2022年陜西省西安市東方綜合中學高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析

2022年陜西省西安市東方綜合中學高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，然后將所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），則所得到的圖象對應函數(shù)解析式為A．

B．

C． D．參考答案：D2.如圖所示為某幾何體的三視圖，均是直角邊長為1的等腰直角三角形，則此幾何體的表面積是

（

）

A．π

B．2π

C．3π

D．4π

參考答案：C略3.如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A、B的六個點C1、C2、C3、C4、C5、C6，直徑AB上有異于A、B的四個點D1、D2、D3、D4.以這10個點中的3個點為頂點作三角形可作出多少個(

)A.116

B.128

C.215

D.98參考答案：A略4.設是展開式的中間項，若在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.已知點P是雙曲線=1（a＞0，b＞0）右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，I為△PF1F2的內(nèi)心，若S=SS成立，則雙曲線的離心率為（）A．4 B． C．2 D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設圓I與△PF1F2的三邊F1F2、PF1、PF2分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，可得△IF1F2，△IPF1，△IPF2可看作三個高相等且均為圓I半徑r的三角形．利用三角形面積公式，代入已知式S=SS，化簡可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，再結(jié)合雙曲線的定義與離心率的公式，可求出此雙曲線的離心率．【解答】解：如圖，設圓I與△PF1F2的三邊F1F2、PF1、PF2分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，則IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它們分別是：△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴S=×|PF1|×|IF|=|PF1|，=×|PF2|×|IG|=|PF2|，S=×|F1F2|×|IE|=|F1F2|，其中r是△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑．∵S=SS，∴|PF1|=|PF2|+|F1F2|，兩邊約去得：|PF1|=|PF2|+|F1F2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，根據(jù)雙曲線定義，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴2a=c?離心率為e=2，故選：C．6.已知命題p：x∈R，x2－3x＋3≤0，則下列說法正確的是

(

)A．：x∈R，，且為真命題B．：x∈R，，且為假命題C．：x∈R，，且為真命題D．：x∈R，，且為假命題參考答案：【知識點】命題的否定A2【答案解析】C解析：解：∵命題p是特稱命題，∴根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題得：￢p：?x∈R，x2﹣3x+3＞0，∵判別式△=9﹣4×3=9﹣12=﹣3＜0，∴x2﹣3x+3＞0恒成立，故￢p為真命題，故選：C【思路點撥】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得到結(jié)論7.已知曲線的一條切線的斜率為,則切點的橫坐標為（

）

A．3

B．2

C．1

D．參考答案：A試題分析：∵，∴，∵切線的斜率為，∴，∴．考點：利用導數(shù)求切線的斜率．8.如圖，設是圖中邊長為的正方形區(qū)域，是函數(shù)的圖象與軸及圍成的陰影區(qū)域．向中隨機投一點，則該點落入中的概率為

A.

B.

C.

D.參考答案：B9.已知函數(shù)在處有極值為，則等于

（

）A、11或18

B、18

C、11 D、17或18參考答案：B10.已知函數(shù)是一個求余函數(shù)，其格式為

，其結(jié)果為除以的余數(shù)，例如.下面是一個算法的程序框圖，當輸入的值為時，則輸出的結(jié)果為（

）.A．7

B．5

C．6

D．4

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知偶函數(shù)：滿足，，對任意的，都有

，（注：表示中較大的數(shù)），則的可能值是

▲

.參考答案：112.若直角坐標系內(nèi)A，B兩點滿足：（1）點A，B都在f（x）的圖象上；（2）點A，B關(guān)于原點對稱，則稱點對（A，B）是函數(shù)f（x）的一個“姊妹點對”，點對（A，B）與（B，A）可看作一個“姊妹點對”，已知函數(shù)f（x）=，則f（x）的“姊妹點對”有

個．參考答案：2【考點】函數(shù)的值．【分析】設P（x，y）（x＜0），則點P關(guān)于原點的對稱點為P′（﹣x，﹣y），從而2ex+x2+2x=0，令φ（x）=2ex+x2+2x，利用導數(shù)性質(zhì)推導出函數(shù)φ（x）在區(qū)間（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分別各有一個零點．由此能求出f（x）的“姊妹點對”的個數(shù)．【解答】解：設P（x，y）（x＜0），則點P關(guān)于原點的對稱點為P′（﹣x，﹣y），于是=﹣（x2+2x），化為2ex+x2+2x=0，令φ（x）=2ex+x2+2x，下面證明方程φ（x）=0有兩解．由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考慮x∈[﹣2，0]即可．求導φ′（x）=2ex+2x+2，令g（x）=2ex+2x+2，則g′（x）=2ex+2＞0，∴φ′（x）在區(qū)間[﹣2，0]上單調(diào)遞增，而φ′（﹣2）=2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）=2e﹣1＞0，∴φ（x）在區(qū)間（﹣2，0）上只存在一個極值點x0．而φ（﹣2）=2e﹣2＞0，φ（﹣1）=2e﹣1﹣1＜0，φ（0）=2＞0，∴函數(shù)φ（x）在區(qū)間（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分別各有一個零點．也就是說f（x）的“姊妹點對”有2個．故答案為：2．【點評】本題考查函數(shù)的“姊妹點對”的個數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．13.焦點在x軸上，短軸長等于16，離心率等于的橢圓的標準方程為________．參考答案：【分析】由短軸長等于16可得，聯(lián)立離心率及即可求得，問題得解．【詳解】由題可得：，解得：又，解得：所以所求橢圓的標準方程為.【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查計算能力，屬于基礎題．14.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標系中，傾斜角為的直線與曲線，（為參數(shù)）交于、兩點，且，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，則直線的極坐標方程是________.參考答案：略15.設A為曲線M上任意一點，B為曲線N上任意一點，若的最小值存在且為，則稱為曲線M，N之間的距離.（1）若曲線M:為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線N：，則曲線M，N之間的距離為

