2022年浙江省溫州市第二十五中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

2022年浙江省溫州市第二十五中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某正三棱柱的三視圖如圖所示，其中正（主）視圖是邊長為

的正方形，該正三棱柱的表面積是A． B． C． D．參考答案：C2.已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出結(jié)論：x+≥n+1（n∈N*），則a=（）A．2n B．3n C．n2 D．nn參考答案：D【考點】歸納推理．【分析】根據(jù)題意，分析給出的等式，類比對x+變形，先將其變形為x+=++…++，再結(jié)合不等式的性質(zhì)，可得××…××為定值，解可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分析所給等式的變形過程可得，先對左式變形，再利用基本不等式化簡．消去根號，得到右式；對于給出的等式，x+≥n+1，要先將左式x+變形為x+=++…++，在++…++中，前n個分式分母都是n，要用基本不等式，必有××…××為定值，可得a=nn，故選D．3.已知函數(shù)f（x）=x3ax2+bx+c在x1處取得極大值，在x2處取得極小值，滿足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），則的取值范圍是(

)A．（0，2） B．（1，3） C．[0，3] D．[1，3]參考答案：B【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件．【專題】綜合題；導數(shù)的綜合應用．【分析】據(jù)極大值點左邊導數(shù)為正右邊導數(shù)為負，極小值點左邊導數(shù)為負右邊導數(shù)為正得a，b的約束條件，據(jù)線性規(guī)劃求出最值．解：∵f（x）=x3ax2+bx+c，∴f′（x）=x2+ax+b∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，0）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極小值，∴f′（x）=x2+ax+b=0在（﹣1，0）和（0，1）內(nèi)各有一個根，f′（0）＜0，f′（﹣1）＞0，f′（1）＞0即，在aOb坐標系中畫出其表示的區(qū)域，如圖，=1+2×，令m=，其幾何意義為區(qū)域中任意一點與點（﹣2，﹣1）連線的斜率，分析可得0＜＜1，則1＜＜3∴的取值范圍是（1，3）．故選B．【點評】本題考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及會進行簡單的線性規(guī)劃的能力，解題時要認真審題，仔細解答．4.已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為A．

B．1

C．

D．參考答案：C5.已知函數(shù)，如果，則實數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.若函數(shù)與在區(qū)間[1，2]上都是減函數(shù)，則的取值范圍是（）

A．（－1，0）

B．（0，1]

C．（0，1）

D．（－1，0）∪（0，1]參考答案：B由在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，則；

由在區(qū)間[1，2]上都是減函數(shù)，則，得。

因此函數(shù)與在區(qū)間[1，2]上都是減函數(shù)，則，故選擇B。7.已知集合且={直線}，={平面}，，若，有四個命題①②③④其中所有正確命題的序號是（）A．①②③

B．②③④

C．②④

D．④參考答案：D8.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．5 C． D．6參考答案：A【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知幾何體是由直三棱柱和四棱錐組合而成，由三視圖求出幾何元素的長度，由分割法、換底法，以及柱體、錐體的體積公式求出幾何體的體積，【解答】解：由三視圖可知幾何體是由直三棱柱ABD﹣AFG和四棱錐C﹣BDGF組合而成，直觀圖如圖所示：直三棱柱的底面是一個直角三角形，兩條直角邊分別是1、2，高是2，∴幾何體的體積V=V三棱柱ABD﹣EFG+V四棱錐C﹣BDGF=V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱錐C﹣DFG+V三棱錐C﹣BDF=V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱錐F﹣CDG+V三棱錐F﹣BDC==2+=，故選：A．9.為了判定兩個分類變量X和Y是否有關系，應用K2獨立性檢驗法算得K2的觀測值為5，又已知P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，則下列說法正確的是（）A．有95%的把握認為“X和Y有關系”B．有95%的把握認為“X和Y沒有關系”C．有99%的把握認為“X和Y有關系”D．有99%的把握認為“X和Y沒有關系”參考答案：【考點】變量間的相關關系．【專題】對應思想；數(shù)學模型法；概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)所給的觀測值，與所給的臨界值表中的數(shù)據(jù)進行比較，即可得出正確的結(jié)論是什么．【解答】分析：解答：解：∵K2=5＞3.481，而在觀測值表中對應于3.841的是0.05，∴有1﹣0.05=95%的把握認為“X和Y有關系”．故選：A．【點評】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，是基礎題，這種題目出現(xiàn)的機會比較小，一旦出現(xiàn)，應是得分的題目．10.等差數(shù)列的前項和為，若，則的值是（

）A.

B.

C.

D.不能確定參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實數(shù)x，y滿足，則的最大值為_______.參考答案：【分析】作出約束條件對應的可行域，變動直線，確定直線過可行域上的某點時z最大，求出最優(yōu)解，確定z的最大值.【詳解】作約束條件對應的可行域，如圖三角形區(qū)域.平行移動直線，當直線過A點時z最大.,得，，所以的最大值為．【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，準確畫出約束條件對應的圖形及理解目標函數(shù)的幾何意義是關鍵，考查數(shù)形結(jié)合及運算能力，屬于基礎題.

