立體幾何(解析版)-2023年新高考數(shù)學(xué)新情景、新文化、新定義?？紗栴}分類全歸納(新高考地區(qū)專用)

223CD,AB平面CDEFEFFGFG,ED，所以BFBGBFCG,垂足為M,則CMEFM,HN,L,連接FN,ELMNB．平面ABFE,CDABFE223CD,AB平面CDEFEFFGFG,ED，所以BFBGBFCG,垂足為M,則CMEFM,HN,L,連接FN,ELMNB．平面ABFE,CDABFE,EF,CD平面CDEF,,而CD平面ABCD,EF平面ABCD,故EF∥平面ABCD,EF,由于CDFG,BC2BC121,,又233平面AB==2EFCG21,所以GF,作EHDHHMC．=2，11CD,垂足為H,,FM,FM5312DG2BG212MND．EF,而△BF1M,FM,MN平面MNF52121,BCF是正三角形，2,,又GC1,則△FGC為等邊三角形，一、單選題1．（2022·浙江·蒼南中學(xué)高三階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻?”指底面為矩形.頂部只有一條棱的五面體.如圖，五面體ABCDEF是一個“芻?”，其中△BCF是正三角形，AB2BC2EF2，BFED，則該五面體的體積為（）

A．

【答案】D

【解析】由題意知AB∥

所以CD∥平面ABFE,又平面ABFE所以CD∥設(shè)CD中點為G，連接，故DG∥則四邊形EFGD為平形四邊形，則ED∥因為BF

由已知可得

則FC

作FM

則MH

則分別過點作BC的平行線，交AB于,

則HM所以HM平面MNF,同理HM平面EHL,

BCF是正三角形，EF∥平面ABCD，EHL和兩個相同的四棱錐FBCF是正三角形，EF∥平面ABCD,則處于過ADBC的中點連線且和底面EFCDEFBAFMC≌FMEHL為直棱柱，可知平面FMN平面BCMN,MCBN的高即為FMN的底邊MN上的高，為2VFMCBNABCABCF是正三角形，EF∥平面ABCD，EHL和兩個相同的四棱錐FBCF是正三角形，EF∥平面ABCD,則處于過ADBC的中點連線且和底面EFCDEFBAFMC≌FMEHL為直棱柱，可知平面FMN平面BCMN,MCBN的高即為FMN的底邊MN上的高，為2VFMCBNABCABB．72πBC，ABC補全成長方體，ABC外接球的半徑2則積不容異”，意思是兩個同高的立體，MCBN、EF,,MN1,()21231,C．144R36.,FNB,FM32322142BCD．288AB24FNSFMN(12)2122PA4PABCBC2,1222，則鱉臑外PA212，3，()2521232,(12)224,故五面體ABCDEF可分割為直棱柱FMNEDHLA,由于△ABCD垂直的平面內(nèi)，

即五面體的兩側(cè)面是全等的梯形，故

由于FN

由于棱柱FMN

則四棱錐F

所以該五面體的體積為VFMNEHL

故選:D2．（2022·山西·忻州一中高三階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四

面體稱為鱉臑.在鱉臑PABC中，PA平面

接球的表面積是（）A．36【答案】A【解析】由題意可知AB如圖，將鱉臑P

則鱉臑P

故鱉臑PABC外接球的表面積為4R故選：A.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）公元656年，唐代李淳風(fēng)注《九章》時提到祖暅的開立圓術(shù).祖暅在求球體積時，使用一個原理：“既同，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理，我們可以應(yīng)用此原理將一些復(fù)雜幾何體轉(zhuǎn)化為常見幾何體的組合體來計算體積.如圖，將雙曲線

x2與直線x所圍成的平面圖形繞雙曲線的實軸所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到幾何552x

yt5t3與C相交于兩點時，內(nèi)圓半徑ry軸建立平面直角坐標(biāo)系，y軸的最短距離為62y軸的最長距離為2y軸的最短距離為62

yt5t4335t235t1425x2與直線x所圍成的平面圖形繞雙曲線的實軸所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到幾何552x

yt5t3與C相交于兩點時，內(nèi)圓半徑ry軸建立平面直角坐標(biāo)系，y軸的最短距離為62y軸的最長距離為2y軸的最短距離為62

yt5t4335t235t14255

t35233與①22x252t252223得：，，則在該位置旋轉(zhuǎn)一周所得圓226252232中圖形相交時，兩交點之間距離為23y35，不合題意，①4522529t，不合題意，①2322，母線長為6，與幾何體吻合；5t，2t；2，不合題意，①錯誤

體，下列平面圖形繞其對稱軸（虛線所示）旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體與的體積相同的是（）

A．圖①，長為6?寬為4的矩形的兩端去掉兩個弦長為4?半徑為3的弓形

B．圖①，長為2?寬為4的矩形的兩端補上兩個弦長為4?半徑為3的弓形

C．圖①，長為6?寬為4的矩形的兩端去掉兩個底邊長為4?腰長為3的等腰三角形

D．圖①，長為2?寬為4的矩形的兩端補上兩個底邊長為4?腰長為3的等腰三角形

【答案】B

【解析】由y

則當(dāng)

