2022年遼寧省鞍山市實驗中學高三數(shù)學理月考試題含解析

2022年遼寧省鞍山市實驗中學高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）對定義域R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且當x≠2時其導函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4則(

)A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a） B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）參考答案：C【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；導數(shù)的運算．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=2對稱，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）與（2，+∞）上的單調(diào)性，從而可得答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）對定義域R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）關(guān)于直線x=2對稱；又當x≠2時其導函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x﹣2）＞0，∴當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞增；同理可得，當x＜2時，f（x）在（﹣∞，2）單調(diào)遞減；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故選C．【點評】本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查導數(shù)的性質(zhì)，判斷f（x）在（﹣∞，2）與（2，+∞）上的單調(diào)性是關(guān)鍵，屬于中檔題．2.設(shè)，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C3.設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線及直線對稱，且時，，則（）A．

B．

C．D．參考答案：B略4.已知向量，，則A.

B.

C.

D.參考答案：C5.某幾何體的三視圖如圖所示，其中三角形的三邊長與圓的直徑均為2，則該幾何體的體積為

（

）A． B．C．

D．參考答案：A6.解不等式:

參考答案：略7.設(shè)集合M={x|﹣2＜x＜3}，P={x|x≤﹣1}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡易邏輯．分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合集合的基本運算進行判斷即可．解答：解：∵M={x|﹣2＜x＜3}，P={x|x≤﹣1}，∴M∪P={x|x＜3}，M∩P={x|﹣2＜x≤﹣1}，則M∩P?M∪P，即“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分條件，故選：A點評：本題主要考查充分條件和必要條件判斷，根據(jù)集合的交集和并集進行運算是解決本題的關(guān)鍵．8.已知函數(shù)，是奇函數(shù)，則

（

）A．在上單調(diào)遞減

B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增

D．在上單調(diào)遞增參考答案：B9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10=12，則a5+a6=（）A． B．12 C．6 D．參考答案：A【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】利用等差數(shù)列{an}的前n項和公式及其性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前10項和為S10=12，∴=12，則a5+a6=．故選：A．【點評】本題考查了等差數(shù)列{an}的前n項和公式及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10.已知函數(shù)f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，則f（x）是（）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為π的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：D【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】用二倍角公式把二倍角變?yōu)橐槐督牵缓笸讛?shù)冪相乘公式逆用，變?yōu)槎督钦业钠椒剑俅文嬗枚督枪?，得到能求周期和判斷奇偶性的表示式，得到結(jié)論．【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故選D．【點評】通過應(yīng)用公式進行恒等變形，在不斷提高學生恒等變形能力的同時，讓學生初步認識形式和內(nèi)容的辯證關(guān)系．掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式，并運用這些公式以及三角函數(shù)的積化和差與和差化積等公式化簡三角函數(shù)式、求某些角的三角函數(shù)值，證明三角恒等式等．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)雙曲線的漸近線為，則其離心率為

.參考答案：12.已知復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z=2i，其中i為虛數(shù)單位，則z的模為．參考答案：

【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù)z，再由復(fù)數(shù)求模公式計算得答案．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得=，則z的模為：．故答案為：．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．13.等比數(shù)列中，，函數(shù)……，則函數(shù)f（x）在點處的切線方程為

