高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法課件新人教B版必修

3.3

一元二次不等式及其解法1.理解一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程之間的關(guān)系,能借助二次函數(shù)的圖象解一元二次不等式.2.能利用一元二次不等式解決相關(guān)的實(shí)際問題,并會(huì)設(shè)計(jì)求解一元二次不等式的程序框圖.3.了解簡單的分式不等式、含參數(shù)的不等式和簡單高次不等式的解法.1.一元二次不等式的概念形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a≠0,a,b,c均為常數(shù))的不等式叫做一元二次不等式.用文字表述為:一般地,含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式,叫做一元二次不等式.【做一做1】

已知不等式:①x2>0;②-x2-2x≤15;③x3-5x+6>0;④x2-y<0.其中一元二次不等式的個(gè)數(shù)為(

)

答案:B2.二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式之間的聯(lián)系設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a>0)歸納總結(jié)對(duì)于一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為正且存在兩個(gè)根的情況,常用口訣是:大于取兩邊,小于取中間.即:一個(gè)前提:“a>0”和四句話“根上等于零,根間小于零,根外大于零,無根大于零”.對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a<0)的一元二次不等式,可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù),再對(duì)照上述情況求解.我們把二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式稱之為標(biāo)準(zhǔn)一元二次不等式.【做一做2-1】

不等式x2-2x+1>0的解集是(

)A.R

B.{x|x∈R,且x≠1}C.{x|x>1} D.{x|x<1}答案:B【做一做2-2】

不等式-6x2-x+2≤0的解集是

.

3.用程序框圖描述求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的算法過程【做一做3】

函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則不等式f(x)>0的解集是

.

答案:?一二三四一、借助函數(shù)圖象解不等式的原理分析剖析:我們知道以自變量的取值為橫坐標(biāo),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值作為縱坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中描出所有的點(diǎn),這些點(diǎn)就構(gòu)成了函數(shù)的圖象.因此函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的意義是橫坐標(biāo)是自變量的取值,縱坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的意義也是一樣.由于位于x軸上方的點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0,位于x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于0,位于x軸下方的點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于0,所以二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象上位于x軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是不等式f(x)=ax2+bx+c>0的解集,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象上位于x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是不等式f(x)=ax2+bx+c<0的解集.所以可以用二次函數(shù)的圖象解一元二次不等式.當(dāng)然,對(duì)于任意函數(shù)y=f(x),只要能畫出它的圖象,那么就可以解不等式f(x)>0或f(x)<0.一二三四一二三四二、簡單的一元高次不等式的解法剖析:一元高次不等式f(x)>0用數(shù)軸穿根法(或稱根軸法,區(qū)間法)求解,其步驟是:(1)將f(x)最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù);(2)將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積或二次不可分因式之積;(3)將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上,從右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線(注意重根情況,偶次方根穿而不過,奇次方根既穿又過);(4)根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的f(x)值的符號(hào)變化規(guī)律,寫出不等式的解集.即:f(x)>0,其中f(x)=a0xk+a1xk-1+…+ak,且f(x)能分解為若干個(gè)一次因式的積a0(x-x1)(x-x2)…(x-xk)>0,其中a0>0,x1<x2<…<xk-1<xk,如圖所示.一二三四這k個(gè)值將數(shù)軸分為(k+1)個(gè)區(qū)間(xk,+∞),(xk-1,xk),(xk-2,xk-1),…,這(k+1)個(gè)區(qū)間從右到左依次編號(hào)為第1,2,3,…,k+1號(hào),那么f(x)>0的解集為第1,3,5,…奇數(shù)號(hào)區(qū)間的并集.一二三四三、分式不等式的解法剖析:分母中含有未知數(shù),且分子、分母都是關(guān)于未知數(shù)的多項(xiàng)式的不等式稱為分式不等式,解分式不等式的基本思路是將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式或整式不等式組.常見的四種形式的分式不等式轉(zhuǎn)化方法如下表所示.一二三四一二三四四、教材中的“?”

2.不等式x2+4x+4≥0的解集是什么?x2+4x+4≤0的解集是什么?剖析:x2+4x+4≥0相當(dāng)于(x+2)2≥0,所以不等式的解集為R.x2+4x+4≤0相當(dāng)于(x+2)2≤0,所以不等式的解集為{x|x=-2}.題型一題型二題型三題型四題型五一元二次不等式的概念【例1】

①x2+x+1<0,②-x2-4x+5≤0,③x+y2+1>0,④mx2-5x+1>0,⑤-x3+5x≥0,⑥(a2+1)x2+bx+c>0(m,a∈R).其中關(guān)于x的不等式是一元二次不等式的是

.(請(qǐng)把正確的序號(hào)都填上)

解析:①②是;③不是;④不一定是,因?yàn)楫?dāng)m=0時(shí),它是一元一次不等式;⑤不是,因?yàn)槲粗獢?shù)的最高次數(shù)是3;⑥是,⑥與④不同,盡管x2的系數(shù)含有字母,但a2+1≠0,故答案為①②⑥.答案:①②⑥反思當(dāng)所給不等式的二次項(xiàng)系數(shù)含字母時(shí),要注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零,這一點(diǎn)決定了這個(gè)不等式是否為一元二次不等式.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練1】

下列不等式哪些是一元二次不等式(其中a,b,c,m為常數(shù))?并說明理由.(1)ax2>0;(2)x3+5x-6≥0;(3)-x-x2≤0;(4)x2+3x>0;(5)mx2-5y>0;(6)ax2+bx+c≤0;(7)x-

>0.題型一題型二題型三題型四題型五解:

題型一題型二題型四題型五題型三一元二次不等式的解法【例2】

不等式x2+x-2<0的解集為

.

