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2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.在中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且若,則的形狀是()A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形2.已知,那么()A. B. C. D.3.若函數(shù)有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.4.已知兩個(gè)球的表面積之比為,則這兩個(gè)球的體積之比為()A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列的公差為2,且是與的等比中項(xiàng),則等于()A. B. C. D.6.過點(diǎn)的圓的切線方程是()A. B.或C.或 D.或7.過兩點(diǎn)A(4,y),B(2,-3)的直線的傾斜角是135°,則y等于()A.1 B.5 C.-1 D.-58.在中,是的中點(diǎn),,,相交于點(diǎn),若,,則()A.1 B.2 C.3 D.49.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A. B. C. D.10.已知函數(shù)f(x)=2x+log2x,且實(shí)數(shù)a>b>c>0,滿足A.x0<a B.x0>a二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.____________.12.已知,,,,則______.13.已知是奇函數(shù),且,則_______.14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問題:在平面上給定兩點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足(其中和是正常數(shù),且),則的軌跡是一個(gè)圓,這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”,該圓的半徑為__________.15.等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為.已知+-=0,=38,則m=_______.16.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為,,,則________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知是夾角為的單位向量,且,.(1)求;(2)求與的夾角.18.請(qǐng)解決下列問題:(1)已知,求的值;(2)計(jì)算.19.設(shè)向量,,.(1)若,求實(shí)數(shù)的值;(2)求在方向上的投影.20.已知數(shù)列中,,,數(shù)列滿足。(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列。(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。21.某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求圖中的值;(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分,眾數(shù),中位數(shù);(3)若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)()與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)()之比如下表所示,求數(shù)學(xué)成績?cè)赱50,90)之外的人數(shù).分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)1:12:13:44:5
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】
直接利用余弦定理的應(yīng)用求出A的值,進(jìn)一步利用正弦定理得到:b=c,最后判斷出三角形的形狀.【詳解】在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且b2+c2=a2+bc.則:,由于:0<A<π,故:A.由于:sinBsinC=sin2A,利用正弦定理得:bc=a2,所以:b2+c2﹣2bc=0,故:b=c,所以:△ABC為等邊三角形.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.2、C【解析】試題分析:由,得.故選B.考點(diǎn):誘導(dǎo)公式.3、D【解析】
令,得,再令,得出,并構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在區(qū)間有交點(diǎn),利用數(shù)形結(jié)合思想可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令,得,,令,則,所以,,構(gòu)造函數(shù),其中,由于,,,所以,當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)在區(qū)間有交點(diǎn),因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題,在求解含參函數(shù)零點(diǎn)的問題時(shí),若函數(shù)中只含有單一參數(shù),可以采用參變量分離法轉(zhuǎn)化為參數(shù)直線與定函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,難點(diǎn)在于利用換元法將函數(shù)解析式化簡,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中等題.4、D【解析】
根據(jù)兩個(gè)球的表面積之比求出半徑之比,利用半徑之比求出球的體積比.【詳解】由題知,則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球體的表面積公式和體積公式,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
直接利用等差數(shù)列公式和等比中項(xiàng)公式得到答案.【詳解】是與的等比中項(xiàng),故即解得:故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比中項(xiàng),屬于??碱}型.6、D【解析】
