復變函數(shù)第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示法

復變函數(shù)第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示法第1頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復數(shù)列的極限定義4.1又設復常數(shù)：第2頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月定理4.1證明第3頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月第4頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月課堂練習:下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.收斂,極限為-1發(fā)散收斂，極限為0第5頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月2.復級數(shù)的概念級數(shù)的前面n項的和---級數(shù)的部分和---無窮級數(shù)定義4.2設復數(shù)列：不收斂

第6頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解定理4.2證明第7頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月解所以原級數(shù)發(fā)散.例1第8頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月必要條件重要結(jié)論:第9頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月不滿足必要條件,所以原級數(shù)發(fā)散.啟示:判別級數(shù)的斂散性時,可先考察?級數(shù)發(fā)散;應進一步判斷.第10頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月由定理4.2，復數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題。定理4.3定理4.4定義4.3第11頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月

?由定理4.4的證明過程，及不等式推論4.1證明第12頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月解例2第13頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月練習：發(fā)散第14頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月1.冪級數(shù)的概念2.收斂定理3.收斂圓與收斂半徑4.收斂半徑的求法5.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)§4.2冪級數(shù)第15頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月1.冪級數(shù)的概念定義設復變函數(shù)列：---稱為復變函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的最前面n項的和---級數(shù)的部分和

第16頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月若級數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)---級數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級數(shù)(1)中稱為冪級數(shù)第17頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月2.收斂定理同實變函數(shù)一樣，復變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：定理4.5(阿貝爾(Able)定理）第18頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第19頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對所有正實數(shù)都收斂，則級數(shù)(3)在復平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時，級數(shù)(3)在復平面上除z=0外處處發(fā)散。第20頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，<否則，級數(shù)(3)將在處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色，逐漸變大，在c內(nèi)部都是紅色,逐漸變小，在c外部都是藍色，紅、藍色不會交錯。故播放幻燈片37第21頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月

(i)冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。(ii)冪級數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.定義這個紅藍兩色的分界圓周cR叫做冪級數(shù)的收斂圓周；圓周的內(nèi)部成為收斂圓，這個圓的半徑R叫做冪級數(shù)的收斂半徑。第23頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,級數(shù):收斂圓周上無收斂點;在收斂圓周上處處收斂.第24頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2(比值法)證明第25頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3(根值法)第27頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月定理4.7(根值法)定理4.6(比值法)4.收斂半徑的求法第28頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1)(2)解(1)因為所以收斂半徑(2)第29頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.2解

綜上第30頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例3解第31頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解(1)該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散p=1p=2該級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。第32頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月

綜上該級數(shù)發(fā)散。該級數(shù)收斂，第33頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月故該級數(shù)在復平面上是處處收斂的.第34頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月5.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)

代數(shù)運算

---冪級數(shù)的加、減運算---冪級數(shù)的乘法運算第35頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月---冪級數(shù)的代換(復合)運算冪級數(shù)的代換運算在函數(shù)展成冪級數(shù)中很有用.例3解代換第36頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月解代換展開還原第37頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月

分析運算

定理4.8---冪級數(shù)的逐項求導運算---冪級數(shù)的逐項積分運算第38頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.4求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解第39頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.4求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項積分,得:所以第40頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P1002(1)(2)P1019(1)(2),10(1)第41頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月1.泰勒展開定理2.展開式的唯一性3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式§4.3

解析函數(shù)的泰勒(Taylor)展開第42頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月1.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達?(或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)?解析函數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示？）由§4.2冪級數(shù)的性質(zhì)知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示。第43頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月定理4.9（泰勒展開定理）Dk分析：代入(1)得第44頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月Dkz第45頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月---(*)得證！第46頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月證明(不講)第47頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月(不講)第48頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月證明(不講)第49頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月而如果把函數(shù)中的x換成z,在復平面內(nèi)來看函數(shù)1-z2+z4-…它有兩個奇點i,而這兩個奇點都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上,所以這個級數(shù)的收斂半徑只能等于1.因此,即使我們只關(guān)心z的實數(shù)值,但復平面上的奇點形成了限制.在實變函數(shù)中有些不易理解的問題,一到復變函數(shù)中就成為顯然的事情,例如在實數(shù)范圍內(nèi),展開式的成立必須受|x|<1的限制,這一點往往使人難以理解,因為上式左端的函數(shù)對任何實數(shù)都是確定的而且是可導的.第50頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月