解析:由x2+x-2<0,即(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故原不等式的解集為{x|-2<x<1}.答案:{x|-2<x<1}反思在具體求解一個(gè)一元二次不等式的過程中,當(dāng)所給不等式是非標(biāo)準(zhǔn)不等式形式時(shí),應(yīng)先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,再密切結(jié)合一元二次方程的根的情況以及二次函數(shù)的圖象求解.這種方法體現(xiàn)了“化歸”思想的運(yùn)用,要注意體會(huì).

題型一題型二題型四題型五題型三題型一題型二題型三題型四題型五含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例3】

解關(guān)于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).分析:這是一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式,首先考慮因式分解,分解之后可知方程的根是a,a2,需要對(duì)兩根進(jìn)行大小比較,所以要進(jìn)行討論.解:將不等式x2-(a+a2)x+a3>0變形為(x-a)·(x-a2)>0.當(dāng)a<0或a>1時(shí),有a<a2,解集為{x|x<a或x>a2};當(dāng)0<a<1時(shí),有a>a2,解集為{x|x<a2或x>a};當(dāng)a=0時(shí),解集為{x|x≠0};當(dāng)a=1時(shí),解集為{x|x≠1}.題型一題型二題型三題型四題型五反思解含參數(shù)的一元二次不等式一般都需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,在分類討論時(shí),一般要注意以下三個(gè)方面:(1)對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,是正數(shù)還是負(fù)數(shù)進(jìn)行討論,以便確定解集的形式;(2)對(duì)判別式Δ>0,Δ=0,Δ<0進(jìn)行討論,以便確定一元二次方程根的個(gè)數(shù);(3)對(duì)相應(yīng)一元二次方程根的大小進(jìn)行討論,以確定出解集.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練3】

解關(guān)于x的不等式2x2+ax+2>0.解:∵Δ=a2-16,∴①當(dāng)Δ<0,即-4<a<4時(shí),方程2x2+ax+2=0沒有實(shí)數(shù)根,原不等式的解集為R;②當(dāng)Δ≥0,即a≥4或a≤-4時(shí),方程2x2+ax+2=0的兩根為∴當(dāng)a=-4時(shí),原不等式的解集為{x|x∈R,且x≠1};當(dāng)a>4或a<-4時(shí),原不等式的解集為當(dāng)a=4時(shí),原不等式的解集為{x|x∈R,且x≠-1}.

題型一題型二題型三題型四題型五已知一元二次不等式的解集求參數(shù)問題【例4】

若關(guān)于x的不等式px2+qx+2>0的解集為{x|-1<x<2},求p+q.分析:本題需要通過不等式的解集來確定不等式的系數(shù),它類似于在初中所碰到的由方程的根確定方程的系數(shù).于是我們很自然地想到能否將不等式問題轉(zhuǎn)化為方程問題.解:∵不等式px2+qx+2>0的解集為(-1,2),∴方程px2+qx+2=0的兩根是x1=-1,x2=2,且p<0.題型一題型二題型三題型四題型五反思在本題中,已知不等式的解集,要求確定其系數(shù),這和解不等式的問題(已知系數(shù)求其解集)正好是互為逆向的兩類問題.這類問題也可以用下面的方法來解:(1)先作出一個(gè)解集符合要求的不等式;(2)根據(jù)不等式同解的要求,確定其系數(shù)的數(shù)值.利用此法確定不等式系數(shù)時(shí),必須注意:①將兩不等式化為同向不等式;②同向二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)同號(hào),否則就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練4】

已知關(guān)于x的方程x2+2mx-m+12=0的兩個(gè)實(shí)根都大于2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:設(shè)方程x2+2mx-m+12=0的兩根為x1,x2.題型四題型五題型一題型二題型三分式不等式的解法【例5】

解下列關(guān)于x的不等式:當(dāng)a>0時(shí),ax(x+1)<0?x(x+1)<0?{x|-1<x<0};當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為?;當(dāng)a<0時(shí),ax(x+1)<0?x(x+1)>0?{x|x>0或x<-1}.題型四題型五題型一題型二題型三反思在把分式轉(zhuǎn)化為整式的過程中應(yīng)注意分母不能為零,對(duì)于“≥”“≤”型的分式不等式,轉(zhuǎn)化后應(yīng)變?yōu)椴坏仁浇M.題型四題型五題型一題型二題型三123451已知集合M={x||x|<3},N={x|x2-x-6>0},則M∩N為(

)A.R

B.{x|-2<x<3}C.{x|-3<x<-2或x>3} D.{x|-3<x<-2}答案:D123452函數(shù)y=

的定義域是(

)A.{x|x<-4或x>3}

B.{x|-4<x<3}C.{x|x≤-4或x≥3} D.{x|-4≤x≤3}解析:要使函數(shù)有意義,只需x2+x-12≥0.方程x2+x-12=0的解為x1=-4,x2=3.函數(shù)y=x2+x-12的開口向上,且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(-4,0),(3,0).故原不等式的解集為{x|x≤-4或x≥3}.答案:C123453已知關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0