數(shù)學六年級專項訓練卷（原卷+解析+24套）

②敗給1號隊的五支球隊中沒有一支的得分達到12分，這樣1號隊的得分一定能夠進前3名。今有長度分別為1厘米、2厘米、3厘米、…、9厘米長的木棍各一根（規(guī)定不許折斷），從中選用若干根組成正方形，可有種不同方法?！敬鸢浮浚?【分析】：這些木棍的總長度為（1＋9）×9÷2＝45（厘米），選出若干根構成正方形，假設邊長為a。那么我們可得，a不超過11厘米。a＝11時，（9，2）、（8，3）、（7，4）、（6，5）a＝10時，（9，1）、（8，2）、（7，3）、（6，4）a＝9時，9、（8，1）、（7，2）、（6，3）、（5，4）中選出4個即可，有5種方法。a＝8時，8、（7，1）、（6，2）、（5，3）a＝7時，7、（6，1）、（5，2）、（4，3）a＝6時，不能構造出。則共9種方法。下圖是一張紙片上標注了相應線段的長度，請將它剪成三塊，然后拼成一個大正方形。【答案】：如上圖所示【分析】：圖形的面積為4×（4＋4＋2）÷2＋（4＋4＋2＋10）×8÷2＝100,100＝10×10，所以拼得的正方形邊長為10.實驗可構造出如上圖所示的正方形。將1、2、3、…、16等十六個數(shù)分成二組，每組8個數(shù)，使得每一組中任兩個數(shù)之和（共有28個和）都可以等于另一組中兩個數(shù)的和。請任寫出其中一組的數(shù)。【答案】：16，13，11，10，7，6，4，1【分析】：我們假設為A、B兩組。不妨設16屬于a組，那么15只能屬于b組，不然a組中15＋16＝31，b組不可能有兩個數(shù)和是31，類似的14也只能屬于b組。研究13，因為b組中15＋14＝29,13必須屬于a組，否則a組中湊不出29.再看12，如果12屬于a組，那么12＋16＝28，則b組中湊不出28來，因此12屬于b組。以此類推可得最終結果。在9×9的方格表的每個小方格中都有1只甲蟲。聽到哨聲后，每一只甲蟲都沿對角線方向遷移到一個相鄰方格中（如右圖所示）。這樣一來，有些方格中就可能有好幾只甲蟲，而另一些方格中則沒有甲蟲。求沒有甲蟲的空格的最小可能個數(shù)?！敬鸢浮浚?個【分析】：如右圖所示，將9列方格交替地涂上黑色與白色，使得每列方格同色，每相鄰兩列方格異色。于是在遷移過程中，白格中的甲蟲進入黑格，而黑格中的甲蟲進入白格。但表格上有36個白格和45個黑格，故知遷移之后至少有9個黑格中沒有甲蟲，即至少有9個空格。另外，若甲蟲的遷移按圖中所示的情形進行。顯然，表格中恰有9個空格，即畫有對號的9個方格。綜上可知，表格中最少有9個空格。如下圖所示，字母A、B、C、D、E、F、G、H所代表的頂點分別代表1,2,3,4,5,6,7,8這八個數(shù)字中的一個，將每條線段上都寫上該線段的兩個端點字母所代表的數(shù)字之和，設這12條線段上最多能出現(xiàn)m個不同的和數(shù)，最少能出現(xiàn)n個不同的和數(shù)，那么m＋n＝？【答案】：16【分析】：如下圖所示，每個頂點均和其他三個數(shù)相連，而與同一頂點相連的這三個數(shù)兩兩互不相連。12條線段的和數(shù)相加應為（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）×3＝108.如果12條線段能夠出現(xiàn)12個不同的和數(shù)，其中最小的和數(shù)為1＋2＝3，已知3＋4＋5＋6＋……＋14＝12,108－102＝6，即最小可以把9換為15，而3、4、5、6、7、8這六個和數(shù)必須有。3只能為1＋2，4只能為1＋3，5可以拆為2＋3或1＋4，但2、3同時與1相連，所以2、3不相連，那么只能拆成1＋4。6可以拆為2＋4或1＋5，但2和4同時與1相連，所以2、4不相連；1已經(jīng)和2、3、4三個數(shù)相連，不能再和5相連，6無法再分拆，所以無法出現(xiàn)12個不同的和數(shù)，即m≤11.已知1和三個不同數(shù)相連，那么它最大只能和8相連，即最大會出現(xiàn)9；而8最小只能和1、2、3三個數(shù)相連，最小會出現(xiàn)9，所以1和8周圍最少出現(xiàn)5個和數(shù)，即n≥5.以下為m＝11和n＝5的構造方法。綜上，m＋n＝16.請在10厘米×10厘米的正方形四個邊上的每一個點都涂上紅、藍、黑三種顏色的一種，使得任兩個距離恰為10厘米的點所涂上的顏色互不相同。（每個交界點或每條線段必須正確標明顏色才算全對）【答案】：見分析【分析】：如上圖所示，令這個正方形為ABDC。分別在AC、CD上取P、S使得△PCS是等腰直角三角形且其斜邊PS長度為10，再分別在AB、BD上取Q、R使得QBR是等腰直角三角形且其斜邊QR長度為10,。則可用以下涂法：將BQ、BR（包含R點但不包含Q點）涂藍色。將PC、CS（包含S點但不包含P點）涂黑色。將AP、AQ（包含P與Q點）與DS、DR（不包含S與R點）涂紅色。這是因為利用此涂法，可知：若兩點皆為藍色時，必在△QBR的BQ、BR邊上，但因在△QBR內(nèi)距離為10厘米的兩點恰為Q、R兩點，故兩點皆為藍色時其距離必小于10厘米。若兩點皆為黑色時，必在△PCS的PC、CS邊上，但因在△PCS內(nèi)距離為10厘米的兩點恰為P、S兩點，故兩點皆為黑色時其距離必小于10厘米。若兩點皆為紅色時，必在六邊形PSDRQA的AP、AQ、DS、DR邊上。若兩點是同時在AP、AQ上或DS、DR上，則其距離必小于10；若是一點在AP或AQ上且另一點在DS或DR上，則其距離必大于10厘米。故兩點皆為紅色時其距離必不為10厘米。22.沿某條直線將一塊1000邊形（不一定是凸的）的厚紙板切割一次，將它分成了若干個新多邊形，問其中最多有多少個三角形？【答案】：501個【分析】：將下圖所示的1000邊形沿虛線切開，可得501個三角形。注意，在切得的每個三角形中，有一邊是切口，另兩邊是從原多邊形的相鄰兩邊上切下來的。而且位于切口兩側(cè)的所有三角形，它們的邊除切口外，都來自原多邊形的不同的邊；位于切口兩側(cè)的兩個三角形。僅當它們同為最左或最右的三角形時，才可能各有1條邊是原多邊形的同一條邊切成的。因此，多邊形至多能被切出＋1個三角形。綜上可知，1000邊形最多可切出501個三角形。六年級思維訓練22圖論1、今有9盆菊花要在平地上擺成九行，其中每盆花都有三行通過，而且每行都通過三盆花，問應該怎樣擺法才行？請你給出一種設計方案．（畫圖時用點表示花，用直線表示行）2、下圖中小黑格表示網(wǎng)絡的結點，結點之間的連線表示它們有網(wǎng)線要聯(lián)，連續(xù)標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大的信息量．現(xiàn)在從結點A向結點B傳遞信息，那么單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量是．3、某花園的小徑如下圖所示．一個人能不能從圖中第1個點的位置出發(fā)，不重復地走過所有小徑？如果能，請標出所經(jīng)過各點的順序（如：1→2→3→…→1）．如果不能，請標出至少必須重復的小徑（如1→2，2→3，8→9或11→12等等）．4、如下圖所示，四個三邊長度分別為3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一個大正方形．從中去掉一些線段，使得改動后的圖形可以一筆畫出，那么去掉的線段長度之和最小是厘米．某城市的交通系統(tǒng)由若干個路口（下圖中線段的交點）和街道（下圖中的線段）組成，每條街道都連接著兩個路口．所有街道都是雙向通行的，且每條街道都有一個長度值（標在圖中相應的線段處）．一名郵遞員傳送報紙和信件．要從郵局出發(fā)經(jīng)過他所管轄的每一條街道最后返回郵局（每條街道可以經(jīng)過不止一次）．他合理安排路線．可以使得自己走過最短的總長度是。明明、冬冬、蘭蘭、靜靜、思思、毛毛六人參加晚會．見面時每兩人都要握一次手，當明明握了5次手，冬冬握了4次手．蘭蘭握了3次手，靜靜握了2次手，思思握了一次手，毛毛握了次手．六個人傳球，每兩人之間至多傳一次．那么這六個人最多共進行次傳球．8、有1007個花壇．其中任意兩個花壇所在位置的正中間都必須安裝一個噴水龍頭，那么通過合理安排花壇的位置．最少安裝多少個噴水龍頭就夠用了？（花壇大小忽略不計）9、若干臺電腦聯(lián)網(wǎng)，要求：①任意兩臺間最多由一條電纜連接；②任意三臺間最多由兩條電纜連接；③兩臺電腦間如果沒有電纜連接．則必須有另一臺電腦和它們都連接有電纜，若按此要求最少有79條電纜．問：(1)這些電腦的臺數(shù)是多少臺？這些電腦按要求聯(lián)網(wǎng)，最多可以連多少條電纜？10、平面上7個點，它們之間可以連接一些線段，使7個點中任意三點必存在兩點有線段相連．問最少要連幾條線段？證明爾的結論．有一個三十人的議會，其中每兩人要么是敵人，要么是朋友．已知每個人都恰好有6個敵人．現(xiàn)將這三十人中的任意三個人都組成一個委員會，如果某委員會中的三人兩兩都是朋友，或兩兩都是敵人，則將該委員會稱為“好委員會”求所有“好委員會”數(shù)量的最大值．