例如：第51頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月yz0ax第52頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月2.展開式的唯一性結(jié)論解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級數(shù)。利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣的展開式是否唯一？事實上，設f(z)用另外的方法展開為冪級數(shù):第53頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月由展開式的唯一性，運用級數(shù)的代數(shù)運算、分析運算和已知函數(shù)的展開式來展開由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù)，因而是唯一的。---直接法---間接法代公式函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：第54頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例

解第55頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式例1解第56頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月間接法第57頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例2把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù):解（2）由冪級數(shù)逐項求導性質(zhì)得：第58頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月因ln(1+z)在從z=-1向左沿負實軸剪開的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點最近的一個奇點是-1,它的展開式的收斂范圍為z<1.第59頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月定理4.10第60頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月第61頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月4.解析函數(shù)零點的性質(zhì)性質(zhì)4.3不恒等于0的解析函數(shù)f(z)如果能表示成則稱z=z0為f(z)的m級零點。例如：第62頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)4.4事實上，必要性得證！充分性略！第63頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例如注:一個實函的零點不一定是孤立的.如第64頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月但在復變函數(shù)中,我們有定理性質(zhì)4.5第65頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P10115(3);23第66頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月1.雙邊冪級數(shù)2.函數(shù)展開成羅朗級數(shù)3.展開式的唯一性及求法4.典型例題§4.4解析函數(shù)羅朗(Laurent)展開第67頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月

一個以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z),可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù).如果f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級數(shù)來表示.但是這種情況在實際問題中卻經(jīng)常遇到.因此,在本節(jié)中將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)表示法.討論下列形式的級數(shù):可將其分為兩部分考慮:第68頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月只有正冪項和負冪項都收斂才認為原級數(shù)收斂于它們的和.正冪項是一冪級數(shù),設其收斂半徑為R2：這是z的冪級數(shù),設收斂半徑為R：

對負冪項,如果令z=(z-z0)-1,就得到：

則當|z-z0|>R1時,即|z|<R,因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圓環(huán)域,原級數(shù)才收斂.第69頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月z0R1R2例如級數(shù)第70頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有.例如,可以證明,上述級數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,而且可以逐項求積和逐項求導.冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì),級數(shù)現(xiàn)在反問,在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級數(shù)?先看下例.第71頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，1Oxy第72頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月由此推想，若f(z)在R

