．動點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動,同時動點E從點C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動．過點D作DH⊥AB于H,過點E作EF⊥AC交射線BB1于F,G是EF中點,連接DG．設點D運動的時間為t秒．

〔1當t為何值時,AD=AB,并求出此時DE的長度；

〔2當△DEG與△ACB相似時,求t的值．

2.如圖,在△ABC中,ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,動點P以2m/s的速度從A點出發(fā),沿AC向點C移動．同時,動點Q以1m/s的速度從C點出發(fā),沿CB向點B移動．當其中有一點到達終點時,它們都停止移動．設移動的時間為t秒．

〔1①當t=2.5s時,求△CPQ的面積；

②求△CPQ的面積S〔平方米關于時間t〔秒的函數(shù)解析式；

〔2在P,Q移動的過程中,當△CPQ為等腰三角形時,求出t的值．

3.如圖1,在Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,點D在邊AB上運動,DE平分CDB交邊BC于點E,EM⊥BD,垂足為M,EN⊥CD,垂足為N．

〔1當AD＝CD時,求證：DE∥AC；

〔2探究：AD為何值時,△BME與△CNE相似？

4.如圖所示,在△ABC中,BA＝BC＝20cm,AC＝30cm,點P從A點出發(fā),沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā),沿CA以每秒3cm的速度向A點運動,當P點到達B點時,Q點隨之停止運動．設運動的時間為x．

〔1當x為何值時,PQ∥BC？

〔2△APQ與△CQB能否相似？若能,求出AP的長；若不能說明理由．5.如圖,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點P沿AB邊從A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā),用t〔s表示移動的時間〔0＜t＜6。〔1當t為何值時,△QAP為等腰直角三角形？

〔2當t為何值時,以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？二、構造相似輔助線——雙垂直模型6.在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為<2,1>,正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°,求這個正比例函數(shù)的表達式．

7.在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB為邊在C點的異側作△ABD,使△ABD為等腰直角三角形,求線段CD的長．

8.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點M是AC上的一點,點N是BC上的一點,沿著直線MN折疊,使得點C恰好落在邊AB上的P點．求證：MC：NC=AP：PB．

9.如圖,在直角坐標系中,矩形ABCO的邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,點B的坐標為〔1,3,將矩形沿對角線AC翻折B點落在D點的位置,且AD交y軸于點E．那么D點的坐標為〔

A.B.

C.D.10..已知,如圖,直線y=﹣2x＋2與坐標軸交于A、B兩點．以AB為短邊在第一象限做一個矩形ABCD,使得矩形的兩邊之比為1﹕2。

求C、D兩點的坐標。

三、構造相似輔助線——A、X字型11.如圖：△ABC中,D是AB上一點,AD=AC,BC邊上的中線AE交CD于F。

求證：12.四邊形ABCD中,AC為AB、AD的比例中項,且AC平分∠DAB。

求證：13.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E為AD邊上的任意一點,EF∥AB,且EF交BC于點F,某同學在研究這一問題時,發(fā)現(xiàn)如下事實：

<1>當時,EF=；<2>當時,EF=；

<3>當時,EF=．當時,參照上述研究結論,請你猜想用a、b和k表示EF的一般結論,并給出證明．

14.已知：如圖,在△ABC中,M是AC的中點,E、F是BC上的兩點,且BE＝EF＝FC。

求BN：NQ：QM．

15.證明：〔1重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的．〔注：重心是三角形三條中線的交點

〔2角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例．四、相似類定值問題16.如圖,在等邊△ABC中,M、N分別是邊AB,AC的中點,D為MN上任意一點,BD、CD的延長線分別交AC、AB于點E、F．

求證：．

17.已知：如圖,梯形ABCD中,AB//DC,對角線AC、BD交于O,過O作EF//AB分別交AD、BC于E、F。

求證：．

18.如圖,在△ABC中,已知CD為邊AB上的高,正方形EFGH的四個頂點分別在△ABC上。

求證：．19.已知,在△ABC中作內(nèi)接菱形CDEF,設菱形的邊長為a．求證：．五、相似之共線線段的比例問題20.〔1如圖1,點在平行四邊形ABCD的對角線BD上,一直線過點P分別交BA,BC的延長線于點Q,S,交于點．求證：

〔2如圖2,圖3,當點在平行四邊形ABCD的對角線或的延長線上時,是否仍然成立？若成立,試給出證明；若不成立,試說明理由〔要求僅以圖2為例進行證明或說明；

21.已知：如圖,△ABC中,AB＝AC,AD是中線,P是AD上一點,過C作CF∥AB,延長BP交AC于E,交CF于F．求證：BP2＝PE·PF．22.如圖,已知ΔABC中,AD,BF分別為BC,AC邊上的高,過D作AB的垂線交AB于E,交BF于G,交AC延長線于H。求證：DE2=EG?EH23.已知如圖,P為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點,過P的直線與AD、BC、CD的延長線、AB的延長線分別相交于點E、F、G、H.