六年級思維訓練22圖論參考答案1、今有9盆菊花要在平地上擺成九行，其中每盆花都有三行通過，而且每行都通過三盆花，問應該怎樣擺法才行？請你給出一種設計方案．（畫圖時用點表示花，用直線表示行）解：【答案】（如下圖）2、下圖中小黑格表示網(wǎng)絡的結點，結點之間的連線表示它們有網(wǎng)線要聯(lián)，連續(xù)標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大的信息量．現(xiàn)在從結點A向結點B傳遞信息，那么單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量是．【答案】17【分析】方法一：經(jīng)觀察。到結點B的信息流必然經(jīng)過E或D．經(jīng)過E到B的信息流最大為7(BE所能承載的最大信息流)．從D到B的信息流最大為10(DB所能承載的最大值與DFB所能承載的最大值之和)．所以最大信息量為17．方法二：從A到B有三條路線．分別是：．A—C—D—B．A—C—D—F—B，A—C—E—B，每條路線上的最小數(shù)為此路線單位時間傳遞的最大信息量_所以最大信息量為4+7+6=l7．3、某花園的小徑如下圖所示．一個人能不能從圖中第1個點的位置出發(fā)，不重復地走過所有小徑？如果能，請標出所經(jīng)過各點的順序（如：1→2→3→…→1）．如果不能，請標出至少必須重復的小徑（如1→2，2→3，8→9或11→12等等）．【分析】必須重復的小徑有三段。一個人不可能從圖中的第1個點的位置出發(fā)．不重復地走過花園的所有小徑．至少必須重復的小徑有3→4,5→6，7→8三段．說明：這是“一筆畫”問題．我們知道，任何平面圖形都是由點和線組成的，圖形中的點分為兩類：凡是從這個點出發(fā)的線的數(shù)目是偶數(shù)的叫做偶點；凡是從這點出發(fā)的線的數(shù)目是奇數(shù)的叫做奇點．解決“一筆畫”問題有三條規(guī)律：(1)凡是僅由偶點組成的圖形-一定可以一筆畫；畫時也可以從任何一個偶點出發(fā)，最后又回到這個點．(2)凡是只有兩個奇點的圖形，也一定可以一筆畫；畫時只需從某個奇點出發(fā)，以另一個奇點為終點．(3)非以上兩種情況的圖形，均不能一筆畫．如果不能一筆畫的圖形有2n個奇點（n是大于1的自然數(shù)），我們采用添加n一1條連接對對奇點的線（或重復畫這力一1條）的做法，使得新圖形可以一筆畫．這就是解決本題的思路．另外，本題實質(zhì)上可以轉(zhuǎn)化為（如圖b）一筆畫的簡單情況：這里有2×4=8（個）奇點，即1、2、3、4.5、6、7、8，我們只需加3→4，5→6，7→8這三條弧線（如圖c），很容易驗證圖b可以一筆畫，如1→9→10→6→5→12→11→9→8→7→10→12→4→3→11→2．最后只需從第2點出發(fā)沿花園的邊界畫一個整圓，再回到2個點，就是原來問題的解答了．因此，重復的小徑至少有三段?。€應指出，本題的解答不是唯一的．事實上．重復2→3，4→5，6→7三段弧，也可以畫出圖c，如1→9→10→6→7→10→12→4→5→12→11→2→3→11→9→8.4、如下圖所示，四個三邊長度分別為3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一個大正方形．從中去掉一些線段，使得改動后的圖形可以一筆畫出，那么去掉的線段長度之和最小是厘米．【答案】7【分析】有八個奇點，需要去掉三條邊剩余兩個奇點．無論去掉兩條長度為3的和一條為1的，還是去掉一條長度為5的和兩條為1的，總相為7．某城市的交通系統(tǒng)由若干個路口（下圖中線段的交點）和街道（下圖中的線段）組成，每條街道都連接著兩個路口．所有街道都是雙向通行的，且每條街道都有一個長度值（標在圖中相應的線段處）．一名郵遞員傳送報紙和信件．要從郵局出發(fā)經(jīng)過他所管轄的每一條街道最后返回郵局（每條街道可以經(jīng)過不止一次）．他合理安排路線．可以使得自己走過最短的總長度是。解：【答案】46【分析】根據(jù)一筆畫的有關概念，道路圖中有6個奇點．郵遞員不可能不重復地走遍所有街道并返回郵局．但可以對道路圖作一些處理，相當于郵遞員通過走重復的道路，完成一筆畫，如下圖：總路程為3×10+2×8=46．明明、冬冬、蘭蘭、靜靜、思思、毛毛六人參加晚會．見面時每兩人都要握一次手，當明明握了5次手，冬冬握了4次手．蘭蘭握了3次手，靜靜握了2次手，思思握了一次手，毛毛握了次手．解：【答案】3【分析】先分析明明，他握了5次手，即他與所有人都握了手，這樣，排除與明明的握手后，冬冬與其他人握手3次，蘭蘭2次，靜靜1次，思思一次都沒有．然后分析思思，她跟明明之外的所有人都沒握手，所以冬冬與明明思思之外的其他人握手3次，蘭蘭2次，靜靜1次，再用同樣方式依次分析冬冬、靜靜、蘭蘭，即可得出毛毛握了3次手．7、六個人傳球，每兩人之間至多傳一次．那么這六個人最多共進行次傳球．【答案】3【分析】如右圖所示，我們記兩人之間傳一次球，就在兩人之間連一條線段，接下來是在完全圖一筆畫分析，完全圖有6個奇點，必須最少減去2條線段，才能一筆畫出，-2=13次．共8、有1007個花壇．其中任意兩個花壇所在位置的正中間都必須安裝一個噴水龍頭，那么通過合理安排花壇的位置．最少安裝多少個噴水龍頭就夠用了？（花壇大小忽略不計）【答案】2011【分析】選擇一條直線，它不和任何兩個花壇的連線垂直（因為直線有無窮多個方向，所以總能選出），把所有的花壇和噴水龍頭投影到這條直線上，則花壇仍然有1007個．且噴水龍頭數(shù)目不增加，設花壇從一頭起依次為P1．P2．…．P1007.則把所有的噴水龍頭按照下列方式進行分組：Pl和P2的中點；Pl和P3的中點；Pl和P4的中點.P2和P3的中點；Pl和P5的中點．P2和P4的中點：Pl和P6的中點．P2和P5的中點．P3和P4的中點：Pl和P1006的中點．P2和P1005的中點，…．P503和P504的中點：Pl和P1007的巾點．P2和P1006的中點．…．P503和P505的中點；P2和Pl007的中點．P3和Pl006的中點．…．P504和P505的中點；Pl006和P1007的中點．每一行的第一個噴水龍頭互不重合．共有2011行，所以至少共有2011個噴水龍頭，另一方面，如果等間隔排列，則顯然每一行的全部重合，所以所求最小值為2011.9、若干臺電腦聯(lián)網(wǎng)，要求：①任意兩臺間最多由一條電纜連接；②任意三臺間最多由兩條電纜連接；③兩臺電腦間如果沒有電纜連接．則必須有另一臺電腦和它們都連接有電纜，若按此要求最少有79條電纜．問：(1)這些電腦的臺數(shù)是多少臺？這些電腦按要求聯(lián)網(wǎng)，最多可以連多少條電纜？解：【答案】(l)80：(2)1600【分析】將機器當成點，連接的電纜當成線．我們就得到一個圖．如果從圖上一個點出發(fā)，可以沿著線跑到圖上任一個其他的點，這樣的圖就稱為連通的圖．條件③表明圖是連通圖我們看一看幾個點的連通圖至少有多少條線．可以假定圖沒有圈（如果有圈，就在圈上去掉一條紱）．