全國初中數(shù)學(xué)競賽分類匯編卷（五）函數(shù)綜合（提優(yōu)）【 學(xué)霸筆記+典例精析+競賽試題 】 初中數(shù)學(xué) 學(xué)科素養(yǎng)能力提升 （ 含答案解析 ）

專題24全國初中數(shù)學(xué)競賽分類匯編卷（五）函數(shù)綜合（提優(yōu)）1．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，B＝60°，AD＝2，BC＝8，點P從點B出發(fā)沿折線BA﹣AD﹣DC勻速運動，同時，點Q從點B出發(fā)沿折線BC﹣CD勻速運動，點P與點Q的速度相同，當(dāng)二者相遇時，運動停止，設(shè)點P運動的路程為x，△BPQ的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：由題意得：四邊形ABCD為等腰梯形，如下圖，分別過點A、D作梯形的高AM、DN交BC于點M、N，則MN＝AD＝2，BM＝NC=12（BC﹣AD）＝則AB＝2BM＝6，①當(dāng)點P在AB上運動時（0≤x≤6），y=12BQ×BPsinB=34x2，當(dāng)x＝6時，y圖象中符合條件的有B、D；②6＜x＜8，y為一次函數(shù)；③當(dāng)x≥8時，點PC＝6+2+6﹣x＝14﹣x，QC＝x﹣8，則PQ＝22﹣2x，而△BPQ的高常數(shù)，故y的表達(dá)式為一次函數(shù)，故在B、D中符合條件的為B，故選：B．2．如圖，直線l：y=-3x+39+33與x軸交于點A，與經(jīng)過點B（﹣2，0）的直線m交于第一象限內(nèi)一點C，點E為直線l上一點，點D為點B關(guān)于y軸的對稱點，連接DC、DE、BE，若∠DEC＝2∠DCE，∠DBE＝∠DEBA．20+413 B．44+413 C．20+413或44﹣413 D．20﹣413或44+413【解答】解：過點D作DF⊥l于點F，延長FD交y軸于點G，如圖：∵B（﹣2，0），點D為點B關(guān)于y軸的對稱點，∴D（2，0），∴BD＝4．∵∠DBE＝∠DEB，∴BD＝DE＝4．對于直線l：y=-3x+39令x＝0時，y=39+3令y＝0時，x=13+∴OH=39+33，OA=∴AH=OH2+O∴∠AHO＝30°，∴∠OGD＝60°，∠ODG＝30°，∴DG＝2OG．在Rt△ODG中，根據(jù)勾股定理得OD2+OG2＝DG2，即22+OG2＝4OG2，解得OG=2∴G（0，-2設(shè)直線DF的解析式為y＝kx+b（k≠0），把G（0，-233），D（2，0解得k=3∴直線DF的解析式為y=33x-23解得x=3∴F（313+11∴DF2＝（313+114-2）2+（在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝42﹣（21+313解得EF=13①當(dāng)點E在點F的下方時，在點E下方直線L上取一點M，使得EM＝DE＝4，連接DM，如圖：∵EM＝DE，∴∠EDM＝∠EMD．∵∠DEC＝∠EDM+∠EMD，∴∠DEC＝2∠EMD．∵∠DEC＝2∠DCE，∴∠EMD＝∠DCE，∴DC＝DM．在Rt△DFM中，根據(jù)勾股定理得DM2＝DF2+FM2，即DC2＝DM2=21+3132+（13-32②當(dāng)點E在點F的上方時，在點E下方直線L上取一點M，使得EM＝DE＝4，連接DM，如圖：∵EM＝DE，∴∠EDM＝∠EMD．∵∠DEC＝∠EDM+∠EMD，∴∠DEC＝2∠EMD．∵∠DEC＝2∠DCE，∴∠EMD＝∠DCE，∴DC＝DM．在Rt△DFM中，F(xiàn)M＝EM﹣EF＝4-13根據(jù)勾股定理得DM2＝DF2+FM2，即DC2＝DM2=21+3132+（11-13綜上所述，DC2的值為20+413或44﹣413．故選：C．