高數(shù)課件第十二章

和函數(shù)兩類問題:

在收斂域內(nèi)求和展開本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒(Taylor)級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)第四節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)第十二章1一、泰勒(Taylor)級數(shù)其中R

(

x)

=n(x

在x

與x0

之間)稱為拉格朗日余項.n+1(

x

-

x0

)(n

+

1)!f

(n+1)(x

)f

(

x)

=

f

(

x0

)

+f

(

x0

)(

x

-

x0

)

+2002!f

(

x

)(

x

-

x

)nn!f

(n)(

x0

)+

+

(

x

-

x0

)+

Rn

(

x)復習:

f

(x)

的

n

階泰勒公式若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有

n+1階導數(shù),

則在該鄰域內(nèi)有

:20f

(

x

)+

f

(

x0

)(

x

-

x0

)

+2002!f

(

x

)(

x

-

x

)nn!(

x

-

x0

)

+

f

(n)(

x0

)+

+為f

(x)的泰勒級數(shù).當x0

=0

時,泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù).待解決的問題:對此級數(shù),它的收斂域是什么？在收斂域上,和函數(shù)是否為f

(x)?若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導數(shù),則稱3各階導數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是

f

(x)

的泰勒公式余項滿足:

lim

Rn

(

x)

=

0.nfi

￥證明nn!f

(n)(

x0

)(

x

-

x0

)

,f

(

x)

=

￥n=0令f

(

x)

=

Sn+1(

x)

+

Rn

(

x)lim

Rn

(

x)

=

lim[f

(

x)

-

Sn+1

(

x)nfi

￥

nfi

￥=

0

,x

?

U

(

x0

)k4nk

!f

(k

)(

x0

)(

x

-

x0

)k

=0Sn+1(

x)

=

0x

?

U

(

x

)定理1

設函數(shù)

f

(x)

在點

x0

的某一鄰域內(nèi)具有5則f

￠(

x)

=

a1

+

2a2

x

+

+

nan

xn-1

+

;2+

;￠n-2n+

+

n(n

-

1)a

xf

(

x)

=

2!a12f

(0)￠a

=2！nf

(n)(

x)

=

n!a

+

;nn!a

=

1

f

(

n

)

(0)顯然結論成立.a0

=

f

(0)a1

=

f

(0)定理2

若

f(x)能展成

x的冪級數(shù),則這種展開式是唯一的

,

且與它的麥克勞林級數(shù)相同.證

設

f

(x)

所展成的冪級數(shù)為目錄二、函數(shù)展開成冪級數(shù)nfi

￥1.

直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知,

函數(shù)

f

(

x)

展開成冪級數(shù)的步驟如下:第一步 求函數(shù)及其各階導數(shù)在

x

=

0

處的值

;第二步 寫出麥克勞林級數(shù),

并求出其收斂半徑

R

;展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數(shù)展開式第三步 判別在收斂區(qū)間(－R,

R)

內(nèi)

lim

Rn

(

x)是否為0.6的函數(shù)展開例1

將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解對任何有限數(shù)x

,其余項滿足ex(n

+

1)!xn+1x<

enfi

￥其收斂半徑為

R

=

lim11n!

(n

+

1)!(x

在0與x

之間)2!3!n!1

+

x

+

1

x2

+

1

x3+

+

1

xn

+

f

(n)(x)=e

x

,

f

(n)(0)=1 (n

=0,1,),故得級數(shù)n

fi

￥?,7考察級數(shù)

(￥n

=

1n

+

1

)!|

x

|n

+

1故

e

x

=

1

+

x

+

1

x2

+

1

x3

+

+

1

xn

+

,2!

3!

n!,考察級數(shù)

(￥n

=

1n

+

1

)!|

x

|n

+

1nunfi

￥

lim

n+1=

lim|

x

|n

+1(n

+

1)!u

nfi

￥

(n

+

2)!|

x

|n

+

2=

0

<

1=

lim|

x

|nfi

￥

n

+

2=

0(n

+

1)!x

n+1￥\n=1(n

+

1)!|

x

|n+1收斂,=

0,

\

lim

e

xnfi

￥8\

lim|

x

|n+1nfi

￥

(n

+

1)!\

lim

Rn

(

x)

=

0nfi

￥例2

將展開成x

的冪級數(shù).解

f

(n)(

x)

=\

f

(n)(0)

=

得級數(shù):其收斂半徑為R

=

+￥

,

對任何有限數(shù)

x

,

其余項滿足2sin(x

+

(n

+

1)

π)(n

+

1)!xn+1(k

=

0,

1,

2,)3!