求證：24.已知,如圖,銳角△ABC中,AD⊥BC于D,H為垂心〔三角形三條高線的交點；在AD上有一點P,且∠BPC為直角．求證：PD2＝AD·DH。六、相似之等積式類型綜合25.已知如圖,CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,E為BC的中點,ED的延長線交CA于F。

求證：26如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,點M在CD上,DH⊥BM且與AC的延長線交于點E.

求證：〔1△AED∽△CBM；〔227.如圖,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中點,ED的延長線與CB的延長線交于點F.

〔1求證：.

〔2若G是BC的中點,連接GD,GD與EF垂直嗎？并說明理由.

28.如圖,四邊形ABCD、DEFG都是正方形,連接AE、CG,AE與CG相交于點M,CG與AD相交于點N．求證：．

29.如圖,BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高,過D作DG⊥BC于G,分別交CE及BA的延長線于F、H。求證：〔1DG2＝BG·CG；〔2BG·CG＝GF·GH七、相似基本模型應用30.△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的頂點E位于邊BC的中點上．

〔1如圖1,設DE與AB交于點M,EF與AC交于點N,求證：△BEM∽△CNE；

〔2如圖2,將△DEF繞點E旋轉,使得DE與BA的延長線交于點M,EF與AC交于點N,于是,除〔1中的一對相似三角形外,能否再找出一對相似三角形并證明你的結論．

31.如圖,四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形,點R為DE的中點,BR分別交AC、CD于點P、Q．

〔1請寫出圖中各對相似三角形〔相似比為1除外；

〔2求BP：PQ：QR．

32.如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。求證：答案：1.答案：解：〔1∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4

∴AB=5

又∵AD=AB,AD=5t

∴t=1,此時CE=3,

∴DE=3+3-5=1

〔2

如圖當點D在點E左側,即：0≦t≦時,DE=3t+3-5t=3-2t．

若△DEG與△ACB相似,有兩種情況：

①△DEG∽△ACB,此時,

即：,求得：t=；

②△DEG∽△BCA,此時,

即：,求得：t=；

如圖,當點D在點E右側,即：t>時,DE=5t-<3t+3>=2t-3．

若△DEG與△ACB相似,有兩種情況：

③△DEG∽△ACB,此時,

即：,求得：t=；

④△DEG∽△BCA,此時,

即：,求得：t=．

綜上,t的值為或或或．3.答案：解：〔1證明：∵AD=CD

∴∠A=∠ACD

∵DE平分CDB交邊BC于點E

∴∠CDE=∠BDE

∵∠CDB為△CDB的一個外角

∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD

∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE

∴∠ACD=∠CDE

∴DE∥AC

〔2①∠NCE=∠MBE

∵EM⊥BD,EN⊥CD,

∴△BME∽△CNE,如圖

∵∠NCE=∠MBE

∴BD=CD

又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°

∴∠ACD=∠A

∴AD=CD

∴AD=BD=AB

∵在Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8

∴AB=10

∴AD=5

②∠NCE=∠MEB

∵EM⊥BD,EN⊥CD,

∴△BME∽△ENC,如圖

∵∠NCE=∠MEB

∴EM∥CD

∴CD⊥AB

∵在Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8

∴AB=10

∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB

∴△ACD∽△ABC

∴

∴

綜上：AD=5或時,△BME與△CNE相似．4.答案：解〔1由題意：AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x,

當PQ∥BC時,,即：

解得：

〔2能,AP=cm或AP=20cm

①△APQ∽△CBQ,則,即

解得：或〔舍

此時：AP=cm

②△APQ∽△CQB,則,即

解得：〔符合題意

此時：AP=cm

故AP=cm或20cm時,△APQ與△CQB能相似．5.答案：解：設運動時間為t,則DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t．

