全國初中數(shù)學競賽分類匯編卷(五)函數(shù)綜合(提優(yōu))【 學霸筆記+典例精析+競賽試題 】 初中數(shù)學 學科素養(yǎng)能力提升 ( 含答案解析 )_第1頁
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專題24全國初中數(shù)學競賽分類匯編卷(五)函數(shù)綜合(提優(yōu))1.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,B=60°,AD=2,BC=8,點P從點B出發(fā)沿折線BA﹣AD﹣DC勻速運動,同時,點Q從點B出發(fā)沿折線BC﹣CD勻速運動,點P與點Q的速度相同,當二者相遇時,運動停止,設點P運動的路程為x,△BPQ的面積為y,則y關于x的函數(shù)圖象大致是()A. B. C. D.【解答】解:由題意得:四邊形ABCD為等腰梯形,如下圖,分別過點A、D作梯形的高AM、DN交BC于點M、N,則MN=AD=2,BM=NC=12(BC﹣AD)=則AB=2BM=6,①當點P在AB上運動時(0≤x≤6),y=12BQ×BPsinB=34x2,當x=6時,y圖象中符合條件的有B、D;②6<x<8,y為一次函數(shù);③當x≥8時,點PC=6+2+6﹣x=14﹣x,QC=x﹣8,則PQ=22﹣2x,而△BPQ的高常數(shù),故y的表達式為一次函數(shù),故在B、D中符合條件的為B,故選:B.2.如圖,直線l:y=-3x+39+33與x軸交于點A,與經(jīng)過點B(﹣2,0)的直線m交于第一象限內(nèi)一點C,點E為直線l上一點,點D為點B關于y軸的對稱點,連接DC、DE、BE,若∠DEC=2∠DCE,∠DBE=∠DEBA.20+413 B.44+413 C.20+413或44﹣413 D.20﹣413或44+413【解答】解:過點D作DF⊥l于點F,延長FD交y軸于點G,如圖:∵B(﹣2,0),點D為點B關于y軸的對稱點,∴D(2,0),∴BD=4.∵∠DBE=∠DEB,∴BD=DE=4.對于直線l:y=-3x+39令x=0時,y=39+3令y=0時,x=13+∴OH=39+33,OA=∴AH=OH2+O∴∠AHO=30°,∴∠OGD=60°,∠ODG=30°,∴DG=2OG.在Rt△ODG中,根據(jù)勾股定理得OD2+OG2=DG2,即22+OG2=4OG2,解得OG=2∴G(0,-2設直線DF的解析式為y=kx+b(k≠0),把G(0,-233),D(2,0解得k=3∴直線DF的解析式為y=33x-23解得x=3∴F(313+11∴DF2=(313+114-2)2+(在Rt△DEF中,EF2=DE2﹣DF2=42﹣(21+313解得EF=13①當點E在點F的下方時,在點E下方直線L上取一點M,使得EM=DE=4,連接DM,如圖:∵EM=DE,∴∠EDM=∠EMD.∵∠DEC=∠EDM+∠EMD,∴∠DEC=2∠EMD.∵∠DEC=2∠DCE,∴∠EMD=∠DCE,∴DC=DM.在Rt△DFM中,根據(jù)勾股定理得DM2=DF2+FM2,即DC2=DM2=21+3132+(13-32②當點E在點F的上方時,在點E下方直線L上取一點M,使得EM=DE=4,連接DM,如圖:∵EM=DE,∴∠EDM=∠EMD.∵∠DEC=∠EDM+∠EMD,∴∠DEC=2∠EMD.∵∠DEC=2∠DCE,∴∠EMD=∠DCE,∴DC=DM.在Rt△DFM中,F(xiàn)M=EM﹣EF=4-13根據(jù)勾股定理得DM2=DF2+FM2,即DC2=DM2=21+3132+(11-13綜上所述,DC2的值為20+413或44﹣413.故選:C.3.