環(huán)面積為4

將所有圖形均以矩形的中心為原點，以對稱軸為

對于①，雙曲線實軸長為25，①中

錯誤；

對于①，幾何體母線長為6，①中

錯誤；

對于①，在

當(dāng)

此時圓環(huán)面積為

y軸的最長距離為2

yt5t

2.523與①中圖形相交時，兩交點之間距離為2123

3,232．32t213y軸的最長距離為2

yt5t

2.523與①中圖形相交時，兩交點之間距離為2123

3,232．32t21326，矩形高為2293,22t2C．，15，與幾何體吻合；22,2D132,2

當(dāng)

此時圓面積為9t，與圓環(huán)面積相同，滿足題意，①正確.

故選：B.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究

發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24，棱長為2的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點E為線段BC上的動點，則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為（）

A

【答案】C【解析】將半正多面體補成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

2,2,10,1,1,2,2BCAF,DE112221B．32,F,AFDEAFDE121,C．42r2h0,1,1((2t22π，2,2,10,1,1,2,2BCAF,DE112221B．32,F,AFDEAFDE121,C．42r2h0,1,1((2t22π，πr213,BC1,1,0.,0,222)22)2，則cos12,2D．632π，解得r320,1，則E12(2)2222AF,DE12,1cosAF,DE.23,12，所以3，3π.2t221,2,DE,122t12211，,.22.2,0.2(2)2

所以A2,1,0，B1,0,2,C,D,AF

設(shè)BE

所以cos

令t

因為2t

故直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為

故選：C5．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第11卷中將軸截面為等腰直角三角形的圓錐稱為“直角圓錐”.若一個直角圓錐的側(cè)面積為

32，則該圓錐的體積為（）

A．3

【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，根據(jù)直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形可得，

圓錐高h(yuǎn)r，母線長l

圓錐的側(cè)面積為πrl

所以圓錐的體積為13πr

3113πh3CD，且ABB．7πB．7.6mr1,B3113πh3CD，且ABB．7πB．7.6mr1,BCC．13π32232,CD3D．14πC．22.8mr'23.140.51.4m.，3D．34.4m36．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在著

陸場預(yù)定區(qū)域成功著陸，三名航天員安全出艙.神舟十三號返回艙外形呈鐘形鈍頭體，若將其近似地看作圓臺，其高為2.5m，下底面圓的直徑為2.8m，上底面圓的直徑為1m，則可

估算其體積約為（）π3.14

A．3.6m

【答案】B【解析】因為圓臺的上底面圓的半徑是0.5m，高是2.5m，下底面圓的半徑是1.4m，

所以Vrr2.50.51.427.6

故選：B.7．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試）《九章算術(shù).商功》中，將四個面都是直角三角形

的四面體成為鱉臑.在鱉臑ABCD中，AB平面BCD，BC

則四面體ABCD外接球的表面積為（）

A．14π3

【答案】D【解析】由題意可知四面體ABCD如圖所示，

24B．37%R,r4r4RB．12380cm3π

圓臺114πR2C．47%2R2rr2425R2

2C．12680cm31424B．37%R,r4r4RB．12380cm3π

圓臺114πR2C．47%2R2rr2425R2

2C．12680cm3143224D．57%25，4827%.D．12280cm3232π922412280（cm3）727214π.，

所以四面體ABCD外接球的表面積為S

故選：D.8．（2022·云南·昆明一中高三開學(xué)考試）2021年5月15日7時18分，我國首個自主研發(fā)的火星探測器“天問一號”，在經(jīng)歷了296天的太空之旅，總距離約4.7億公里的飛行后，天問一號火星探測器所攜帶的祝融號火星車及其著陸組合體，成功降落在火星北半球的烏托邦平原南部，實現(xiàn)了中國航天史無前例的突破.已知地球自轉(zhuǎn)的線速度約為火星自轉(zhuǎn)線速度的兩倍，地球自轉(zhuǎn)一周為24小時，而火星自轉(zhuǎn)一周約為25小時.地球與火星均視為球體，則火星的表面積約為地球表面積的（）A．27%【答案】A

【解析】令地球、火星半徑分別為，則2，故

所以火星的表面積約為地球表面積

故選：A9．（2022·湖北·宜城市第二高級中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，何尊是我國西周早期的青銅禮

器，其造型渾厚，工藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞最早的文字記載，何尊還是第一個出現(xiàn)“德”字的器物，證明了周王朝以德治國的理念，何尊的形狀可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，組合體的高約為40cm，上口直徑約為28cm，經(jīng)測量可知圓臺的高約為16cm，圓柱的底面直徑約為18cm，則該組合體的體積約為（）（其中π的值取3）

A．11280cm3【答案】D【解析】由題意得圓柱的高約為401624（cm），

則何尊的體積VVV9214916

故選：D．10．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））1750年，歐拉在給哥德巴赫的一封信中列舉了多

