電子科大隨機過程課件匯總版,龔麗莎

概率論概要§0.0

概率空間§0.1黎曼—斯蒂階積分簡介

§0.2*

隨機變量的數(shù)字特征§0.3*

特征函數(shù)§0.0

概率空間一、隨機事件的公理化定義

回顧初等概率論中引進古典概率、幾何概率等定義，有如下問題：

對于隨機試驗E的樣本空間Ω,是否Ω的每一個子集(事件)都能確定概率?

定義

(σ代數(shù))：設隨機試驗E

的樣本空間為Ω,F

是Ω的子集組成的集族，滿足(2)若A∈F,則.（對逆運算封閉）(3)若則（對可列并運算封閉）σ可加

稱F

為Ω的一個σ-代數(shù)（事件體）,

F

中的集合稱為事件.(1)Ω∈F

;

Ex.1在編號為1,2,…,n

的

n個元件中取一件.樣本空間為構(gòu)造如下事件:………1.考慮元件的編號，則全體基本事件為可驗證集族組成一個σ代數(shù).

2.考慮元件是正品或次品，則基本事件為

A1={取到正品},A2={取到次品}則為一個σ代數(shù).

Ex.2

測量一個零件,考慮其測量結(jié)果與實際長度的誤差.

基本事件為{x},樣本空間為

則R1的子集全體：,單點集{x}，一切開的,閉的，半開閉區(qū)間等組成的集族F是一個代數(shù).另外，令

={出現(xiàn)正誤差}={出現(xiàn)負誤差}則為一個σ代數(shù).注：對同一研究對象的同一試驗,試驗目的不同,其樣本空間和σ代數(shù)的結(jié)構(gòu)會不同.

定義(可測空間)樣本空間Ω和σ代數(shù)的二元體(Ω,F)稱為可測空間.可測空間有如下性質(zhì)：

1.2.對可列交運算封閉.若

證3.

對有限并,有限交封閉:若

則4.對差運算封閉,即若則.二、概率的公理化定義柯氏公理體系是現(xiàn)代概率論的基石.

定義(概率)：設(Ω,F)是一可測空間,對定義在F上的實值集函數(shù)P(A),滿足1)

非負性：對

2)

規(guī)范性:P(Ω)=1;3)

完全可加性,對

有

稱P是(Ω,F)上的概率(測度),P(A)是事件A的概率.

三元體(Ω,F,P)稱為概率空間.

Ex.3

設某路口到達的車輛數(shù)為m,基本事件為{m},樣本空間F是Ω的一切子集組成的集族，則F是一個σ代數(shù).令P(φ)=0,并對A∈F令證明P為可測空間(Ω,F)上的概率測度.

證

1)

2)因3)設有三、乘積樣本空間設A

和B

是兩個集合，稱為A與B

的積集.

定義

設隨機試驗Ei,i=1,2,…n的樣本空間分別為Ωi

,i=1,2,…n,稱Ω1×Ω2×…×Ωn={(ω1,ω2…,ωn),ωi∈Ωii=1,2,…,n}為乘積樣本空間.

Ex.3

設拋一枚均勻硬幣試驗E1的樣本空間為擲一顆均勻硬幣骰子試驗E2的樣本空間為

先擲一顆均勻硬幣骰子,再拋一枚均勻硬幣試驗的樣本空間可設為Ω=Ω1×Ω2={(ω1,ω2),ωi∈Ωii=1,2}有ω=(T,i)∈Ω,ω=(H,i)∈Ω,i=1,2,…,6.

Ex.4

n次獨立重復拋一枚均勻硬幣試驗E的樣本空間為Ωn={(ω1,ω2…,ωn),ωi∈Ω,

i=1,2,…,n}=Ω×Ω×…×Ω=Ωn稱為Ω的n維乘積空間.如(T,T,H)∈Ω3,(H,T,H)∈Ω3.四、概率性質(zhì)設(Ω,F,P)是概率空間,則概率P有如下性質(zhì):1)P(φ)=0;2)有限可加性:

若

則推論1:

推論2(單調(diào)性):若，則P(A－B)=P(A)－P(B)且3)概率的連續(xù)性A1AnAn+1證：其中B1,B2,…互不相容，特別由完全可加性有

收斂級數(shù)的余項極限為0,(as

),即

推論1：

推論2：

證：在推論2中

ABn=A－

An4）多除少補原理推論：概率具有次可加性五、條件概率

定義：設(Ω,F,P)是概率空間，A,B∈F，且P(B)>0

稱為已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率.

定理：設(Ω,F,P)是概率空間,B∈F,且P(B)>0,則對有對應,集函數(shù)滿足三條公理:條件概率是概率.

定義記PB=P(·|B）,則PB是可測空間Ω,F)上的概率,稱(Ω,F,PB)是條件概率空間.

定理設A是概率空間(Ω,F,P)上的正概率事件,B∈F,且PA(B)>0,則對任意C∈F

有

證

Ex.

10張簽中有三張幸運簽,3人依次各抽一張簽,第一個人抽到幸運簽,假若第二人也抽到,問第三人抽到幸運簽的概率.解設

Ai={第i人抽到幸運簽},i=1,2,3.所求概率為六、全概率公式與Bayes公式

定理

設(Ω,F,P)是概率空間,若

1)A

i∈F,且P(Ai)>0，(i=1,2,…);2)完備性條件.則對任意B∈F

有1)七、隨機變量

定義設(Ω,F,P)是概率空間,X(ω)是定義在Ω上的單值實函數(shù),若對于任意實數(shù)x∈R,有稱X(ω)是隨機變量.

可測空間(Ω,F)上的可測函數(shù).注由隨機變量定義及σ代數(shù)性質(zhì),有

八、分布函數(shù)

定義設X(ω)是定義在概率空間(Ω,F,P)上的隨機變量,令稱F(x)為X的分布函數(shù).

性質(zhì)1)

F(x)是單調(diào)不減函數(shù)；

3）F(x)是右連續(xù)函數(shù),即對九、二維隨機變量

定義如果X和Y是定義在同一概率空間(Ω,F,P)上的兩個隨機變量,稱(X,Y)為二維隨機變量(向量).如何準確理解“維”的含義?如何理解“定義在同一概率空間”

?思考:1.隨機變量概念的理解.X是概率空間(Ω,F,P)上的隨機變量,有1)

對于ω∈Ω，有唯一X(ω)與之對應,

ωXΩx=X(ω)

隨機變量X可理解為從樣本空間Ω到實數(shù)集RX的一個映射.