如圖,在平面直角坐標系中,平行四邊形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象分別交AB于中點D,交OC于點E,且CE:OE=1:2,連接AE,DE,若S△ADE=2,則A.5 B.367 C.6 D.647【解答】解:如圖,連接AC,∵AD=DB,∴S△ADE=S△BDE=2,∵四邊形AOCB是平行四邊形,∴S△AOC=12S平行四邊形AOCB=S△AEB=∵OE=2EC,∴S△AOE=23S△AOC設A(0,b),C(a,t),則B(a,b+t),D(12a,2b+t2),E(23a∵D,E在反比例函數(shù)的圖象上,∴12?a?2b+t整理得t=187∴E(23a,127∴12×b×2∴ab=8,∴k=23a×12故選:D.4.如圖,動點P在函數(shù)y=12x(x>0)的圖象上運動,PM⊥x軸于M,PN⊥y軸于N,線段PM、PN分別與直線AB:y=﹣x+1交于點E、F,則【解答】解:如圖,過點E、F分別作EC∥OA、FD∥OB,∴AF:AB=DF:OB,BE:AB=CE:OA,兩式相乘,得AF×BEAB×AB∵直線ABy=﹣x+1交坐標軸與A(1,0)B(0,1)兩點,∴OA=OB=1,AB=2∵P在y=1∴PM?PN=CE?DF=12,代入得AF×BE2解得AF?BE=2×12故答案為:1.5.如圖,在平面直角坐標系中,A(1,1)、B(4,2).(1)點P(x,0)是x軸上的一個動點,當x=時,△PAB的周長最?。唬?)點P(x,y)是y=1x(x<0)上的一個動點,當x=時,|PB|﹣|(3)點M(m,0)、N(0,n)分別是x軸和y軸上的動點,當nm=時,四邊形(4)點C(x,0)、D(x+2,0)是x軸上的兩個動點,當x=時,四邊形ABCD的周長最?。窘獯稹拷猓海?)如圖1中,作點A關于x軸的對稱點A′,連接BA′交x軸于P,連接PA,此時△PAB的周長最?。逜(1,1),A′(1,﹣1),B(4,2),∴直線BA′的解析式為:y=x﹣2,令y=0,得到x=2,∴P(2,0),故答案為2.(2)如圖2中,在△PAB中,|PB|﹣|PA|≤|AB|(等號僅當P、A、B三點共線時取得),∵A(1,1),B(4,2),∴直線AB的解析式為y=13x由y=1xy=13∴滿足條件的點P的坐標為(﹣3,-1故答案為﹣3.(3)如圖3中,作點A關于y軸的對稱點A′,點B關于x軸的對稱點B′,連接A′B′交x軸于M,交y軸于N,連接AN,BM,此時四邊形ANMB的周長最小.∵A′(﹣1,1),B′(4,﹣2),∴直線A′B′的解析式為y=-35令x=0,得到y(tǒng)=2令y=0,得到x=2∴M(23,0),N(0,2∴m=23,n∴nm故答案為35(4)如圖4中,作AA′∥x軸,使得AA′=CD=2,作A′關于x軸的對稱點A″,連接BA″交x軸于D,在點D的左邊取一點C,使得DC=2,連接AC,此時四邊形ACDB的周長最?。勺鲌D可知A″(3,﹣1),B(4,2),∴直線BA″的解析式為y=3x﹣10,∴D(103,0∴OC=OD﹣CD=103-∴C(43,0故答案為436.如圖,四邊形OABC為矩形,點A在第二象限,點A關于OB的對稱點為點D,點B,D都在函數(shù)y=62x(x>0)的圖象上,BE⊥x軸于點E.若DC的延長線交x軸于點F,當矩形OABC的面積為92時,EFOE的值為,點F的坐標為【解答】解:如圖,方法一:作DG⊥x軸于G,連接OD,設BC和OD交于I,設點B(b,62b),D(a,由對稱性可得:△BOD≌△BOA≌△OBC,∴∠OBC=∠BOD,BC=OD,∴OI=BI,∴DI=CI,∴DIOI∵∠CID=∠BIO,∴△CDI∽△BOI,∴∠CDI=∠BOI,∴CD∥OB,∴S△BOD=S△AOB=12S矩形AOCB∵S△BOE=S△DOG=12|k|=32,S四邊形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S∴S梯形BEGD=S△BOD=9∴12(62a+6∴2a2﹣3ab﹣2b2=0,∴(a﹣2b)?