EF2．已知一個正多面體每個面都是全等的等邊三角形，每B．523F

VEF?咸蛋黃等蒸制而成的金字43B．644331113EF2．已知一個正多面體每個面都是全等的等邊三角形，每B．523F

VEF?咸蛋黃等蒸制而成的金字43B．64433111334SC．60V122E2C．8r

ABCABCD．62，解得ED．10330，所以VF20EF62．面數(shù)，則有如下關(guān)系：V個頂點均連接5條棱，則VEF（）A．50【答案】D

5V2E【解析】由已知條件得出

故選：D．11．（2022·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開學(xué)考試）端午佳節(jié)，人們有包粽子和吃粽子的習(xí)

俗，粽子主要分為南北兩大派系，地方細(xì)分特色鮮明，且形狀各異，裹蒸粽是廣東肇慶地區(qū)最為出名的粽子，是用當(dāng)?shù)靥赜械亩~?水草包裹糯米?綠豆?塔形的粽子，現(xiàn)將裹蒸粽看作一個正四面體，其內(nèi)部的咸蛋黃看作一個球體，那么，當(dāng)咸蛋

黃的體積為時，該裹蒸粽的高的最小值為（）

A．4【答案】A【解析】要使正四面體的高最小，當(dāng)且僅當(dāng)球與正四面體相內(nèi)切，

設(shè)正四面體的棱長為a，高為h，內(nèi)切球的半徑為r，則，解得r1，

如圖正四面體SABC中，令D為BC的中點，O1為底面三角形的中心，則SO底面ABC

所以VShr，即h4r4.

故選：A12．（2022·湖北·宜城市第二高級中學(xué)高三開學(xué)考試）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球因而蹴鞠就

BCtanPBAB．18π42，tanPBA12PC24，，則該鞠（球）的表面積為（）C．36π，得：MPCHPM236πAC62D．64π6212BCtanPBAB．18π42，tanPBA12PC24，，則該鞠（球）的表面積為（）C．36π，得：MPCHPM236πAC62D．64π62122CH2.BC22ABMHPH224，22，24621282

223，，36，物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠（球）的表面上有四個點A，B，C，P，且球心O在PC上，AC

tanPAB

A．9π【答案】C

【解析】如圖，取AB的中點M，連接MP，由AC=BC=4，AC①BC得：AB

由tanPAB

連接CM并延長，交球O于點H，連接PH，因為PC球O的直徑，

設(shè)球的半徑為R，則PH①CH，MH

則PH

所以2R2

解得：R3，球的表面積為4πR

故選：C13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）劉徽構(gòu)造的幾何模型“牟合方蓋”中說：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸．規(guī)之為圓困，徑二寸，高二寸．又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似

OOr，由勾股定理有PS31313rr3163B．83rSh313rr．PQ31333r2r2rh2，故此正方OOr，由勾股定理有PS31313rr3163B．83rSh313rr．PQ31333r2r2rh2，故此正方形面積是r2h．如C．163r13r23PQRS33r，2D．163r，33的公共部分，計算其體積的方法是將原來的“牟合方益”平均分為八份，取它的八分之一（如圖一）．記正方形OABC的邊長為r，設(shè)OPh，過P點作平面PQRS平行于平面

OABC．OS

果將圖一的幾何體放在棱長為r的正方體內(nèi)（如圖二），不難證明圖二中與圖一等高處陰影部分的面積等于h2．（如圖三）設(shè)此棱錐頂點到平行于底面的截面的高度為h，不難發(fā)現(xiàn)對

于任何高度h，此截面面積必為h2，根據(jù)祖暅原理計算牟合方蓋體積（）注：祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等

A．83r

【答案】C

【解析】V

由祖暅原理圖二中牟合方蓋外部的體積等于V

所以圖1中幾何體體積為V

所以牟合方蓋體積為8V

故選：C．14．（2022·江蘇·泰州中學(xué)高三開學(xué)考試）《算數(shù)書》是已知最早的中國數(shù)學(xué)著作，于上世紀(jì)八十年代出土，大約比現(xiàn)有傳本的《九章算術(shù)》還要早近二百年．《算數(shù)書》內(nèi)容豐富，有學(xué)者稱之為“中國數(shù)學(xué)史上的重大發(fā)現(xiàn)”．在《算數(shù)書》成書的時代，人們對圓周率的認(rèn)識不多，用于計算的近似數(shù)與真實值相比誤差較大．如書中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，

136B．3.142r，所以r13628218082C．3.16L2L3)D．3.20，2B．882136B．3.142r，所以r13628218082C．3.16L2L3)D．3.20，2B．8823hC．2(663L2h122)D．88L2h363，2

其中L和h分別為圓錐的底面周長和高．這說明，該書的作者是將圓周率近似地取為（）A．3.00【答案】A

【解析】因為L

則V

①3.故選：A．15．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））魯班鎖起源于中國古代建筑的榨卯結(jié)構(gòu)．這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝，如圖（1），這是一種常見的魯班鎖玩具，圖（2）是該魯班鎖玩具的直觀圖．已知該魯班鎖玩具每條棱的長均為1，則該魯班鎖玩具的表面積

