勾股定理典型題總結(jié)(較難)

勾股定理典型題總結(jié)(較難)

勾股定理是初中數(shù)學(xué)中的重要定理之一，它可以用來(lái)解決直角三角形中的各種問(wèn)題。除此之外，勾股定理還有一些有趣的應(yīng)用。首先，我們可以通過(guò)幾何圖形來(lái)證明勾股定理。例如，我們可以以直角三角形的三條邊為邊，向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形，然后探究它們之間的面積關(guān)系。另外，我們還可以通過(guò)構(gòu)造一些有趣的圖形，來(lái)拓展勾股定理的應(yīng)用。例如，我們可以考慮一個(gè)有趣的問(wèn)題：有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過(guò)多次“生長(zhǎng)”后形成了一個(gè)“枝繁葉茂”的圖形。在“生長(zhǎng)”了2017次后，所有正方形的面積之和是多少？類似的問(wèn)題還有很多，可以通過(guò)構(gòu)造圖形來(lái)解決。此外，勾股定理還可以應(yīng)用于一些變式問(wèn)題。例如，我們可以在直線上依次擺放七個(gè)正方形，然后根據(jù)已知條件求出某些正方形的面積。又或者，我們可以考慮一個(gè)四邊形問(wèn)題，通過(guò)向外作正方形來(lái)求解其中一個(gè)正方形的面積。最后，勾股定理還可以應(yīng)用于一些難題中。例如，我們可以考慮一個(gè)數(shù)學(xué)文化節(jié)的標(biāo)志問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形來(lái)求解其中的面積?？傊?，勾股定理是一個(gè)非常有用的定理，它可以應(yīng)用于各種數(shù)學(xué)問(wèn)題中，包括幾何圖形的面積、直線上的問(wèn)題、四邊形問(wèn)題以及難題等。我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造了一幅名為“趙爽弦圖”的圖形，用于證明勾股定理。圖中的圖6是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成。記圖中正方形ABCD、正方形EFGH和正方形MNKT的面積分別為S1、S2和S3。若S1+S2+S3=10，則S2=。勾股定理是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理。在一個(gè)直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。根據(jù)這個(gè)定理，可以推導(dǎo)出勾股定理的逆定理。在解題時(shí)，需要注意分類討論，以避免易錯(cuò)點(diǎn)。例題1：在一個(gè)直角三角形ABC中，已知兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)度為多少？例題2：如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)方形被折疊，使得一條邊AD與另一條邊BC相交于點(diǎn)F。已知AB=8cm，BC=10cm。求EC的長(zhǎng)度和三角形FEC的面積。例題3：在一個(gè)三角形ABC中，已知AB=15，BC=14，AC=13。求三角形ABC的面積。記憶公式：正三角形的面積等于(a^2*√3)/4，其中a是正三角形的邊長(zhǎng)。例題4：如圖所示，在一個(gè)直角三角形ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N。已知AC=4，MB=2MC，求AB的長(zhǎng)度。例題5：一個(gè)四邊形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2，AD=2。求四邊形ABCD的面積。構(gòu)造直角三角形是解題時(shí)常用的方法之一。例題6：如圖所示，一個(gè)四邊形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=6，BC=3-√3，CD=6。求AD的長(zhǎng)度。例題7：如圖所示，一副直角三角板放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，AC=5。求CD的長(zhǎng)度。變式3：在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=AC，點(diǎn)D在AB上，且∠ACD=15°，AD=1，求BC的長(zhǎng)度。解：因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以∠BAC=45°。又因?yàn)椤螦CD=15°，所以∠BAD=30°。因此△ABD是30°-60°-90°三角形，所以BD=2AD=2。又因?yàn)锳B=AC，所以∠ABC=45°，∠BCA=45°。所以△BCD是45°-45°-90°三角形，所以BC=BD=2。所以BC=2。C變式1：在方格紙中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上。小明觀察探究后發(fā)現(xiàn)：①△ABC是等腰三角形；②△ABC的周長(zhǎng)是210+2；③△ABC的面積是5；④點(diǎn)C到AB邊的距離是10。你認(rèn)為小明觀察的正確結(jié)論序號(hào)有？變式2：在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1。則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3變式3：在正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長(zhǎng)為1，則△ABC是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對(duì)變式4：在小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形中，則四邊形ABCD的面積是()A．25B.12.5C.9D.8.5三．勾股定理實(shí)際應(yīng)用最短路徑問(wèn)題例題1：在長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5。已知螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（）A.521B.25C.105+5D.35變式1：在一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)廊體盒子緊貼地面中，一只螞蟻由A出發(fā)，在盒子表面上爬到點(diǎn)G。已知AB=7、BC=5、CG=5，求這只螞蟻爬行的最短距離。變式2：在長(zhǎng)方體中，底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm，高為6cm。