5!

(2n-1)!x

-

1

x3+

1

x5

-

+

(-1)n-1

1

x2n-1

+

1)

,k(-0

,

n

=

2

kn

=

2

k

+

1n

fi

￥19x2

n-1

+(2n

-

1)!\

sin

x

=

x

-

1

x3

+

1

x5

-

+

(-1)n-13！

5！x2

n

+(2n)!1cos

x

=

1

-

1

x2

+

1

x4

-

+

(-1)n2!

4!110x2n-1

+

(2n

-

1)!對上式兩邊求導可推出:sin

x

=

x

-

1

x3

+

1

x5

-

+

(-1)n-13!

5!展開成x

的冪級數(shù),其中m例3

將函數(shù)為任意常數(shù)

.解

易求出

f

(0)

=

1,

f

(0)

=

m,

f

(0)

=

m(m

-

1)

,f

(n)(0)

=

m(m

-

1)(m

-

2)(m

-

n

+

1)

,

于是得級數(shù)2!1

+

mx

+

m(m

-

1)

x2

+

由于an+1anR

=

limnfi

￥m

-

nn

+

1=

limnfi

￥=

1+

m(m

-

1)(m

-

n

+

1)

xn

+

n!11因此對任意常數(shù)

m,

級數(shù)在開區(qū)間

(－1,

1)

內(nèi)收斂.12推導2!+

m(m

-

1)(m

-

n

+

1)

xn

+

n!F

￠(

x)

=

m

[1

+

m

-

1

x

+

+

(m

-

1)(m

-

n

+

1)

xn-1

+

1 (n

-

1)!mx0x0d

xd

x

=F

(

x)

1

+

xF

(

x)ln

F

(

x)

-

ln

F

(0)

=

m

ln(1

+

x)F

(

x)

=

(1

+

x)m(1

+

x)F

(

x)=

mF

(

x),

F

(0)

=

1推導則F

(x)=1

+m

x

+m(m

-1)x2

+為避免研究余項,設此級數(shù)的和函數(shù)為F

(x),-1

<x

<12!(1

+

x)m

=

1

+

m

x

+

m(m

-

1)

x2

+

+

m(m

-

1)(m

-

n

+

1)

xn

+

n!稱為二項展開式.說明：在x＝±1

處的收斂性與m

有關.

當m為正整數(shù)時,級數(shù)為x的m次多項式,上式就是代數(shù)學中的二項式定理.13由此得(1

+

x)m

=

1

+

m

x

+m(m

-

1)

x2

+

+

m(m

-

1)(m

-

n

+

1)

xn

+

2!

n!對應

m

=

1

,

-

1

,-1

的二項展開式分別為2

222

411

+

x

=

1

+

1

x

-x2

+(-

1

￡

x

￡

1)x3

-2

4

6

2

4

6

81

3

1

3

5x4

+

11

+

x2

42

4

6

8(-

1

<

x

￡

1)2

2

4

6=

1

-

1

x

+

1 3

x2

-

1

3 5

x3

+

1

3

5 7

x4

-11

+

x(-

1

<

x

<

1)=

1

-

x

+

x2

-

x3

+

+

(-1)n

xn

+

(-1

<

x

<

1)11

-

x=

1

+

x

+

x2

+

+

xn

+

1422!1x

+

x

+

m

-

1

(m

-

1)(m

-

2)F

￠(

x)

=

m1

+(1

+

x)F

(

x)

=2!

m(m

-

1)

2m

1

+

m

x+

x

+

n

!+

m

(m

-

1)(m

-

n

+

1)

xn

+

=

m

F

(

x)15n!+

(m

-

1)(m

-

n)

xn

+

例3

附注1=

1

-

x

+

x2

-

+

(-1)n

xn

+

(-

1

<

x

<

1

)1161

+

x2=

1

-

x2

+

x4

+

+

(-1)n

x2n

+

(-

1

<

x

<

1

)1

+

x把

x

換成

x2

,

得2.