為（）

A．2(6

【答案】A【解析】

由圖可知：該魯班鎖玩具的表面積為6個邊長為1的正八邊形和8個邊長為1的正三角形的

面積和，如圖為正八邊形的平面圖，易得BADADC135，作

，垂足為E,F，則AEBEDFCF，則八邊形的面積為

1212211222，則該魯班鎖玩具的表面積為

2682(6623).ABA，垂足為E,F，則AEBEDFCF，則八邊形的面積為

1212211222，則該魯班鎖玩具的表面積為

2682(6623).ABAC0PABC0BC，所以一定成立；故C正確．90，如圖所示：2PA2290不成立，則90時，ACPACPACPACPC，則PBC222

132122B．可能成立D．可能成立PABC0AB2AC,PAAB2AB2ACB90，或CB.90，三棱錐是“鱉臑”；故D正確．BCAC0BCAB0AC2.ABPAC均為直角三角形.PA2PCAC2，PBABC90.,所以①PAB,①,22AB2PA2PA2，PCAC2.2PA2AC2可知，三邊不滿足

12

22

故選：A.二、多選題16．（2022·河北保定·高三階段練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，四個面都是直角三角形的三棱

錐被稱為“鱉臑”.在鱉臑PABC中，PA底面ABC，則（）

A．可能成立

C．一定成立

【答案】BCD

【解析】因為PA底面ABC，所以PA若BAC

則①ABC為直角三角形，所以BC

因為PA底面ABC，所以

所以PB

在①PBC中，由BC勾股定理，所以①PBC不是直角三角形，三棱錐不是“鱉臑”.故A錯誤．由三棱錐是“鱉臑”可知：①ABC為直角三角形.由上面的推理可知：BAC當(dāng)ACB又PABC，PAACA，且PA面，AC面，所以BC面，所以BCPCB90，三棱錐是“鱉臑”；故B正確．同理可證：若ABC90，則故選：BCD17．（2022·云南·高三階段練習(xí)）“塹堵”“陽馬”和“鱉臑””是我國古代對一些特殊幾何體的

,V,23V22VV2B．秋千繩與道路始終垂直D．秋千板與道路始終垂直V3D．V,V,23V22VV2B．秋千繩與道路始終垂直D．秋千板與道路始終垂直V3D．V，陽馬的體積VB．V12V6V32V，瞥臑的體積VV6，個長方體沿對角面斜解（圖1），得到一模一樣的兩個塹堵（圖2），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.

若長方體的體積為V，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為V，

則下列選項正確的是（）

A．VV

C．V3

【答案】ACD

【解析】由題意，塹堵的體積V

故選：ACD18．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）《蝶戀花·春景》是北宋大文豪蘇軾所寫的一首詞作.其下闕為：“墻里秋千墻外道，墻外行人，墻里佳人笑，笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱”.如圖所示，假如將墻看做一個平面，墻外的道路?秋千繩?秋千板簡單看做是直線.那么道路和墻面線面平行，秋千靜止時，秋千板與墻面線面垂直，秋千繩與墻面線面平行.那么當(dāng)佳人在蕩秋千的過程中（）

A．秋千繩與墻面始終平行C．秋千板與墻面始終垂直【答案】ACD【解析】顯然，在蕩秋千的過程中，秋千繩與墻面始終平行，但與道路所成的角在變化.而秋千板始終與墻面垂直，故也與道路始終垂直．

ABC11AB1

11AACC11體積最大為A點分別作111

1111

1ACBC

111

111AACCABC1ABC11AB1

11AACC11體積最大為A點分別作111

1111

1ACBC

111

111AACCABC111ACCCCB111

114ACBC22ACBCBCSA1ACC11ABC2．下列說法正確的是（23ABAF1ACBC

ACBC

11111

22時取等號，11AF，中，于點E，3AC）AC于點EF1BCA1ACCBCF，則AA1，且AB113ACBC1ACBC2343，錯；19．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于

底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個

面均為直角三角形的四面體稱為“鱉膈”．如圖在塹堵

AA1

A．四棱錐BAACC陽馬”

B．四面體ACCB為“鱉膈”

C．四棱錐B

D．過AE

【答案】ABD【解析】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，①在塹堵ABCABC中，，側(cè)棱AA平面ABC，

A選項，①AABC，又，且AAACA，則BC平面AACC，

①四棱錐BAACC陽馬”，對；

B選項，由，即ACBC，又ACCC且CCC，

①AC平面BBCC

①ACBC，則ABC

又由BC平面，得為直角三角形，

由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形．

①四面體ACCB為“鱉膈”，對；

C選項，在底面有，即ACBC2，

當(dāng)且僅當(dāng)AC

VB

D選項，因為BC平面AACC，則BC

AC1BCC，則AF平面，

1ABABEF1AC1BCC，則AF平面，

1ABABEF11213222232DO，則由題可得OG2r1242252r2556，r2，11①AFAB，又AB且AFAEA，

則平面AEF，所以則，對；

故選：ABD．20．（2022·湖南·長沙一中模擬預(yù)測）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，

圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意

的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球，O，O1為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O

的一條直徑，若球的半徑r2，則（）

A．球與圓柱的表面積之比為1：2

B．平面DEF截得球的截面面積最小值為165

C．四面體CDEF的體積的取值范圍為0，

D．若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則PEPF的取值范圍為5，43

【答案】BCD【解析】由球的半徑為r，可知圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為2r，則球表面積為4r，圓柱的表面積2r

所以球與圓柱的表面積之比為23，故A錯誤；

過O作OG

設(shè)O到平面DEF的距離為d1，平面DEF截得球的截面圓的半徑為r1，

OG，r21(0,4]11232

DCO12,PEPE2，則t

PEPF2t2216t242r2124438d322PF22OG，r21(0,4]11232

DCO12,PEPE2，則t

PEPF2t2216t242r2124438d322PF22t

tPFd41P22282225,432E2,PF16t14485,48，故D正確.d422，224，2P245F2,PE21652t2，P16tF28016，

所以平面DEF截得球的截面面積最小值為165，故B正確；

由題可知四面體CDEF的體積等于2VEDCO，點E到平面DCO的距離d，1又S8，所以2V(0,]，故C正確；

由題可知點P在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)P在底面的射影為P，

則PP

設(shè)t0,42，PE

所以

24

所以PE

故選：BCD.21．（2022·海南·模擬預(yù)測）素描是使用單一色彩表現(xiàn)明暗變化的一種繪畫方法，素描水平反映了繪畫者的空間造型能力．“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時常用的幾何體實物模型，如圖是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品．“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點（該點為所在棱的中點）．若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為6的正四棱柱構(gòu)成，則

（）

248422，BF163324816，C正確；16232,EF,BEF222132248422，BF163324816，C正確；16232,EF,BEF22213233,DE，CE2112162，B正確；226,BEDE13，則cos6，顯然CE223332,cosDE231313CD2B．該“十字貫穿體”的表面積是11216

C．該“十字貫穿體”的體積是

D．一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點B的最短路線長為43

【答案】BCD【解析】如圖一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線CE、DE

則在梯形BDEF中，可知BD3

設(shè)DEF

根據(jù)立體圖可得CD

即CE、DE不垂直，A不正確；該“十字貫穿體”的表面積是由4個正方形和16個與梯形BDEF全等的梯形組成

則表面積S44

如圖兩個正四棱柱的重疊部分為多面體CDGEST，取CS的中點I

則多面體CDGEST可以分成8個全等三棱錐CGEI，則VCGEI

該“十字貫穿體”的體積即為V2248VCGEI

Ccos2sin2BEsin43B21米，則該正四棱錐的（）P2cos210，即FEN為鈍角，過B作NE的垂線BH，垂足sin2cosBEN43MCcos2sin2BEsin43B21米，則該正四棱錐的（）P2cos210，即FEN為鈍角，過B作NE的垂線BH，垂足sin2cosBEN43M13cos2sin4242，D正確；D231222B路線，則路線長為432222221339122222613

若在表面內(nèi)移動，則有：借助部分展開圖，如圖所示：

①cosFEN

為H，則BH在展開圖內(nèi)

sinBEN

BH

根據(jù)對稱可知此時最短路徑為2BH

則從頂點A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點的最短路徑為

故選：BCD．22．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常

有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，多見于亭閣式建筑、園林建筑下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底

面所成的二面角為30，側(cè)棱長為

B．側(cè)棱與底面所成角的余弦值為3BC，2a30PHO2PBO為側(cè)棱與底面所成的角，BOPBABCD的側(cè)面積為SABCD的側(cè)體積為V77D．體積為12立方米B．側(cè)棱與底面所成角的余弦值為3BC，2a30PHO2PBO為側(cè)棱與底面所成的角，BOPBABCD的側(cè)面積為SABCD的側(cè)體積為V77D．體積為12立方米30，則OHPHPB1246213663a,OP2322133a,PHPC2，即a427243平方米，所以C正確；123立方米，所以D正確.332，所以B錯誤；233(2a，33a)221，解得a3，

C．側(cè)面積為24平方米

【答案】ACD【解析】如圖所示，在正四棱錐PABCD中，O為正方形ABCD的中心，且PH設(shè)底面邊長為，正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為，

所以

在直角PHC中，可得HC

所以正四棱錐PABCD的底面邊長為6，所以A正確；因為PO平面ABCD，所以

在直角POB中，可得cosPBO

正四棱錐P

正四棱錐P

故選：ACD.