；（2）若曲線M：，曲線N：，則曲線M，N之間的距離為

．參考答案：，【知識點】單元綜合B14：（1）設與直線N：y=x平行且與曲線M：y=ex相切的直線方程為y=x+t，切點P（x0，y0）．

∵y′=ex，∴ex0=1，∴x0=0．∴y0=1．∴切點P（0，1），∴1=0+t，解得t=1．∴切線方程為y=x+1．

∴曲線M，N之間的距離=．

（2）由曲線M：y2+1=x，曲線N：x2+1+y=0，可知兩曲線關(guān)于直線：y=-x對稱．

設與直線：y=-x平行，且與曲線N：x2+1+y=0相切于點p（x，y），由曲線N：x2+1+y=0，y′=-2x，

令-2x=-1，解得x=，y=-．切點P(，-)到直線y=-x的距離=．

∴曲線M，N之間的距離為．【思路點撥】（1）設與直線N：y=x平行且與曲線M：y=ex相切的直線方程為y=x+t，切點P（x0，y0）．利用導數(shù)的幾何意義可得切點P（0，1），

代入y=x+t，解得t=1．可得切線方程為y=x+1．即可得出曲線M，N之間的距離．

（2）由曲線M：y2+1=x，曲線N：x2+1+y=0，可知兩曲線關(guān)于直線：y=-x對稱．設與直線：y=-x平行，且與曲線N：x2+1+y=0相切于點p（x，y），利用導數(shù)的幾何意義可得切點，利用平行線之間的距離公式即可得出．16.若某空間幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體的體積是

.參考答案：17.雙曲線的一條漸近線為，雙曲線的離心率為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點O為原點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（2）設直線l與x軸的交點為P，過點P作傾斜角為的直線m與曲線C交于A，B兩點，求的最大值.參考答案：（1），；（2）2【分析】（1）由得曲線C的普通方程為：y2＝1，由ρsin（θ）得ρ（sinθcosθ），得直線l的直角坐標方程為：x+y﹣1＝0；（2）先求出直線l的參數(shù)方程的標準形式，并利用參數(shù)t的幾何意義可得．【詳解】（1）因為直線的極坐標方程為，所以因為曲線參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線（2）由得，設直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入曲線得，易知因，，所以故得到：以當時，的最大值為.【點睛】本題主要考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查了直線參數(shù)中t的幾何意義，一般t的絕對值表示方程中的定點到動點的距離，故，，均可用t來表示，從而轉(zhuǎn)化為韋達定理來解決.19.已知.（1）若恒成立，求的最大值；（2）若為常數(shù)，且，記，求的最小值.參考答案：略20.已知數(shù)列滿足．證明：（Ⅰ）（為自然對數(shù)底數(shù)）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．參考答案：證明：(Ⅰ)設因為當時，，即在單調(diào)遞減因為

所以

即

…………5分(Ⅱ)即證

即證

設

因為當時，，即在上單調(diào)遞增所以即

時，有所以

所以……10分(Ⅲ)因為

設

因為

所以

………………15分21.如圖，在三棱錐P-ABC中，為AC的中點.（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且，求點C到平面POM的距離.參考答案：解：（1）因為為的中點，所以，且．連結(jié)，因為，所以為等腰直角三角形，且，由知，，由，知平面；（2）作，垂足為，又由（1）可得，所以平面，故的長為點到平面的距離．由題設可知，所以．所以點到平面的距離為．

22.四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC=．（1）設平面SCD與平面SAB的交線為l，求證：l∥AB；（2）求證：SA⊥BC；（3）求直線SD與面SAB所成角的正弦值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【分析】（1）由AB∥CD得AB∥平面PCD，由線面平行的性質(zhì)得出AB∥l；（2）取BC中點O，連接OS，OA，利用余弦定理計算OA得出OA⊥BC，又OS⊥BC得出BC⊥平面SOA，故而BC⊥SA；（3）以O為原點建立坐標系，求出和平面SAB的法向量，則直線SD與面SAB所成角的正弦值為|cos＜＞|．【解答】證明：（1）∵底面ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∵AB?平面SCD，CD?平面SCD，∴AB∥平面SCD，又AB?平面SAB，平面SCD∩平面SAB=l，∴l(xiāng)∥AB．（2）取BC中點O，連接OS，OA．∵OB=BC=，AB=2，∠ABC=45°，∴OA==．∴OA2+OB2=AB2，∴OA⊥BC．∵SB=SC，O是BC的中點，∴OS⊥BC，又SO?平面SOA，OA?平面SOA，SO∩OA=