2.二維隨機變量(X,Y)1)

有唯一(X(ω),Y(ω))與之對應.ωΩx=X(ω)y=Y(ω)(X,Y)是概率空間(Ω,F,P)上的隨機向量.

Ex.1

隨機試驗E:檢查n個學生的健康情況，{i}表示抽檢到第i名學生，記樣本空間為對于樣本點可定義身高：體重：身高X與體重Y構(gòu)成定義在(Ω,F)上的二維隨機變量(X,Y).

EX.2

先擲一顆均勻硬幣骰子,再拋一枚均勻硬幣試驗的樣本空間為Ω=Ω1×Ω2={(ω1,ω2),ωi∈Ωii=1,2}對(ω1,i)∈Ω,其中ω1=H,T；i=1,2,…,6.定義二維隨機變量(X(ω),Y(ω))=ω1=T，ω2=i；ω1=H，ω2=i；注:

由(X,Y)的聯(lián)合分布可確定分量X,Y各自的分布,反之不行.

如“(X,Y)服從二維正態(tài)分布”與“X,Y是兩個正態(tài)分布隨機變量”是完全不同的概念.

定義設(X,Y)是定義在(Ω,F,P)上的隨機向量,對稱為(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù).1)

F(x,y)分別對x

和y單調(diào)不降；2)

F(x,y)對每個變元右連續(xù)；定理若F(x,y)是聯(lián)合分布函數(shù),則有注1)此定理的逆成立；2)可以推廣到任意有限維的情形；3)

分布函數(shù)與概率空間(Ω,F,P)的概率一一對應.十、條件分布

定義設(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，記

若極限存在，稱為在X=x的條件下,隨機變量Y的條件分布函數(shù).需滿足對注

離散型隨機變量(X,Y),在y=yk條件下X的條件分布函數(shù)為稱為條件分布律.連續(xù)型(X,Y),有為在X=x條件下,隨機變量Y的條件密度函數(shù).

Ex.3已知X～,給定X=x的條件下,Y的條件分布為,求Y的分布及給定Y=y的條件下X的條件分布.解已知十一、隨機向量的獨立性

定義設(X,Y)是二維隨機變量,對成立,稱X與Y相互獨立.

本質(zhì)上是事件的獨立,(X,Y)定義在(Ω,F,P)上,對隨機事件{X≤x}與{Y≤

y}相互獨立.注對所有(x,y)∈R2成立.

定義

(X1,X2,…,Xn)是n維隨機變量,若對任意（x1,x2,…,xn）有

定理若隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立，則其中任意k(2≤k≤n)個隨機變量也相互獨立.成立,稱隨機向量X1,X2,…,Xn相互獨立.定理

設有n1+n2+…+nk維隨機變量若ψi是ni元實變實值連續(xù)函數(shù),令有1)

Y1,Y2,…,Yk必為同一概率空間的隨機變量;相互獨立,則Y1,Y2,…,Yk也相互獨立.0.1R-S(黎曼-斯蒂階)積分簡介

定義設f(x),g(x)為定義在[a,b]上的實值函數(shù)，做一剖分:a=x0<x1<…<xn=b,并任取點xk[xk＋1]做和式若存在實數(shù)I,使對,只要對任意分點及任意的取法均有

稱I為f(x)關(guān)于g(x)在[a,b]上的R-S積分,簡記為黎曼積分是R-S積分的特例.注存在,稱為廣義R-S積分.R-S積分性質(zhì):3)設α,β是任意常數(shù)，則4)若a<c<b,則有

以上三個等式成立的意義是:當?shù)忍栍疫叴嬖跁r,左邊也存在并相等.以上1～5條性質(zhì)可全部推廣到廣義R-S積分.如注6)（施瓦茲不等式）設g(x)單增，f1(x)和f2(x)平方可積，即存在，并且證明存在性因建立關(guān)于λ的二次式，因定理0.1.1

若f(x)在R上連續(xù)且存在，并有實數(shù)列Ck,

k=0,使

…<C－1<C0<C1<…且g(x)在[Ck,Ck+1)上取常數(shù)，則問題若g(x)是離散型隨機變量的分布函數(shù)，f(x)關(guān)于g(x)的廣義R-S積分形式？設ξ是離散型隨機變量,其分布律為其分布函數(shù)g(x)是有界、單調(diào)不降的階梯函數(shù)，特別當f(x)=x時，有定理0.1.2

若f(x)在R上連續(xù)且存在，有函數(shù)列fn(x)

n=0,一致收斂到f(x),則

定理0.1.3

（控制收斂定理）若f(x)在R上連續(xù)且存在，若有函數(shù)列fn(x)

n=0,滿足若，

則電子科技大學

一、特征函數(shù)的定義及例

設X,Y是實隨機變量,復隨機變量Z=X+jY,的數(shù)學期望定義為特別§0.3

特征函數(shù)電子科技大學注1）costx和sintx

均為有界函數(shù),故總存在.2)

是實變量t的函數(shù).X是實隨機變量求隨機變量X的函數(shù)的數(shù)學期望電子科技大學

定義0.3.1

設X是定義在(Ω,F,P)上的隨機變量,稱為X的特征函數(shù).關(guān)于X的分布函數(shù)的富里埃-司蒂階變換當X是連續(xù)型隨機變量當X是離散型隨機變量電子科技大學Ex.1

單點分布Ex.2

兩點分布Ex.3

二項分布Ex.4

泊松分布電子科技大學Ex.5

指數(shù)分布電子科技大學Ex.6

均勻分布Ex.7

正態(tài)分布N(a,σ2)特別正態(tài)分布N(0,1)，則電子科技大學證明電子科技大學

二、特征函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)0.3.1隨機變量X的特征函數(shù)滿足：證司蒂階積分性質(zhì)或矩的性質(zhì)電子科技大學

性質(zhì)0.3.2

隨機變量X的特征函數(shù)為則Y=aX+b的特征函數(shù)是a,b是常數(shù).電子科技大學

Ex.8

設η～N(a,σ2),求其特征函數(shù).