〔1若△QAP為等腰直角三角形,則AQ=AP,即：6-t=2t,t=2〔符合題意

∴t=2時,△QAP為等腰直角三角形．

〔2∠B=∠QAP=90°

①當△QAP∽△ABC時,,即：,

解得：〔符合題意；

②當△PAQ∽△ABC時,,即：,

解得：〔符合題意．

∴當或時,以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似．6.答案：解：分兩種情況

第一種情況,圖象經(jīng)過第一、三象限

過點A作AB⊥OA,交待求直線于點B,過點A作平行于y軸的直線交x軸于點C,過點B作BD⊥AC

則由上可知：＝90°

由雙垂直模型知：△OCA∽△ADB

∴

∵A〔2,1,＝45°

∴OC＝2,AC＝1,AO＝AB

∴AD＝OC＝2,BD＝AC＝1

∴D點坐標為〔2,3

∴B點坐標為〔1,3

∴此時正比例函數(shù)表達式為：y＝3x

第二種情況,圖象經(jīng)過第二、四象限

過點A作AB⊥OA,交待求直線于點B,過點A作平行于x軸的直線交y軸于點C,過點B作BD⊥AC

則由上可知：＝90°

由雙垂直模型知：△OCA∽△ADB

∴

∵A〔2,1,＝45°

∴OC＝1,AC＝2,AO＝AB

∴AD＝OC＝1,BD＝AC＝2

∴D點坐標為〔3,1

∴B點坐標為〔3,﹣1

∴此時正比例函數(shù)表達式為：y＝x7.答案：解：情形一：

情形二：

情形三：8.答案：證明：方法一：

連接PC,過點P作PD⊥AC于D,則PD//BC

根據(jù)折疊可知MN⊥CP

∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°

∴∠2=∠CNM

∵∠CDP=∠NCM=90°

∴△PDC∽MCN

∴MC：CN=PD：DC

∵PD=DA

∴MC：CN=DA：DC

∵PD//BC

∴DA：DC=PA：PB

∴MC：CN=PA：PB

方法二：如圖,

過M作MD⊥AB于D,過N作NE⊥AB于E

由雙垂直模型,可以推知△PMD∽NPE,則,

根據(jù)等比性質(zhì)可知,而MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN,

∴MC：CN=PA：PB9.答案：A解題思路：如圖

過點D作AB的平行線交BC的延長線于點M,交x軸于點N,則∠M=∠DNA=90°,

由于折疊,可以得到△ABC≌△ADC,

又由B〔1,3

∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90°

∴∠1+∠2=90°

∵∠DNA=90°

∴∠3+∠2=90°

∴∠1=∠3

∴△DMC∽△AND,

∴

設CM=x,則DN=3x,AN=1＋x,DM＝

∴3x＋＝3

∴x＝

∴,則。

答案為A10.答案：解：

過點C作x軸的平行線交y軸于G,過點D作y軸的平行線交x軸于F,交GC的延長線于E。

∵直線y=﹣2x＋2與坐標軸交于A、B兩點

∴A〔1,0,B〔0,2

∴OA=1,OB=2,AB=

∵AB：BC=1:2

∴BC=AD=

∵∠ABO+∠CBG=90°,∠ABO+∠BAO=90°

∴∠CBG=∠BAO

又∵∠CGB=∠BOA=90°

∴△OAB∽△GBC

∴

∴GB=2,GC=4

∴GO=4

∴C〔4,4

同理可得△ADF∽△BAO,得

∴DF=2,AF=4

∴OF=5

∴D〔5,211.答案：證明：〔方法一如圖

延長AE到M使得EM=AE,連接CM

∵BE=CE,∠AEB=∠MEC

∴△BEA≌△CEM

∴CM=AB,∠1=∠B

∴AB∥CM

∴∠M=∠MAD,∠MCF=∠ADF

∴△MCF∽△ADF

∴

∵CM=AB,AD=AC

∴

〔方法二

過D作DG∥BC交AE于G

則△ABE∽△ADG,△CEF∽△DGF

∴,

∵AD=AC,BE=CE

∴12.答案：證明：

過點D作DF∥AB交AC的延長線于點F,則∠2=∠3

∵AC平分∠DAB

∴∠1=∠2

∴∠1=∠3

∴AD=DF

∵∠DEF=∠BEA,∠2=∠3

∴△BEA∽△DEF

∴

∵AD=DF

∴

∵AC為AB、AD的比例中項

∴

即

又∵∠1=∠2

∴△ACD∽△ABC

∴

∴

∴13.答案：解：

證明：

過點E作PQ∥BC分別交BA延長線和DC于點P和點Q

∵AB∥CD,PQ∥BC

∴四邊形PQCB和四邊形EQCF是平行四邊形

∴PB＝EF＝CQ,

又∵AB＝b,CD＝a

∴AP＝PB-AB＝EF-b,DQ＝DC-QC＝a-EF

∴

∴14.答案：解：

連接MF

∵M是AC的中點,EF＝FC

∴MF∥AE且MF＝AE

∴△BEN∽△BFM

∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF

∵BE＝EF

∴BN：BM＝NE：MF＝1:2

∴BN：NM＝1:1

設NE＝x,則MF＝2x,AE＝4x

∴AN＝3x

∵MF∥AE

∴△NAQ∽△MFQ

∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2