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象分別交AB于中點D，交OC于點E，且CE：OE＝1：2，連接AE，DE，若S△ADE＝2，則A．5 B．367 C．6 D．647【解答】解：如圖，連接AC，∵AD＝DB，∴S△ADE＝S△BDE＝2，∵四邊形AOCB是平行四邊形，∴S△AOC=12S平行四邊形AOCB＝S△AEB＝∵OE＝2EC，∴S△AOE=23S△AOC設(shè)A（0，b），C（a，t），則B（a，b+t），D（12a，2b+t2），E（23a∵D，E在反比例函數(shù)的圖象上，∴12?a?2b+t整理得t=187∴E（23a，127∴12×b×2∴ab＝8，∴k=23a×12故選：D．4．如圖，動點P在函數(shù)y=12x(x＞0)的圖象上運動，PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，線段PM、PN分別與直線AB：y＝﹣x+1交于點E、F，則【解答】解：如圖，過點E、F分別作EC∥OA、FD∥OB，∴AF：AB＝DF：OB，BE：AB＝CE：OA，兩式相乘，得AF×BEAB×AB∵直線ABy＝﹣x+1交坐標(biāo)軸與A（1，0）B（0，1）兩點，∴OA＝OB＝1，AB=2∵P在y=1∴PM?PN＝CE?DF=12，代入得AF×BE2解得AF?BE＝2×12故答案為：1．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，1）、B（4，2）．（1）點P（x，0）是x軸上的一個動點，當(dāng)x＝時，△PAB的周長最小；（2）點P（x，y）是y=1x（x＜0）上的一個動點，當(dāng)x＝時，|PB|﹣|（3）點M（m，0）、N（0，n）分別是x軸和y軸上的動點，當(dāng)nm=時，四邊形（4）點C（x，0）、D（x+2，0）是x軸上的兩個動點，當(dāng)x＝時，四邊形ABCD的周長最?。窘獯稹拷猓海?）如圖1中，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接BA′交x軸于P，連接PA，此時△PAB的周長最?。逜（1，1），A′（1，﹣1），B（4，2），∴直線BA′的解析式為：y＝x﹣2，令y＝0，得到x＝2，∴P（2，0），故答案為2．（2）如圖2中，在△PAB中，|PB|﹣|PA|≤|AB|（等號僅當(dāng)P、A、B三點共線時取得），∵A（1，1），B（4，2），∴直線AB的解析式為y=13x由y=1xy=13∴滿足條件的點P的坐標(biāo)為（﹣3，-1故答案為﹣3．（3）如圖3中，作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接A′B′交x軸于M，交y軸于N，連接AN，BM，此時四邊形ANMB的周長最?。逜′（﹣1，1），B′（4，﹣2），∴直線A′B′的解析式為y=-35令x＝0，得到y(tǒng)=2令y＝0，得到x=2∴M（23，0），N（0，2∴m=23，n∴nm故答案為35（4）如圖4中，作AA′∥x軸，使得AA′＝CD＝2，作A′關(guān)于x軸的對稱點A″，連接BA″交x軸于D，在點D的左邊取一點C，使得DC＝2，連接AC，此時四邊形ACDB的周長最?。勺鲌D可知A″（3，﹣1），B（4，2），∴直線BA″的解析式為y＝3x﹣10，∴D（103，0∴OC＝OD﹣CD=103-∴C（43，0故答案為436．如圖，四邊形OABC為矩形，點A在第二象限，點A關(guān)于OB的對稱點為點D，點B，D都在函數(shù)y=62x（x＞0）的圖象上，BE⊥x軸于點E．