間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì),將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).例4

將函數(shù) 展開成

x的冪級數(shù).解

因為展開成x

的冪級數(shù).解1

+

x1f

￠(

x)

=-

(-

1

<

x

<

1

)n=0￥=

(

1)n

xn從0

到x

積分,得xn

n0￥n=0￥ln(1

+

x)

=

(-1)

x

dx

=

n+1(-1)nxn=0

n

+

1-1

<

x

<1,

-

1

<

x

￡

1上式右端的冪級數(shù)在

x

＝1

收斂

,

而

ln(1

+

x)在

x

=

1所以展開式對x

＝1

也是成立的,連續(xù),

于是收斂域為例5

將函數(shù)注意：經(jīng)過求導或求積后得到的展式,必須考慮端點處的情況.利用此題可得17例6

將展成解sin

x

=

sin[π

+

(

x

-

π)4

4=

sin

π

cos(

x

-

π)

+

cos

π

sin(

x

-

π)4

4

4

44

42=

1

[cos(

x

-

π)

+

sin(

x

-

π)π

3

=

1

π

1

π

2

12

1

+

(

x

-

4

)

-

2!(

x

-

4

)

-

3!(

x

-

4

)

+

的冪級數(shù).

π+

(

x

-

4

)33!1-

(

x

-518π4π

14

5!)

+

(

x

-)

-例7

將展成x－1

的冪級數(shù).解11=(

x

+

1)(

x

+

3)x2

+

4

x

+

3x-122x

-

1+22(

x

-

1)2+

2nn

(

x

-

1)n+

+

(-1)-

8

1

n)(

x

-

1)n1

12n+2

-

22n+3￥n=0=

(-1)

((-

1

<

x

<

3

)x-141-x2

1

<

1-x4

1

<

1-(

x

-

1

<

2

)19結束目錄內(nèi)容小結x

?

(-￥

,

+

￥

)ln(1

+

x)

=

xx

?

(-1,

+

1]e

x

=

1

+

x

+

1

x2+

+

1

xn

+

,2!

n!2

3

41

1

1-

2

x

+

3

x

-

4

xn+1(-1)n+

+

n

+

1

x+

函數(shù)的冪級數(shù)展開法直接展開法—利用泰勒公式;間接展開法—利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開 式的函數(shù).常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式作業(yè)：9~1320結束目錄x2n+1nsin

x

=

x

-

3!+

5!

-

7!

+

+

(-1)

(2n

+

1)!

+

x3

x5

x7cos

x

=

1-

2!

+

4!

-

6!

+

+

(-1)

(2n)!

+

n2!(1

+

x)m

=

1+

mx

+

m(m

-

1)

x2

+

1

+

x1x

?

(-￥

,

+

￥

)x2

x4

x6

x2nx

?

(-￥

,

+

￥

)+

m(m

-

1)(m

-

n

+

1)

xn

+

x

?

(-1,

1)n!當m

=–1

時=

1

-

x

+

x2

-

x3

+

+

(-1)n

xn

+

,

x

?

(-1,

1)21結束目錄思考與練習處“有泰勒級數(shù)”與“能展成泰勒級1.

函數(shù)數(shù)”有何不同?提示:后者必需證明lim

Rn

(x)=0,前者無此要求.nfi

￥的冪級數(shù)?1

12

2-

cos

2

x2.

如何求提示:

y

=￥=1-

(-1)1

122

n=0n122n4nn(2n)!￥n=1(-1)=

-(2n)!?

(-￥

,

+

￥

)x

,

x22結束目錄x練習將函數(shù)

f

(x

)=

e

x

2展開成x

的冪級數(shù).將函數(shù)

f

(x

)=

arctan

x

展開成x

的冪級數(shù).將函數(shù)f

(x

)=ln

x展開成(x

-2

)的冪級數(shù).將函數(shù)

f

(x

)=

1

展開成(x

-

3)的冪級數(shù).++

+42

x

n!

x

2!=

1

+

x

+2n|

x

|<

+￥￥=n=02n

x

n!￥x

?

[-

1,1]xarctan

x

=2n+1n=0

2n

+

1(-

1)n2答案1

e

x

223結束目錄3將函數(shù)f

(x)=ln

x展開成(x

-2)的冪級數(shù).解f

(x)=

ln

x

=

ln(2

+

x

-

2)=2ln

21+

x

-

2

2=

ln

2

+ln1

+x

-

2

2￥

=

ln

2

+n=0(-

1)n

x

-

2

n+1n

+

1￥=

ln

2

+

(-

1(x

-

2)n+1

2n+1

(n

+

1)n=0)nx

-

22由-1

<￡

1

得0

<x

￡

4.4將函數(shù)

f

(x)=

1

展開成(x

-

3)的冪級數(shù).解

f

(x)=x1=1x

3

+

(x

-

3)=1

13

1

+

x

-

3