23．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））祖暅（公元5—6世紀(jì)，祖沖之之子），是我國齊梁時代的數(shù)學(xué)家，他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.如圖將底面

S環(huán)圓54FD8634FD543環(huán)1V24FDV橢球，所以F橢圓的焦點，因此FD是橢圓的最小焦半徑，即球F的最大半徑為863V圓柱，S環(huán)圓54FD8634FD543環(huán)1V24FDV橢球，所以F橢圓的焦點，因此FD是橢圓的最小焦半徑，即球F的最大半徑為863V圓柱，故C正確，D錯誤.圓錐55616223230，①A正確，B錯誤；

平行于平面且與距離為d的平面截兩個幾何體得到S及S兩截面，可以證明S

總成立，若橢半球的短軸AB6，長半軸CD，則下列結(jié)論正確的是（）

A．橢半球體的體積為30πB．橢半球體的體積為15πC．如果CF，以F為球心的球在該橢半球內(nèi)，那么當(dāng)球F體積最大時，該橢半球體

挖去球F后，體積為

D．如果CF，以F為球心的球在該半球內(nèi)，那么當(dāng)球F體積最大時，該橢半球體挖去球F后，體積為29【答案】AC【解析】由題意知，短軸AB6，長半軸CD的橢半球體的體積為

V

橢球的軸截面是橢圓，它的短半軸長為3，長半軸長為5，所以半焦距為4，由于CF1，

該橢半球體挖去球F后，體積為30

故選：AC.24．（2022·全國·模擬預(yù)測）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長為a，則（）

63a8a24

226π23BM13a332234aOM得Ra263a8a24

226π23BM13a332234aOM得Ra2332263a，AM(aaAB263212BMR)2a3，外接球體積為2(6333a，a)2，解得R64a，OM612R（內(nèi)切球半

B1

C．勒洛四面體的截面面積的最大值為142π

D．勒洛四面體的體積V,a【答案】ABD【解析】首先求得正四面體的一些結(jié)論：正四面體ABCD棱長為，M是底面BCD的中心，O是其外接球（也是內(nèi)切球）的球心，外接球半徑為R，AM是高，如圖．

BM

由BO

徑）．

正四面體ABCD的體積為VABCD

π646003360421243a，a1

0a3，正四面體的外接球的體積V26aπ3aABCD46426π8aπ646003360421243a，a1

0a3，正四面體的外接球的體積V26aπ3aABCD46426π8a1a3，2B6864πa3．a(chǎn)，故正確；

對于A選項，由勒洛四面體的結(jié)構(gòu)知勒洛四面體表面上任意兩點間的距離的最大值為a，故A正確；對于B選項，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖，

其中點E為該球與勒洛四面體的一個切點，O為該球的球心，易知該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，

易知B、O、E三點共線，且BEa，OB

因此OE

對于C選項，由勒洛四面體的結(jié)構(gòu)知勒洛四面體表面上任意兩點間的距離的最大值為a，最大的截面即經(jīng)過四面體ABCD表面的截面，如圖，

根據(jù)勒洛四面體結(jié)構(gòu)的對稱性，不妨設(shè)此截面為投影光線垂直于正四面體的一個面ABD時，勒洛四面體在與平面ABD平行的一個投影平面α上的正投影，當(dāng)光線與平面ABD夾角不為90°時，易知截面投影均為上圖所示圖像在平面α上的投影，其面積必然減小.上圖截面為三個半徑為a，圓心角為60°的扇形的面積減去兩個邊長為a的正三角形的面積，

即3a22a2，故C錯誤；

對于D選項，勒洛四面體的體積介于正四面體ABCD的體積和正四面體ABCD的外接球的

體積之間，正四面體ABCD的體積V1

故D正確.

32cm，高為6cm（不含1423ABC中，CM為AB邊上得中線，O為三角形ABC的中心，則OD即632cm，高為6cm（不含1423ABC中，CM為AB邊上得中線，O為三角形ABC的中心，則OD即61326331824.44）63335.52，28832cm3，33cm，OC2CM323cm，OD361226cm，25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“端午節(jié)”為中國國家法定節(jié)假日之一，已被列入世界非

物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，吃粽子便是端午節(jié)食俗之一．全國各地的粽子包法各有不同．如圖，粽

子可包成棱長為6cm的正四面體狀的三角粽，也可做成底面半徑為

外殼）的圓柱狀竹筒粽．現(xiàn)有兩碗餡料，若一個碗的容積等于半徑為6cm的半球的體積，則

（）（參考數(shù)據(jù)：2

A．這兩碗餡料最多可包三角粽35個B．這兩碗餡料最多可包三角粽36個C．這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個D．這兩碗餡料最多可包竹筒粽20個【答案】AC

【解析】兩碗餡料得體積為：2

如圖，在正四面體D為正四面體的高，

CM

所以正四面體的體積為1326182cm，

即一個正四面體狀的三角粽的體積為182cm，

因為288所以這兩碗餡料最多可包三角粽35個，故A正確，B錯誤；

27212332221.33，6272cm3，

一個圓柱狀竹筒粽得體積為27212332221.33，6272cm3，

因為288

所以這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個，故C正確，D錯誤.故選：AC.26．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖，六角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以六角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正六棱錐.已知此正六棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，這