從一點出發(fā)．沿線前進，已走過的點不再重復．那么走若干步后，必然走到一個點，不能再繼續(xù)前進，將這一點與連接這點的線去掉，考慮剩下的n-l個點的圖，它仍然是連通的，用同樣的辦法又可去掉一個點及一條線．這樣繼續(xù)下去．最后只剩下一個點．因此n個點的連通圖至少有n-l條線（如果有圈，線的條數(shù)就會增加）．并且從一點A向其他n-1個點各連一條線，這樣的圖恰好有n-1條線．因此，(1)的答案是，n=79+1=80．并且將一臺計算機與其他79臺各用一條線相連，就得到符合要求的聯(lián)網(wǎng)下面看看最多連多少條線，在這80個點（80臺計算機）中，設從A1引出的線最多，有k條，與A1相連的點是B1,B2，…，Bk，由于條件②．B1,、B2,、…、Bk。之間沒有線相連設與A1不相連的點是A2、A3、…、Am。．則m+k=80而A2、A3、…、Am。每一點至多引出k條線，圖中至多有mk條線．因為4×m×k=(m+k)2-（m-k)2（m+k）2所以，m×k≤1600即連線不超過1600條另外，設80個點分為兩組：A1,A2,…,A40；B1．B2，…,B40，第一組的每一點與第二組的每一點各用一條線相連，這樣的圖符合題目要求．共有40×40=1600條線，因此，最多可連1600條線．10、平面上7個點，它們之間可以連接一些線段，使7個點中任意三點必存在兩點有線段相連．問最少要連幾條線段？證明爾的結論．【答案】9【分析】下圖7點間連有9條線段且滿足題中要求，故知所求的最小值不大于9．下面證明在滿足要求的連線圖中，至少要9條線段．(1)如果存在一點A至多引出1條線段，則不與A相連的5點中，每兩點之間都有連線-共有10條線．(2)如果每點至少引出兩條線段且點A恰引出兩條線段AB、AC，則不與A相連的4點之間應有6條線段．點B至少要另外引出1條線，總共至少9條線．(3)若每點至少有3條線，則7點共引出至少21條線，這時每條線段恰被計數(shù)兩次，所以連線圖中至少有11條線．綜上可知，最少要連9條線段．有一個三十人的議會，其中每兩人要么是敵人，要么是朋友．已知每個人都恰好有6個敵人．現(xiàn)將這三十人中的任意三個人都組成一個委員會，如果某委員會中的三人兩兩都是朋友，或兩兩都是敵人，則將該委員會稱為“好委員會”求所有“好委員會”數(shù)量的最大值．【答案】1990【分析】將好委員會的全體記為X，所有其他的委員會所成的集合記為Y．集X和Y中的元素個數(shù)分別記為x和y，于是z+y==4060①對任一議員a，記有a參加的所有委員會所成的集合記為，在中，另兩人同時為a的朋友或者敵人的委員會總數(shù)為．對于30位議員來說．這種委員會共有268×30=8040個．顯然，在這個計數(shù)過程中．X中的每個委員會被計數(shù)3次．而y中的委員會則僅被計數(shù)1次，故有3x+y=8040②將①與②聯(lián)立得1990．六年級思維訓練23最值問題（一）1、20個黑球，10個白球裝在一個布袋里，至少拿出個才能保證有5個黑球，5個白球．2、司機開車按順序到五個車站接學生到學校（如下圖），每個站都有學生上車，第一站上了一批學生，以后每站上車的人數(shù)都是前一站上車人數(shù)的一半，車到學校時，車上最少有多少學生？用下面寫有數(shù)字的四張卡片排1995成四位數(shù)．問：其中最小的數(shù)與最大的數(shù)的和是多少？用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字組成三個三位數(shù)（每個數(shù)字只用一次），這3個三位數(shù)之和最大是。5、下圖是2008年3月的月歷，圖中用一個方框框住的四個日期的數(shù)碼之和是5+6+1+2+1+3=18，則在所有可能被框住的四個日期中，數(shù)碼之和最大是。在10個盒子中放乒乓球，每個盒子中的球的個數(shù)不能少于11，不能是13，也不能是5的倍數(shù)，且彼此不同，那么至少需要個乒乓球．7、臺球桌上有15個紅球（每球1分），另有六個高分球；黃色球（2分），棕色球（3分），綠色球（4分），藍色球（5分），粉色球（6分），黑色球（7分），臺球比賽規(guī)則：①先打紅球，打完所有紅球后，再將高分球依次由低分到高分打入袋中，稱為打完一局．②在打進兩個紅球之間可先后連續(xù)打進任意兩個高分球，然后再取出這兩個高分球放回原處，每打進一個球，選手得到該球的分值．問：小白兔打完一局最高能得多少分？8、用一條60米的長繩沿著一道墻圍出長方形的三個邊（如下圖所示，墻是長方形另一個[來邊）．請問這條繩子所能圍出的最大面積為多少？9、把14分成幾個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積，要使得到的乘積盡可能大，問這個乘積是幾？10、每個星期除了星期天以外，快樂小學每天都要指派8名學生擔任糾察隊．在這個星期的6天里，每天都恰好只有3名學生在這個星期里只擔任一次糾察隊．請問這個星期至多有多少名學生會被指派擔任糾察隊？11、如果100個人共有1000元人民幣，且其中任意10個人的錢都不超過190元，那么，一個人最多有元。12、有一組自然數(shù)（數(shù)可以重復），其中包含數(shù)2003，但不包含數(shù)0，這組自然數(shù)的平均數(shù)是572，如果杷2003去掉，那么剩下的數(shù)的平均數(shù)就變?yōu)?13。這組數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)最大可以是。A2003B3708C3709D371713、少年跳水大獎賽的裁判由若干人組成，每名裁判給分最高不超過10分．第一名選手跳水后得分情況是：全體裁判所給分數(shù)的平均分是9.68分；如果只去掉一個最高分，則其余裁判所給分數(shù)的平均分是9.62；如果只去掉一個最低分，則其余的分數(shù)的平均分是9.71分，那么所有裁判所給分數(shù)中最少可以是分，此時共有裁判名。設，，，，是任意五個奇數(shù)，且＜＜＜＜，++++=85，符合這些條件的五個奇數(shù)顯然有很多，如=1，=3，=7，=11，=63，或=5，=7=13，=21，=39，等等，在這些答案中，記得最大值和最小值分別為M和m，則（）M=67,m=23B.M=67,m=19C.M=69,m=21D.M=69,m=1715、100名少先運動員胸前的號碼分別是1，2，3，，99，100.選出其中的k名運動員，使得他們的號碼數(shù)之和是2008，那么k的最大值是。由，可以判定26最多可以表示為3個互不相等的正整數(shù)的平方和，360最多可以表示為個互不相等的正整數(shù)的平方和。有一路公共汽車，包括起點站和終點站共有15個車站，如果有一輛車，除終點站外，每一站上車的乘客中，恰好有一位乘客到以后每一站下車，為了使乘客都有座位，問這輛公共汽車至少要有多少個座位？對于平面上垂直的兩條直線a和b，稱（a，b）為一個“垂直對”，而a，b都是屬于這個“垂直對”的直線，那么當平面上有二十條直線時雖多有多少個“垂直對”？有300個棱長1厘米的小正方體，從中取出一些小正方體重新粘合成為一個內(nèi)部允許有空洞，但表面無空洞的大正方體，要求這個空心的正方體邊長要盡可能大，請問此時最多剩下幾個小正方體沒有用到？有一塊邊長24厘米的正方形厚紙，如果在它的四個角各減去一個小正方形，就可以做成一個無蓋的紙盒，現(xiàn)在要使做成的紙盒容積最大，剪去的小正方形的邊長應為幾厘米？一個口袋里裝有三種顏色的球，其中黃色球數(shù)至少是藍色球的，至多是紅色球的，若黃色球和藍色球的總數(shù)不少于2003個，則紅色球最少個。22、用l～9這九個數(shù)字組成三個三位數(shù)（每個數(shù)字都要用），每個數(shù)都是4的倍數(shù)．這三個三位數(shù)中最小的一個最大是。23、有一類自然數(shù)，從左邊第三位開始，每個數(shù)位上的數(shù)字都是它左邊兩個數(shù)位上的數(shù)字之和，如21347，那么這類自然數(shù)中，最大的奇數(shù)是。