2022年浙江省溫州市南白象中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022年浙江省溫州市南白象中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A

B

C

D參考答案：C略2.若，則“”是“”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：A3.在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，若AB=，AC=3，則?=（） A．1 B． 2 C． 3 D． 4參考答案：B4.已知，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A. B.C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性性，得到，再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到，即可得到答案.【詳解】由題意，冪函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的單調(diào)性，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2）（）A． B．C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個解x1，x2?函數(shù)g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個零點(diǎn)?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得出．【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個解x1，x2?函數(shù)g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個零點(diǎn)?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．．①當(dāng)a≤0時，g′（x）＞0，f′（x）單調(diào)遞增，因此g（x）=f′（x）至多有一個零點(diǎn)，不符合題意，應(yīng)舍去．②當(dāng)a＞0時，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．∴x=是函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，則＞0，即＞0，∴l(xiāng)n（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故當(dāng)0＜a＜時，g（x）=0有兩個根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，從而可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，x1）上遞減，在區(qū)間（x1，x2）上遞增，在區(qū)間（x2，+∞）上遞減．∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣．故選：D．6.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是(

)A．

B．

C．

D． 參考答案：B略7.如圖，、是雙曲線，的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左、右兩個分支分別交于點(diǎn)、，若為等邊三角形，則該雙曲線的漸近線的斜率為(

)（A）

（B） （C）

（D）參考答案：D8.設(shè)，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z＝x-y，再利用z的幾何意義求最值，從而得到z的取值范圍．【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖所示，

當(dāng)直線過點(diǎn)時，取得最大值3，故.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解，屬中檔題．9.單位向量與的夾角為，則=(

) A． B．1 C． D．2參考答案：B考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個向量的夾角；向量的模．專題：計算題．分析：本題考查的知識點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，由||=||=1，與的夾角為60°，故，，，又由=，代入即可得到答案．解答： 解：∵向量與為單位向量，且向量與的夾角為，∴，，∴===1﹣1+1=1∴=1故選B點(diǎn)評：向量的數(shù)量積運(yùn)算中，要熟練掌握如下性質(zhì)：==，10.已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，，則在（﹣2，0）上，下列函數(shù)中與f（x）的單調(diào)性相同的是（）A．y=﹣x2+1 B．y=|x+1|C．y=e|x| D．參考答案：C【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合；函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性，然后進(jìn)行判斷比較即可．【解答】解：∵f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，，∴當(dāng)x＞0時函數(shù)f（x）為增函數(shù)，則在（﹣2，0）上f（x）為減函數(shù)，A．在（﹣2，0）上y=﹣x2+1為增函數(shù)，不滿足條件．B．y=|x+1|在（﹣∞，﹣1）上是減函數(shù)，在（﹣2，0）上不單調(diào)，不滿足條件．C．f（x）在（﹣2，0）上是單調(diào)遞減函數(shù)，滿足條件．D．當(dāng)x＜0時，f（x）=x3+1是增函數(shù)，不滿足條件．故選：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.以下命題：①若，則∥；②=（－1，1）在==（3，4）方向上的投影為；③若△ABC中，a=5,b=8,c=7，則·=20；④若非零向量、滿足，則．其中所有真命題的標(biāo)號是

。參考答案：①②④12.若對任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．參考答案：[﹣1，4]考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：由絕對值的集合意義求得|x+3|+|x﹣1|的最小值，把不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立轉(zhuǎn)化為a2﹣3a≤4，求解該不等式得答案．解答：解：由絕對值的幾何意義知，|x+3|+|x﹣1|表示數(shù)軸上的動點(diǎn)x與兩定點(diǎn)﹣3，1的距離，則|x+3|+|x﹣1|的最小值為4，要使不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，則a2﹣3a≤4，即a2﹣3a﹣4≤0，解得：﹣1≤a≤4．∴滿足對任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為[﹣1，4]．故答案為：[﹣1，4]．點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了絕對值的幾何意義，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．13.已知，直線交圓于兩點(diǎn)，則

．參考答案：，14.有最大值和最小值，且，則3a-2b=__________參考答案：9令（證明為奇函數(shù)

2a=6

a=3(有最大值和最小值)要有最大值和最小值，則b=03a-2b=9思路點(diǎn)撥：此題注意分析復(fù)雜函數(shù)中的奇偶函數(shù)，注意奇函數(shù)中的最大值與最小值之和為零15.已知函數(shù)的定義域是，則的值域是