個角接近30°，若取θ=30°，側(cè)棱長為25米，則（）

A．正六棱錐的底面邊長為2米

B．正六棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值為

C．正六棱錐的側(cè)面積為48平方米D．正六棱錐的體積為16立方米【答案】BCD【解析】如圖，設(shè)正六邊形的中心為O，AB的中點為M，連接OM，PO，

PAO為側(cè)棱與底面所成的角．PMOMABAB32220161213ABO的平面角，故MB22，故tan48（平方米），故PAO為側(cè)棱與底面所成的角．PMOMABAB32220161213ABO的平面角，故MB22，故tan48（平方米），故C正確．34，OM，而OMPB2，故x5，故x4，故錯．PAO162163（立方米），故D正確．PMO32

230x，故，

x2424，PMx2122，故B正確．A設(shè)ABx，由正六棱錐的性質(zhì)可得PAPB，由等邊三角形OAB可得，故PMO為二面角P

所以PM

在RtPMB中，有PM

又在RtPAO，PO

正六棱錐的側(cè)面積為S644

正六棱錐的體積為V6

故選：BCD．

三、填空題27．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中

點，則CPFQ________.

CA1122(CACD13CACB1CD，2(CACD22123142222222Oh02CA1122(CACD13CACB1CD，2(CACD22123142222222Oh022332CB|CA||CB1CD242|cos602，CBCD0，則CP)R2，得R5，1CA2341CB2CA2，12CB21CACB41CACD41CBCD4

【解析】正八面體ABCDEF中，CA,CB,CD不共面，而P，Q分別為棱AB，AD的中點，

有CACD

FQFCCDDAEACD)CACBCDCD

)

CPFQ(12CACB)(32CACB

1.

故答案為：128．（2022·全國·高三專題練習(xí)）祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.即：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．有一個球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直徑為8，高為2，利用祖暅原理可求得該球形瓷碗的體積為______．

【答案】523π

【解析】設(shè)瓷碗所在球的半徑為R，則有R

設(shè)從瓷碗截面圓心O處任意豎直距離O（O也可在O下方，此時h）如圖1所

示，

52BCK與O之間部分幾何體的體積：523343523CD223h3153Vπ.2,AC32312BD3h2266，52152BCK與O之間部分幾何體的體積：523343523CD223h3153Vπ.2,AC32312BD3h2266，5213,BC2，故圓環(huán)面積也為π53AD（注：半球體積V5，則該鞠（球）的體積為__________．3h2，3圖2中,在以過球心的截面圓為底面圓，以R5為高的圓柱中挖去一個等底等高的圓錐，

易知OM6即在求瓷碗體積時，符合祖暅原理，（備注：瓷碗是圖3中上方倒扣的部分）當(dāng)h0時，如圖4所示：

此時：OC由祖暅原理得：圖3中

V圓柱的體積圓錐的體積1

所以瓷碗的體積V

故答案為：

29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）蹴鞠，2006年5月20日，已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四個點(不共面)A、B、C、D,

AB

【答案】6

CDACBD中，ACBD的外接球，AABDy232x2ACBD外接球的直徑即為長方體ACBDR436中，，是的中點，，G分別在

BBAC，平面MNG1AA于1

KAAG2KAAM3211AHKA33BHNB

AH12,ACx,ACx2z25CDACBD中，ACBD的外接球，AABDy232x2ACBD外接球的直徑即為長方體ACBDR436中，，是的中點，，G分別在

BBAC，平面MNG1AA于1

KAAG2KAAM3211AHKA33BHNB

AH12,ACx,ACx2z25ACBD的體對角線，x22R3.AB2AAAC28，N11BB133KN

2AA6，所以1MAAH，MH11BDy,ADzy2,ABz24xy26.HKAG∽△131AH242143,BC，CD，解得z2KAM1672ADy22，AB1425，故三棱錐的三組對棱均相等，z2,BCy6224．222ABCDAD2，．x2zz2，26，

又AB

如圖，將三棱錐ABCD嵌入到在長方體ACBD則三棱錐ABCD的外接球即為在長方體ACBD設(shè)

則AC

x2故y

又長方體ACBD

故三棱錐ABCD的外接球的半徑為

則三棱錐ABCD的外接球的體積為：V

故答案為：

30．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．在塹堵

ABCDABCDABACMAC11111

棱，AC上，且BN與AB交于點，則MH______．

【答案】222

【解析】如圖，延長MG，交K，連接，交AB于H．則△

1則，則KA，

11

又BNBBAA，所以KA6BN，則

連接，MH，則

故答案為：222.

