立體幾何專題

#/12.€AB丄BD，AB丄BA?TOC\o"1-5"\h\ziii€.AB丄平面ABD?ii(II)設(shè)平面aad的法向量為n=(x,y,z)?iAD=(—1,—咕3)，AA=(020)??*n_LAD，n丄aa1inAD=0,.-x+y-逅z=0,y=0nAA=0,[2y=0,?x=—巧z?Ji令z=1得n=(-73,01)為平面AAD的一個(gè)法向量.i由（I）矢口ab丄平面ABD,ii€.AB為平面ABD的法向量.iicos<nab>=icos<nab>=in?AB|4|AB二面角A—AD—Bi的大小為arccos乎.（III）由（II）,需為平面abd法向量,ii???BC=(—2,0,0),AB=(i,2,3)?i?€點(diǎn)C到平面ABD的距離d=BTBi=]-2止.iAB222i考點(diǎn)2異面直線的距離例2已知三棱錐S-ABC，底面是邊長(zhǎng)為4J2的正三角形，棱SC的長(zhǎng)為2,且垂直于底面。E、D分別為BC、AB的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離。解答過(guò)程：如圖所示，取BD的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,SF,CF,?€EF為ABCD的中位線,?€EF〃CD,€CD〃面SEF,.€CD到平面SEF的距離即為兩異面直線間的距離。又€?線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線CD上一點(diǎn)C到平面SEF的距離，設(shè)其為h,由題意知，BC=4邁,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點(diǎn),

CD€2、6,EF€1CD=.、/6DF=邁,SC=22.V€1丄?EF，DF，SC€-，1.「6，?、遼，2€三S-cef32323在Rt?SCE中，SE=€気匚CE2€2詔在Rt?SCF中，SF€VSC2+CF2€、；4…24…2=^30又?€EF由于V€又?€EF由于V€VC-SEFS-CEF€3，S?SEFh，即13h€羊，解得h€聲故CD與SE間的距離為2訂3~3~考點(diǎn)3直線到平面的距離例3.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體Aq中，G是AA]的中點(diǎn)，求BD到平面GB^＜的距離.OiDO思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離,再用點(diǎn)到平面距離的方法求解。OiDO解答過(guò)程：解析一€?BD〃平面GB]D1,.BD上任意一點(diǎn)到平面GB]￡的距離皆為所求,以下求點(diǎn)0平面GB]D]的距離，?€BD丄AC，BD丄AA，.BD丄平面AACC，11111111111又?€BDu平面GB]D].平面A】ACC】丄GB]D】，兩個(gè)平面的交線是O]G,作OH丄O]G于H,則有OH丄平面GB】D]，即OH是O點(diǎn)到平面GB】D】的距離。TOC\o"1-5"\h\z1i「「在?OOG中，S€，OO，AO€—?2，\；2=p2?！緼O]OG2】2又S€1，OH，OG€1?込，OH€?、遼，:.OH€込?o】og21232[Z即BD到平面GB】D】的距離等于—3—。小結(jié):當(dāng)直線與平面平行時(shí),直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離。

考點(diǎn)4異面直線所成的角例4如圖，在Rt△AOB中,€OAB=n,斜邊AB=4.Rt△AOC可以通過(guò)Rt△AOB6以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C的直二面角.D是AB的中點(diǎn).（I）求證：平面COD丄平面AOB；（II）求異面直線AO與CD所成角的大小.解答過(guò)程：（I）由題意，CO丄AO（II）求異面直線AO與CD所成角的大小.??€BOC是二面角B—AO—C是直二面角，??CO丄BO，又???AO^BO二O,??CO丄平面AOB,又CO…平面COD.??平面COD丄平面AOB.（II）作DE丄OB，垂足為E,連結(jié)CE（如圖），則DE〃AO,?€CDE是異面直線AO與CD所成的角.在RtACOE中，CO=BO=2,OE=1BO=1CECO2+OE2=<5小結(jié)：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法：在異面直線中的一條直線又小結(jié)：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法：在異面直線中的一條直線又DE=2AO仝??在RS中，tanCDE=D|呂沖上選擇“特殊點(diǎn)，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；②補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三。一般來(lái)說(shuō)，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法。同時(shí)要特別注意異面直線所成的角的范圍：考點(diǎn)5直線和平面所成的角例5.四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC丄底面ABCD?已知ZABC€45,AB=2,bc=2込,SA=SB=?3?(I)證明SA丄BC;(II)求直線SD與平面SAB所成角的大小.解答過(guò)程：(I)作SO丄BC，垂足為O，連結(jié)AO，由側(cè)面SBC丄底面ABCD，得SO丄底面ABCD-因?yàn)镾A€SB，所以AO€BO，又ZABC€45。,故△AOB為等腰直角形,AO丄BO,由三垂線定理，得SA丄BC.(II)由(I)知SA丄BC,依題設(shè)AD〃BC,B故SA丄AD,由AD€BC=2j2,SA=弋3,AO=J2,得SO€1,SD€v11?△MB的面積s€丄ab?i一2,1\2-AB(2丿jSA2-2?連結(jié)DB,得ADAB的面積S€丄ABADsinl35。=222設(shè)D到平面SAB的距離為h，由于V€V，得丄hS=丄SOS，解得h€?2?D-SABS-ABD3h匕3SOS2設(shè)SD與平面SAB所成角為d，則sina€—=2二竺2?SD頂11所以，直線SD與平面SBC所成的我為arcsin運(yùn)?11解法二:(I)作SO丄BC，垂足為O，連結(jié)AO，由側(cè)面SBC丄底面ABCD，得SO丄平面ABCD.因?yàn)镾A€SB，所以AO€BO?又ZABC€45。,△AOB為等腰直角三角形，AO丄OB.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系O-xyz,A(j2,0,0),B(0,2,0),C(0,-J2,O),S(0,0,1),SA€(遼0,dTTyACB€(0,2J2,0),SACB€0，所以SA丄BC.(II)取AB中點(diǎn)E,連結(jié)SE,取SE中點(diǎn)G,連結(jié)OG,G丄、?，4，2丿OG，OG?DSOG，OG?DScosa，，lOGl?lDSlv2211sin0，竺11，SE，SE?OG，0,ABOG，0,OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SE,AB垂直.所以O(shè)G丄平面SAB,OG與DS的夾角記為a,SD與平面SAB所成的角記為0，則a與0互余.D（運(yùn)2心2,0）,DS，（-弋2,2運(yùn)1）-所以，直線SD與平面SAB所成的角為arcsin22?11小結(jié):求直線與平面所成的角時(shí),應(yīng)注意的問(wèn)題是(1)先判斷直線和平面的位置關(guān)系;(2)當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：①構(gòu)造一一作出斜線與射影所成的角，②證明-—論證作出的角為所求的角，③計(jì)算一-常用解三角形的方法求角，④結(jié)論-—點(diǎn)明直線和平面所成的角的值.考點(diǎn)6二面角C<0,CA，CB，Q例6?如圖，已知直二面角a-PQ-0,AC<0,CA，CB，QZBAP，45，直線CA和平面a所成的角為30。.(I)證明BC丄PQ(II)求二面角B-AC-P的大小.過(guò)程指引：(I)在平面0內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CO丄PQ于點(diǎn)O,連結(jié)OB.因?yàn)閍丄0，a^0=PQ，所以CO丄口,又因?yàn)镃A，CB，所以O(shè)A，OB.而ZBAO，45°，所以ZABO，45°,ZAOB，90°，從而B(niǎo)O丄PQ，又CO丄PQ，所以PQ丄平面OBC.因?yàn)锽Cu平面OBC，故PQ丄BC.(II)由(I)知，BO丄PQ，又a丄0，a?0=PQ,BOua，所以BO丄0.過(guò)點(diǎn)O作OH丄AC于點(diǎn)H，連結(jié)BH，由三垂線定理知，BH丄AC.故