將1，2，3，4，5，6，7，8這8個數(shù)分成3組，分別計算各組數(shù)的和．已知這3個和互不相等，且最大的和是最小的和的2倍．問：最小的和是多少？25、將0到9這十個數(shù)字分成兩部分，每個部分有五個數(shù)字，然后各組成一個五位數(shù)，則兩個五位數(shù)的差（以大減?。┳钚∈恰Ｓ袃蓚€三位數(shù)，百位上的數(shù)字分別是5和4，十位上的兩個數(shù)字分別是6和7．個位上的數(shù)字分別是3和4．當這兩個三位數(shù)分別是和時，它們的乘積最大。用數(shù)碼1、2、3、4、5、6、7、8組成兩個四位數(shù)（不重復使用），P是這兩個四位數(shù)的乘積，請問P的最大值是什么？答案請用口口口口×口口口口的形式表示（不需將它乘開）．用2、3、4、5、6這五個數(shù)字組成一個三位數(shù)和一個兩位數(shù)，如果要使這個三位數(shù)與這個兩位數(shù)的乘積盡量大，那么所組成的三位數(shù)是。四個非零自然數(shù)的和為38，這四個自然數(shù)的乘積的最小值是，最大值是。30、用0、1、2，…、9配成五個二位數(shù)，每個數(shù)碼恰好使用一次，當這五個數(shù)的乘積為最大時，請問這五個二位數(shù)中最大的是多少？

六年級思維訓練23最值問題（一）參考答案1、20個黑球，10個白球裝在一個布袋里，至少拿出個才能保證有5個黑球，5個白球．【答案】25【分析】最不利原則，把20個黑球全拿出來后，再拿5個白球。2、司機開車按順序到五個車站接學生到學校（如下圖），每個站都有學生上車，第一站上了一批學生，以后每站上車的人數(shù)都是前一站上車人數(shù)的一半，車到學校時，車上最少有多少學生？【答案】31個【分析】第5站至少上1個學生，往前推每站分別上2，4，8，16個學生，所以最后最少有31個學生。用下面寫有數(shù)字的四張卡片排1995成四位數(shù)．問：其中最小的數(shù)與最大的數(shù)的和是多少？【答案】11517【分析】注意寫有“9”的卡片是可以倒過來作為“6”使用的，1566+9951=11517。用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字組成三個三位數(shù)（每個數(shù)字只用一次），這3個三位數(shù)之和最大是。【答案】2556【分析】（9+8+7）×100+（6+5+4）×10+（3+2+1）×1=2556。5、下圖是2008年3月的月歷，圖中用一個方框框住的四個日期的數(shù)碼之和是5+6+1+2+1+3=18，則在所有可能被框住的四個日期中，數(shù)碼之和最大是?！敬鸢浮?4【分析】觀察可知18、19、25、26那一組數(shù)碼之和最大，為：1+8+1+9+2+5+2+6=34。在10個盒子中放乒乓球，每個盒子中的球的個數(shù)不能少于11，不能是13，也不能是5的倍數(shù)，且彼此不同，那么至少需要個乒乓球．【答案】173【分析】考慮極端情況：11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173。7、臺球桌上有15個紅球（每球1分），另有六個高分球；黃色球（2分），棕色球（3分），綠色球（4分），藍色球（5分），粉色球（6分），黑色球（7分），臺球比賽規(guī)則：①先打紅球，打完所有紅球后，再將高分球依次由低分到高分打入袋中，稱為打完一局．②在打進兩個紅球之間可先后連續(xù)打進任意兩個高分球，然后再取出這兩個高分球放回原處，每打進一個球，選手得到該球的分值．問：小白兔打完一局最高能得多少分？【答案】224分【分析】小白兔一桿打完從未失誤，每次按規(guī)則都打最高分的球，共得14×(1+6+7)+(1+2+3+4+5+6+7)=224（分）．8、用一條60米的長繩沿著一道墻圍出長方形的三個邊（如下圖所示，墻是長方形另一個邊）．請問這條繩子所能圍出的最大面積為多少？【答案】450平方米【分析】方法一：把繩子對稱到墻的另外一邊，就相當于問一根長為120米的繩子，圍成一個長方形的最大面積是多少，當長方形為正方形時面積最大，所以最大值為（平方米）．方法二：兩數(shù)和一定時，差越小，積越大，直接設左右邊分別為米，則下邊長為米，面積為，其中與()和為60，所以當15時乘積最大為450平方米．9、把14分成幾個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積，要使得到的乘積盡可能大，問這個乘積是幾？【答案】162【分析】14=3+3+3+3+2，最大乘積是：3×3×3×3×2=162．10、每個星期除了星期天以外，快樂小學每天都要指派8名學生擔任糾察隊．在這個星期的6天里，每天都恰好只有3名學生在這個星期里只擔任一次糾察隊．請問這個星期至多有多少名學生會被指派擔任糾察隊？【答案】33【分析】只擔任一次糾察隊的有6×3=18（人），剩下(8-3)×=30（人次），每人至少被指派兩次．至多要30÷2=15（人），所以至多33人．11、如果100個人共有1000元人民幣，且其中任意10個人的錢都不超過190元，那么，一個人最多有元?！敬鸢浮?09【分析】錢最多的10個人錢不超過190元，要最有錢的人的錢盡量多，則其余9個人錢要盡量少，但其余9個人的錢至少要和除這10個人以外的90個人一樣多，則90個人有1000－190=810（元），一個人有9元，錢最多的人有1000－99×9=109（元）．12、有一組自然數(shù)（數(shù)可以重復），其中包含數(shù)2003，但不包含數(shù)0，這組自然數(shù)的平均數(shù)是572，如果杷2003去掉，那么剩下的數(shù)的平均數(shù)就變?yōu)?13。這組數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)最大可以是。A2003B3708C3709D3717【答案】C【分析】設除去2003以外還有個數(shù)，可列方程，解得=9。在剩下的9個數(shù)中，和一定，要求最大數(shù)最大，則其余8個數(shù)都為1，所以最大為413×9－8×1=3709．13、少年跳水大獎賽的裁判由若干人組成，每名裁判給分最高不超過10分．第一名選手跳水后得分情況是：全體裁判所給分數(shù)的平均分是9.68分；如果只去掉一個最高分，則其余裁判所給分數(shù)的平均分是9.62；如果只去掉一個最低分，則其余的分數(shù)的平均分是9.71分，那么所有裁判所給分數(shù)中最少可以是分，此時共有裁判名?！敬鸢浮?.53；6【分析】設最高分為分，最低分為y分，共有裁判z+1人，可列方程9.68(z+1)=9.62z+，9.68(z+1)=9.7lz+y，即0.06z=－9.68，0.03z=9.68-y消去z得+2y=29.04，所以當最大時y最小，因為=9.68+0.06z，根據(jù)≤10以及z為整數(shù)得最大為9.98。此時y最小為9.53，z+1=6．設，，，，是任意五個奇數(shù)，且＜＜＜＜，++++=85，符合這些條件的五個奇數(shù)顯然有很多，如=1，=3，=7，=11，=63，或=5，=7=13，=21，=39，等等，在這些答案中，記得最大值和最小值分別為M和m，則（）M=67,m=23B.M=67,m=19C.M=69,m=21D.M=69,m=17【答案】C【分析】當=1，=3，=5，=7時，最大，所以M=85-(1+3+5+7)=69。因為85÷5=17，所以最小時=13，=15，=17，=19，=2l，所以m=21.15、100名少先運動員胸前的號碼分別是1，2，3，，99，100.選出其中的k名運動員，使得他們的號碼數(shù)之和是2008，那么k的最大值是?！敬鸢浮?2【分析】顯然，選號碼越小的，可以使選出的人數(shù)越多．因此，考慮先選前n名運動員，他們的號碼是1～n的連續(xù)自然數(shù)，并且號碼數(shù)之和不超過2008．