∵BN：NM＝1:1,NQ：QM＝3:2

∴BN：NQ：QM＝5:3:215.答案：證明：〔1

如圖1,AD、BE為△ABC的中線,且AD、BE交于點O

過點C作CF∥BE,交AD的延長線于點F

∵CF∥BE且E為AC中點

∴∠AEO＝∠ACF,∠OBD＝∠FCD,AC＝2AE

∵∠EAO＝∠CAF

∴△AEO∽△ACF

∴

∵D為BC的中點,∠ODB＝∠FDC

∴△BOD≌△CFD

∴BO＝CF

∴

∴

同理,可證另外兩條中線

∴三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的

〔2

如圖2,AD為△ABC的角平分線

過點C作AB的平行線CE交AD的延長線于E

則∠BAD=∠E

∵AD為△ABC的角平分線

∴∠BAD=∠CAD

∴∠E=∠CAD

∴AC＝CE

∵CE∥AB

∴△BAD∽△CED

∴

∴16.答案：證明：

如圖,作DP∥AB,DQ∥AC

則四邊形MDPB和四邊形NDQC均為平行四邊形且△DPQ是等邊三角形

∴BP+CQ＝MN,DP＝DQ＝PQ

∵M、N分別是邊AB,AC的中點

∴MN＝BC＝PQ

∵DP∥AB,DQ∥AC

∴△CDP∽△CFB,△BDQ∽△BEC

∴,

∴

∵DP＝DQ＝PQ＝BC＝AB

∴AB〔＝

∴17.答案：證明：∵EF//AB,AB//DC

∴EF//DC

∴△AOE∽△ACD,△DOE∽△DBA

∴,

∴

∴18.答案：證明：∵EF∥CD,EH∥AB

∴,

∵,

∴△AFE∽△ADC,△CEH∽△CAB

∴,

∵EF＝EH

∴

∴19.答案：證明：∵EF∥AC,DE∥BC

∴,

∵,

∴△BFE∽△BCA,△AED∽△ABC

∴,

∴

∵EF＝DE＝a

∴20.答案：〔1證明：在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,

∴∠DRP=∠S,∠RDB=∠DBS

∴△DRP∽△BSP

∴

同理由AB∥CD可證△PTD∽△PQB

∴

∴

∴

〔2證明：成立,理由如下：

在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,

∴∠PRD=∠S,∠RDP=∠DBS

∴△DRP∽△BSP

∴

同理由AB∥CD可證△PTD∽△PQB

∴

∴

∴21.答案：證明:

∵AB＝AC,AD是中線,

∴AD⊥BC,BP=CP

∴∠1=∠2

又∵∠ABC=∠ACB

∴∠3=∠4

∵CF∥AB

∴∠3=∠F,∠4=∠F

又∵∠EPC=∠CPF

∴△EPC∽△CPF

∴

∴BP2＝PE·PF

即證所求22.答案：證明：∵DE⊥AB

∴＝90°

∵＝90°

∴

∵

∴△ADE∽△DBE

∴

∴DE2=

∵BF⊥AC

∴＝90°

∵＝90°且

∴

∵

∴△BEG∽△HEA

∴

∴＝

∴DE2=EG•EH23.答案：證明：

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AB∥CD,AD∥BC

∴∠1=∠2,∠G=∠H,∠5=∠6

∴△PAH∽△PCG

∴

又∵∠3=∠4

∴△APE∽△CPF

∴

∴24.答案：證明：如圖,連接BH交AC于點E,

∵H為垂心

∴BE⊥AC

∴∠EBC+∠BCA=90°

∵AD⊥BC于D

∴∠DAC+∠BCA=90°

∴∠EBC=∠DAC

又∠BDH=∠ADC=90°

∴△BDH∽△ADC

∴,即

∵∠BPC為直角,AD⊥BC

∴PD2＝BD·DC

∴PD2＝AD·DH25.答案：證明：∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,E為BC的中點

∴CE=EB=DE

∴∠B=∠BDE=∠FDA

∵∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°

∴∠B=∠ACD

∴∠FDA=∠ACD

∵∠F=∠F

∴△FDA∽△FCD

∴

∵∠ADC=∠CDB=90°,∠B=∠ACD

∴△ACD∽△CBD

∴

∴

即26.答案：證明：〔1∵∠ACB＝∠ADC＝90°

∴∠A＋∠ACD＝90°

∠BCM＋∠ACD＝90°

∴∠A＝∠BCM

同理可得：∠MDH＝∠MBD

∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD

∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH

∴∠ADE＝∠CMB

∴△AED∽△CBM

〔2由上問可知：,即

故只需證明即可

∵∠A＝∠A,∠ACD＝∠ABC

∴△ACD∽△ABC

∴,即

∴27.答案：〔1將結論寫成比例的形式,,可以考慮證明△FDB∽△FCD〔已經(jīng)有一個公共角∠F

Rt△ACD中,E是AC的中點

∴DE=AE

∴∠A=∠ADE

∵∠ADE=∠FDB

∴∠A=∠FDB

而∠A+