2021年北京私立匯英學(xué)校高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2021年北京私立匯英學(xué)校高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)若在方向上的投影為,且在方向上的投影為3,則和的夾角等于(

)A． B． C． D．參考答案：A2.已知函數(shù)在同一周期內(nèi),當(dāng)時(shí),取得最大值,當(dāng)時(shí),取得最小值,則函數(shù)的解析式為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D3.若是任意的實(shí)數(shù),且,則-------------------------------（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D4.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若，，則A．－2

B．－3 C．2

D．3參考答案：B定義在R上的奇函數(shù)滿足，故周期,數(shù)列是等差數(shù)列，若，,故，所以：，

5.已知圓的方程x2+y2=25，則過(guò)點(diǎn)P（3，4）的圓的切線方程為（）A．3x﹣4y+7=0B．4x+3y﹣24=0C．3x+4y﹣25=0D．4x﹣3y=0參考答案：C6.若=（2，1），=（﹣1，3），則=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】利用平面向量的數(shù)量積公式求解．【解答】解：∵=（2，1），=（﹣1，3），∴=﹣2+3=1．故選：B．7.已知、、為三條不重合的直線，下面有三個(gè)結(jié)論：①若則∥；②若則；③若∥則.

其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．個(gè)

B．個(gè)

C．個(gè)

D．個(gè)參考答案：B8.正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為

()

A.

B.

C.

D.參考答案：D9.若直線與直線2x+3y﹣6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線的斜率；兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】聯(lián)立兩直線方程到底一個(gè)二元一次方程組，求出方程組的解集即可得到交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)在第一象限得到橫縱坐標(biāo)都大于0，聯(lián)立得到關(guān)于k的不等式組，求出不等式組的解集即可得到k的范圍，然后根據(jù)直線的傾斜角的正切值等于斜率k，根據(jù)正切函數(shù)圖象得到傾斜角的范圍．【解答】解：聯(lián)立兩直線方程得：，將①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，），因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第一象限，所以得到，由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集為：k＞，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則tanθ＞，所以θ∈（，）．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生會(huì)根據(jù)兩直線的方程求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握象限點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，掌握直線傾斜角與直線斜率的關(guān)系，是一道綜合題．10.有60件產(chǎn)品，編號(hào)為01至60，現(xiàn)從中抽取5件檢驗(yàn)，用系統(tǒng)抽樣的方法所確定的抽樣編號(hào)是（

）

A.5,10,15,20,25B.5,12,31,39,57C.5,15,25,35,45

D.5,17,29,41,53參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合P=，Q=，那么等于

參考答案：略12.（5分）函數(shù)fM（x）=，其中M是非空數(shù)集且M是R的真子集，若在實(shí)數(shù)集R上有兩個(gè)非空子集A，B滿足A∩B=?，則函數(shù)F（x）=的值域?yàn)?/p>

．參考答案：{1}考點(diǎn)： 函數(shù)的值域；交集及其運(yùn)算．專(zhuān)題： 新定義；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；集合．分析： 對(duì)F（x）中的x屬于什么集合進(jìn)行分類(lèi)討論，利用題中新定義的函數(shù)求出f（x）的函數(shù)值，從而得到F（x）的值域即可．解答： 當(dāng)x∈CR（A∪B）時(shí)，f（A∪B）（x）=0，fA（x）=0，fB（x）=0，∴F（x）==1，同理得：當(dāng)x∈B時(shí)，F(xiàn)（x）=1；當(dāng)x∈A時(shí)，F(xiàn)（x）=1；故F（x）=，則值域?yàn)閧1}．故答案為：{1}．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了函數(shù)的值域、分段函數(shù)，解答關(guān)鍵是對(duì)于新定義的函數(shù)fM（x）的正確理解，屬于創(chuàng)新型題目．13.已知點(diǎn)在直線上,點(diǎn)Q在直線上，PQ的中點(diǎn)，且，則的取值范圍是________.