解設X～N(0,1),有Y=σX+a,且證電子科技大學

性質(zhì)0.3.3隨機變量X的特征函數(shù)在R上一致連續(xù).使時,對t一致地有一般，

性質(zhì)0.3.4特征函數(shù)是非負定的函數(shù)，即對任意正整數(shù)n,任意復數(shù)z1,z2,…,zn,及電子科技大學證注

以上性質(zhì)中一致連續(xù)性，非負定性是本質(zhì)性的.電子科技大學

定理0.3.1

(波赫納—辛欽)

函數(shù)為特征函數(shù)的充分必要條件是在R上一致連續(xù)，非負定且

定理0.3.2若隨機變量X

的n階矩存在,則X的特征函數(shù)的k

階導數(shù)存在,且電子科技大學證

僅證連續(xù)型情形設X的概率密度為f(x)，有電子科技大學令t=0，得故

Ex.9

隨機變量X的概率密度為解電子科技大學故電子科技大學

三、反演公式及唯一性定理

由隨機變量X的分布函數(shù)可惟一確定其特征函數(shù)：問題能否由X的特征函數(shù)唯一確定其分布函數(shù)？？從而電子科技大學

定理0.3.3（反演公式）設隨機變量X的分布函數(shù)和特征函數(shù)分別為F(x)和

則對F(x)的任意連續(xù)點x1,x2,（x1<x2）,有

推論1(唯一性定理)分布函數(shù)F1(x)和F2(x)恒等的充要條件是它們的特征函數(shù)和恒等.電子科技大學

推論2

若隨機變量X的特征函數(shù)在R上絕對可積，則X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為反演公式注

對于連續(xù)型隨機變量X，概率密度與特征函數(shù)互為富氏變換(僅差一個負號).其特征函數(shù)為

推論3

隨機變量X是離散型的,其分布律為電子科技大學且反演公式證設有電子科技大學

Ex.9

隨機變量X在[]上服從均勻分布,Y=cosX,利用特征函數(shù)求Y的概率密度.解X的概率密度為電子科技大學Y的特征函數(shù)為偶函數(shù)令電子科技大學

根據(jù)特征函數(shù)與分布函數(shù)一一對應的惟一性定理,知隨機變量Y的概率密度為Ex.12已知隨機變量X的特征函數(shù)為電子科技大學解試求X的概率分布.

根據(jù)特征函數(shù)與分布函數(shù)一一對應的惟一性定理,知隨機變量X的分布律為

X

-202p1/41/21/4電子科技大學

Ex.10

隨機變量Y～B(n,p),寫出其特征函數(shù).解二項分布隨機變量Y可表示為,且Xk～B(1,p),k=1,2,…,n,

相互獨立,故Y的特征函數(shù)為

四、獨立隨機變量和的特征函數(shù)

定理0.3.4

隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立,令則電子科技大學

證

Xk的特征函數(shù)為,則從而由唯一性定理知,Y～N(0,1).

Ex.11

若X1,X2,…,Xn相互獨立,且Xk～N(0,1),證明也服從N(0,1)分布.電子科技大學

五、多維隨機變量的特征函數(shù)

定義0.3.2

二維隨機變量(X,Y)的特征函數(shù)定義為連續(xù)型電子科技大學離散型

定義0.3.3

n維隨機向量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,…,xn),則它的特征函數(shù)為電子科技大學性質(zhì)0.3.51)

隨機變量（X1,X2,…,Xn）相互獨立的充要條件是與獨立和的特征函數(shù)性質(zhì)有什么差別?

2)二維隨機變量(X,Y)的特征函數(shù)為則Z=aX+bY+c的特征函數(shù)為電子科技大學特別有證

Ex.13

設(X1,X2)服從二維正態(tài)分布,且E(Xk)=k,k=1,2,記.電子科技大學解求Y=X1+X2的特征函數(shù).電子科技大學

故Y=X1+X2～N(3,12).

電子科技大學7月-231.1隨機過程定義

定義1.1.1

設給定概率空間(Ω,F,P)和指標集T,若對每個t∈T,有定義在(Ω,F,P)上的隨機變量與之對應.稱依賴于t的隨機變量族為隨機過程(隨機函數(shù)).記為注指標集T又稱參數(shù)集或參數(shù)空間.電子科技大學7月-23當T=(1,2,…，n),

隨機向量當T=(1,2,…,n,…),

時間序列當T={(x,y):a<x<b,c<y<d),

平面隨機場，或多維指標集隨機過程

隨機過程是n維隨機變量，隨機變量序列的一般化,是隨機變量X(t),的集合.電子科技大學7月-23為隨機過程的狀態(tài)空間.

隨機過程可視為質(zhì)點M隨時間推移所作的隨機運動變化過程.

隨機事件表示隨機過程在時刻t時處于狀態(tài)x.

稱集合電子科技大學7月-23

Ex.7

質(zhì)點布朗運動設質(zhì)點在直線上隨機游動,經(jīng)隨機碰撞后各以1/2的概率向左或向右移動.若經(jīng)無窮多次碰撞定義隨機變量序列電子科技大學7月-23則描述了直線上隨機質(zhì)點的運動.

其參數(shù)集T={1,2,…},狀態(tài)空間E={－1,1}.隨機過程的理解定義指標集和樣本空間的積集

隨機過程是定義在積集上的二元函數(shù)：電子科技大學7月-231)對固定的是一個定義在概率空間(Ω,F,P)上的隨機變量；2)當固定作為時間變量的函數(shù)，是一個定義在T上的普通函數(shù).即對于特定的試驗條件電子科技大學7月-23X(t1,ω)X(t2,ω)x(t,ω1)x(t,ω2)x(t,ω3)t1t2tnX(tn,ω)

Ex.8隨機相位正弦波Xt

(ω)=αcos(βt+Θ),Θ~U(0,2π)電子科技大學7月-23ω2=1.9164ω3=2.6099ω1=5.4938

當t變化時,構(gòu)成一族隨機變量.對不同的ω得到不同的確定性函數(shù).電子科技大學7月-23

定義2.1.2

對每一固定ω∈Ω,稱xt

(ω)是隨機過程相應于ω的樣本函數(shù)(或軌道,路徑,現(xiàn)實).電子科技大學7月-23電子科技大學7月-23電子科技大學7月-23

如果有時光機回到當初重新進行一次隨機過程的實驗，今天也許不是這樣；但是到了今天，用我們敬愛的徐全智老師的話來說，那就是一條誰也無法更改的樣本、現(xiàn)實、軌跡！