如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要多少cm；如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，所用細(xì)線最短需要多少cm。變式3：在透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）中，高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm。在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒。此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處。則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A．13cmB．2cmC．10cmD．2cm影響判定問(wèn)題例題2：某貨船以24海里／時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處。在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得該島在北偏東30°的方向上。已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁。若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無(wú)暗礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由。ABDM變式1：根據(jù)題意，臺(tái)風(fēng)中心從B點(diǎn)到D點(diǎn)的距離為260km，速度為15km/h，因此從B點(diǎn)到D點(diǎn)需要時(shí)間為260/15=17.33小時(shí)。而在距離臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的破壞，因此在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后，正在D點(diǎn)休閑的游人應(yīng)該盡快撤離，以免受到危險(xiǎn)。變式2：根據(jù)題意，拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛，因此學(xué)校是否受到噪聲影響取決于拖拉機(jī)是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。根據(jù)正弦定理，可以求出∠PNQ的角度為150°，因此∠APN=30°。又因?yàn)锳P=160m，因此PN=AP/sin∠APN=320m。由此可知，拖拉機(jī)在公路上行駛100m所需要的時(shí)間為100/18=5.56秒，因此學(xué)校受到噪聲影響的時(shí)間應(yīng)該小于5.56秒。變式3：根據(jù)題意，長(zhǎng)方形ABCD的寬為2m，高為2.5m，因此卡車通過(guò)公司大門的條件是卡車的高度不大于2.5m，寬度不大于2m。由于卡車的寬度為1.6m，因此可以通過(guò)公司大門。1.在等腰直角三角形ABC中，有AB=AC，點(diǎn)D是斜邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF。(1)證明：連接AE和AF，由AE=EF、AF=CF、∠EAF=∠ACB=45°可知△AEF≌△ACF，因此BE=EF，同理可證CF=EF，所以BE+CF=EF，由勾股定理可知AB=BC=AC，所以正方形ABCD的面積為S=AB2/2=s2/2，其中s為三角形ABC的斜邊長(zhǎng)。(2)若BE=12，CF=5，由勾股定理可知AB=AC=13，BC=13√2，DE=DF=6.5，EF=6.5√2-12-5=2.5√2，所以△DEF的面積為S=DE·EF/2=32.5-5√2。答案：32.5-5√2。2.給定一個(gè)正方形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH=x，連接EG和FH交于點(diǎn)O。(1)證明：由正方形的對(duì)稱性可知，OE=OG，OF=OH，所以△OEF≌△OGH，因此OE=GH，OF=EG，所以EF=GH=2x，同理可證FG=HE=2x，所以正方形ABCD的面積為S=(2x)2=4x2。(2)若x=3，則正方形ABCD的面積為36，EF=FG=GH=HE=6，所以△OEF和△OGH的面積分別為S1=OE·EF/2=18和S2=OF·FG/2=18，所以△EOG的面積為S3=S1+S2=36，所以點(diǎn)O在正方形的重心上，即O為對(duì)角線的交點(diǎn)。答案：36。3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,0)，點(diǎn)B(3,4)，點(diǎn)C(6,0)，點(diǎn)D為線段BC上一點(diǎn)，且ABCD為平行四邊形。(1)證明：由平行四邊形的性質(zhì)可知，AD平行于BC且AD=BC，所以ADCB是一個(gè)平行四邊形，由向量的加法可知AD=AB+BD=3i+4j+BD，BC=CD=3i-BD，所以3i+4j+BD=3i-BD，即BD=1.5，所以AD=BC=3+1.5=4.5，所以平行四邊形ABCD的面積為S=AD·AB=18。(2)若線段BD的中點(diǎn)為E，則DE=1.5，由勾股定理可知BE=2.5√2，所以三角形ABE的面積為S1=BE·AB/2=15√2/2，三角形AED的面積為S2=DE·AE/2=9/2，所以四邊形ABED的面積為S3=S1+S2=15√2/2+9/2。答案：18，15√2/2+9/2。4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,0)，點(diǎn)B(4,0)，點(diǎn)C(4,3)，點(diǎn)D為線段BC上一點(diǎn)，且ABCD為梯形。(1)證明：由梯形的性質(zhì)可知，AD平行于BC且AD+BC=AB，所以ADCB是一個(gè)梯形，由向量的加法可知AD=AC-CD=3i+3j，BC=CD=3j，所以AD+BC=3i+6j=AB，即AB2=45，所以AB=3√5，所以梯形ABCD的面積為S=(AB+CD)·h/2=(3√5+3)·3/2=4.5√5+4.5。(2)若線段BD的中點(diǎn)為E，則DE=3/2，由勾股定理可知BE=3√5/2，所以三角形ABE的面積為S1=BE·AB/2=9/2，三角形AED的面積為S2=DE·AE/2=9/4，所以四邊形ABED的面積為S3=S1+S2=9/2+9/4=27/4。答案：4.5√5+4.5，27/4。5.如圖，平面內(nèi)有一個(gè)正五邊形ABCDE，點(diǎn)F、G、H分別為AB、BC、CD邊上的點(diǎn)，且AF=BG=CH=x，連接FH和AG交于點(diǎn)O。(1)證明：由正五邊形的對(duì)稱性可知，OF=OG=OH=OE，所以△OFG≌△OEH，因此OG=EH，OF=GE，所以GF=HE=2x，同理可