參考答案：略16.設(shè)函數(shù)f(x)=的最大值為M，最小值為m，則M+m=_____.參考答案：4略17.函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的范圍為

▲

．參考答案：【答案解析】解析：解：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以.【思路點(diǎn)撥】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們直接確定a的取值范圍.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知關(guān)于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤a．（Ⅰ）當(dāng)a=3時，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=3時，把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）若不等式有解，則a大于或等于f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|的最小值，利用單調(diào)性求的f（x）的最小值，從而求得a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時，關(guān)于x的不等式即|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤3，故有①，或②，或③．解①求得﹣3≤x＜，解②求得≤x≤1，解③求得1＜x≤3．綜上可得，不等式的解集為[﹣3，3]．（Ⅱ）若不等式有解，則a大于或等于f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|的最小值．由f（x）=，可得函數(shù)f（x）的最小值為f（）=﹣，故a≥﹣．【點(diǎn)評】本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的能成立問題，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．19.如圖四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，，，，是的中點(diǎn).（I）求證：平面；（II）試在線段上確定一點(diǎn)，使∥平面，并求三棱錐-的體積.參考答案：略20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn+3=3an（n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=（n+1）logan，記Tn=++…+，求證：2Tn＜1．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（I）通過令n=1可得首項(xiàng)a1=3，當(dāng)n≥2時，利用2Sn+3=3an與2Sn﹣1+3=3an﹣1的差可得公比，進(jìn)而可得結(jié)論；（II）通過bn=2n（n+1），分離分母可得=（﹣），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．解答： （I）解：當(dāng)n=1時，2S1+3=2a1+3=3a1，得a1=3，當(dāng)n≥2時，2Sn+3=3an

…①2Sn﹣1+3=3an﹣1

…②①﹣②，得：2an=3an﹣3an﹣1，即an=3an﹣1，∴數(shù)列{an}為公比為3，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，∴an=3?3n﹣1=3n（n∈N*）；（II）證明：∵bn=（n+1）log3n=2n（n+1），∴==（﹣），∴Tn=++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜，∴2Tn＜1．點(diǎn)評：本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的取值范圍，注意解題方法的積累，屬于中檔題．21.已知函數(shù)，，、.（1）若，且函數(shù)g(x)的圖象是函數(shù)f(x)圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若對任意實(shí)數(shù)a，函數(shù)在(0,+∞)上總有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案：（1）1；（2）；（3）．【分析】（1）由得出，由此得出，設(shè)切點(diǎn)為，由題意得出，可求出的值；（2）由參變量分離法得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析得出，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）根據(jù)題意，對函數(shù)求導(dǎo)可得，對實(shí)數(shù)分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由，得，，設(shè)函數(shù)與函數(shù)相切于點(diǎn)，則，由題意可得，解得，因此，；（2）由題意得，恒成立．令，，則，再令，則，令，解得.故當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，從而，函數(shù)在上有最小值，即有在上恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）由題意可得，其導(dǎo)數(shù).①當(dāng)時，對任意的恒成立，則函數(shù)在上為增函數(shù)，若函數(shù)在上總有零點(diǎn)，則有，解得；②當(dāng)時，令，解得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.則函數(shù)在處取得最小值，即.（i）當(dāng)時，即當(dāng)時，對任意的，，則函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，若函數(shù)在區(qū)間上恒有零點(diǎn)，則，解得；（ii）當(dāng)時，即當(dāng)時，若，則；若，則.則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，可得.構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時也考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題時注意導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.22.已知在邊長為4的等邊△ABC（如圖1所示）中，MN∥BC，E為BC的中點(diǎn)，連接AE交MN于點(diǎn)F，現(xiàn)將△AMN沿MN折起，使得平面AMN⊥平面MNCB（如圖2所示）．（1）求證：平面ABC⊥平面AEF；（2）若SBCNM=3S△AMN，求直線AB與平面ANC所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出AE⊥BC，AF⊥MN，MN⊥EF，從而MN⊥平面AEF，進(jìn)而BC⊥平面AEF，由此能證明平面ABC⊥平面AEF．（2）由S四邊形BCNM=3S△AMN，得，以F為原點(diǎn)，F(xiàn)E，F(xiàn)N，F(xiàn)A分別為x，y，z軸，建立空間直角系，利用向量法能求出直線AB與平面ANC所成角的正弦值．【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∵M(jìn)N∥BC，∴AF⊥MN，MN⊥EF，又AF∩FE=F，∴M