我們就這樣匆匆忙忙地奔跑在人生的路上，馬不停蹄地追趕，馬不停蹄地錯過.電子科技大學7月-23

Ex.9隨機開關(guān)系統(tǒng)如下

子系統(tǒng)Ⅰ輸出xt(ω1)=cosπt子系統(tǒng)Ⅱ輸出xt

(ω2)=2t輸入系統(tǒng)開始運行時,隨機開關(guān)以概率p接通子系統(tǒng)Ⅰ,以概率1－p接通子系統(tǒng)Ⅱ.定義了如下隨機過程:電子科技大學7月-23寫出過程{Xt(ω),t≥0}的所有樣本函數(shù).解用ω1表示接通子系統(tǒng)Ⅰ,ω2表示接通子系統(tǒng)Ⅱ,則過程僅有兩條樣本函數(shù):xt

(ω1)=cosπt,和xt

(ω2)=2t.Ex.8

質(zhì)點布朗運動假定獨立重復拋一個均勻硬幣，則定義了直線上的質(zhì)點布朗運動,電子科技大學7月-23分析確定此過程的樣本空間及樣本函數(shù).

將拋第n次硬幣的試驗記為En

,則過程試驗為無窮維集積解電子科技大學7月-23第n次試驗對應的樣本空間是此隨機過程的樣本空間為無窮維乘積空間Xn(ω)

－11p1/21/2均為兩點分布隨機變量.電子科技大學7月-23過程有無窮條樣本函數(shù)12345-1167是對應Ω的樣本點的一條樣本函數(shù).電子科技大學7月-231.1.2隨機過程的分布

需要研究一族隨時間或地點變化的隨機變量的整體或局部統(tǒng)計規(guī)律性.

定義1.1.3

隨機過程,對隨機變量Xt

(ω)的分布函數(shù)稱為過程

的一維分布函數(shù)族.注僅描述了隨機過程在各個孤立時間點處的統(tǒng)計特性.電子科技大學7月-23

需描述隨機過程中任意兩個或多個隨機變量之間的整體統(tǒng)計規(guī)律.的n維聯(lián)合分布函數(shù)為

定義1.1.4

隨機過程，對給定n

及,隨機向量稱集合為隨機過程的有限維分布函數(shù)族.電子科技大學7月-23

隨機過程的n維分布函數(shù)族能近似地描述過程的統(tǒng)計特性,n越大則描述越趨于完善.需研究隨機過程與有限維分布函數(shù)的關(guān)系.隨機過程的有限維分布函數(shù)有以下性質(zhì):

1)

對稱性:對1,2,…,n的任一排列j1,j2,…,jn,均有因事件乘積滿足交換律.注電子科技大學7月-23

2)

相容性:對任意固定的自然數(shù)m<n,均有注聯(lián)合分布函數(shù)能完全確定邊緣分布函數(shù).

電子科技大學7月-23定理1.1.1(柯爾莫哥羅夫存在定理)如果有限分布函數(shù)族滿足相容性和對稱性,則存在一個概率空間上的一個隨機過程以F為有限維分布函數(shù)族,即有電子科技大學7月-23

故可用有限維分布描述隨機過程的整體統(tǒng)計特性.

特征函數(shù)和分布函數(shù)相互惟一確定，也可用特征函數(shù)族描述隨機過程的整體統(tǒng)計特性.類似地,隨機過程的有限維特征函數(shù)滿足:

1)

對1,2,…,n的任一排列j1

,j2

,…,jn

有電子科技大學7月-23

2)

對任意固定的自然數(shù)m<n,均有

Ex.9

類似于隨機開關(guān)系統(tǒng),設隨機過程只有兩條樣本函數(shù)且求1)一維分布函數(shù)F(0;x)和

F(π/4;x);2)二維分布函數(shù)F(0,π/4;x,y).電子科技大學7月-23解

1)對任意實數(shù)t∈R,有X(t)

－

2cost2costp1/32/3特別X(0)

－22p1/32/3X()

p1/32/3其分布函數(shù)分別為電子科技大學7月-232)分析xt(ω1)=2costxt(ω2)=－2cost－22電子科技大學7月-23二維隨機變量(X0,Xπ/4)的聯(lián)合分布律為其聯(lián)合分布函數(shù)為電子科技大學7月-23Ex.10

(脈沖位置調(diào)制信號)參見教材P10.1)每隔T秒輸出寬度為T/6,幅度為A的脈沖;2)各脈沖開始時間為Xj,j=1,2,…,n,相互獨立.3)Xj～U(0,5/6T).求Yt的一維概率密度.電子科技大學7月-23解

Xj的概率密度為0Tt當0≤t<T/6,A電子科技大學7月-23當T/6≤t<5T/6,當5T/6≤t<T,0Ttt－T/6t電子科技大學7月-23

Ex.11

隨機正弦波設隨機過程

其中ω是正常數(shù),隨機變量A

與Θ相互獨立,A～U(0,1),Θ～U(－π,π),試求過程的一維概率密度.解1)首先固定A=a,設其中a

是常數(shù),可求得Y(t)的一維概率密度為電子科技大學7月-232)因,有用連續(xù)型全概率公式電子科技大學7月-23思考題：

為什么可以用過程的有限維分布函數(shù)族或特征函數(shù)族描述隨機過程的統(tǒng)計特性?§1.2隨機過程的數(shù)字特征

在實際應用中,很難確定出隨機過程的有限維分布函數(shù)族.

過程的數(shù)字特征能反映其局部統(tǒng)計性質(zhì),在許多實際問題和理論問題中都能很好地滿足研究目的.

在某些特定情況下,隨機過程的數(shù)字特征可以完全確定其有限維分布.需確定各類數(shù)字特征隨時間的變化規(guī)律.為此過程的均值函數(shù).

定義1.2.1

設和是兩個實隨機過程,稱為復隨機過程.

定義1.2.2

給定實隨機過程,稱1.2.1均值函數(shù)與方差函數(shù)復隨機過程的均值函數(shù)定義為

定義1.2.3

給定隨機過程,稱為過程的方差函數(shù).稱為過程的均方差函數(shù).復隨機過程的方差函數(shù)定義為

一般而言,均值函數(shù)和方差函數(shù)是時間的函數(shù).