；參考答案：略14.若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則實數(shù)的值為

．參考答案：615.將參數(shù)方程（為參數(shù)）化為普通方程是

.參考答案：略16.如圖，邊長為1的菱形OABC中，AC交OB于點D，∠AOC=60°，M，N分別為對角線AC，OB上的點，滿足，則?=．參考答案：考點：向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：先利用邊長為1的菱形OABC中，∠AOC=60°，可得|AC|=1，|OB|=，AC⊥OB，再利用向量的加法與數(shù)量積運算，即可得到結(jié)論．解答：解：∵邊長為1的菱形OABC中，∠AOC=60°，∴|AC|=1，|OB|=，AC⊥OB∴=+==+=﹣+∴?===故答案為：點評：本題考查向量的加法與數(shù)量積運算，考查學生的計算能力，正確表示向量是關(guān)鍵，屬于中檔題．17.設(shè)實數(shù)滿足不等式組，則的最大值是參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，其中a，b，c∈R．（Ⅰ）若a=b=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若a=0，且當x≥1時，f（x）≥1總成立，求實數(shù)b的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】計算題；函數(shù)思想；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；導數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）通過a=b=1，函數(shù)f（x）的導函數(shù)，利用導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當x≥1時，f（x）≥1總成立，轉(zhuǎn)化為bx+1＞0在x≥1恒成立，推出b≥0，即證明在x≥1時恒成立，設(shè)，求出導函數(shù)，函數(shù)的最值即可推出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ），f'（x）＞0?x＜0或x＞1；f'（x）＜0?0＜x＜1函數(shù)f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）單調(diào)遞增，在（0，1）單調(diào)遞減．（Ⅱ）當x≥1時，f（x）≥1總成立，即當x≥1時恒成立，因為ex＞0，所以bx+1＞0在x≥1恒成立，所以b≥0所以只需x≥1時ex≥bx+1恒成立，需在x≥1時恒成立，設(shè)，則，x≥1時，，所以在[1，+∞）單調(diào)遞增，x≥1時，g（x）≥g（1）=e﹣1，所以b≤e﹣1，綜上0≤b≤e﹣1．【點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及構(gòu)造法的應(yīng)用，開心分析問題解決問題的能力．19.設(shè)|θ|＜，n為正整數(shù)，數(shù)列{an}的通項公式an=sintannθ，其前n項和為Sn（1）求證：當n為偶函數(shù)時，an=0；當n為奇函數(shù)時，an=tannθ；（2）求證：對任何正整數(shù)n，S2n=sin2θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【分析】（1）利用sin=，即可得出．（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1）tannθ．利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】證明：（1）an=sintannθ，當n=2k（k∈N*）為偶數(shù)時，an=sinkπ?tannθ=0；當n=2k﹣1為奇函數(shù)時，an=?tannθ=（﹣1）k﹣1tannθ=（﹣1）tannθ．（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1）tannθ．∴奇數(shù)項成等比數(shù)列，首項為tanθ，公比為﹣tan2θ．∴S2n==sin2θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．20.如圖所示，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于E點，F(xiàn)，G分別為AD，BC的中點，AB=2，∠DAB=60°，沿對角線BD將△ABD折起，使得AC=．（1）求證：平面ABD⊥平面BCD；（2）求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．參考答案：考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；平面與平面垂直的判定．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（1）證明AE⊥平面BCD，即可證明平面ABD⊥平面BCD；（2）建立以E為原點，EC為x軸，ED為y軸，EA為z軸的空間直角坐標系E﹣xyz，求出平面CDG的法向量、平面FDG的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．解答： （1）證明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD為等邊三角形，∵E是BD的中點，∴AE⊥BD，AE=CE=，∵AC=，∴AE2+CE2=AC2，∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，又∵AE?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；（2）解：由（1）可知建立以E為原點，EC為x軸，ED為y軸，EA為z軸的空間直角坐標系E﹣xyz，則D（0，1，0），C（，0，0），F(xiàn)（0，，）G（﹣，1，），平面CDG的一個法向量=（0，0，1），設(shè)平面FDG的法向量=（x，y，z），=（0，﹣，），=（﹣，1，）∴，即，令z=1，得x=3，y=，故平面FDG的一個法向量=（3，，1），∴cos==，∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值為﹣．點評：本題考查平面垂直，考查平面與平面所成的角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)。（Ⅰ）討論的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，試證對區(qū)間上的任意，總有成立。參考答案：略22.已知在等比數(shù)列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中項．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足bn=2n﹣1+an（n∈N*），求{bn}的前n項和Sn．參考答案：（I）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中項，a1=1，∴2a2=a1+（a3﹣1）=a3，..................................2∴=2，..