由于1+2+3+…+n=≤2008，得≤2008，≤4016因為60×60=3600，70×70=4900，故n是二位數(shù)，其十位數(shù)字是6．從小到大，逐一試算，得到62×63=3906<4016，63×64=4032>4016，即選出的運動員不可能多于62人．又因為=1953，2008-1953=55，可以選如下號碼的運動員：1，2，3，…，7，9，…，62，63，這些號碼數(shù)的和是1953-8+63=2008，所以，k的最大值是62。由，可以判定26最多可以表示為3個互不相等的正整數(shù)的平方和，360最多可以表示為個互不相等的正整數(shù)的平方和。【答案】9【分析】個數(shù)要多，則每個數(shù)要盡量小，看=385，比360多了25=，所以最多可以表示為10－1=9個互不相等的正整數(shù)的平方和．有一路公共汽車，包括起點站和終點站共有15個車站，如果有一輛車，除終點站外，每一站上車的乘客中，恰好有一位乘客到以后每一站下車，為了使乘客都有座位，問這輛公共汽車至少要有多少個座位？【答案】56【分析】如上表所示，第8站上了7人下了7人，在前7站上車人數(shù)大于下車人數(shù)，在后7站上車人數(shù)小于下車人數(shù)，所以第7、8站時人數(shù)最多，有14+12+10+8+6+4+2=56人對于平面上垂直的兩條直線a和b，稱（a，b）為一個“垂直對”，而a，b都是屬于這個“垂直對”的直線，那么當平面上有二十條直線時雖多有多少個“垂直對”？【答案】100【分析】要垂直對盡可能多，則直線分成了兩組線，同一組的線互相平行，不同組的線互相垂直，所以當兩組線都是10條時，垂直對最多有10×10=100個有300個棱長1厘米的小正方體，從中取出一些小正方體重新粘合成為一個內(nèi)部允許有空洞，但表面無空洞的大正方體，要求這個空心的正方體邊長要盡可能大，請問此時最多剩下幾個小正方體沒有用到？【答案】4個【分析】假設用一個小正方體拼出一個滿足題意且邊長為的大正方體，則會用去個小正方體，當=10時，會用去=488個；當=9，會用去=386個；當=8，會用去=218個，這個空心的正方體要盡可能大，故取=8，最多剩下4個小正方體沒有用到。（注：題目之所以問最多剩下幾個是因為剩下的小正方體可以塞入空洞中，否則答案從0到4個均可）有一塊邊長24厘米的正方形厚紙，如果在它的四個角各減去一個小正方形，就可以做成一個無蓋的紙盒，現(xiàn)在要使做成的紙盒容積最大，剪去的小正方形的邊長應為幾厘米？【答案】4【分析】設剪去的小正方形的邊長為厘米，則容積V=，和一定時，差越小，積越大，，當時最大，所以=4一個口袋里裝有三種顏色的球，其中黃色球數(shù)至少是藍色球的，至多是紅色球的，若黃色球和藍色球的總數(shù)不少于2003個，則紅色球最少個?！敬鸢浮?004【分析】設黃色球有個，藍色球有個，紅色球有個，那么可得：，因為是4的倍數(shù)，所以只少是2004，所以紅色球至少2004個。22、用l～9這九個數(shù)字組成三個三位數(shù)（每個數(shù)字都要用），每個數(shù)都是4的倍數(shù)．這三個三位數(shù)中最小的一個最大是。【答案】584【分析】因為每個數(shù)都是4的倍數(shù)，所以3個數(shù)的個位應從2，4，6，8中選取，4的倍數(shù)還有一個特點，如果個位是4或8，則十位必是偶數(shù)，則此可知2，4，6，8都不在百位，所以3個數(shù)中最小百位應為5，剩下的末兩位最大為84，所以答案是584。23、有一類自然數(shù)，從左邊第三位開始，每個數(shù)位上的數(shù)字都是它左邊兩個數(shù)位上的數(shù)字之和，如21347，那么這類自然數(shù)中，最大的奇數(shù)是。【答案】1011235【分析】令第一位數(shù)字為a，則第二位數(shù)字為b，所以從第三位開始，其數(shù)字應變?yōu)閍+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，5a+8b，8a+11b，所以這個數(shù)最大為8位數(shù)，為10112358。但由于現(xiàn)在是最大的奇數(shù)，只能為7位數(shù)，其中a=1，b=0，則這個7位數(shù)為1011235。將1，2，3，4，5，6，7，8這8個數(shù)分成3組，分別計算各組數(shù)的和．已知這3個和互不相等，且最大的和是最小的和的2倍．問：最小的和是多少？【答案】8【分析】1+2+3+4+5+6+7+8=36，設3個和分別為a，b，2a，其中a<b<2a，a+a+2a<36=a+b+2a<a+2a+2a，7.2<a<9所以a為8。25、將0到9這十個數(shù)字分成兩部分，每個部分有五個數(shù)字，然后各組成一個五位數(shù)，則兩個五位數(shù)的差（以大減?。┳钚∈?。【答案】247【分析】設這兩個五位數(shù)分別為和，為使差最小，則比只大1，所以－=，很明顯，當=0123，=9876時，差最小，為50123－49876=247有兩個三位數(shù)，百位上的數(shù)字分別是5和4，十位上的兩個數(shù)字分別是6和7．個位上的數(shù)字分別是3和4．當這兩個三位數(shù)分別是和時，它們的乘積最大?！敬鸢浮?63：474【分析】兩數(shù)和一定，差最小時乘積最大．用數(shù)碼1、2、3、4、5、6、7、8組成兩個四位數(shù)（不重復使用），P是這兩個四位數(shù)的乘積，請問P的最大值是什么？答案請用口口口口×口口口口的形式表示（不需將它乘開）．【答案】8531×7642【分析】第一個原則，數(shù)字大的在高位，所以千位為8、7，百位為6、5，十位為4、3，個位為2、1，第二個原則，和一定，差越小，積越大，所以為8531×7642。用2、3、4、5、6這五個數(shù)字組成一個三位數(shù)和一個兩位數(shù)，如果要使這個三位數(shù)與這個兩位數(shù)的乘積盡量大，那么所組成的三位數(shù)是。【答案】542【分析】對于位數(shù)不一致的兩個數(shù)相乘，可以在末尾補0，相當于用0，2，3，4，5，6這六個數(shù)字組成兩個三位數(shù)相乘，乘積最大的是630×542，所以三位數(shù)為542。四個非零自然數(shù)的和為38，這四個自然數(shù)的乘積的最小值是，最大值是?！敬鸢浮?5；8100【分析】1×1×1×35=35，9×9×10×10=8100。30、用0、1、2，…、9配成五個二位數(shù)，每個數(shù)碼恰好使用一次，當這五個數(shù)的乘積為最大時，請問這五個二位數(shù)中最大的是多少？【答案】90【分析】多個數(shù)相乘的最值問題，酋先滿足首位最大，所以五個十位分別為9、8、7、6、5.然后根據(jù)兩數(shù)和一定，差越小，積越大，對每兩數(shù)進行調(diào)整，可知十位最大的數(shù)個位最小，所以答案為90。這題還可以得出乘積最大為90×81×72×63×54=1785641760。六年級思維訓練24最值問題（二）1、將下列繁分式中的a、b、c及d用1、2、3及4四個數(shù)不重復的任意替換，請問此繁分數(shù)的最大值與最小值相差多少？試求算式的最大值，其中每個不同的字母代表不同的非零的數(shù)碼。3、黑板上寫著l至2008個自然數(shù)，小明每次擦去兩個奇偶性相同的數(shù)，再寫上它們的平均數(shù)，最后黑板上只剩下一個自然數(shù)，這個數(shù)可能的最大值和最小值的差是。如下圖所示，長方形ABCD中．AB=67，BC=30。E、F分別是AB、BC邊上的兩點．BE-+BF=49。那么，三角形DEF面積的最小值是。5、如下圖所示，一個長方形被分成8個小長方形，其中長方形A、B、C、D、E的周長分別是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米，那么大長方形的面積最大是平方厘米。6、用36個3×2×1的實心小長方體拼成一個6×6×6的大正方體．在各種拼法中，從大正方體外的某一點看過去最多能看到個小長方體．