2022年山東省煙臺(tái)市萊陽(yáng)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

2022年山東省煙臺(tái)市萊陽(yáng)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足：，則的最小值為（

）

A．

B．

C．－1

D．－2參考答案：D2.數(shù)列{an}滿足，，則的整數(shù)部分是（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B3.“函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)”是“a=1”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B4.已知函數(shù)，定義函數(shù)，則是（

）A．奇函數(shù)

B．偶函數(shù)

C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D．非奇非偶函數(shù)參考答案：A試題分析：,所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故選A.考點(diǎn)：1.分段函數(shù)的表示；2.函數(shù)的奇偶性.5.定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，若函數(shù)，的“新駐點(diǎn)”分別為，，，則，，的大小關(guān)系為__________.A． B． C． D．參考答案：B6.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，若a、b、c成等比數(shù)列，則該雙曲線的離率e=（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由成等比數(shù)列，可得，，解方程可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，，所以，因?yàn)?，所以．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)與離心率，屬于中檔題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解．7.已知函數(shù)f（x）=在區(qū)間（a，a+）（a＞0）上存在極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．（0，1） B．（，1） C．（，1） D．（，1）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+）上存在極值點(diǎn)，建立不等式，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=，x＞0，∴f′（x）=﹣，令f′（x）=0，解得x=1，當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x＜1，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)f′（x）＜0，即x＞1，函數(shù)單調(diào)遞減，∴1是函數(shù)的極值點(diǎn)，∵函數(shù)f（x）區(qū)間（a，a+）（a＞0）上存在極值，∴a＜1＜a+∴＜a＜1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．8.已知函數(shù)，則“是奇函數(shù)”是“”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B試題分析：當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，有，得，由誘導(dǎo)公式得，因此，得，得不到；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，因此“是奇函數(shù)”是“”的必要不充分條件,故答案為B.考點(diǎn)：1、奇函數(shù)的應(yīng)用；2、充分條件和必要條件的判斷.9.若，則A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知函數(shù)的周期為2,當(dāng)時(shí),,如果，

則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）（A）2

（B）4

（C）6

（D）8參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，若過點(diǎn)M（0，2）任作一條直線交拋物線C于兩點(diǎn)，且，則拋物線C的方程為

。參考答案：答案:

12.（不等式選講）已知a,b均為正數(shù)且的最大值為

．參考答案：13.設(shè)曲線y=ax﹣ln（x+1）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=2x，則a=

．參考答案：3【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即f′（x0）表示曲線f（x）在x=x0處的切線斜率，再代入計(jì)算．【解答】解：y=ax﹣ln（x+1）的導(dǎo)數(shù)，由在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=2x，得，則a=3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在高考中是經(jīng)常考查的內(nèi)容，一般只要求導(dǎo)正確，就能夠求解該題．在高考中，導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)非常好的研究工具，經(jīng)常會(huì)被考查到，特別是用導(dǎo)數(shù)研究最值，證明不等式，研究零點(diǎn)問題等等經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)要引起重視．14.在平行四邊形中,為的中點(diǎn).若,則的長(zhǎng)為____

_.參考答案：15.若奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，f（x+2）=﹣f（x）且f（﹣1）=6，則f（2017）=．參考答案：﹣6【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)的周期，判斷利用已知條件求解函數(shù)值即可．【解答】解：奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，f（x+2）=﹣f（x），且f（﹣1）=6，可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以函數(shù)的周期為4；則f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣6．故答案為：﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，求出函數(shù)的周期以及正確利用函數(shù)的奇偶性是解題關(guān)鍵．16.在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5的展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字作答）．參考答案：20【考點(diǎn)】DC：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得x2項(xiàng)的系數(shù)．【解答】解：（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5的展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)是+++=1+3+6+10=20，故答案為：20．17.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，平面上動(dòng)點(diǎn)N滿足，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C，設(shè)圓M的半徑為1，圓心M在直線上，若圓M與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則圓心M橫坐標(biāo)的值為

．參考答案：

0或三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分l2分)已知函數(shù)(R)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(Ⅱ)內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，若且試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．參考答案：（Ⅰ）∵，∴.故函數(shù)的最小正周期為；遞增區(qū)間為(Z)………6分（Ⅱ）解法一：，∴．∵，∴，∴，即．……9分由余弦定理得：，∴，即，故（不合題意，舍）或．因?yàn)?，所以ABC為直角三角形.………12分解法二：，∴．∵，∴，∴，即．…9分由正弦定理得：，∴，∵，∴或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（不合題意，舍）所以ABC為直角三角形.

………12分19.已知函數(shù)f（x）=x3﹣ax2，常數(shù)a∈R．（Ⅰ）若a=1，過點(diǎn)（1，0）作曲線y=f（x）的切線l，求l的方程；（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）與直線y=x﹣1只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)的圖象．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過切點(diǎn)的切線方程，代入點(diǎn)（1，0），求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，則過（1，0）點(diǎn)的切線方程可求；（Ⅱ）把曲線y=f（x）與直線y=x﹣1只有一個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一個(gè)實(shí)根，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)實(shí)根．構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，并畫出其圖象大致形狀，數(shù)形結(jié)合可得方程只有一個(gè)實(shí)根時(shí)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x3﹣x2，設(shè)切點(diǎn)P為（x0，y0），則，∴過P點(diǎn)的切線方程為．該直線經(jīng)過點(diǎn)（1，0），∴有，化簡(jiǎn)得，解得x0=0或x0=1，∴切線方程為y=0和y=x﹣1；（Ⅱ）曲線y=f（x）與直線y=x﹣1只有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一個(gè)實(shí)根．顯然x≠0，∴方程只有一個(gè)實(shí)根．設(shè)函數(shù)，則．設(shè)h（x）=x3+x﹣2，h′（x）=3x2+1＞0，h（x）為增函數(shù)，又h（1）=0．∴當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；∴g（x）在x=1時(shí)取極小值1．又當(dāng)x趨向于0時(shí)，g（x）趨向于正無(wú)窮；當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，g（x）趨向于負(fù)無(wú)窮；又當(dāng)x趨向于正無(wú)窮時(shí)，g（x）趨向于正無(wú)窮．∴g（x）圖象大致如圖所示：∴方程只有一個(gè)實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，1）．點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)的切線方程，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是壓軸題．20.已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2，．（1）把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；相交弦所在直線的方程．【分析】（1）先利用三角函數(shù)的差角公式展開圓O2的極坐標(biāo)方程的右式，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進(jìn)行代換即得圓O2的直角坐標(biāo)方程及圓O1直角坐標(biāo)方程．（2）先在直角坐標(biāo)系中算出經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系求出其極坐標(biāo)方程即可．【解答】解：（1）ρ=2?ρ2=4，所以x2+y2=4；因?yàn)?，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（2）將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為x+y=1．化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=1，即．21.設(shè)，，且，求的最小值．參考答案：解：令，∵，，∴．

由得，∴，

∴，∵，∴，即，∴，

∴，

∵，∴當(dāng)時(shí)，22.在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥PB，PA=PD．（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面PAB；（Ⅱ）設(shè)E是棱AB的中點(diǎn)，∠PEC=90°，AB=2，求二面角E﹣PC﹣B的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面PAD⊥平面PAB；（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可．【解答】（1）證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD所以AB⊥平面PAD…又PD?平面PAD，所以PD⊥AB…又PD⊥PB，所以PD⊥平面PAB…而PD?平面PCD