對(duì)稱性與守恒定律

對(duì)稱性與守恒律物理規(guī)律是分層次的，有的只對(duì)某些具體事物適用，如胡克定律只適用于彈性體；有的在一定范疇內(nèi)成立，如牛頓定律適用于一切低速運(yùn)動(dòng)的宏觀物體；有的如能量、動(dòng)量守恒等守恒律，則在所有領(lǐng)域的自然界起作用。后者屬于自然界更深層次、最為基本的規(guī)律。而守恒律和對(duì)稱性有緊密聯(lián)系。了解對(duì)稱性的概念、規(guī)律及其分析方法，對(duì)于深入地認(rèn)識(shí)自然有重要意義。一、什么是對(duì)稱性對(duì)稱的概念日常生活中就有，如人體外部器官的左右對(duì)稱，紫禁城建設(shè)布局的東西對(duì)稱，不帶任何標(biāo)記的球的中心對(duì)稱等。對(duì)稱性的定義如下。若某個(gè)體系（研究對(duì)象）經(jīng)某種操作（或稱變換）后，其前后狀態(tài)等價(jià)（相同），則稱該體系對(duì)此操作具有對(duì)稱性，相應(yīng)的操作稱為對(duì)稱操作。簡(jiǎn)言之，對(duì)稱性就是某種變換下的不變性。

二、物理學(xué)中幾種常見(jiàn)的（對(duì)稱）變換空間變換1）平移：即對(duì)位矢作尸--%的變換，相應(yīng)的對(duì)稱性謂之平移對(duì)稱性。例如，一個(gè)不帶任何標(biāo)記的無(wú)限大平面，對(duì)沿平面的任意平移具有對(duì)稱性，而當(dāng)此平面上均勻布滿方格時(shí)，則對(duì)沿平面的特定方位（如邊長(zhǎng)或?qū)蔷€方位）平移某個(gè)長(zhǎng)度的整數(shù)倍具有對(duì)稱性。2）轉(zhuǎn)動(dòng)：繞某定點(diǎn)或軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)前述球的中心對(duì)稱，就是指球?qū)@球心的任意旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，通常就稱之為球?qū)ΨQ。柱體，對(duì)繞其中心軸旋轉(zhuǎn)稱，通常就稱之為球?qū)ΨQ。柱體，對(duì)繞其中心軸旋轉(zhuǎn)任一角度狀態(tài)不變，即具有旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱3）鏡像反射（反演）：俗稱照鏡子。指對(duì)鏡面作物一像變換。紫禁城建筑的東西對(duì)稱，就是以天安門中軸面（南北豎直面）為鏡面的鏡像對(duì)稱。?物理矢量的鏡面反射極矢量和軸矢量?物理矢量的鏡面反射極矢量和軸矢量按鏡面反射時(shí)，矢量物像的方向之間的關(guān)系，物理矢量分兩類。一類，以位移△尸為例，其鏡像為火如圖1（a）

所示。它們平行于鏡面的分量方向相同，垂直于鏡面的分量的方向相反，這類矢量叫極矢量。v，有，F(xiàn)等都是極矢量。MM(a)極矢量 (b)軸矢量圖1另一類矢量，如圖1(b)中右側(cè)所示一沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的角速度令。保持角速度方向與軌道旋向成右手關(guān)系的規(guī)定不變，則其鏡像為左側(cè)的m，。每和m，沿鏡面的平行分量反向，而垂直分量方向相同。這類矢量叫軸矢量，又稱贗矢量。兩個(gè)極矢量的矢量積必定是軸矢量，所以，如角動(dòng)量L=林沏，力矩M=/等都是軸矢量。4）空間反演：對(duì)位矢作尸T"的變換一立方體對(duì)其體中心具有空間反演對(duì)稱性?？臻g反演相當(dāng)于鏡面反射加上繞鏡面法線旋轉(zhuǎn)180°的聯(lián)合變換。其他的空間變換還有:標(biāo)度變換（尺度的放大與縮小）、置換變換（體系成份的位置調(diào)換）等。時(shí)間變換1） 時(shí)間平移：作--1的變換0勻速運(yùn)動(dòng)物體的速度v對(duì)任意時(shí)間平移具有對(duì)稱性。變化周期為T的系統(tǒng)對(duì)t?+成（n為整數(shù)）的時(shí)間平移有對(duì)稱性。2） 時(shí)間反演：作t“的變換，即通常所謂“時(shí)光倒流”r?