7、如下圖所示，有一個6×6的正方形，分成36個1×1的正方形．選出其中一些1×1的正方形并畫出它們的對角線，使得所畫出的任何兩條對角線都沒有公共點，那么最多可以畫條對角線。如下圖所示，在直角△ABC中，ABC=90°，AB//A'B'，BC∥B'C'，CA∥C'A'且三對平行線的距離都是1，若AC=10，AB=8．BC=6。求△A'B'C'中的點到△ABC三邊的距離和的最大值。9、把一塊8×8個方格的國際象棋棋盤劃分成若干個長方形，使所分成的長方形滿足下列條件：(1)每個長方形的邊都是棋盤的網(wǎng)格線；(2)每個長方形中，白格與黑格個數(shù)相等；(3)每個長方形中白格的個數(shù)互不相同．在所有可能的分法中，被分成的長方形個數(shù)的最大值是多少？對這個可能的最大值，列出由被分成的各塊長方形中白格個數(shù)所構成的數(shù)列的所有可能。歡歡、迎迎各有4張卡片，每張卡片上各寫有一個正整數(shù)．兩人各出一張卡片，計算兩張卡片上所寫數(shù)的和，結果發(fā)現(xiàn)一共能得到16個不同的和．那么，兩人卡片上所寫數(shù)中最大數(shù)最小值是。一個電子表用5個兩位數(shù)（包括首位為0的兩位數(shù)）表示時間，如15：23：45／06／18表示6月18曰15點23分45秒，有一些時刻這個電子表上十個數(shù)字都不同，在這些時刻中，表示時間的5個兩位數(shù)之和最大是。12、在下面的紙片上，用剪刀在兩個相鄰數(shù)字之間剪兩次，這樣就可以得到三個自然數(shù)．如果計算這三個自然數(shù)的乘積，那么乘積的最大值是。由1～9中選取三個相異的數(shù)字x，y，z組成一個三位數(shù)，請問的最小值為幾？14、對于數(shù)碼均不相同且均不為0的四位數(shù)，計算此數(shù)本身與其數(shù)碼的乘積之差，請問這樣的差數(shù)之最大值是多少？下列算式中，表示一個五位數(shù)，表示一個四位數(shù)，不同的字母代表1到9的數(shù)字．如果×>80000000．求滿足以上條件的與的和的最小值．16、一個8行n列的陣列隊伍，如果排列成若干個15行15列的方陣，還余下3人，1人舉旗．2人護旗，則n最小等于。17、紙板上寫著100、200、400三個自然數(shù)，再寫上兩個自然數(shù)，然后從這五個數(shù)中選出若干個（至少兩個）做只有加、減法的運算，在一個運算式子中，選出的數(shù)只能出現(xiàn)一次，經(jīng)過所有這樣的運算，可以得到k個不同的非零自然數(shù)．那么k最大是多少？“第一屆學而思杯總決賽”這十個漢字分別代表0～9這10個數(shù)字．如果，又知：學十而十思十杯=18。那么的最大值和最小值的差是多少？把同時滿足下列兩個條件的自然數(shù)稱為“幸運數(shù)”：(l)從左往右數(shù)，第三位起，每一位的數(shù)字是它前面離它最近的兩個數(shù)字的差（大數(shù)減去小數(shù)）；(2)無重復數(shù)字，例如：132、871、54132都是“幸運數(shù)”；但8918（數(shù)字“8”重復）、990（數(shù)字“9”重復）都不是“幸運數(shù)”．最大的“幸運數(shù)”是。20、有10個整數(shù)克的砝碼（允許砝碼重量相同），將其中一個或幾個放在天平的右邊，待稱的物品放在天平的左邊，能稱出1，2，3，…，200的所有整數(shù)克的物品來；那么，這10個砝碼中第二重的砝碼最少是克．若干個同學排成一列縱隊購買電影票，如果你觀察后發(fā)現(xiàn)：除了前面的5個同.學外，每個同學都要比從他往前數(shù)（不包括他）第5位的同學高；除了前面的3個同學外，每個同學都要比從他往前數(shù)（不包括他）第3位的同學矮．那么這支隊伍最多有個人．22、一些棋子被擺成了一個四層的空心方陣（下圖是一個四層空心方陣的示意圖）．后來小林又添人28個棋子，這些棋子恰好變成了一個五層的空心方陣（不能移動原來的棋子）．那么開始時最少有個棋子。一個村莊有2011個小矮人，他們每個人不是戴紅帽子，就是戴藍帽子，戴紅帽子時說真話；戴藍帽子時說假話．他們可以改變帽子的顏色，某一天，他們恰好每兩人都見了一次面．并且都讜對方戴藍帽子．這一天他們總共最少改變了次帽子的顏色。有2012個小矮人，他們不是好人，就是壞人，每天他們都要參加一次聚會．每次聚會的人數(shù)是3或5．每次參與聚會的小矮人中，若好人占多數(shù)，則參加聚會的人全變成好人：若壞人占多數(shù)，則參加聚會的人全變成壞人．如果第三天聚會完畢后，2012人全成了好人，那么第一滅聚會前好人的人數(shù)的最小值是。25、在8×8的方格網(wǎng)填入不同的自然數(shù)，使每個方格里都只有一個數(shù)，如果一個方格里的數(shù)，大于它所在的行中至少6個方格內(nèi)的數(shù)，并且大于它所在的列中至少6個方格內(nèi)的數(shù)．則稱這個方格為“好格”．那么，“好格”最多有個。撲克牌中的J，Q，K分別看成11，12，13點．從1到13點的13張撲克牌中至多挑出幾張牌，使得沒有2對牌，其中一對牌的點數(shù)之和等于另一對牌的點數(shù)之和？27、中國共產(chǎn)黨成立90周年來，領導中國人民取得了革命的偉大勝利，建立了新中國，并通過改革開放和社會主義現(xiàn)代化建設，使人民群眾的生活有了長足的進步，看著大街上的車流就能感受到我們這個時代的步伐．我國汽車消費的增多方便了人們的出行，改善了人們的生活質(zhì)量．但也為城市帶來了交通擁堵的負面效果．某城為了控制汽車流量，規(guī)定每輛汽車每個星期限行兩天．某個公司要求每天至少有10輛汽車可以行駛．如果能夠自行選擇停駛時間，那么這個公司至少應當擁有多少輛汽車？28、某學校足球冠軍賽中，要求每一隊都必須與其余的每隊恰進行一場比賽（即單循環(huán)賽），每場比賽的勝者得2分，平局各得1分，負者得0分，已知有一隊得分最多（沒有并列最多），但它贏的場次比其他任何一隊都少，那么至少有多少隊參賽？29、將1分、2分、5分和l角的硬幣投入19個盒子中，使每個盒子里都有硬幣，且任何兩個盒子里的硬幣的錢數(shù)都不相同．問：至少需要投入多少硬幣？這時．所有的盒子里的硬幣的總錢數(shù)至少是多少？

六年級思維訓練24最值問題（二）參考答案1、將下列繁分式中的a、b、c及d用1、2、3及4四個數(shù)不重復的任意替換，請問此繁分數(shù)的最大值與最小值相差多少？【答案】3【分析】要使算式最大，=4，=1，=3，=2，原式==，要使算式最小，=1，=4，=2，=3，原式==，差為。試求算式的最大值，其中每個不同的字母代表不同的非零的數(shù)碼?！敬鸢浮俊痉治觥恳顾闶阶畲螅环寥?9，=8，=7，要使，分母應該最小，取=1，=2，=3，之后對比一下，取=6，=5，=4，所以原式=9+8+7+=。3、黑板上寫著l至2008個自然數(shù)，小明每次擦去兩個奇偶性相同的數(shù)，再寫上它們的平均數(shù)，最后黑板上只剩下一個自然數(shù)，這個數(shù)可能的最大值和最小值的差是?！敬鸢浮?005【分析】先求剩下數(shù)的最大值，那么擦去的數(shù)應該盡量小，找到規(guī)律：首先擦去l，3，寫上2擦去2，2，寫上2擦去2，4，寫上3擦去3，5，寫上4擦去4，6，寫上5擦去2006，2008，寫上2007.所以剩下數(shù)的最大值為2007.同理可知剩下數(shù)的最小值為2．所以最大值和最小值的差是2005。如下圖所示，長方形ABCD中．AB=67，BC=30。E、F分別是AB、BC邊上的兩點．BE-+BF=49。那么，三角形DEF面積的最小值是?！敬鸢浮?175、如下圖所示，一個長方形被分成8個小長方形，其中長方形A、B、C、D、E的周長分別是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米，那么大長方形的面積最大是平方厘米?！