€BHO是二面角B-AC-P的平面角.由(|)知，CO丄，,所以€CAO是CA和平面,所成的角，則€CAO=30。，不妨設(shè)AC=2二AOsin30呂不妨設(shè)AC=2在Rt△OAB中,€ABO=€BAO=45°,所以BO二AO二,于是在Rt△BOHBO3中,tan€BHO===2.故二面角B—AC—P的大小為arctan2.OH逅小結(jié):本題是一個(gè)無(wú)棱二面角的求解問(wèn)題.解法一是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平面角.無(wú)棱二面角棱的確定有以下三種途徑：①由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，②由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，③補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計(jì)算的方法，這也是解決無(wú)棱二面角的一種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí)，可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小.考點(diǎn)7利用空間向量求空間距離和角例7.如圖，已知ABCD—ABCD是棱長(zhǎng)為3的正方體，1111點(diǎn)E在AA上，點(diǎn)F在CC上,且AE=FC=1.111求證:EB，F(xiàn),D四點(diǎn)共面；12若點(diǎn)G在BC上,BG=-，點(diǎn)M在BB上,GM丄BF，垂足為H,31求證:EM丄平面BCCB；11(3)用?表示截面EBFD和側(cè)面BCCB所成的銳二面角的大小，求tan?.111過(guò)程指引：(1)如圖,在上取點(diǎn)N,使DN=1,連結(jié)EN,CN,則AE=DN=1，CF=ND=2.M1因?yàn)锳E〃DN,ND〃CF,所以四邊形ADNE,CFDN都為平行四邊形.從11而EN//AD,FD〃CN.i又因?yàn)锳D/BC,所以EN/BC,故四邊形BCNE是平行四邊形，由此推知CN/BE,從而FD/BE.因此，E,B,F,D四點(diǎn)共面.11

(2)如圖，GM丄BF，又BM丄BC，所以ZBGM=ZCFB,BC23BM€BG.tanZBGM=BG.tanZCFB=BG.-—==1.CF32因?yàn)锳E酗，所以ABME為平行四邊形，從而AB〃EM.又AB丄平面Bee,Bi,所以EM丄平面BegB「(3)如圖，連結(jié)EH.因?yàn)镸H丄BF,EM丄BF,所以BF丄平面EMH,得EH丄BF.于是ZEHM是所求的二面角的平面角，即ZEHM€,.因?yàn)閆MBH€ZCFB，所以MH=BM.sinZMBH=BM.sinZCFB€BM?BCBC2+€BM?BCBC2+CF2332+223€苗MHtan,€空又它們有公共點(diǎn)B又它們有公共點(diǎn)B，所以E，B，F(xiàn),D四點(diǎn)共面.解法二：(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系，則BE€(3,01)，BF€>■>■>■??所以BD]€BE+BF,故BD「BE，BF共面.?2…(2)如圖，設(shè)M(0,0,z)，則GM€0,——，z，V3丿而B(niǎo)F€(0,3,2),由題設(shè)得而靈€—2.3+z?2=0,^3得z€1-因?yàn)镸(0,0,1),E(3,0,1)，有ME€(3,0,0),又BB€(0,0,3)BC€(0,3,)，所以M