(2a+b)=0,∴a=2b,a=-∴D(2b,62即:(2b,32在Rt△BOD中,由勾股定理得,OD2+BD2=OB2,∴[(2b)2+(32b)2]+[(2b﹣b)2+(62b-32b)2∴b=3∴B(3,26),D(23,6),∵直線OB的解析式為:y=22x,∴直線DF的解析式為:y=22x﹣36,當y=0時,22x-36=∴x=3∴F(332,∵OE=3,OF=∴EF=OF﹣OE=3∴EFOE方法二:如圖,連接BF,BD,作DG⊥x軸于G,直線BD交x軸于H,由上知:DF∥OB,∴S△BOF=S△BOD=9∵S△BOE=12|k|=3∴OEOF設EF=a,F(xiàn)G=b,則OE=2a,∴BE=622a,OG=3a+b∵△BOE∽△DFG,∴OEFG∴2a∴a=b,a=-∴D(4a,62∵B(2a,62∴GHEH∴GH=EG=2a,∵∠ODH=90°,DG⊥OH,∴△ODG∽△DHG,∴DGOG∴62∴a=3∴3a=3∴F(332,故答案為:12,(3327.在平面直角坐標系中,拋物線y=-12x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(A在B左側),與y軸交于點C,拋物線的頂點為D,過點B作(1)如圖1,點P為第一象限內(nèi)的拋物線上一動點,當△PAE面積最大時,在對稱軸上找一點M,在y軸上找一點N,使得OM+MN+NP最小,求此時點M的坐標及OM+MN+NP的最小值;(2)如圖2,平移拋物線,使拋物線的頂點D在射線AD上移動,點D平移后的對應點為D',點A的對應點A',設原拋物線的對稱軸與x軸交于點F,將△FBC沿BC翻折,使點F落在點F′處,在平面上找一點G,使得以A'、D'、F'、G為頂點的四邊形為菱形.直接寫出D′的坐標.【解答】解:(1)當x=0時,y=3,∴C(0,3),當y=0時,-12x2+2x+3解得:x=-2或x=3∴點A(-2,0),B(32,0∴點D的橫坐標為32∴點D的坐標為(2,4),∴OC=3,OB=32,如圖,記對稱軸于x軸的交點為點F,則BF=32-2=22,∠BFE=∠COB∵BC⊥BE,∴∠CBF+∠FBE=90°,∵∠FBE+∠FEB=90°,∴∠CBF=∠FEB,∴△FBE∽△OCB,∴EFOB=BF∴EF=4,∴點E的坐標為(2,﹣4),設直線AE的解析式為y=kx+b,則-2k+b=0∴直線AE的解析式為y=-2x﹣過點P作PQ⊥x軸,交直線AE于點Q,設點P的坐標為(x,-12x2+2x+3),則點Q的坐標為(x,-2x﹣2),∴PQ=-12x2+2x+3﹣(-2x﹣2)=-12x2+22x+∵S△PAE=S△PAQ﹣S△PEQ=12∴S△PAE=-22(x﹣22)2+∴當x=22,即點P的坐標為(22,3)時,△PAE面積最大,作點P和點O關于對稱軸的對稱點P'和O',連接O'P',與對稱軸交于點M,與y軸交于點N,則OM+MN+NP的最小值即為O'P'的長,∵O(0,0),P(22,3)∴O'(22,0),P'(﹣22,3),∴O'P'=(設直線O'P'的解析式為y=mx+n,則22m+n=0∴直線O'P'的解析式為y=-32當x=2時,y=∴點M的坐標為(2,34),OM+MN+NP的最小值為41(2)設直線BC的解析式為y=kx+b,則32k+b=0∴直線BC的解析式為y=-22x記FF'與BC的交點為點H,則∠FHB=90°,點H為F和F'的中點,∴cos∠FBH=cos∠CBO,即BHBF∵BF=22,BO=32,BC=32+(∴BH2∴BH=4過點H作HK⊥x軸于點K,則∠HKB=90°,∴sin∠HBK=sin∠CBO,cos∠HBK=cos∠CBO,∴HKBH=CO∴HK43∴HK=43,BK∴OK=OB﹣BK=32-∴點H的坐標為(523,∴點F'的坐標為(723,∵點A(-2,0),點D(2,4∴AD=26,即A'D'=26,設平移的距離為6t,則點A'的坐標為(-2+2t,2t),點D'的坐標為(2+2t,∴A'F'2=(-2+2t-723)2+(2t-83)2=6t2﹣24t+883,D'F'2=(2t+2-723)2+(4+2t-8①以A'F'和D'F'為鄰邊時,A'F'2=D'F'2,∴6t2﹣24t+883=6t解得:t=1,∴點D'的坐標為(22,6);②以A'F'和A'D'為鄰邊時,A'F'2=A'D'2,∴6t2﹣24t+883解得:t=2+273或t=∴點D'的坐標為(32+2143,8+473③以D'F'和A'D'為鄰邊時,D'F'2=A'D'2,∴6t2+163解得:t=273或∴點D'的坐標為(2+2143綜上所述,點D'的坐標為(22,6)或(32+2143,8+473)或(32-28.