敬鸢浮?12【分析】方法一：設B的寬是a，則A、C、D的寬分別為“a－1，a＋1，a＋2，B的長為28÷2一a=14－a，則E的長為14－a＋3=17－a，所以大正方形的面積為(a－l＋a＋a＋l＋a+2)(14－a＋17－a)=(4a＋2)(31－2a)=2(2a＋l)(31－2a)2a＋l和31－2a的和是32，兩數(shù)和相同，兩數(shù)越接近時，積越大2a＋1=31－2a，4a=30，a=7.5總面積為2×16×16=512。方法二：如下左圖小長方形，易知A、C的周長和等于B、D的周長和，所以可以把8個小長方形的周長都表示出來，如下右圖所示，并把整個長方形再復制一遍形成一個2倍于原面積的大長方形．大長方形的周長為26+34+30+38=128，那么大長方形的面積最大是邊長為32的正方形，那么原長方形的面積最大是32×32÷2=512.6、用36個3×2×1的實心小長方體拼成一個6×6×6的大正方體．在各種拼法中，從大正方體外的某一點看過去最多能看到個小長方體．【答案】31【分析】從大正方體外的某一點看過去最多能看到大正方體的3個面，不妨設看到是前、上、右3個面．注意到圖a中，左后下方頂點處的3×3×3正方體到前、上、右3個面的距離都至少是3，而3×2×1的邊長中最長也才有3，這說明與左后下方頂點處的3×3×3正方體有公共部分的3×2×1的實心小長方體一定不可能在大正方體的前、上、右3個面露出來，也就一定看不到．而3×3×3=27>3×2×1×4，說明與左后下方頂點處的3×3×3正方體有公共部分的3×2×1的實心小長方體至少有5個，所以至多看到36－5=31個．另外，下面給出的構造說明能看到31個（如圖b）．7、如下圖所示，有一個6×6的正方形，分成36個1×1的正方形．選出其中一些1×1的正方形并畫出它們的對角線，使得所畫出的任何兩條對角線都沒有公共點，那么最多可以畫條對角線?！敬鸢浮?1【分析】如下左圖，可以畫出21條對角線．如圖a，標記了21個格點，畫出的每條1×l正方形的對角線都要以這21個標記格點中的某一個為頂點．而據(jù)題意，所畫出的任何兩條對角線都沒有公共點，所以每個標記格點至多畫出一條對角線，從而至多畫出21條對角線（如圖b）．如下圖所示，在直角△ABC中，ABC=90°，AB//A'B'，BC∥B'C'，CA∥C'A'且三對平行線的距離都是1，若AC=10，AB=8．BC=6。求△A'B'C'中的點到△ABC三邊的距離和的最大值。【答案】7【分析】方法一：設△ABC中的任意一點P到△ABC三邊的距離為，，，則2倍△ABC的面積=48=×BC+×AB+×AC=BC×（＋＋）＋×（AB－BC）＋×（AC－BC），所以＋＋=只有當P點在A'的位置時，和都有最小值1，所以，當P點在△A'B'C'中時，＋＋，方法二：設△ABC內(nèi)的任一P到三邊距離分別是a，b，c，則△ABC的面積=8a÷2+l0b÷2+6c÷2=6×8÷2—24，4a+5b+3c=24，則3(a＋b＋c)+(a＋2b)=24，兩邊同時除以3，得到a+b+c+(a+2b)÷3=8，三條線之和a+b+c=8－(a+2b)÷3，當a+2b取最小值時，a+b+c有最大值．當P點在A'時，a=b=1，則a+b+c的最大值為8－(1+2×1)÷3=7。9、把一塊8×8個方格的國際象棋棋盤劃分成若干個長方形，使所分成的長方形滿足下列條件：(1)每個長方形的邊都是棋盤的網(wǎng)格線；(2)每個長方形中，白格與黑格個數(shù)相等；(3)每個長方形中白格的個數(shù)互不相同．在所有可能的分法中，被分成的長方形個數(shù)的最大值是多少？對這個可能的最大值，列出由被分成的各塊長方形中白格個數(shù)所構成的數(shù)列的所有可能?！痉治觥抗灿?2個白格和32個黑格，根據(jù)條件(3)，1到7的和為28，1到8的和為36，所以最多分成7個長方形．如果把32寫成7個不同正整數(shù)之和，則在1+2+3+4+5+6+7的基礎上，在某些數(shù)上總共增加4，可能的方法如下：1+2+3+4+5+6+111+2+3+4+5+7+101+2+3+4+5+8+91+2+3+4+6+7+91+2+3+5+6+7+8其中11是質(zhì)數(shù)，不會存在面積為2×11的長方形，其余的可以構造如下：歡歡、迎迎各有4張卡片，每張卡片上各寫有一個正整數(shù)．兩人各出一張卡片，計算兩張卡片上所寫數(shù)的和，結果發(fā)現(xiàn)一共能得到16個不同的和．那么，兩人卡片上所寫數(shù)中最大數(shù)最小值是。【答案】10【分析】得到16個不同的和，兩正整數(shù)和最小為2．因此最大和的最小值為17，若17=8+9則最大數(shù)的最小值為9，經(jīng)試驗不存在滿足要求的情況；考慮17=7+10，此時最大數(shù)的最小值為10．不難構造m符合要求的兩組數(shù)：{1,3，5，7}和{1，2，9.10}．因此最大數(shù)的最小值是10。一個電子表用5個兩位數(shù)（包括首位為0的兩位數(shù)）表示時間，如15：23：45／06／18表示6月18曰15點23分45秒，有一些時刻這個電子表上十個數(shù)字都不同，在這些時刻中，表示時間的5個兩位數(shù)之和最大是?！敬鸢浮?53【分析】假設五個兩位數(shù)的十位數(shù)上的數(shù)字之和為，那么個位數(shù)上的數(shù)字之和為45－，則五個兩位數(shù)的和為，所以十位數(shù)上的數(shù)字之和越大，則五個兩位數(shù)之和越大．顯然，五個兩位數(shù)的十位數(shù)字都不超過5，只能是0，l，2，3，4，5這六個數(shù)字中的五個，如果五個十位數(shù)字分別是5，4，3，2，1，那么，5，4只能在“分”、“秒”兩個兩位數(shù)的十位，而3只能在“日期”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此時“日期”的個位，“月份”的個位、“時”的個位不能同時滿足實際情況；如果五個十位數(shù)字分別是5，4，3，2，0，那么5，4只能在“分”、“秒”兩個兩位數(shù)的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“時”的十位上，此時“日期”的個位、“時”的個位不能同時滿足實際情況；如果五個十位數(shù)字分別是5，4，3．1，0，那么5，4只能在“分”、“秒”兩個兩位數(shù)的十位，而3只能在“日期”的十位上，則“日期”的個位無法滿足情況；如果五個數(shù)字是5，4，2，1，O，那么5，4只能在“分”、“秒”兩個兩位數(shù)的十位，2，1，O依次在“日期”的十位上、“時”的十位上、“月份”的十位上，容易驗證滿足條件．綜上所述，表示時間的5個兩位數(shù)之和最大為45+9×(5+4+2+1+O)=153.12、在下面的紙片上，用剪刀在兩個相鄰數(shù)字之間剪兩次，這樣就可以得到三個自然數(shù)．如果計算這三個自然數(shù)的乘積，那么乘積的最大值是?！敬鸢浮?47800【分析】這3個自然數(shù)分別是多少位，題目中沒有說明，對于位數(shù)不一致的幾個數(shù)相乘的大小比較，可以在末尾補0，使位數(shù)一致，就可以從首位開始討論大小，首先觀察3個自然數(shù)的首位，其中一個必為2，剩下的最大數(shù)字是4和3，要滿足首位最大，有兩種乘法：200×3×413或2003×41×3．這時候可以把兩式分別算出來比較大小，當然也可繼續(xù)往下分析，兩式各數(shù)的前兩位（補0后）都是20，30，41，前三位分別是200，300，413和200，300，410，所以第一組較大，200×3×413=247800。由1～9中選取三個相異的數(shù)字x，y，z組成一個三位數(shù)，請問的最小值為幾？【答案】【分析】，本題有很多分析方法，這里介紹用濃度的方法解答本題，要最小，相當于要使最大，把分母各加數(shù)看作溶液，分子各加數(shù)看作溶質(zhì)，相當于把濃度為，，1的三種溶液混合，要求混合后的濃度最大，因為>，所以<<<1，所以當=1，=8，=9時取最值，所以的最小值為14、對于數(shù)碼均不相同且均不為0的四位數(shù)，計算此數(shù)本身與其數(shù)碼的乘積之差，請問這樣的差數(shù)之最大值是多少？