先由題意得到圓的圓心坐標(biāo),與半徑,設(shè)所求直線方程為,根據(jù)直線與圓相切,結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為,半徑為1,由題意,易知所求切線斜率存在,設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為,即,所以有,整理得,解得,或;因此,所求直線方程分別為:或,整理得或.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查求過圓外一點(diǎn)的切線方程,根據(jù)直線與圓相切,結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可求解,屬于??碱}型.7、D【解析】∵過兩點(diǎn)A(4,y),B(2,-3)的直線的傾斜角是135°,∴,解得。選D。8、D【解析】由題意知,所以,解得,所以,故選D.9、B【解析】,,.選B.點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解.10、D【解析】
由函數(shù)的單調(diào)性可得:當(dāng)x0<c時(shí),函數(shù)的單調(diào)性可得:f(a)>0,f(b)>0,f(c)>0,即不滿足f(a)f(b)f(c)【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2則函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)為增函數(shù),又實(shí)數(shù)a>b>c>0,滿足f(a)f(b)f(c)<0,則f(a),f(b),f(c)為負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù),對(duì)于選項(xiàng)A,B,C選項(xiàng)可能成立,對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)x0函數(shù)的單調(diào)性可得:f(a)>0,f(b)>0,f(c)>0,即不滿足f(a)f(b)f(c)<0,故選項(xiàng)D不可能成立,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
在分式的分子和分母中同時(shí)除以,然后利用常見數(shù)列的極限可計(jì)算出所求極限值.【詳解】由題意得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列極限的計(jì)算,熟悉一些常見數(shù)列的極限是解題的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】
先求出的平方值,再開方得到所求結(jié)果.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查求解復(fù)合向量模長的問題,求解此類問題的關(guān)鍵是先求模長的平方,將其轉(zhuǎn)化為已知向量運(yùn)算的問題.13、【解析】
根據(jù)奇偶性定義可知,利用可求得,從而得到;利用可求得結(jié)果.【詳解】為奇函數(shù)又即,解得:本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)值的問題,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
設(shè),由動(dòng)點(diǎn)滿足(其中和是正常數(shù),且),可得,化簡整理可得.【詳解】設(shè),由動(dòng)點(diǎn)滿足(其中和是正常數(shù),且),所以,化簡得,即,所以該圓半徑故該圓的半徑為.【點(diǎn)睛】本題考查圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和兩點(diǎn)距離公式,難點(diǎn)主要在于計(jì)算.15、10【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得:+=2,又+-=0,則2=,解得=0(舍去)或=2.則,,所以m=10.16、18【解析】
利用,化簡得到數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,利用,即可求解.【詳解】,即所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列即所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了與的關(guān)系以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】試題分析:(1)根據(jù)題知,由向量的數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算即可,注意,在去括號(hào)的向量運(yùn)算過程中可采用多項(xiàng)式的運(yùn)算方法;(2)根據(jù)向量數(shù)量積公式,可先求出的值,又,從而可求出的值.試題解析:(1)==(2)18、(1)(2)3【解析】
(1)分子分母同時(shí)除以即可得解;(2)由對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】解:(1)由,分子分母同時(shí)除以可得,原式.(2)原式.【點(diǎn)睛】本題考查了三角求值中的齊次式求值問題,重點(diǎn)考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.19、(1);(2).【解析】
(1)計(jì)算出的坐標(biāo),然后利用共線向量的坐標(biāo)表示列出等式求出實(shí)數(shù)的值;(2)求出和,從而可得出在方向上的投影為.【詳解】(1),,,,,,解得;(2),,在方向上的投影.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及投影的計(jì)算,在解題時(shí)要弄清楚這些知識(shí)點(diǎn)的定義以及坐標(biāo)運(yùn)算律,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)將題目過給已知代入進(jìn)行化簡,結(jié)合的表達(dá)式,可證得為等差數(shù)列;(2)利用(1)的結(jié)論求得的通項(xiàng)公式,代入求得的通項(xiàng)公式.【詳解】(1)證明:由題意知,,又,故,又易知,故數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列。(2)由(1)知,所以由,可得,故數(shù)列的通項(xiàng)公式為?!军c(diǎn)睛】本小題第一問考查利用數(shù)列的遞推公式證明數(shù)列為等差數(shù)列,然后利用這個(gè)等差數(shù)列來求另一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.在解題過程中,只需要牢牢把握住等差數(shù)列的定義,利用等差數(shù)列的定義來證明.21、(1)0.005;(2)平均分為73,眾數(shù)為65,中位數(shù)為;(3)10【解析】
(1)根據(jù)頻率之和為1,直接列式計(jì)算即可;(2)平均數(shù)等于每組的中間值乘以該組頻率,再求和;眾數(shù)指頻率最大的一組的中間值;中位數(shù)兩端的小長方形面積之和均為0.5;(3)根據(jù)題意分別求出,,,的人數(shù),即可得出結(jié)果.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得
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