問題均值函數(shù)和方差函數(shù)分別表征了隨機過程的什么特征？

方差函數(shù)描述了隨機過程在各時點處的波動程度.僅描述了各個孤立時點過程的狀態(tài)特征.

均值函數(shù)表征了隨機過程在各時間點上的平均特征.

需要研究在兩個不同時點隨機過程狀態(tài)間的關(guān)聯(lián)關(guān)系.回顧

兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)刻畫了隨機變量X與Y的線性相關(guān)程度.1.2.2協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)(相關(guān)系數(shù))

以下引入的數(shù)字特征都是刻畫兩個不同時點隨機過程狀態(tài)之間的線性關(guān)聯(lián)程度.

定義1.2.4

給定隨機過程,s,t∈T,稱為過程的自相關(guān)系數(shù)函數(shù).稱為過程的協(xié)方差函數(shù).稱為過程的自相關(guān)函數(shù).重點研究內(nèi)容有特別當時零均值隨機過程對于復隨機過程自相關(guān)函數(shù)為協(xié)方差函數(shù)為

Ex.1設U,V是兩個相互獨立隨機變量,均服從標準正態(tài)分布N(0,1)，構(gòu)成隨機過程計算過程的均值函數(shù)、方差函數(shù)及相關(guān)函數(shù)，并給出過程的一維和二維分布.解因故均值函數(shù)為方差函數(shù)為

U,V相互獨立協(xié)方差函數(shù)為因故過程的一維概率密度為二維概率密度參見教材P13.

Ex.2

(教材P11例1.1.1)隨機開關(guān)系統(tǒng)過程求該過程的均值函數(shù),方差函數(shù),相關(guān)函數(shù),協(xié)方差函數(shù).X(t)cosπt2tp1/21/2解因?qū)θ我鈱崝?shù)t∈R,有(X(t),X(s))(cosπt,cosπs)(2t,2s)p1/21/2注意到Xs與Xt不相互獨立,聯(lián)合分布律為協(xié)方差函數(shù)為Ex.6n臺計算機通過一個有帶寬限制的路由器獲取網(wǎng)絡數(shù)據(jù),第i臺計算機獲取數(shù)據(jù)的速度是隨機過程:需研究各臺計算機的速度之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系.1.2.3多維隨機過程及互相關(guān)函數(shù)

定義1.2.5

設給定概率空間(Ω,F,P)和指標集T,若對每個t∈T,有定義在(Ω,F,P)上的隨機向量,ω∈Ω與之對應.稱為n維隨機過程.

可定義多維隨機過程的聯(lián)合分布函數(shù).參見教材P17.

工程實踐中常需要研究多維隨機過程的不同過程在相同或不同時點處的關(guān)聯(lián)關(guān)系.st引進兩個隨機過程的互相關(guān)函數(shù).定義1.2.6給定兩個復隨機過程為兩個隨機過程的互協(xié)方差函數(shù).

為兩個隨機過程的互相關(guān)函數(shù).稱特定時點兩過程間狀態(tài)相關(guān)程度的刻畫指標.

當時間s和t變動,兩個過程的互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)反映了它們之間的整體相關(guān)程度.對實隨機過程和若對任意s,t∈T或稱兩個過程互不相關(guān).若對任意s,t∈T稱兩個過程正交.

Ex.6設某系統(tǒng)輸入信號是過程輸出過程是帶有噪聲的過程:其中是噪聲過程.計算輸出過程的均值函數(shù)與相關(guān)函數(shù).解特別當與相互正交,則

Ex.7

已知實隨機過程的自相關(guān)函數(shù)為R(s,t),令求自相關(guān)函數(shù)RYY

(s,t).解

代入特別取s=t,則電子科技大學§1.3隨機過程的常見類型過程基本類型

可按照隨機過程的參數(shù)集T和狀態(tài)空間E對過程進行分類:參數(shù)集T離散連續(xù)狀態(tài)空間E離散(離散參數(shù))鏈(連續(xù)參數(shù))鏈非離散隨機序列隨機過程電子科技大學

可按隨機過程的概率結(jié)構(gòu)特征進行分類,有以下重要過程:1.二階矩過程

定義1.3.1

設已給隨機過程(實或復),若對任意t∈T,均有,稱其為二階矩隨機過程.由許瓦茨不等式故二階矩過程的協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)總存在.電子科技大學

定理1.3.1

設是二階矩隨機過程,且則其協(xié)方差函數(shù)R(s,t)滿足性質(zhì)：(1)非負定性

對給定n≥1及,任意的普通函數(shù)有(2)埃密特性,即證明參見P19.電子科技大學以下3類重要過程都是二階矩過程:2.正態(tài)過程

過程的任意維隨機向量服從聯(lián)合正態(tài)分布,即有限維分布函數(shù)族是正態(tài)分布函數(shù)族.電子科技大學3.寬平穩(wěn)過程是復值二階矩過程,滿足均值函數(shù)協(xié)方差函數(shù)稱為寬((或廣義、或弱)平穩(wěn)過程,通常簡稱平穩(wěn)過程.僅與s－t有關(guān)電子科技大學4.嚴平穩(wěn)過程

過程對任意n＞1,t1

,t2,…,tn∈T和實數(shù)τ,當t1+τ,t2+τ,…,tn+τ∈T時,具有相同分布,即電子科技大學

嚴平穩(wěn)過程的任意有限維分布不隨時間的推移而改變.5.正交增量過程是復值二階矩過程,對任意的

且有稱過程是正交增量過程.電子科技大學6.馬爾科夫過程

過程對任意n＞1,t1<t2<…<tn∈T,及狀態(tài)空間E中的任意元素均有

馬爾科夫過程在隨時間推移的演變過程中,知道“現(xiàn)在”狀態(tài)的條件下，“過去”的信息對推斷“將來”狀態(tài)的概率性質(zhì)不再起作用.電子科技大學1.3.2獨立過程與平穩(wěn)獨立增量過程1.獨立過程

定義1.3.2

設隨機過程,對任意的正整數(shù)n≥1

及任意的隨機變量相互獨立,稱過程為獨立過程.