速度的時(shí)間反演，有v一_積，方向相反，即v不具時(shí)間反演不變性。?加速度的時(shí)間反演，因dt―dt2，故a具有時(shí)間反演不^a變性?保守力只與位置有關(guān)，故對(duì)時(shí)間反演不變；耗散力與速度方向有關(guān)，故對(duì)時(shí)間反演不具不變性。由上不難理解，在保守力作用下運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程的錄像，無(wú)論正、反放映都符合力學(xué)規(guī)律，而有非保守力作用的系統(tǒng)其運(yùn)動(dòng)的時(shí)間反演就會(huì)違背牛頓定律。例如，把一個(gè)穿著寬大衣袍的人自墻頭躍下的錄像倒映，盡管已變?yōu)榭v身躍上墻頭，但從衣袖飄動(dòng)的方向上就會(huì)發(fā)現(xiàn)破綻，而如果改穿緊身衣，觀眾就無(wú)法判斷錄像究竟是正放還是倒著放的了。聯(lián)合變換：最重要的就是時(shí)空聯(lián)合變換。伽利略變換、洛侖茲變換均屬時(shí)空聯(lián)合變換。除上述基本變換外，物理學(xué)中還有電荷共軛變換（粒子、反粒子的變換）、規(guī)范變換等。需要指出的是，物理學(xué)中還將對(duì)稱性的概念延伸至討論物理規(guī)律。若物理規(guī)律在某種變換下形式不變，則稱此規(guī)律對(duì)此變換具有對(duì)稱性。例如牛頓定律對(duì)伽里略變換具有對(duì)稱性，麥克斯韋電磁場(chǎng)方程組對(duì)洛侖茲變換具有對(duì)稱性等。三、對(duì)稱性原理自然規(guī)律反映了事物之間的“因果關(guān)系”，就是在一定的條件（原因）下會(huì)出現(xiàn)一定的現(xiàn)象（結(jié)果）。因果之間規(guī)律性的聯(lián)系體現(xiàn)為可重復(fù)性和預(yù)見(jiàn)性，即相同（或等價(jià)）的原因必定產(chǎn)生相同（或等價(jià)）的結(jié)果。用對(duì)稱性的語(yǔ)言來(lái)表述這個(gè)結(jié)論就給出了對(duì)稱性原理。原理的內(nèi)容如下：原因中的對(duì)稱性必然反映在結(jié)果中，結(jié)果中的對(duì)稱性至少和原因中的對(duì)稱性一樣多；結(jié)果的不對(duì)稱性必然出自原因中的不對(duì)稱性，原因中的不對(duì)稱性至少和結(jié)果中的不對(duì)稱性一樣多。對(duì)稱性原理是自然界的一條基本原理，有時(shí)，在不知道某些具體物理規(guī)律的情況下，我們可以根據(jù)對(duì)稱性原理進(jìn)行分析，對(duì)問(wèn)題給出定性或半定量的結(jié)果。例如，根 （式"p據(jù)對(duì)稱性原理容易論證，一 -（n!7'——個(gè)只受有心力作用的質(zhì)點(diǎn)，必定在由初速度注及力心決定的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。因?yàn)槿吭颍?、初始條件）對(duì)所述平面具有鏡像反射對(duì)稱性（其鏡像就是自身），所以結(jié)果（質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)）也必定具有同樣的鏡面反射對(duì)稱性，故質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不可能偏離此平面。同理，我們可以判斷一個(gè)電荷均勻分布的帶電球體對(duì)球外一點(diǎn)電荷P的靜電力的方向必定沿球心O與P的連線，因?yàn)殡姾煞植迹ㄔ颍?duì)OP軸呈旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱，電力方向（結(jié)果）對(duì)OP軸線的任何偏離都將失去這一對(duì)稱性，從而違背對(duì)稱性原理，因此是不可能的。有的問(wèn)題，利用對(duì)稱性原理可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算。例如圖3所示連接的電阻，各電阻阻值相同，同為R，求A、B兩端的等效電阻Rr。