閱讀材料:對于正數(shù)a、b,有(a-b)2≥0,所以a+b﹣2ab≥0,即a+b≥2ab(當且僅當a=b時取“=”).特別地:a+1a≥2a因此,當a>0時,a+1a有最小值2,此時a=簡單應用:(1)函數(shù)y=2﹣x-4x(x>0)的最大值為(2)求函數(shù)y=9x+1x-1(x>1),當x=解決問題:(3)已知P(﹣2,3)是反比例函數(shù)y=kx圖象上的點,Q是雙曲線在第四象限這一分支上的動點,過點Q作直線,使其與雙曲線y=kx只有一個公共點,且與x軸、y軸分別交于點A、B.另一直線y=32x+6與x軸、y軸分別交于點C【解答】解:(1)∵x+4x≥2∴y最大=2﹣4=﹣2,故答案為:﹣2;(2)y=9x+1x-1=9(x﹣1)+1x-當9(x﹣1)=1x-1時,即:當x=43時,故答案為:43,5(3)把x=﹣2,y=3代入y=k3=k∴k=﹣6,∴y=-設點A(a,0),B(0,b),(a>0,b<0),∴直線AB的解析式為:y=-bax由-6xbx2﹣abx﹣6a=0,∵直線AB與雙曲線y=k∴Δ=(ab)2+24ab=0,∴b=-由y=32x+6得:D(0,6),C(﹣4∴AC=a+4,BD=6﹣b=6+24a,∴S四邊形ABCD=12AC?BD=12(a+4)?(6+24a)=∴當a=16a,即:a=4時,四邊形ABCD的面積最小值為:9.已知一次函數(shù)y1=kx+m與二次函數(shù)y2=2ax2+bx+c(a>0,b為整數(shù))的圖象交于A(2﹣22,3﹣22)、B(2+22,3+22)兩點,二次函數(shù)y2=2ax2+2bx+c和二次函數(shù)y3=ax2+bx+c﹣1的最小值的差為1.(1)求y1、y2、y3的解析式;(2)P是y軸上一點,過點P任意作一射線分別交y2、y3的圖象于M、N,過點M作直線y=﹣1的垂線,垂足為G,過點N作直線y=﹣3的垂線,垂足為H.是否存在這樣的點P,使PM=MG、PN=NH恒成立,若存在,求出P點的坐標,并探究PMPN(3)在(2)的條件下.設過P點的直線l交二次函數(shù)y2的圖象于S、T兩點,試求1PT【解答】解:(1)將A(2﹣22,3﹣22)、B(2+22,3+22)代入到y(tǒng)1=kx+m,得,(2解得k=1∴y1=x+1,聯(lián)立y=x+1化簡得2ax2+(2b﹣1)x+c﹣1=0,由根與系數(shù)關系可得,2-化簡得,8a+2b=1,∵二次函數(shù)y2=2ax2+2bx+c和二次函數(shù)y3=ax2+bx+c﹣1的最小值的差為1,∴2ac-∴b=0,∴a=1∴y2將A點坐標代入到y(tǒng)214∴c=0,∴y1=x+1,y2=1(2)如圖1,設P(0,t),M(u,v),∴PM2=u2+(v﹣t)2=u2+v2+t2﹣2vt,MG=v+1,∵PM=MG,∴PM2=MG2,∴u2+v2+t2﹣2vt=v2+2v+1①,∴u2+t2﹣2vt=2v+1,∵M點在拋物線y=1∴14∴u2=4v,將上式代入到①中,化簡得,2v+t2﹣2vt﹣1=0,∴(t﹣1)(t+1﹣2v)=0,∵上式對任意v都成立,∴t﹣1=0,∴t=1,∴P(0,1)時,使PM=MG恒成立,同理可得,當P(0,1)時,使PN=NH恒成立,∴P點的坐標為(0,1)時,使PM=MG,PN=NH恒成立,設NH與直線y=﹣1交于點K,直線y=﹣1與y軸交點為E,∵MG∥y軸,NH∥y軸,∴PO∥MG∥NK,∴PMPN設直線PM為y=kx+1,聯(lián)立y=kx+1化簡得,x2﹣4kx﹣4=0,∴x=2∴M的橫坐標為2k+∴EG=2k+2k2+1,同理,EK∴PMPN即存在這樣的點P(0,1),使PM=MG、PN=NH恒成立,PMPN(3)設直線l2為y=nx+1,S(x1,y1),T(x2,y2),聯(lián)立y=nx+1化簡得,x2﹣4nx﹣4=0,∴x1+x2=4n,x1x2=﹣4,∴y1+y2=n(x1+x2)+2=4n2+2,∴y1y2=1如圖2,分別過S,T作直線y=﹣1的垂線,垂足為D,Q,由(2)可得,PS=SD=y(tǒng)1+1,PT=TQ=y(tǒng)2+1,∴1PT+即1PT10.