獨立隨機過程的有限維分布由一維分布確定,即有電子科技大學

Ex.1高斯白噪聲

設實值時間序列的均值函數(shù)與方差函數(shù)分別為自相關(guān)函數(shù)為稱為離散白噪聲(序列).兩兩不相關(guān)序列.電子科技大學

若隨機過程滿足稱其為連續(xù)參數(shù)白噪聲.

若Xn都服從正態(tài)分布,稱是高斯白噪聲序列.對于n維正態(tài)隨機變量有相互獨立不相關(guān)電子科技大學故高斯白噪聲序列是獨立時間序列.

高斯白噪聲是典型的隨機干擾數(shù)學模型,普遍存在于電流的波動,通信設備各部分的波動,電子發(fā)射的波動等各種波動現(xiàn)象中.電子科技大學2.獨立增量過程

定義1.3.3

設隨機過程,對任意的正整數(shù)n≥2

及T中,過程的增量相互獨立,稱其為獨立增量過程(可加過程).t1t2t3……tn電子科技大學

Ex.2

若{Xn,n∈N+}是獨立時間序列,令則{Yn，n∈N+}是獨立增量過程.

證因{Xn,n∈N+}相互獨立,若則電子科技大學相互獨立,即各增量相互獨立.電子科技大學3.平穩(wěn)增量過程

定義1.3.4

設隨機過程對任意t<s∈T及實數(shù)h,隨機變量與具有相同的概率分布,稱是一個具有平穩(wěn)增量的過程,簡稱平穩(wěn)增量過程.稱過程的增量是時齊的,或齊次的.tt+hss+h電子科技大學

平穩(wěn)增量過程的增量的分布僅與區(qū)間長度s－t的大小有關(guān),與起始點無關(guān).

若過程既為獨立增量過程,又為平穩(wěn)增量過程，稱其為平穩(wěn)獨立增量過程.

續(xù)Ex.2

若{Xn,n∈N+}

相互獨立并同分布，令則{Yn，n∈N+}的增量是時齊的電子科技大學因?qū)θ我庹麛?shù)n1＜n2及m,有相同分布.獨立(平穩(wěn))增量過程的性質(zhì)

以下性質(zhì)中總假定T=[0,+∞),且X0=0或P{X0=0}=1.電子科技大學

性質(zhì)1.3.1

設是平穩(wěn)獨立增量過程,且X0=0,則有

1.均值函數(shù)m(t)=mt,(m為常數(shù));2.方差函數(shù)D(t)=σ2t,(σ為常數(shù));3.協(xié)方差函數(shù)C(s,t)=σ2min(s,t),.證明第3條,當t>s時,由增量的獨立性,相互獨立,并利用第1條,可得電子科技大學同理當t<s時,,故C(s,t)=σ2min(s,t).Xt

－

Xs與Xs相互獨立.電子科技大學

證對任意的n≥1及任取∈T,由增量的獨立性可知相互獨立.且

性質(zhì)1.3.2

設是獨立增量過程,其有限維分布由一維分布和增量分布確定.

的特征函數(shù)為電子科技大學其中表示隨機變量的特征函數(shù).電子科技大學根據(jù)特征函數(shù)與分布函數(shù)的惟一性定理知,

的聯(lián)合分布函數(shù)由一維分布和增量分布完全確定.

對于獨立增量過程,且P{X0=0}=1,其有限維分布由增量分布確定.

分析因?qū)θ我鈇<t≤b,

有Xt=Xt－Xa由增量分布確定了一維分布.注1電子科技大學分析因增量與同分布.

對于平穩(wěn)獨立增量過程,且P{X0=0}=1,其有限維分布由一維分布確定.

注2思考題：1.白噪聲過程是否一定是獨立過程？2.獨立過程是否是獨立增量過程？反之？電子科技大學§2.1

正態(tài)過程

在現(xiàn)實問題中,滿足一定條件的隨機變量之和的極限服從正態(tài)分布.

電子技術(shù)中的熱噪聲是由大量的熱運動引起,也服從正態(tài)分布.

由于一個隨機過程可以用有限維分布來描述,為研究正態(tài)過程應首先研究多維正態(tài)分布隨機變量.電子科技大學一、多維正態(tài)隨機變量1.概率密度與特征函數(shù)若(X,Y)～

記其中σ1>0,σ2>0,|ρ|<1,故協(xié)方差矩陣滿足|C|≠0.電子科技大學(X,Y)的聯(lián)合概率密度為記為(X,Y)～N(μ,C).

電子科技大學

定義2.1.1

設C

=(cij)是n階正定對稱矩陣,μ是n維實值列向量,定義n維隨機向量

X=(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合密度函數(shù)為其中X=(x1,x2,…,xn)T,稱X

服從n維正態(tài)分布.（*）電子科技大學記為X=(X1,X2,…,Xn)T

～N(μ,C).

注

當C

=(cij)是n階正定對稱矩陣,有

定義2.1.2

n維正態(tài)分布隨機向量X=(X1,X2,…,Xn)的特征函數(shù)為其中

.(**)若|C

|=0則不能用(*)式給出其概率密度.稱X

服從退化正態(tài)分布或奇異正態(tài)分布.電子科技大學

定理2.1.2

n維正態(tài)分布隨機變量X的任一子向量也服從正態(tài)分布其中是C保留第k1,k2,…,km

行及列所得的m

階矩陣.多元正態(tài)分布的邊緣分布仍是正態(tài)分布

2.邊緣分布及二階矩

以下結(jié)論總假定隨機向量X=(X1,X2,…,Xn)T服從N(μ,C).非退化電子科技大學3.獨立性問題

定理2.1.3

n維正態(tài)分布隨機向量X1,X2,…,Xn相互獨立的充要條件是它們兩兩不相關(guān).等價于其協(xié)方差矩陣是對角陣.電子科技大學4.正態(tài)隨機向量的線性變換

定理2.1.4正態(tài)隨機向量X=(X1,X2,…,Xn)T，記E(X)=μ,協(xié)方差矩陣為C.LT=(l1,l2,…,ln)有對X的線性組合電子科技大學

定理2.1.5

X=(X1,X2,…,Xn)T

服從n維正態(tài)分布N(μ,C)的充要條件是它的任何一個非零線性組合服從一維正態(tài)分布.