由圖可知，這是一個(gè)不能簡(jiǎn)單分解AB為串聯(lián)或并聯(lián)的復(fù)聯(lián)電阻，可利用對(duì)稱分析求解。方法如IA?IA?圖3設(shè)有電流I經(jīng)A流入，后分為兩支，A-C為［，則A-D為I-I1，因A、B位置具置換對(duì)稱，由對(duì)稱性原理知，自B流出的兩分支電流分別為：C一B1^11，D一BI1由節(jié)點(diǎn)電流關(guān)系，C一D電流為11—(1—11)=211—1由兩分支計(jì)算A、D間電壓avad，有2R(I—I1)=RI1+R(2I1—I)解得 「3i故等效電阻 R二竺AB二LR+")^2R二7r=14RABI I 5四、對(duì)稱與守恒所謂“守恒”的基本涵義，是指任給一組描述系統(tǒng)隨時(shí)向變化的方程，必能從中尋找到一個(gè)始終不變的物理量 守恒量。如何決定守恒量？德國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家A?E?Noether給出定理：作用量的每一種對(duì)稱性都將有一個(gè)守恒量與之對(duì)應(yīng)。這個(gè)定理可用下述箭頭關(guān)系顯示T、■對(duì)稱性。守恒量根據(jù)Noether的定理：相互作用的時(shí)間平移對(duì)稱性-能量守恒相互作用的空間平移對(duì)稱性-動(dòng)量守恒相互作用的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性-角動(dòng)量守恒嚴(yán)格的證明，已超出本課程范圍，這里僅從普通物理的角度給予說(shuō)明。?空間平移對(duì)稱與動(dòng)量守恒設(shè)A、B為一對(duì)相互作用質(zhì)點(diǎn)，采用兩種方式改變其狀drA不動(dòng)，B平移質(zhì)至B’，B作用能增量dE，PlBB狀態(tài)由AB-AB，B不動(dòng)，A平移曲至a，，A且dr=-dr,作用能增量A BAE--f-dr-f-drp2AAAB狀態(tài)由AB_a，b因?yàn)锳B，和A，B是兩個(gè)空間平移狀態(tài)，若相互作用具平移對(duì)稱，則此兩狀態(tài)等價(jià),相互作用能量應(yīng)相同，即dE二dEPlP2位移方可任取，則必有，依據(jù)力等B JBJA于動(dòng)量變化率的定義，此式與動(dòng)量守恒等價(jià),故有體系的動(dòng)量守恒。?轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱與角動(dòng)量守恒TOC\o"1-5"\h\z仍討論一對(duì)質(zhì)點(diǎn)A、B,使B 廣繞A旋轉(zhuǎn)至B，，位移為吧，則作 //用能增量dEp=f.吧。若相互作用 b/?7b具旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，則AB狀態(tài)與曲， 叫等價(jià)，能量相等，即dEp=0。由于虬任意，故必有fB嶼。吧對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)位移，則f的方向必然通f 圖4(b)過(guò)A，即相互作用為中心力，因而體系角動(dòng)量守恒。上述討論都是從對(duì)稱性導(dǎo)出守恒量，反過(guò)來(lái)也可由觀測(cè)到的守恒量尋找與之相應(yīng)的對(duì)稱變換和對(duì)稱性。例如，物理學(xué)史上就由觀測(cè)到電荷守恒而找到了相應(yīng)的“規(guī)范變換”和“規(guī)范對(duì)稱性”。*結(jié)束語(yǔ)對(duì)稱性在物理學(xué)中具有深刻的意義。一種對(duì)稱性的發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)比一種物理效應(yīng)或具體物理規(guī)律的發(fā)現(xiàn)的意義要重大得多！例如，源于電磁理論的洛侖茲不變性，導(dǎo)致力學(xué)的革命；愛(ài)因斯坦為尋找引力理論的不變性而創(chuàng)立了廣義相對(duì)論；狄拉克為使微觀粒子的波動(dòng)方程具有洛侖茲不變性，修正了薛定諤方程，并根據(jù)方程