如圖1,平面直角坐標系xOy中,A(﹣4,3),反比例函數(shù)y=kx(k<0)的圖象分別交矩形ABOC的兩邊AC,BC于E,F(xiàn)(E,F(xiàn)不與A重合),沿著EF將矩形ABOC折疊使A,D(1)①如圖2,當點D恰好在矩形ABOC的對角線BC上時,求CE的長;②若折疊后點D落在矩形ABOC內(nèi)(不包括邊界),求線段CE長度的取值范圍.(2)若折疊后,△ABD是等腰三角形,請直接寫出此時點D的坐標.【解答】解:(1)①如圖2中,連接AD交EF于H.∵四邊形ABOC是矩形,A(﹣4,3),∴∠A=90°,OB=AC=4,AB=OC=3,∵E,F(xiàn)在y=k∴可以假設E(k3,3),F(xiàn)(﹣4,k∴AE=4+k3,AF=3∴AE:AF=4:3,∵AC:BC=4:3,∴AEAC∵∠EAF=∠CAB,∴△EAF∽△CAB,∴∠AEF=∠ACB,∴EF∥BC,∵A,D關于EF對稱,點D落在BC上,∴EF垂直平分線段AD,∴AH=DH,∵EF∥BC,∴AHDH∴AE=EC=2.②如圖3中,當點D落在OB上時,連接AD交EF于H.∵∠EAF=∠ABD=90°,∠AEF=∠BAD,∴△AEF∽△BAD,∴AEAB=AF∴BD=AB÷4設AF=x,則FB=3﹣x,F(xiàn)D=AF=x在Rt△BDF中,∵FB2+BD2=DF2,∴(3﹣x)2+(94)2=x2解得x=75∴AF=75∴AE=43AF∴EC=4﹣AE=4-25∴78<CE<4時,折疊后點D落在矩形線段CE長度的取值范圍為:78<CE<(2)∵△ABD是等腰三角形,F(xiàn)與B不重合,∴AB≠BD.①如圖4中,當AD=BD時,∠BAD=∠ABD,由(1)可知∠BAD=∠AEF,∴∠ABD=∠AEF.作DM∥OB交AB于M,交OC于N.則DM⊥AB,MN=AC=4,∴∠BMD=∠EAF=90°,BM=12AB∴△AEF∽△MBD,∴AEMB=AF∴MD=BM÷4∴DN=MN﹣MD=4-9∴D(-238,②如圖5中,當AD=AB時,作DM∥OB交AB于M,交OC于N.則DM⊥AB,MN=AC=4,∴∠AMD=∠EAF=90°,由(1)可得∠BAD=∠AEF,∴△AEF∽△MAD,∴AEAM=AF設AM=4a,則MD=3a,在Rt△MAD中,∵AM2+DM2=AD2,∴(4a)2+(3a)2=32,∴a=3∴AM=125,MD∴BM=AB=AM=3-125=35,DN=MN﹣∴D(-115,綜上所述,滿足條件的點D的坐標為(-238,32)或(-11.對稱變換和平移變換在平面幾何中有著廣泛的應用,特別是在解決有關最值問題時,更是我們常用的思維方法,請你利用所學知識解決下列問題:(1)如圖①,在平面直角坐標系中,已知點A(0,1),點B(2,1),點P在x軸上運動,當PA+PB的值最小時,點P的坐標是;(請直接寫出答案)(2)如圖②,AD⊥l于點D,BC⊥l于點C,且AD=2,AB=BC=4,當點P在直線l上運動時,PA+PB的最小值是;(請直接寫出答案)(3)如圖③,直線a∥b,且a與b之間的距離為1,點A到直線a的距離為2,點B到直線b的距離為2,且AB=34,問:在直線a上是否存在點C,在直線b上是否存在點D,使得CD⊥a,且AC+CD+DB的值最?。咳舸嬖?,請求出AC+CD+DB(4)如圖④,在平面直角坐標系中,A(6,0),B(6,4),線段CD在直線y=x上運動,且CD=22,則四邊形ABCD周長的最小值是,此時點D的坐標為.(請直接寫出答案)【解答】解:(1)如圖1,作點A關于x軸的對稱點A′(0,﹣1),連接A′B交x軸于點P,則點P為所求點,∵點A′、A關于x軸對稱,∴PA′=PA,PA+PB=PA′+PB=A′B為最小;設直線A′B的表達

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