上海中學(xué)東校2022年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

上海中學(xué)東校2022年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在R上定義運算：對、，有，如果，則的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.右圖中，為某次考試三個評卷人對同一道題的獨立評分，為該題的最終得分，當(dāng)時，（

）A．7

B．8

C．10

D．11參考答案：B略3.下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A4.已知實數(shù)x，y滿足，則z=2x﹣3y的最大值是（）A．﹣6 B．﹣1 C．6 D．4參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】計算題；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的四邊形ABCD及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=2x﹣3y對應(yīng)的直線進行平移，可得當(dāng)x=0且y=﹣2時，z=2x﹣3y取得最大值6．【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的四邊形ABCD及其內(nèi)部，其中A（0，﹣2），B（0，2），C（1，1），D（1，﹣1）設(shè)z=F（x，y）=2x﹣3y，將直線l：z=2x﹣3y進行平移，可得當(dāng)l經(jīng)過點A時，目標(biāo)函數(shù)z達到最大值∴z最大值=F（0，﹣2）=2×0﹣3×（﹣2）=6故選：C【點評】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題．5.均為正數(shù)，且則

A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<a<c參考答案：A略6.若x，y滿足，且的最大值為6，則k的值為（）A.－1 B.－7 C.1 D.7參考答案：C【分析】畫出確定的可行域，由圖象可知當(dāng)時，可行域不存在；當(dāng)時，與題意不符；當(dāng)時，通過可行域可知當(dāng)過時，取得最大值；將點坐標(biāo)代入可構(gòu)造出關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】由可得可行域如下圖陰影部分所示：則若，則可行域不存在，不符合題意若，則只有一個可行解，此時不合題意當(dāng)時，可行域如下圖陰影部分所示：可知當(dāng)過點時，取得最大值又

，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查線性規(guī)劃中，根據(jù)最優(yōu)解補全約束條件的問題；關(guān)鍵是能夠排除含變量的條件得到區(qū)域，再根據(jù)含變量的條件確定最終的可行域，通過最優(yōu)解的位置構(gòu)造方程求得結(jié)果.7.棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】L6：簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征．【分析】做本題時，需要將原圖形在心中還原出來，最好可以做出圖形，利用圖形關(guān)系，就可以求解了．【解答】解：棱長為2的正四面體ABCD的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖為△ABF，則圖中AB=2，E為AB中點，則EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=，DC=2，∴EF=，∴三角形ABF的面積是，故選C．8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出i的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：C【考點】EF：程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的i，S的值，當(dāng)S=21時，滿足條件S＜28，退出循環(huán)，輸出i的值為7，從而得解．【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得：i=10，S=55S=45不滿足條件S＜28，執(zhí)行循環(huán)體，i=9，S=36不滿足條件S＜28，執(zhí)行循環(huán)體，i=8，S=28不滿足條件S＜28，執(zhí)行循環(huán)體，i=7，S=21滿足條件S＜28，退出循環(huán)，輸出i的值為7．故選：C．【點評】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9.已知為奇函數(shù)，且在區(qū)間上有最小值，a、b為常數(shù)，則在上有A．最大值5

B.最小值5

C.最大值3

D.最大值9參考答案：答案:D10.設(shè)復(fù)數(shù)z1=1﹣2i（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z2的實部為2，且z1?z2是實數(shù)，則z2?=（）A． B．2 C．20 D．5參考答案：C【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．【分析】設(shè)z2=2+ai，a∈R，又z1=1﹣2i，由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算求出a，則復(fù)數(shù)z2可求，進一步求出，則z2?可求．【解答】解：設(shè)z2=2+ai，a∈R，又z1=1﹣2i，則z1?z2=（1﹣2i）?（2+ai）=（2+2a）+（a﹣4）i．∵z1?z2是實數(shù)，∴a﹣4=0．∴a=4．∴z2=2+4i.．則z2?=（2+4i）?（2﹣4i）=20．故選：C．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，AC=6，BC=7，，O是的內(nèi)心，若，其中，動點P的軌跡所覆蓋的面積為

參考答案：12.若實數(shù)x,y滿足xy=1,則+的最小值為______________.參考答案：

13.長方體的各個頂點都在體積為的球O的球面上，其中，

則四棱錐O-ABCD的體積的最大值為

．參考答案：2

略14.拋物線(a>0)的焦點為F，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于M，N兩點，若，則a=

.參考答案：15.

已知非零向量滿足０，向量的夾角為，且，則向量

與的夾角為

.參考答案：．由題設(shè)知：，得，16.在△中，三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，，，則

．參考答案：17.已知橢圓的方程為，是它的一條傾斜角為的弦，且是弦的中點，則橢圓的離心率為_________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx（Ⅰ）若函數(shù)F（x）=tf（x）與函數(shù)g（x）=x2﹣1在點x=1處有共同的切線l，求t的值；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x對所有的都成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）﹣x和G（x）=，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別求出函數(shù)的最值進行比較比較即可．（Ⅲ）利用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為以m為變量的函數(shù)關(guān)系進行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）g′（x）=2x，F(xiàn)（x）=tf（x）=tlnx，F(xiàn)′（x）=tf′（x）=，∵F（x）=tf（x）與函數(shù)g（x）=x2﹣1在點x=1處有共同的切線l，∴k=F′（1）=g′（1），即t=2，（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣x，則h′（x）=﹣1=，則h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，∴h（x）的最大值為h（1）=﹣1，∴|h（x）|的最大值是1，設(shè)G（x）==+，G′（x）=，故G（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，+∞）上是減函數(shù)，故G（x）max=+＜1，∴；（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x對所有的都成立，則a≤mlnx﹣x對所有的都成立，令H（x）=mlnx﹣x，是關(guān)于m的一次函數(shù)，∵x∈[1，e2]，∴l(xiāng)nx∈[0，2]，∴當(dāng)m=0時，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，當(dāng)x∈[1，e2]時，恒成立，故a≤﹣e2．19.已知數(shù)列中，（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍。參考答案：（1）（2）

，

兩式相減得若n為偶數(shù)，則若n為奇數(shù)，則略20.已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0對于任意的x∈R都成立，求m的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的值域．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）通過對x的取值范圍的分類討論，去掉絕對值符號，化為分段函數(shù)，即可求得函數(shù)f（x）的值域；（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0對于任意的x∈R都成立?1﹣2m≤f（x）min=﹣3，解之即可求得m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=，∴函數(shù)f（x）的值域為[﹣3，3]；（Ⅱ）∵不等式f（x）+2m﹣1≥0對于任意的x∈R都成立，∴1﹣2m≤f（x）min=﹣3，∴m≥2．即m的取值范圍為[2，+∞）．【點評】本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查絕對值不等式的應(yīng)用，考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運用，屬于中檔題．21.已知等差數(shù)列的公差不為0，前四項和，且成等比.⑴求數(shù)列的通項公式；⑵另，求；⑶設(shè)為數(shù)列的前項和，若對一切恒成立，求實數(shù)的最小值.參考答案：⑶

又

的最小值為........

12分

略22.如圖4，在斜三棱柱中，點O、E分別是的中點，，已知∠BCA=90°，.(1)證明：OE∥平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.