1212A,B分別為圓柱OOA與O121212A,B分別為圓柱OOA與O121M,NOAO≌1，G為中點，，O，O

，又，B2OBOOGOB，取中點G，連接OG,O,OM,ON,OB,OA，AB；AB2圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．這個“圓柱容球”是阿基米德生前

最引以為豪的發(fā)現(xiàn)．如圖，在底面半徑為2的圓柱OO內(nèi)有球O與圓柱OO的上、下底面

及母線均相切，設(shè)的上、下底面圓周上一點，且O所成的角

為90，直線AB與球O的球面交于兩點，則線段MN的長度為______．

【答案】22

【解析】

OAOBABOBOA，OBOOOOOA,OO平面AOO212111211212OB平面AOOOA平面AOOOBOA；21221222

OO21OA2ON，BC42BC.BCSB,同理可證CDSAB≌2SSAB11221122，4248cm，30cm，若點C在上，且CABOAG2G也是MN中點，ABCDABBCAB,SASD,SAD,SBC≌2SSBCAOO21OA2ON，BC42BC.BCSB,同理可證CDSAB≌2SSAB11221122，4248cm，30cm，若點C在上，且CABOAG2G也是MN中點，ABCDABBCAB,SASD,SAD,SBC≌2SSBCABBCABA28，AB86MN為陽馬，側(cè)棱SA底面ABCD，且2，則該陽馬的表面積為______．ABABSDC,S正方形ABCDπ，D為62222MG2，底面ABCDA,SA,ABSAB,AC的中點．證明：BC∥平面POD；O2，MG22平面A2OM.O2B2OG2224242222，24，1OGOM

故答案為：22.32．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，若四棱錐SSA

【答案】8【解析】由題意知側(cè)棱SA底面ABCD，且SA為正方形，且SA故BC平面SAB,SB平面SAB，故BC且故幾何體的表面積為：

S四棱錐

2SAAB2BCSB

222222222

842故答案為：8四、解答題33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）自古以來，斗笠是一個防曬遮雨的用具，是家喻戶曉的

生活必需品之一，主要用竹篾和一種叫做棕櫚葉染白后編織而成，已列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測量如圖中一頂斗笠，得到圖中圓錐PO模型，經(jīng)測量底面圓O的直徑AB

母線AP

∥BC，”現(xiàn)有一個芻甍如//平面ABCD，ADE和△/∥BC，”現(xiàn)有一個芻甍如//平面ABCD，ADE和△//平面ABCD，，平面CDEFBCF是全等的等邊三角形.平面ABCDCD，

因為底面圓O的直徑AB，所以O(shè)為AB的中點，因為點D為AC的中點，所以O(shè)D因為OD平面POD，BC平面POD，所以BC∥平面POD.34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）芻（chu?）甍（me?ng）是幾何體中的一種特殊的五面體.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，屋蓋也.求積術(shù)日：倍下表，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂圖所示，四邊形ABCD為長方形，EF求證：EF①DC；

【解析】五面體ABCDEF中，因為EF

EF平面CDEF

//CD.CD、AD的中點，先沿著虛線FDG裁掉，再將剩下的五邊形23πBF12AGAOHGAO//HG，HGGCF，EFAEB=120o,

EB，EF2EBB(2,0,0)、FE(3,0,3),FC(x,y,z),·FC0nAB2EBOH//BCBC//CD.CD、AD的中點，先沿著虛線FDG裁掉，再將剩下的五邊形23πBF12AGAOHGAO//HG，HGGCF，EFAEB=120o,

EB，EF2EBB(2,0,0)、FE(3,0,3),FC(x,y,z),·FC0nAB2EBOH//BCBC，EF且．12是平行四邊形，則.AE,EFy=2EAF(0,4,0)、EAEB2x·FG0x2y(0,3,2),,且OH//BCEF=BCBC，AG//OHBE,EFE=4,A(1,0,AG(2,0,0)，03z012且AG折起后在圖2中仍有xyz3)FE，取BC，OHAE,EF如圖，且設(shè)，EAy=3，則zBE,1,2,3),2，1EF235．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某校積極開展社團活動，在一次社團活動過程中，一個

數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，EFG分別是正方形的三邊AB、段FG將等腰直角三角形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB、CG就得到了一個“芻甍”(如圖2)．

(1)若O是四邊形EBCF對角線的交點，求證：AO①平面GCF

(2)若二面角AEFB的大小為，求直線與平面GCF所成角的正弦值．

【解析】（1）取線段CF中點H，連接OH、GH，由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且CB

O是線段與CE的中點，

在圖1中AG//BC且AG

所以在圖2中，AG//BC且

四邊形

由于AO平面GCF平面AO//平面GCF

（2）由圖1，

AEB即為二面角AEFB的平面角．以E為坐標(biāo)原點，分別為x軸和軸正向建立空間直角坐標(biāo)系

CB則

FG

BA

設(shè)平面GCF的一個法向量n

n，得

于是平面GCF的一個法向量n

nBAnBAABxi1,2,3AB,AD,AA為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”.

1EB1，求向量ED2,t,

1,1,2，知abb77yj[x,y,z].b11

1,2,nBAnBAABxi1,2,3AB,AD,AA為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”.

1EB1，求向量ED2,t,

1,1,2，知abb77yj[x,y,z].b11

1,2,(i[0,3,5]；2312.zk，則n與1=3，BADi2j7BAA12j3k)(i,DAA13kij7760，，b2k)j3j2k5k，，

①直線