若DC的延長線交x軸于點F，當(dāng)矩形OABC的面積為92時，EFOE的值為，點F的坐標(biāo)為【解答】解：如圖，方法一：作DG⊥x軸于G，連接OD，設(shè)BC和OD交于I，設(shè)點B（b，62b），D（a，由對稱性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，∴OI＝BI，∴DI＝CI，∴DIOI∵∠CID＝∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI＝∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD＝S△AOB=12S矩形AOCB∵S△BOE＝S△DOG=12|k|=32，S四邊形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S∴S梯形BEGD＝S△BOD=9∴12(62a+6∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）?（2a+b）＝0，∴a＝2b，a=-∴D（2b，62即：（2b，32在Rt△BOD中，由勾股定理得，OD2+BD2＝OB2，∴[（2b）2+（32b）2]+[（2b﹣b）2+（62b-32b）2∴b=3∴B（3，26），D（23，6），∵直線OB的解析式為：y＝22x，∴直線DF的解析式為：y＝22x﹣36，當(dāng)y＝0時，22x-36=∴x=3∴F（332，∵OE=3，OF=∴EF＝OF﹣OE=3∴EFOE方法二：如圖，連接BF，BD，作DG⊥x軸于G，直線BD交x軸于H，由上知：DF∥OB，∴S△BOF＝S△BOD=9∵S△BOE=12|k|＝3∴OEOF設(shè)EF＝a，F(xiàn)G＝b，則OE＝2a，∴BE=622a，OG＝3a+b∵△BOE∽△DFG，∴OEFG∴2a∴a＝b，a=-∴D（4a，62∵B（2a，62∴GHEH∴GH＝EG＝2a，∵∠ODH＝90°，DG⊥OH，∴△ODG∽△DHG，∴DGOG∴62∴a=3∴3a=3∴F（332，故答案為：12，（3327．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-12x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（A在B左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，過點B作（1）如圖1，點P為第一象限內(nèi)的拋物線上一動點，當(dāng)△PAE面積最大時，在對稱軸上找一點M，在y軸上找一點N，使得OM+MN+NP最小，求此時點M的坐標(biāo)及OM+MN+NP的最小值；（2）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點D在射線AD上移動，點D平移后的對應(yīng)點為D'，點A的對應(yīng)點A'，設(shè)原拋物線的對稱軸與x軸交于點F，將△FBC沿BC翻折，使點F落在點F′處，在平面上找一點G，使得以A'、D'、F'、G為頂點的四邊形為菱形．直接寫出D′的坐標(biāo)．【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝3，∴C（0，3），當(dāng)y＝0時，-12x2+2x+3解得：x=-2或x＝3∴點A（-2，0），B（32，0∴點D的橫坐標(biāo)為32∴點D的坐標(biāo)為（2，4），∴OC＝3，OB＝32，如圖，記對稱軸于x軸的交點為點F，則BF＝32-2=22，∠BFE＝∠COB∵BC⊥BE，∴∠CBF+∠FBE＝90°，∵∠FBE+∠FEB＝90°，∴∠CBF＝∠FEB，∴△FBE∽△OCB，∴EFOB=BF∴EF＝4，∴點E的坐標(biāo)為（2，﹣4），設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+b，則-2k+b=0∴直線AE的解析式為y=-2x﹣過點