1<z-z0<R2

內(nèi)解析,f(z)可以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負冪次項,即第73頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月2.函數(shù)展開成羅朗級數(shù)定理4.12第74頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月3.證明思路Cauchy積分公式推廣到復連通域Dz0R1R2rRk1k2D1z第75頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月證明由復連通域上的Cauchy積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2第76頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月第77頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月式(*1),(*2)中系數(shù)cn的積分分別是在k2，k1上進行的，在D內(nèi)取繞z0的簡單閉曲線c，由復合閉路定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：證畢！第78頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)在許多實際應用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點z0的鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級數(shù)，那么就利用羅朗（Laurent）級數(shù)來展開。級數(shù)中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為羅朗級數(shù)的解析部分和主要部分。第79頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月4.展開式的唯一性結(jié)論一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f(z)的羅朗級數(shù)。事實上，Dz0R1R2c第80頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月Dz0R1R2c第81頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月二、函數(shù)的羅朗展開式求法常用方法:1.直接法2.間接法1.直接展開法利用定理公式計算系數(shù)然后寫出缺點:計算往往很麻煩.第82頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去展開.優(yōu)點:簡捷,快速.2.間接展開法第83頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月三、典型例題例1解由定理知:其中第84頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月故由柯西–古薩基本定理知:由高階導數(shù)公式知:第85頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月另解本例中圓環(huán)域的中心z=0既是各負冪項的奇點,第86頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解三、典型例題第87頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例2解練習解第88頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.7xyo12xyo12xyo12第89頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月解:第90頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月第91頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月注意首項第92頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)對于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理函數(shù)分解成多項式與若干個最簡分式之和，然后利用已知的幾何級數(shù)，經(jīng)計算展成需要的形式。小結(jié)：把f(z)展成羅朗(Laurent)級數(shù)的方法：第93頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月解(1)在(最大的)去心鄰域例4.8yxo12第94頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)在(最大的)去心鄰域xo12練習：第95頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)可以在以z0為中心的(由奇點隔開的)不同圓環(huán)域內(nèi)解析,因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的羅朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例).我們不要把這種情形與羅朗展開式的唯一性相混淆.所謂羅朗展開式的唯一性,是指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的羅朗展開式是唯一的.第96頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成羅朗(Laurent)級數(shù)。(2)Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的不同點：

Taylor級數(shù)先展開求R,找出收斂域。

Laurent級數(shù)先求f(z)的奇點，然后以z0

為中心，奇點為分隔點，找出z0到無窮遠點的所有使f(z)解析的環(huán)，在環(huán)域上展成級數(shù)。第97頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P10317，18第98頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月1.定義2.分類3.性質(zhì)4.零點與極點的關(guān)系§4.5孤立奇點第99頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月1.定義例如----z=0為孤立奇點----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇點----z=1為孤立奇點定義4.4~~~~~~~~~第100頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月xyo這說明奇點未必是孤立的。第101頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月2.孤立奇點的分類以下將f(z)在孤立奇點的鄰域內(nèi)展成羅朗級數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點進行分類。考察：特點：沒有負冪項特點：只有有限多個負冪項特點：有無窮多個負冪項第102頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月依據(jù)在其孤立奇點的去心鄰域內(nèi)的羅朗級數(shù)的情況分為三類:1．可去奇點1．可去奇點;2．極點;3．本性奇點.如果羅朗級數(shù)中不含

的負冪項,那末孤立奇點

稱為

的可去奇點.1)定義第103頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)(2)無論在是否有定義,補充定義則函數(shù)在解析.第104頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月如果補充定義:時,那末在解析.例中不含負冪項,是的可去奇點.第105頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月2)可去奇點的判定(1)由定義判斷:的洛朗級數(shù)無負在如果冪項,則為的可去奇點.(2)

判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點.第106頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例說明為的可去奇點.解

所以為的可去奇點.無負冪項另解

的可去奇點.為第107頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

極點

如果在羅朗級數(shù)中只有有限多個z-z0的負冪項,且其中關(guān)于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),則孤立奇點z0稱為函數(shù)f(z)的m級極點.上式也可寫成

其中g(shù)(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在|z-z0|<d內(nèi)是解析的函數(shù),且g(z0)0.

反過來,當任何一個函數(shù)f(z)能表示為(*)的形式,且g(z0)0時,則z0是f(z)的m級極點.第108頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月如果z0為f(z)的極點,由(*)式,就有定理4.13:這個定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡單的方法.例第109頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例思考第110頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月例第111頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月3.本性奇點

如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的本性奇點.注孤立奇點非孤立奇點支點(多值函數(shù))極點本質(zhì)奇點可去奇點第112頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月綜上所述:我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型.第113頁，課件共124頁，創(chuàng)作于2023年2月綜上所述:孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點洛朗級數(shù)特點存在且為有限值不存在且不為無負冪項含無窮多個負冪項含有限個負冪項關(guān)于的最高冪為