可將多維正態(tài)隨機變量問題轉(zhuǎn)化為一維正態(tài)分布問題.電子科技大學

定理2.1.6

若X=(X1,X2,…,Xn)T

服從n維正態(tài)分布N(μ,C),K=(kij)m×n是任意矩陣,則Y=KX服從m維正態(tài)分布N(Kμ,KCKT).正態(tài)分布的線性變換不變性

證

對于任意m維實值列向量t,Y的特征函數(shù)為電子科技大學即隨機向量Y=KX

服從m維正態(tài)分布N(Kμ,KBKT)能否保證Y=KX

服從非退化正態(tài)分布?關(guān)于定理2.1.6的思考問題：反例:設隨機變量X0與V相互獨立,都服從標準正態(tài)分布N(0,1),令X(1)=X0+V,X(2)=X0+2V,

X(3)=X0+3V,

問(X(1),X(2),X(3))是否服從非退化正態(tài)分布?電子科技大學分析設～

因X的協(xié)方差矩陣為KCKT=電子科技大學|KCKT

|=X=(X(1),X(2),X(3))不服從非退化正態(tài)分布.

一般地,若X=(X1,X2)是非退化二維正態(tài)隨機向量,其線性變換Y=KX,有

1)每一分量服從正態(tài)分布;2)不能構(gòu)成二維以上的非退化聯(lián)合正態(tài)分布;電子科技大學3)當|KCKT|≠0時,隨機向量Y服從非退化正態(tài)分布.

推論非退化正態(tài)分布隨機向量X的行滿秩線性變換仍服從非退化正態(tài)分布.可證明電子科技大學

定理2.1.7

若隨機向量X服從N(μ,C),則存在一個正交變換U,使得Y=UX

是一個相互獨立的正態(tài)隨機向量.證因C為實對稱矩陣,存在正交陣U,使di是C的特征向量電子科技大學又因C是正定陣(從而非奇異)C有n個線性無關(guān)特征向量

設U是以單位正交特征向量為列構(gòu)成的正交陣,令Y=UX則得證.電子科技大學

定義2.1.3

隨機過程{X(t),t∈T}稱為正態(tài)過程,如果它的任意有限維分布都是聯(lián)合正態(tài)分布.即對任意的正整數(shù)n和t1,t2,…,tn∈T,n維隨機變量(X(t1),…,X(tn))都服從正態(tài)分布.二、正態(tài)隨機過程電子科技大學注

1)上述幾個定理均可應用于正態(tài)過程.

2）若存在n,對t1,t2,…,tn∈T,n維隨機變量(X(t1),…,X(tn))服從退化正態(tài)分布,稱{X(t),t∈T}為退化正態(tài)過程.3)

正態(tài)過程的有限維分布由二階矩完全確定.電子科技大學有對任意的n≥1,t1,t2,…,tn∈T,

(X(t1),…,X(tn))T～N(μ,C),

電子科技大學Ex.1

隨機振幅電信號

ξ與η相互獨立同服從正態(tài)分布,2）寫出一維概率密度和二維概率密度.1)試求X(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)；解

1)電子科技大學2)X(t)的一維密度為

電子科技大學

X(ti)是相互獨立正態(tài)隨機變量的線性組合,故(X(t1),X(t2))服從二維正態(tài)分布,其相關(guān)系數(shù)為得過程X(t)的二維密度為

僅與τ=s－t有關(guān)電子科技大學證明Z(t)是正態(tài)過程。證對任意正整數(shù)n及Ex.3

設隨機過程{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}相互獨立，都是正態(tài)隨機過程，設電子科技大學都是n維聯(lián)合正態(tài)隨機向量，并相互獨立。的n維特征函數(shù)為電子科技大學

由特征函數(shù)和分布函數(shù)的惟一性定理知是正態(tài)隨機向量.電子科技大學例2.1.4設{Xt,t≧0}是正態(tài)過程，證明以下過程仍為正態(tài)過程。（1）對任意的τ≧0,{X(t+τ)-X(τ),t≧0}（2）對任意的λ>0,（4）對t0>0（3）電子科技大學§2.2

維納過程一、維納過程的數(shù)學模型

將一個小球投入無限大高爾頓釘板內(nèi),小球各以的概率向左或向右移動一格.EX.1

(高爾頓釘板模擬試驗)

維納過程是英國植物學家羅伯特.布朗在觀察漂浮在液面的花粉運動—布朗運動規(guī)律時建立的隨機游動數(shù)學模型.電子科技大學P{X(k)=i}

－11X(k)電子科技大學

{X(k),k∈N+}

是一個獨立隨機過程,令

{Y(n),n∈N+}是一個平穩(wěn)獨立增量過程.小球在第n

次碰撞后所處位置電子科技大學由獨立同分布中心極限定理知

依分布收斂到標準正態(tài)分布電子科技大學（1）P(W0=0)=1;（3）W(t)-W(s)

～N(0,σ2|t-s|),(σ＞0).二、維納過程的定義

定義2.2.1若隨機過程{W(t),t≥0}滿足下條件(1)~(3)稱{W(t),t≥0}是參數(shù)為σ2的維納過程（或布朗運動）.（2）具有獨立增量;電子科技大學

維納過程應用廣泛：電路理論、通信和控制、生物、經(jīng)濟管理等.

維納過程的研究成果應用于計量經(jīng)濟學，使其方法論產(chǎn)生了一次飛躍，成功地應用于非平穩(wěn)的經(jīng)濟過程，如激烈變化的金融商品價格的研究。電子科技大學三、維納過程的分布1.一維分布：W(t)

～N(0,σ2t)；2.