P作PQ⊥x軸，交直線AE于點Q，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，-12x2+2x+3），則點Q的坐標(biāo)為（x，-2x﹣2），∴PQ=-12x2+2x+3﹣（-2x﹣2）=-12x2+22x+∵S△PAE＝S△PAQ﹣S△PEQ=12∴S△PAE=-22（x﹣22）2+∴當(dāng)x＝22，即點P的坐標(biāo)為（22，3）時，△PAE面積最大，作點P和點O關(guān)于對稱軸的對稱點P'和O'，連接O'P'，與對稱軸交于點M，與y軸交于點N，則OM+MN+NP的最小值即為O'P'的長，∵O（0，0），P（22，3）∴O'（22，0），P'（﹣22，3），∴O'P'=(設(shè)直線O'P'的解析式為y＝mx+n，則22m+n=0∴直線O'P'的解析式為y=-32當(dāng)x=2時，y=∴點M的坐標(biāo)為（2，34），OM+MN+NP的最小值為41（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則32k+b=0∴直線BC的解析式為y=-22x記FF'與BC的交點為點H，則∠FHB＝90°，點H為F和F'的中點，∴cos∠FBH＝cos∠CBO，即BHBF∵BF＝22，BO＝32，BC=32+(∴BH2∴BH=4過點H作HK⊥x軸于點K，則∠HKB＝90°，∴sin∠HBK＝sin∠CBO，cos∠HBK＝cos∠CBO，∴HKBH=CO∴HK43∴HK=43，BK∴OK＝OB﹣BK＝32-∴點H的坐標(biāo)為（523，∴點F'的坐標(biāo)為（723，∵點A（-2，0），點D（2，4∴AD＝26，即A'D'＝26，設(shè)平移的距離為6t，則點A'的坐標(biāo)為（-2+2t，2t），點D'的坐標(biāo)為（2+2t，∴A'F'2＝（-2+2t-723）2+（2t-83）2＝6t2﹣24t+883，D'F'2＝（2t+2-723）2+（4+2t-8①以A'F'和D'F'為鄰邊時，A'F'2＝D'F'2，∴6t2﹣24t+883=6t解得：t＝1，∴點D'的坐標(biāo)為（22，6）；②以A'F'和A'D'為鄰邊時，A'F'2＝A'D'2，∴6t2﹣24t+883解得：t＝2+273或t＝∴點D'的坐標(biāo)為（32+2143，8+473③以D'F'和A'D'為鄰邊時，D'F'2＝A'D'2，∴6t2+163解得：t=273或∴點D'的坐標(biāo)為（2+2143綜上所述，點D'的坐標(biāo)為（22，6）或（32+2143，8+473）或（32-28．閱讀材料：對于正數(shù)a、b，有（a-b）2≥0，所以a+b﹣2ab≥0，即a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”）．特別地：a+1a≥2a因此，當(dāng)a＞0時，a+1a有最小值2，此時a＝簡單應(yīng)用：（1）函數(shù)y＝2﹣x-4x（x＞0）的最大值為（2）求函數(shù)y＝9x+1x-1（x＞1），當(dāng)x＝解決問題：（3）已知P（﹣2，3）是反比例函數(shù)y=kx圖象上的點，Q是雙曲線在第四象限這一分支上的動點，過點Q作直線，使其與雙曲線y=kx只有一個公共點，且與x軸、y軸分別交于點A、B．另一直線y=32x+6與x軸、y軸分別交于點C【解答】解：（1）∵x+4x≥2∴y最大＝2﹣4＝﹣2，故答案為：﹣2；（2）y＝9x+1x-1=9（x﹣1）+1x-當(dāng)9（x﹣1）=1x-1時，即：當(dāng)x=43時，故答案為：43，5（3）把x＝﹣2，y＝3代入y=k3=k∴k＝﹣6，∴y=-設(shè)點A（a，0），B（0，b），（a＞0，b＜0），∴直線AB的解析式為：y=-bax由-6xbx2﹣abx﹣6a＝0，∵直線AB與雙曲線y=k∴Δ＝（ab）2+24ab＝0，∴b=-由y=32x+6得：D（0，6），C（﹣4∴AC＝a+4，BD＝6﹣b＝6+24a，∴S四邊形ABCD=12AC?BD=12(a+4)?