【答案】9677【分析】四位數(shù)與其數(shù)碼的乘積之差為：，當差為最大值時，>>>。(1)因為b<10、c<10、d<10，故bcd<1000，所以是正整數(shù)且當“增加時該值也會隨之增加．因找最大值，故取=9，該值為9000－9bcd+l00b+l0c+d，即此時必須尋找l00b+l0c+d－9bcd=l00b+l0c+d(1－9bc)的最大值，(2)因l－9bc<0，l00b+l0c+d(l-－9bc)取最大值時d=l，此時該值為l00b+l0c+(l－9bc)=l+l00b+l0c－9bc．即此時必須尋找l00b＋l0c－9bc’的最大值．(3)因l00b＋l0c－9bc=l0c+b(100－9c)且(c<l0，知9c<100，所以10c+b(100－9c)是正整數(shù)且當b增加時該值也會隨之增加．要找最大值．岡a=9故取b=8，該值為800－62c，因d=l即知c需取2．所以-abcd=9821－9×8×2×1=9677.下列算式中，表示一個五位數(shù)，表示一個四位數(shù)，不同的字母代表1到9的數(shù)字．如果×>80000000．求滿足以上條件的與的和的最小值．【答案】18837【分析】＋，首先讓位數(shù)高的盡可能的小，則令=1．當b+’一定時，乘積要盡量大，則要大，要小，所以=2，由乘積大于80000000，可知=6或=7．對和進行分析可知，當=6時和的最大值與=7時和的最小值相等，所以=6；現(xiàn)在要令+盡可能小，當兩數(shù)之和一定時，兩數(shù)之差越小，積越大，因為12358×6479>80000000．此時它們的和為18837。16、一個8行n列的陣列隊伍，如果排列成若干個15行15列的方陣，還余下3人，1人舉旗．2人護旗，則n最小等于?！敬鸢浮?41【分析】我們有8n=3+k=3+225k，k為整數(shù)，8n=3+8×28k十k因此k－3能被8整除因此k=5，n=(225×5+3)÷8=141當k=5時，n有最小自然數(shù)值141。17、紙板上寫著100、200、400三個自然數(shù)，再寫上兩個自然數(shù)，然后從這五個數(shù)中選出若干個（至少兩個）做只有加、減法的運算，在一個運算式子中，選出的數(shù)只能出現(xiàn)一次，經(jīng)過所有這樣的運算，可以得到k個不同的非零自然數(shù)．那么k最大是多少？【答案】64【分析】最多可得到64個不同的正整數(shù)．設再寫上的兩個自然數(shù)是a和b，可設b>a．(l)從400、200和100選出2個或3個做加、減法，可得100、200、300、500、600和700，共6個不同正整數(shù)；(2)從400、200、100和“選出若干個數(shù)（至少兩個）做加、減法，由(1)并且考慮可選400和a，可得a±m(xù)（m=100，200，300，400，500，600,700），共最多有14個不同正整數(shù)；(3)類似(2)．用b替換a，共最多可得14個不同正整數(shù)；(4)類似(2)．用b±a替換a，共最多可得28個不同正整數(shù)；(5)僅取a和b，分別做加減運算，可得2個不同正整數(shù)．所以最多可得到6+14×4+2=64（個）不同的正整數(shù)．“第一屆學而思杯總決賽”這十個漢字分別代表0～9這10個數(shù)字．如果，又知：學十而十思十杯=18。那么的最大值和最小值的差是多少？【答案】48065【分析】因為每發(fā)生一次進位，數(shù)字和就減少9，而0～9的數(shù)字和是45，所以兩個加數(shù)的數(shù)字和為27，只能發(fā)生一次進位，即百位向千位進位，而個位和十位都不向前進位．因此．0只能放到“而”的位置上．這是因為如果放到加數(shù)的個位或十位上，則因不進位而出現(xiàn)重復數(shù)字；如果放到和的個位或十位上，則m現(xiàn)進位；如果放到加數(shù)的百位上，則違反首位不能為0的原則．這樣一來，思十杯=17，所以必須是1098或1089．剩余2，3，4，5，6，7．如果×最大，則=1098.兩個加數(shù)的百位之和為10，十位之和為9，個位之和為8．和一定，則差越小積越大，所以百位取4和6，十位取2和7，個位取3和5，得到最大的乘積為475×623；如果×最小，則學而思杯=1089.兩個加數(shù)的百位之和為10，十位之和為8．個位之和為9．和一定，則差越大積越小，所以百位取3和7．十位取2和6．個位取，1和5，得到最小的乘積為324×765.（1098和1089相差比較小，不放心的話可以再驗證一下．）475×623-324×765并沒有簡便算法，只好硬算，結果為48065．不放心的話用棄九法檢驗一下。把同時滿足下列兩個條件的自然數(shù)稱為“幸運數(shù)”：(l)從左往右數(shù)，第三位起，每一位的數(shù)字是它前面離它最近的兩個數(shù)字的差（大數(shù)減去小數(shù)）；(2)無重復數(shù)字，例如：132、871、54132都是“幸運數(shù)”；但8918（數(shù)字“8”重復）、990（數(shù)字“9”重復）都不是“幸運數(shù)”．最大的“幸運數(shù)”是?！敬鸢浮?54132【分析】(l)如果首位的數(shù)a第二位的數(shù)b小，則第三位為b－a，而第四位是b－（b一a）=a與首位相同，即最多到三位數(shù)，故此類情況最大是三位數(shù)．剩下的數(shù)首位數(shù)不小于第二位的數(shù)，再分兩種情況討論．(2)若首位是9、8、7的話，把所有的情況枚舉，如：98176，97253，963，954132，9451，發(fā)現(xiàn)這些幸運數(shù)中954132最大，是六位數(shù)．(3)若首位為1～6的話，第二位不比首位外，那么該“幸運數(shù)”不會出現(xiàn)7，8，9，最多也只能是6位數(shù)，而首位比9小，所以最大的“幸運數(shù)”是954132。20、有10個整數(shù)克的砝碼（允許砝碼重量相同），將其中一個或幾個放在天平的右邊，待稱的物品放在天平的左邊，能稱出1，2，3，…，200的所有整數(shù)克的物品來；那么，這10個砝碼中第二重的砝碼最少是克．【答案】18【分析】設這10個砝碼的重量分別是≤≤≤…≤。則=1，＋1=2，≤（+）+1≤4，≤（++）+1≤8，≤(+++)+l≤16．據(jù)+++……+≥200，有+++……≥100（否則100克稱不出來）從而4≥≥100－（+++）≥100－(1+2+4+8+16)=69，所以，≥17.25，≥18另一方面，10個砝碼分別重1，2，4，8，16，17，17，17，18，100克，能稱出1~200的所有整數(shù)克來，所以這10個砝碼第二重的是18克。若干個同學排成一列縱隊購買電影票，如果你觀察后發(fā)現(xiàn)：除了前面的5個同.學外，每個同學都要比從他往前數(shù)（不包括他）第5位的同學高；除了前面的3個同學外，每個同學都要比從他往前數(shù)（不包括他）第3位的同學矮．那么這支隊伍最多有個人．【答案】7【分析】這支隊伍最多有7個人．如果這支隊伍有8個人，從前向后記這8個人依次為、、、、、、、，根據(jù)題意，有高于，高于，高于，高于，高于，高于，高于，高于，出現(xiàn)了等于，這不可能。這支隊伍有7個人是可能的，例如他們的身高依次是：1.44米、1.41米、1.46米、1.43米、1.40米、1.45米、1.42米。22、一些棋子被擺成了一個四層的空心方陣（下圖是一個四層空心方陣的示意圖）．后來小林又添人28個棋子，這些棋子恰好變成了一個五層的空心方陣（不能移動原來的棋子）．那么開始時最少有個棋子?！敬鸢浮?12將四層空心方陣變成五層空心方陣有三種方法，一種是在最外層增加一圈（兩行兩列）．第二種是在最內(nèi)層增加一圈（兩行兩列），第三種是在最內(nèi)層增加一行一列，在最外層的另外兩個方向也增加一行一列．五層空心方陣的最外層至少有40枚棋子，所以第一種情況不符合題意，如果是第二種情況，那么最外層應該有28+8