微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)分析方法

微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)分析方法第1頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月凸集定義

第2頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月例子

1維空間：單個(gè)點(diǎn)2維空間：直線、射線、線段圓、橢圓、矩形、梯形、三角形等第3頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月三維空間呢？第4頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第5頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月總結(jié)“沒有任何孔，邊緣不能有縮進(jìn)”

——蔣中一第6頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月意義經(jīng)濟(jì)分析中，常假設(shè)可行集合（約束集）為凸集。約束條件下可行集是凸集保證最優(yōu)解唯一的必要條件。第7頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月問題經(jīng)濟(jì)學(xué)分析中，有哪些約束集合？第8頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題：判斷下列集合是否為凸集第10頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月凹函數(shù)（concave）第11頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月凹函數(shù)的定義以最簡單的單變量函數(shù)為例來定義：，和是定義域中的兩個(gè)量，令，如果滿足則稱為凹函數(shù)（小于等于，凸函數(shù)）若則稱為嚴(yán)格凹函數(shù)（小于，嚴(yán)格凸函數(shù)）第12頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月直觀圖形嚴(yán)格凹函數(shù)ABCD第13頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月直觀圖形非嚴(yán)格凹函數(shù)第14頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月總結(jié)兩點(diǎn)間的曲線（弧）與兩點(diǎn)間的直線重合，或在其之上。第15頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月用一階導(dǎo)數(shù)來定義第16頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月xf(x)圖示第17頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月總結(jié)該曲線與其切線重合或者位于其切線的下方。過曲線上任何一點(diǎn)的做切線，該曲線均在切線或切線下方。第18頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月凹函數(shù)的定義對雙變量函數(shù)來說：

第19頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月圖示ABCDzy第20頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月總結(jié)在曲面上，任何兩點(diǎn)的連線均在對應(yīng)的曲線的下方，則稱為凹函數(shù)。第21頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月一階導(dǎo)數(shù)的定義當(dāng)且僅當(dāng)：即：做任何一個(gè)切面，函數(shù)值均在切面或切面之下。第22頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月對于多變量函數(shù)第23頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月凹函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的判定方法若函數(shù)存在二階連續(xù)偏微分，則：第24頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月與上述判定方法等價(jià)的方法：引入海塞矩陣多變量函數(shù)：該函數(shù)的一階全微分表示為：第25頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月二階全微分表達(dá)式第26頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月簡化表達(dá)第27頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月海塞矩陣（二階導(dǎo)數(shù)矩陣）第28頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月二階全微分的簡潔表達(dá)（引入海塞矩陣）第29頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月二階導(dǎo)數(shù)的判定方法當(dāng)且僅當(dāng)海塞矩陣為負(fù)半定時(shí)，該函數(shù)為凹函數(shù)。

負(fù)半定：即順序主子式值正負(fù)交替變化，一階小于等于零，二階大于等于零……當(dāng)（非當(dāng)且僅當(dāng)）海塞矩陣為負(fù)定時(shí)，該函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)。

負(fù)定：即即順序主子式值正負(fù)交替變化，一階小于零，二階大于零……第30頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月順序主子式值正負(fù)交替變化第31頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月二階導(dǎo)數(shù)的判定方法當(dāng)且僅當(dāng)海塞矩陣為正半定時(shí)，該函數(shù)為凸函數(shù)。

正半定：即順序主子式值全部大于等于零當(dāng)（非當(dāng)且僅當(dāng)）海塞矩陣為正定時(shí)，該函數(shù)為嚴(yán)格凸函數(shù)。

正定：即即順序主子式值全部大于零第32頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)檢驗(yàn)下列函數(shù)的凹凸性：第33頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月（使用順序主子式方法檢驗(yàn)）第34頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月擬凹函數(shù)（quasiconcave）第35頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月定義第36頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月定義第37頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月圖示N函數(shù)圖形上任意一段弧MN,使N點(diǎn)高于M點(diǎn)，如果除M和N點(diǎn)外，該弧段上的點(diǎn)均高于或等于M點(diǎn)，則該函數(shù)為擬凹函數(shù)。AB第38頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月思考：與凹函數(shù)的關(guān)系？凹函數(shù)一定是擬凹函數(shù)，但擬凹函數(shù)不一定是凹函數(shù)。擬凹性是比凹性要弱的條件。第39頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月典型圖示Xf(x)第40頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月上等值集判定方法如果該函數(shù)的上等值集是凸集，則該函數(shù)為擬凹函數(shù)。上等值集的定義：第41頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月例子：

第42頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月一階導(dǎo)數(shù)定義第44頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月擬凹函數(shù)的二階必要條件第45頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月加邊海塞矩陣第46頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第47頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月擬凹函數(shù)的充分條件第48頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月擬凸函數(shù)的充分條件第49頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)第50頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月無約束條件下的極值問題第51頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)化的一階條件第52頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月滿足一階條件是極值的必要條件？充分條件？第53頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月雙變量的情形第54頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第55頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月A第56頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第57頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月A第58頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月二階條件第59頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月二階必要條件第60頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月回憶：關(guān)于凹函數(shù)第61頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月等式約束條件下的最優(yōu)化問題第62頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月自由極值、約束極值在無約束的最優(yōu)化問題中，決策變量之間是彼此獨(dú)立的。但是當(dāng)存在約束條件時(shí)，決策變量之間就要受到相互影響。第63頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月xyz自由極值約束極值第64頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月多約束條件下：約束條件的數(shù)量應(yīng)少于決策變量的數(shù)量第65頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月約束條件下求極值的方法拉格朗日乘數(shù)法目標(biāo)函數(shù)：約束條件：構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)：

第66頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第67頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月面臨多個(gè)約束時(shí)的一階條件第68頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月面臨多個(gè)約束時(shí)的一階條件第69頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月拉格朗日乘數(shù)的含義第70頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月單個(gè)等式約束情形下極值的二階條件第71頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月極大值的二階充分條件：用海塞加邊行列式注意：與