12.若正實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

▲

_．參考答案：【知識點】基本不等式．E6

【答案解析】

解析：∵正實數(shù)x，y滿足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy﹣4，∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，即（4xy﹣4）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，變形可得2xy（2a2+1）≥4a2﹣2a+34恒成立，即xy≥恒成立，∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，∴4xy=x+2y+4≥4+2，即2﹣?﹣2≥0，解不等式可得≥，或≤﹣（舍負）可得xy≥2，要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立，化簡可得2a2+a﹣15≥0，即（a+3）（2a﹣5）≥0，解得a≤﹣3或a≥，故答案為：【思路點撥】原不等式恒成立可化為xy≥恒成立，由基本不等式結(jié)合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥恒成立，解關于a的不等式可得．13.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2=1，圓C2：（x﹣6）2+（y+6）2=9．若圓心在x軸上的圓C同時平分圓C1和圓C2的圓周，則圓C的方程是

．參考答案：x2+y2=81【考點】圓的標準方程．【分析】由題意，圓C與圓C1和圓C2的公共弦分別為圓C1和圓C2的直徑，求出圓心坐標，可得結(jié)論．【解答】解：由題意，圓C與圓C1和圓C2的公共弦分別為圓C1和圓C2的直徑，設C（x，0），則（x﹣4）2+（0﹣8）2+1=（x﹣6）2+（0+6）2+9，∴x=0，∴圓C的方程是x2+y2=81．故答案為x2+y2=81．14.已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是___________.參考答案：.當，當，故.15.若α∈（0，），且cos2α=sin（α+），則tanα=．參考答案：【考點】三角函數(shù)的化簡求值；二倍角的余弦．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，利用同角的三角函數(shù)關系，即可得出tanα的值．【解答】解：，且，∴cos2α﹣sin2α=sin（α+），∴（cosα+cosα）（cosα﹣sinα）=?（sinα+cosα），∴cosα﹣sinα=，兩邊平方，得sin2α﹣2sinαcosα+cos2α=，∴sinαcosα=，∴==，整理得3tan2α﹣10tanα+3=0，解得tanα=或tanα=3，cosα＞sinα，∴tanα＜1，∴tanα=．故答案為：．【點評】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換以及同角的三角函數(shù)關系，是基礎題．16.在直角坐標系中，有一定點，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點，則該拋物線的準線方程是

．參考答案：17.已知曲線C的參數(shù)方程為

(θ為參數(shù))，則曲線C上的點到直線3-4+4=0的距離的最大值為

參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是梯形，且，，.(1)求證：AE⊥平面PCD；(2)求三棱錐的體積；(3)在棱PD上是否存在點M，使得平面PAB？若存在，求得值；若不存在，說明理由.參考答案：（1）見證明；（2）（3）見解析【分析】(1)利用勾股定理，得，再由平面，得，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可得到；(2)利用，即可求解，得到答案.(3)在棱上取點，使得，過作交于，利用線面平行的判定定理，證得平面，即可得到結(jié)論.【詳解】(1)由題意，可知，則，所以，，面，所以，又因為，所以(2)因為，，為等腰直角三角形，所以，在中，，，，又，.(3)在棱上取點，使得，過作交于，則，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故在棱上存在點，當時，使得平面.【點睛】本題考查線面位置關系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關系的定義、判定、幾何特征是解答的關鍵，其中垂直、平行關系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．19.(12分)如圖，是⊙的直徑，垂直于⊙所在的平面，是圓周上不同于的一動點．(1)證明：是直角三角形；(2)若，且當二面角的正切值為時，

直線與平面所成角的正弦值．

參考答案：（2）如圖，過作,,,則即是要求的角。…..8分,二面角的平面角…..9分

，又…..10分在中，,…..11分在中，，即與平面所成角正弦值為。..…...12分(建直角坐標系或向量法亦給分)略20.近年來，空氣質(zhì)量成為人們越來越關注的話題，空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴重污染．環(huán)保部門記錄了2017年某月哈爾濱市10天的AQI的莖葉圖如下：（1）利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良（AQI≤100）的天數(shù)；（按這個月總共30天計算）（2）現(xiàn)工作人員從這10天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的日子里隨機抽取2天進行某項研究，求抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的概率；（3）將頻率視為概率，從本月中隨機抽取3天，記空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列和數(shù)學期望．參考答案：【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；BA：莖葉圖；CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，由此能估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)．（2）利用對立事件概率計算公式能求出抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的概率．（3）由（1）估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，），由此能求出ξ的概率分布列和數(shù)學期望．【解答】解：（1）從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，故該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為，從而估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為30×=18（2）現(xiàn)工作人員從這10天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的日子里隨機抽取2天進行某項研究，基本事件總數(shù)n==15，抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的對立事件是抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量都不是優(yōu)，∴抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的概率：p=1﹣=．（3）由（1）估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為，∴ξ的所有可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，），，P（ξ=1）=C31，，，故ξ的分布列為：ξ0123P∵，Eξ=3×=1.8．【點評】本題考查概率、頻率、二項分布、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．21.（本題滿分13分）一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號,某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):

轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標準型300450600按類型分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.(Ⅰ)求z的值；

(Ⅱ)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率；(Ⅲ)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測它們的得分如下:9.4,

8.6,9.2,

9.6,

8.7,

9.3,

9.0,

8.2.把這8輛轎車的得分看作一個總體,從中任取一個數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.參考答案：(Ⅰ).設該廠本月生產(chǎn)轎車為n輛,由題意得,,所以n=2000.

z=2000-100-300-150-450-600=400

．．．．．．3分(Ⅱ)設所抽樣本中有m輛舒