增量分布：W(t)

－W(s)～N(0,σ2︱t－s︱)；

設t＞s

，因W(0)=0,且W(t)是平穩(wěn)獨立增量過程，故有相同分布N(0,σ2(t－s)).電子科技大學3.維納過程是正態(tài)過程.證設維納過程{W(t),t≥0}的參數(shù)是σ2，相互獨立，且有電子科技大學正態(tài)隨機向量的線性變換服從正態(tài)分布。四、維納過程的數(shù)字特征1.E{W(t)}=0;2.C(s,t)=R(s,t)=σ2min(s,t)維納過程是平穩(wěn)獨立增量過程電子科技大學

EX.1

設{W(t),t≥0}是參數(shù)為σ2的維納過程,求下列過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù).1)X(t)=W2(t),t≥0；解

1）mX(t)=E[X(t)]=E[W2(t)]=D[W(t)]+{E[W(t)]}2=σ2t.(s<t)電子科技大學獨立增量其中因W(t)

～N(0,σ2t)；W(t)

－W(s)～N(0,σ2︱t－s︱)電子科技大學另因若X～N(0,σ2),有電子科技大學

五、維納過程的判定定理2.2.1

設{W(t),t≥0}是正態(tài)過程，若W0=0,對任意s,t>0,有E(Wt)=0,E(WsWt)=C2min(s,t),且軌道連續(xù)，則{W(t),t≥0}是維納過程。電子科技大學推論設{W(t),t≥0}是參數(shù)為σ2的維納過程，則以下過程仍是維納過程。（1）對任意的τ≧0,{W(t+τ)-W(τ),t≧0}（2）對任意的λ>0,（3）電子科技大學一、計數(shù)過程與泊松過程

在天文，地理，物理，生物，通信，醫(yī)學，計算機網(wǎng)絡，密碼學等許多領域，都有關(guān)于隨機事件流的計數(shù)問題，如：

電話交換機上的呼喚流；計算機網(wǎng)絡上的（圖象，聲音）流；編碼（密碼）中的誤碼流；§2.3

泊松過程(一)電子科技大學交通中事故流；均構(gòu)成以時間順序出現(xiàn)的事件流A1,A2,…

定義2.3.1

隨機過程{N(t),t≥0}稱為計數(shù)過程(CountingProcess),如果N(t)表示在[0,t]內(nèi)事件A

出現(xiàn)的總次數(shù).計數(shù)過程應滿足：(1)

N(t)≥0;電子科技大學(2)N(t)取非負整數(shù)值；(3)如果s<t，則N(s)≤N(t)；(4)

對于s<t,N(t)

－N(s)表示時間間隔(s,t]內(nèi)事件出現(xiàn)的次數(shù).)s]t電子科技大學

引例在數(shù)字通信中誤碼率λ是重要指標，設{N(t),t≥0}為時間段[0,t]內(nèi)發(fā)生的誤碼次數(shù),{N(t),t≥0}是計數(shù)過程,而且滿足(1)初始時刻不出現(xiàn)誤碼是必然的,故N(0)=0;(2)在互不相交的區(qū)間出現(xiàn)的誤碼數(shù)互不影響,故N(t)獨立增量過程.

在系統(tǒng)穩(wěn)定運行的條件下,在相同長度區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)k個誤碼概率應相同,故可認為N(t)是平穩(wěn)增量過程.電子科技大學{N(t),t≥0}是平穩(wěn)獨立增量過程；(3)認為Δt時間內(nèi)出現(xiàn)一個誤碼的可能性與區(qū)間長度成正比是合理的,即有P{N(Δt)=1}=λΔt

+o(Δt),λ>0；(4)假定對足夠小的Δt時間內(nèi),出現(xiàn)兩個以上誤碼的概率是關(guān)于Δt的高階無窮小也是合理的,有P{N(Δt)≥2}=o(Δt).電子科技大學一般數(shù)學模型：此過程有如下特點：1)

零初值性

N(0

)=0;2)

獨立增量性

任意兩個不相重疊的時間間隔內(nèi)到達的呼叫次數(shù)相互獨立;電子科技大學3)

齊次性在(s,t]時間內(nèi)到達的呼叫次數(shù)僅與時間間隔長度t－s

有關(guān)，而與起始時間

s無關(guān);

4）普通性在充分小的時間間隔內(nèi)到達的呼叫次數(shù)最多僅有一次，即對充分小的Δt,有其中λ＞0.電子科技大學

定義2.3.2設計數(shù)過程{N(t),t≥0}滿足：(1)N(0)=0;(2)是平穩(wěn)獨立增量過程；(3)P{N(h)=1}=λh+o(h),λ>0；(4)P{N(h)≥2}=o(h).

稱{N(t),t≥0)是參數(shù)(或速率,強度)為λ的齊次泊松過程.電子科技大學

定理2.3.1齊次泊松過程{N(t),t≥0}在時間間隔(t0,t0+t]內(nèi)事件出現(xiàn)n次的概率為電子科技大學平穩(wěn)增量1o

由條件(2)～(4)，得：

P0(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0,N(t+h)－N(t)=0｝=P{N(t)=0}P{N(t+h)

－N(t)=0}增量獨立=P0(t)[1－λh+o(h)]電子科技大學2o

當n≥1,根據(jù)全概率公式有

t](t+h]電子科技大學兩邊同乘以eλt

后移項整理得當n=1,則電子科技大學代入(2)式有電子科技大學利用初始條件

對一切n≥0均成立.定理證明反之亦然,得泊松過程的等價定義：

定義2.3.2′設計數(shù)過程{N(t),t≥0}滿足下述條件：(1)

N(0)=0；電子科技大學(3)

對一切0≤s<t,N(t)

－N(s)

～P(λ(t－s)),即注有(2)

N(t)是獨立增量過程；問題若N(t)的一維分布是泊松分布,能否推出第(3)條成立?

電子科技大學

EX.2

設{N(t),t≥0}是參數(shù)為λ的泊松過程,事件A在(0,τ)時間區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)n次，試求:P{N(s)=kN(τ)=n},0<k<n,0<s<τ電子科技大學二、齊次泊松過程的有關(guān)結(jié)論1.數(shù)字特征N(t)～P(λt).均值函數(shù)方差函數(shù)電子科技大學稱λ為事件的到達率λ是單位時間內(nèi)事件出現(xiàn)的平均次數(shù).均方差函數(shù)

C(s,t)=λmin(s,t)，相關(guān)函數(shù)

R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st.電子科技大學1)令Y(t)=N1(t)

－N2(t)，t>0,求Y(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù).2)證明X(t)=N1(t)+N2(t),t>0,是強度為λ1+λ2的泊松過程.

EX.3

設N1(t)和N2(t)分別是強度為λ1和λ2的相互獨立的泊松過程,電子科技大學電子科技大學2)根據(jù)泊松分布的可加性知X(t)=N1(t)+N2(t),t>0,

注：X(t)=N1(t)

－N2(t)的特征函數(shù)為獨立和的特征函數(shù)

由分布函數(shù)與特征函數(shù)的一一對應的惟一性定理知X(t)不是泊松過程.服從參數(shù)為λ