參考答案：略14.給出下列命題：①存在實(shí)數(shù)x，使sinx+cosx＝;；②若是第一象限角，且，則；③函數(shù)是奇函數(shù)；④函數(shù)的最小正周期是；⑤函數(shù)y＝sin2x的圖象向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin(2x+)的圖象.⑥函數(shù)在上是減函數(shù).其中正確的命題的序號(hào)是

參考答案：①③15.已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象（如圖所示），則f（x）的解析式為．參考答案：【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用當(dāng)x=時(shí)取得最大值2，求出φ，得到函數(shù)的解析式，即可得解．【解答】解：由題意可知A=2，T=4（﹣）=π，可得：ω==2，由于：當(dāng)x=時(shí)取得最大值2，所以：2=2sin（2×+φ），可得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得：φ=2kπ+，k∈Z，由于：|φ|＜π，所以：φ=，函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，注意函數(shù)的周期的求法，考查計(jì)算能力，?？碱}型．16.若函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+b（a＞1）的定義域與值域都是[1，a]，則實(shí)數(shù)b=．參考答案：5略17.函數(shù)，則

參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18..袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為．現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的．（1）求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；（2）求取球兩次終止的概率（3）求甲取到白球的概率．參考答案：（1）3個(gè)白球（2）（3）【分析】（1）設(shè)出袋中原有n個(gè)白球，寫(xiě)出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，根據(jù)等可能事件的概率公式得到關(guān)于n的方程，解方程即可．（2）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)7×6，滿足條件的事件數(shù)4×3，根據(jù)等可能事件的概率公式寫(xiě)出滿足條件的事件的概率．（3）甲先取，甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．這三種情況是互斥關(guān)系，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題意知：，解得n＝3（舍去n＝﹣2），即袋中原有3個(gè)白球（2）記“取球兩次終止”為事件A，（3）因?yàn)榧紫热?，所以甲只有可能在?次或第3次或第5次取到白球記“甲取到白球”為事件B，【點(diǎn)睛】考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，考查古典概型，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題19.（本小題滿分12分）已知關(guān)于的方程：（1）當(dāng)為何值時(shí)，方程表示圓（2）若圓與直線：相交于，且，求的值參考答案：解：（1）方程可化為，顯然當(dāng)即時(shí)，方程表示圓

……………5分（2）由（1）得圓方程為，圓心，半徑則圓心到直線：得距離為……………8分，則，有

……10分，解得

……12分略20.已知二次函數(shù)，滿足f(2)=0且函數(shù)F(x)=f(x)－x只有一個(gè)零點(diǎn)。（1）求函數(shù)f（x)的解析式；（2）問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a,b(a<0)使f（x)的定義域?yàn)閇a,b]，值域?yàn)閇2a,2b]，如果存在，求出a、b，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

參考答案：21.（12分）學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數(shù)y與聽(tīng)課時(shí)間x（單位：分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象，當(dāng)x∈（0，12]時(shí)，圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，其中頂點(diǎn)A（10，80），過(guò)點(diǎn)B（12，78）；當(dāng)x∈[12，40]時(shí)，圖象是線段BC，其中C（40，50）．根據(jù)專(zhuān)家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于62時(shí)，學(xué)習(xí)效果最佳．（1）試求y=f（x）的函數(shù)關(guān)系式；（2）教師在什么時(shí)段內(nèi)安排內(nèi)核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（1）當(dāng)x∈（0，12]時(shí)，設(shè)f（x）=a（x﹣10）2+80，把點(diǎn)（12，78）代入能求出解析式；當(dāng)x∈[12，40]時(shí)，設(shè)y=kx+b，把點(diǎn)B（12，78）、C（40，50）代入能求出解析式．（2）由（1）的解析式，結(jié)合題設(shè)條件，列出不等式組，能求出老師就在什么時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳【解答】解：（1）當(dāng)x∈（0，12]時(shí)，設(shè)f（x）=a（x﹣10）2+80…（1分）過(guò)點(diǎn)（12，78）代入得，則…（3分）當(dāng)x∈[12，40]時(shí)，設(shè)y=kx+b，過(guò)點(diǎn)B（12，78）、C（40，50）得，即y=﹣x+90…（6分）則的函數(shù)關(guān)系式為…（7分）（2）由題意得，或…（9分）得4＜x≤12或12＜x＜28，4＜x＜28…（11分）則老師就在x∈（4，28）時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查解析式的求法，考查不等式組的解法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意待定系數(shù)法的合理運(yùn)用．22.已知6sin2α+sinαcosα﹣2cos2α=0，α∈（，π），求：①tanα的值；②sin（2α+）的值．參考答案：【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；三角函數(shù)