(6+24a)=∴當(dāng)a=16a，即：a＝4時，四邊形ABCD的面積最小值為：9．已知一次函數(shù)y1＝kx+m與二次函數(shù)y2＝2ax2+bx+c（a＞0，b為整數(shù)）的圖象交于A（2﹣22，3﹣22）、B（2+22，3+22）兩點，二次函數(shù)y2＝2ax2+2bx+c和二次函數(shù)y3＝ax2+bx+c﹣1的最小值的差為1．（1）求y1、y2、y3的解析式；（2）P是y軸上一點，過點P任意作一射線分別交y2、y3的圖象于M、N，過點M作直線y＝﹣1的垂線，垂足為G，過點N作直線y＝﹣3的垂線，垂足為H．是否存在這樣的點P，使PM＝MG、PN＝NH恒成立，若存在，求出P點的坐標(biāo)，并探究PMPN（3）在（2）的條件下．設(shè)過P點的直線l交二次函數(shù)y2的圖象于S、T兩點，試求1PT【解答】解：（1）將A（2﹣22，3﹣22）、B（2+22，3+22）代入到y(tǒng)1＝kx+m，得，(2解得k=1∴y1＝x+1，聯(lián)立y=x+1化簡得2ax2+（2b﹣1）x+c﹣1＝0，由根與系數(shù)關(guān)系可得，2-化簡得，8a+2b＝1，∵二次函數(shù)y2＝2ax2+2bx+c和二次函數(shù)y3＝ax2+bx+c﹣1的最小值的差為1，∴2ac-∴b＝0，∴a=1∴y2將A點坐標(biāo)代入到y(tǒng)214∴c＝0，∴y1＝x+1，y2=1（2）如圖1，設(shè)P（0，t），M（u，v），∴PM2＝u2+（v﹣t）2＝u2+v2+t2﹣2vt，MG＝v+1，∵PM＝MG，∴PM2＝MG2，∴u2+v2+t2﹣2vt＝v2+2v+1①，∴u2+t2﹣2vt＝2v+1，∵M(jìn)點在拋物線y=1∴14∴u2＝4v，將上式代入到①中，化簡得，2v+t2﹣2vt﹣1＝0，∴（t﹣1）（t+1﹣2v）＝0，∵上式對任意v都成立，∴t﹣1＝0，∴t＝1，∴P（0，1）時，使PM＝MG恒成立，同理可得，當(dāng)P（0，1）時，使PN＝NH恒成立，∴P點的坐標(biāo)為（0，1）時，使PM＝MG，PN＝NH恒成立，設(shè)NH與直線y＝﹣1交于點K，直線y＝﹣1與y軸交點為E，∵M(jìn)G∥y軸，NH∥y軸，∴PO∥MG∥NK，∴PMPN設(shè)直線PM為y＝kx+1，聯(lián)立y=kx+1化簡得，x2﹣4kx﹣4＝0，∴x=2∴M的橫坐標(biāo)為2k+∴EG=2k+2k2+1，同理，EK∴PMPN即存在這樣的點P（0，1），使PM＝MG、PN＝NH恒成立，PMPN（3）設(shè)直線l2為y＝nx+1，S（x1，y1），T（x2，y2），聯(lián)立y=nx+1化簡得，x2﹣4nx﹣4＝0，∴x1+x2＝4n，x1x2＝﹣4，∴y1+y2＝n（x1+x2）+2＝4n2+2，∴y1y2=1如圖2，分別過S，T作直線y＝﹣1的垂線，垂足為D，Q，由（2）可得，PS＝SD＝y(tǒng)1+1，PT＝TQ＝y(tǒng)2+1，∴1PT+即1PT10．如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣4，3），反比例函數(shù)y=kx（k＜0）的圖象分別交矩形ABOC的兩邊AC，BC于E，F(xiàn)（E，F(xiàn)不與A重合），沿著EF將矩形ABOC折疊使A，D（1）①如圖2，當(dāng)點D恰好在矩形ABOC的對角線BC上時，求CE的長；②若折疊后點D落在矩形ABOC內(nèi)（不包括邊界），求線段CE長度的取值范圍．（2）若折疊后，△ABD是等腰三角形，請直接寫出此時點D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）①如圖2中，連接AD交EF于H．∵四邊形ABOC是矩形，A（﹣4，3），∴∠A＝90°，OB＝AC＝4，AB＝OC＝3，∵E，F(xiàn)在y=k∴可以假設(shè)E（k3，3），F(xiàn)（﹣4，k∴AE＝4+k3，AF＝3∴AE：AF＝4：3，∵AC：BC＝4：3，∴AEAC∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴∠AEF＝∠ACB，∴EF∥BC，∵A，D關(guān)于EF對稱，點D落在BC上，∴EF垂直平分線段AD，∴AH＝DH，∵EF∥BC，∴AHDH∴AE＝EC＝2．②如圖3中，當(dāng)點D落在OB上時，連接AD交EF于H．∵∠EAF＝∠ABD＝90°，∠AEF＝∠BAD，∴△AEF∽△BAD，∴AEAB=AF∴BD＝AB÷4設(shè)AF＝x，則FB＝3﹣x，F(xiàn)D＝AF＝x在Rt△BDF中，∵FB2+BD2＝DF2，∴（3﹣x）2+（94）2＝x2解得x=75∴AF=75∴AE=43AF∴EC＝4﹣AE＝4-25∴78＜CE＜4時，折疊后點D落在矩形線段CE長度的取值范圍為：78＜CE＜（2）∵△ABD是等腰三角形，F(xiàn)與B不重合，∴AB≠BD．①如圖4中，當(dāng)AD＝BD時，∠BAD＝∠ABD，由（1）可知∠BAD＝∠AEF，∴∠ABD＝∠AEF．作DM∥OB交AB于M，交OC于N．則DM⊥AB，MN＝AC＝4，∴∠BMD＝∠EAF＝90°，BM=12AB∴△AEF∽△MBD，∴AEMB=AF∴MD＝BM÷4∴DN＝MN﹣MD＝4-9∴D（-238，②如圖5中，當(dāng)AD＝AB時，作DM∥OB交AB于M，交OC于N．則DM⊥AB，MN＝AC＝4，∴∠AMD＝∠EAF＝90°，由（1）可得∠BAD＝∠AEF，∴△AEF∽△MAD，∴AEAM=AF設(shè)AM＝4a，則MD＝3a，在Rt△MAD中，∵AM2+DM2＝AD2，∴（4a）2+（3a）2＝32，∴a=3∴AM=125，MD∴BM＝AB＝AM＝3-125=35，DN＝MN﹣∴D（-115，綜上所述，滿足條件的點D的坐標(biāo)為（-238，32）或（-11．對稱變換和平移變換在平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在解決有關(guān)最值問題時，更是我們常用的思維方法，請你利用所學(xué)知識解決下列問題：（1）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（0，1），點B（2，1），點P在x軸上運動，當(dāng)PA+PB的值最小時，點P的坐標(biāo)是；（請直接寫出答案）（2）如圖②，AD⊥l于點D，BC⊥l于點C，且AD＝2，AB＝BC＝4，當(dāng)點P在直線l上運動時，PA+PB的最小值是；（請直接寫出答案）（3）如圖③，直線a∥b，且a與b之間的距離為1，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為2，且AB=34，問：在直線a上是否存在點C，在直線b上是否存在點D，使得CD⊥a，且AC+CD+DB的值最??？若存在，請求出AC+CD+DB（4）如圖④，在平面直角坐標(biāo)系中，A（6，0），B（6，4），線段CD在直線y＝x上運動，且CD＝22，則四邊形ABCD周長的最小值是，此時點D的坐標(biāo)為．（請直接寫出答案）【解答】解：（1）如圖1，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′（0，﹣1），連接A′B交x軸于點P，則點P為所求點，∵點A′、A關(guān)于x軸對稱，∴PA′＝PA，PA+PB＝PA′+PB＝A′B為最??；設(shè)直線A′B的表達(dá)